In „Was ist ein Separator?“ habe ich von einem Angelkasten erzählt. Dort ging es um die Trennwände im Kasten. Diese Seite handelt von einem kleinen Einsatz, der in den Kasten kommt.
Ich kann besser seitwärts zwischen Fachgebieten wandern, als tief in eines hineinzugraben. Die Werkzeuge, die ich dabei benutzt habe, möchte ich so hinterlassen, dass jeder sie mitnehmen kann. In der Programmierwelt gibt es Orte wie das alte CPAN für Perl, wo Bauteile im Regal liegen und allen zur Verfügung stehen. Den Versuch, dasselbe für Geometrie und Physik zu tun, nenne ich das Jig-Regal. Diese Seite ist sein erster Eintrag.
Ein Jig ist eine Hilfsvorrichtung, mit der man denselben Arbeitsgang genau wiederholt. Dieser hier ist aus der Rechnung in Arbeit 1105 hervorgegangen. Er wiegt den Teil der Raumkrümmung, der W heißt, als wären es Falten, deshalb habe ich ihn Faltenglättungs-Jig genannt.
Hier ist die Formel, aus der er stammt. Man denke sich die Vier-Sphäre als Stapel dreidimensionaler Schalen und beschreibe die Stauchung einer Schale durch v, das Verhältnis der Hopf-Faser zu ihrer Basis. Eine runde Schale hat v = 1. Die Menge der Falten längs des Weges ist dieses 𝒴.
$$\mathcal{Y}[v]=\int\frac{E^{2}+G^{2}}{3v}\,dt$$ $$E=\ddot v+v^{3}-v,\qquad G=3v\dot v$$𝒴 ist die Summe der Mengen der beiden Orientierungen von W, und auf der Sphäre ist es genau f, der Anteil von W. E und G verschwinden zugleich nur, wenn alle Schalen rund sind. Der Buchstabe 𝒴 ist meine Initiale und nicht die Yamabe-Konstante Y.
Zerlegt man diese Summe neu in zwei Quadrate, bleibt vom Kreuzterm nur eine Differenz des folgenden U. Auf einem Weg, dessen Schalen an beiden Enden rund sind, ergibt daher der Wert an einer einzigen Schale eine untere Schranke, ohne dass man die Form von v dazwischen kennt.
$$U=-\dot v^{2}+v^{2}-\frac{v^{4}}{2}$$ $$\mathcal{Y}[v]\ \ge\ \max_{t}\bigl[(1-v^{2})^{2}+2\dot v^{2}\bigr]$$Mit anderen Worten: Die am stärksten gestauchte Schale bestimmt den Boden der Falten. Diese Größe zusammen mit dem Verfahren, an einer Schale zu schneiden und von beiden Seiten zu drücken, nenne ich den Faltenglättungs-Jig. Die Anleitung auf dieser Seite ist diese Form ohne die Substantive, damit man sie in andere Gebiete mitnehmen kann.
Dieser Text fasst eine Arbeit zusammen, die ich selbst als Preprint veröffentlicht habe und die nicht begutachtet ist, dazu Probeläufe, die eigens für diese Seite neu gemacht wurden.
Anleitung
- In einem Satz
- In zwei Quadrate zerlegen und an den Enden festhalten.
- Was er kann
- Eine untere Schranke (einen Boden) für eine Größe angeben, ohne den Weg dazwischen zu berechnen.
- Was man einsetzt
- Eine Größe, die sich als Summe zweier Quadrate schreiben lässt und deren Kreuzterm allein von den Endwerten abhängt.
- Wann er versagt
- Wenn nach einer Runde ein Kreuzterm übrig bleibt.
- Wohin er gelangt ist
- Vierdimensionale Geometrie, Thermodynamik, Handelskosten.
Das Wichtigste
- Ist die gesuchte Größe eine Summe zweier Quadrate und hängt der Kreuzterm allein von den Endwerten ab, erhält man eine untere Schranke, ohne den Weg dazwischen zu berechnen.
- Schneidet man den Weg irgendwo, bestimmt der eine wirksamste Punkt den Boden. Im vierdimensionalen Raum ist es die am stärksten gestauchte Schale, beim Überqueren eines Hügels der höchste Gipfel, beim Handeln die größte Position.
- Auf einem Weg, der genau auf dem Boden liegt, sinkt die Ordnung der Gleichung auf die Hälfte.
- Dasselbe Verfahren lief in drei Gebieten. Manche Teile sind aber nicht hinübergelangt, etwa die Wand bei einhalb.
- Das Versagen erkennt man auf eine einzige Weise. Kehrt der Kreuzterm nach einer Runde nicht auf 0 zurück, lässt sich dieses Werkzeug nicht benutzen.
- Wann er passt
- Verfahren
- Den Boden durchbrechen
- Übergangsprotokoll
- Wann er versagt
- Im eigenen Gebiet versuchen
- Bekanntes und Eigenes
- Literatur
Wann man ihn benutzen kann
Wer die folgenden drei Fragen mit Ja beantworten kann, kann sein Problem einsetzen. Fachwissen ist nicht nötig.
- Ist die gesuchte Größe eine Summe von Quadraten zu jedem Zeitpunkt, etwa das Quadrat einer Geschwindigkeit, einer Verschiebung oder einer Kraft?
- Teilen sich die Quadrate in zwei Arten: eine auf der Seite dessen, was man bewegt, und eine auf der Seite des Ortes oder Zustands?
- Hängt die Summe des Produkts der beiden längs des Weges allein vom Anfangs- und Endwert ab, gleichgültig, was dazwischen geschieht?
Die dritte Frage lässt sich leicht prüfen. Schicken Sie den Weg einmal im Kreis und sehen Sie nach, ob die Summe der Produkte auf 0 zurückkehrt.
Das Verfahren, nur in Verben
Gebraucht wird nur die Entwicklung eines Quadrats, die man in der Mittelstufe lernt.
$$p^{2}+q^{2}=(p-q)^{2}+2pq$$Die linke Seite ist die gesuchte Größe. Der erste Term rechts ist mindestens 0. Hängt der zweite Term allein von den Endwerten ab, lässt sich eine untere Schranke angeben, ohne die Mitte zu kennen. Das zerlege ich in fünf Verben.
| Verb | Was man tut |
|---|---|
| Zerlegen | Die Größe in eine Summe zweier Quadrate zerlegen |
| Sammeln | Den Kreuzterm zu einer Differenz von Endwerten sammeln |
| Schneiden | Den Weg unterwegs schneiden. Jede Seite des Schnitts bekommt ihren eigenen Boden |
| Erreichen | Den Weg aufschreiben, auf dem p und q gleich sind. Dieser Weg liegt genau auf dem Boden |
| Verweilen | Den Preis des Stehenbleibens unterwegs hinzufügen |
Das wichtige Verb ist „schneiden“. Selbst wenn Anfang und Ende am selben Ort liegen, hebt sich der Boden, sobald der Weg durch eine hohe Stelle führt und man dort schneidet. Die Form des ganzen Weges muss man nicht kennen; der eine wirksamste Punkt bestimmt die untere Schranke.
Beim „Erreichen“ wird die Gleichung leichter. Die Gleichung eines stationären Weges ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, ein Weg auf dem Boden dagegen wird durch eine erster Ordnung beschrieben. In Arbeit 1105 wurde aus einer Gleichung vierter Ordnung eine zweiter Ordnung, und sie fiel weiter auf eine lineare Gleichung.
Den Boden durchbrechen
Probieren Sie es hier aus. Drei Gebiete stehen zur Wahl. Ändern Sie die Geschwindigkeiten und die Dauer des Verweilens, wie Sie wollen: Die Kosten fallen nicht unter den Boden.
Wählen Sie ein Gebiet und bewegen Sie die vier Schieberegler. Können Sie die Kosten unter den Boden drücken?
- Kosten
- Boden
- Kosten ÷ Boden
Einige Zahlen aus dem Handelsbeispiel: Bei einer Spitzenposition von 1 ist der Boden 3,000000. Verdoppelt man das Aufbautempo, ist das Verhältnis 1,125000. Baut man viermal so schnell auf und mit einem Viertel des Tempos ab, sind es 2,125000. Hält man über die Zeit 2, sind es 2,500000, und die Kosten ziehen sich über dem Boden weiter in die Länge.
Übergangsprotokoll
Das Wichtigste an einem Werkzeug im Regal ist die Aufzeichnung, wohin es gelangt ist und wo es stehen blieb. Ich habe dasselbe Verfahren in drei Gebieten laufen lassen.
| Verb | 4D-Geometrie (Herkunft) | Thermodynamik (Hügel) | Handelskosten |
|---|---|---|---|
| Zerlegen | Die zwei Orientierungen von W | Geschwindigkeit und Kraft | Handelstempo und Position |
| Sammeln | Die Formel des Schalenverhältnisses | Die Potentialdifferenz | Das Quadrat der Position |
| Schneiden | Die am stärksten gestauchte Schale | Der höchste Gipfel | Die größte Position |
| Erreichen | Pedersen-Sphären Rücken an Rücken | Aufstieg durch Rückwärtslaufen des Flusses | Abbau mit konstanter Rate |
| Verweilen | Der Berger-Hals | Auf dem Gipfel stehen bleiben | Weiter halten |
| Nicht hinübergelangt | Die Wand bei einhalb | Kein Gegenstück gefunden | Kein Gegenstück gefunden |
In der Thermodynamik war der Boden der Arrhenius-Exponent selbst. Berechnet man durch Integration die Zeit, in der ein kleines Teilchen durch thermische Schwankungen einen Hügel überquert, ist die Steigung des Logarithmus der Zeit 0,249466 und nähert sich der Hügelhöhe 0,25. Ohne den Weg zu kennen, bestimmt die Höhe des Gipfels allein den Exponenten.
Beim Handel bestimmte der eine Punkt der größten Position den Boden. Der Aufbau kostet eine Strecke, der Abbau kostet eine Strecke, und ihre Summe ist der Boden. Auch eine längere Ausführungszeit führt nicht unter ihn.
Die Handelsgleichung ist dieselbe wie die Gleichung des einfachsten Tals in der Thermodynamik. Nach der Regel des Separators gelten zwei Dinge, die aus derselben Gleichung kommen, noch nicht als Urteil auf dieselbe Wurzel. Deshalb sage ich nicht, der Handel sei Thermodynamik. Sagen kann ich nur, dass dasselbe Verfahren lief.
Wann er versagt: Nach einer Runde bleibt etwas übrig
Die Stellen, an denen dieses Werkzeug stehen bleibt, ließen sich auf eine Form bringen: Der Kreuzterm kehrt nach einer Runde nicht auf 0 zurück.
In der Thermodynamik blieb nach einer Runde 9,424778 übrig, sobald eine kreisende Strömung beigemischt war. Beim Handel betrugen die Kosten einer Runde −0,137132 beim Exponenten 0,5 des permanenten Impacts, +0,193934 bei 1,5 und nur bei 1 genau 0. Negative Kosten bedeuten einen Gewinn aus dem Hin und Zurück. Das zeigt auf dieselbe Stelle wie das Ergebnis von Huberman und Stanzl, dass der permanente Impact linear sein muss.
Auch die Reparatur ist hinübergelangt. Im Beispiel mit der kreisenden Strömung stimmt der Boden, so wie er ist, mit dem Verhältnis 0,818015 nicht, doch ersetzt man die Funktion, die die Endwerte misst, durch eine Lösung der Hamilton-Jacobi-Gleichung, kehrt das Verhältnis auf 1,000000 zurück.
Im eigenen Gebiet versuchen
- Schreiben Sie die Größe, deren untere Schranke Sie suchen, als Summe zweier Quadrate.
- Schreiben Sie die Formel, die den Kreuzterm längs des Weges aufsummiert.
- Schicken Sie den Weg einmal im Kreis und prüfen Sie, ob die Summe auf 0 zurückkehrt. Wenn nicht, hören Sie auf.
- Wenn ja, ergeben die Endwerte allein einen Boden. Versuchen Sie außerdem, unterwegs am wirksamsten Punkt zu schneiden.
- Sehen Sie nach, das Wievielfache des Bodens der tatsächliche Wert ist. Liegt er weit darüber, steckt unterwegs Verschwendung.
- Schreiben Sie auf, wo es lief und wo es stehen blieb. Die Aufzeichnung des Stehenbleibens hilft der nächsten Person.
Was bekannt ist und was meine Arbeit ist
Bekannt. Die Form, die in Quadrate zerlegt und mit einer topologischen Größe von unten abschätzt, ist als Bogomolny-Ungleichung bekannt. In der Geometrie sind die Kalibrierungen von Harvey und Lawson ein Werkzeug derselben Richtung. Auf der Seite der Gradientenflüsse steht das Energie-Dissipations-Prinzip von De Giorgi. Der Arrhenius-Exponent in der Thermodynamik, die Kramers-Formel, die minimale Arbeit von Schmiedl und Seifert, die Almgren-Chriss-Form beim Handel und das Ergebnis von Huberman und Stanzl sind ebenfalls bekannt. Keines der Ergebnisse, die dieses Werkzeug in anderen Gebieten geliefert hat, ist neu.
Meine Arbeit. Ich habe dieses Verfahren in der Rechnung von Arbeit 1105 zusammengesetzt. Ich habe die Substantive herausgenommen, es in Verben zerlegt und die Bedingungen des Versagens sowie das Übergangsprotokoll beigefügt. Ich habe dasselbe Verfahren in drei Gebieten laufen lassen und auch die Teile aufgeschrieben, die nicht hinübergelangt sind. Ob es Literatur mit einer Ordnung derselben Form gibt, habe ich nicht vollständig geprüft.
Was diese Seite nicht tut. Die Handelsrechnung ist eine Prüfung der Gleichungen; auf echte Marktdaten wurde sie nicht angewandt. Sie ist keine Anlageberatung.
Arbeiten und Literatur
Alle Arbeiten sind unter CC BY 4.0 veröffentlicht.
- Arbeit 1105, „On the Four-Sphere, Q and W Share 16π², and the Most Squashed Shell Sets a Floor under the Share of W“: die Herkunft dieses Werkzeugs.
- Arbeit 300, „The Three Hundredth Census: Whether Two Things Share a Root Is Decidable“: der Test des Separators.
- Bogomolny, E. B. (1976). The stability of classical solutions. Soviet Journal of Nuclear Physics.
- Harvey, R. & Lawson, H. B. (1982). Calibrated geometries. Acta Mathematica.
- Schmiedl, T. & Seifert, U. (2007). Optimal finite-time processes in stochastic thermodynamics. Physical Review Letters.
- Huberman, G. & Stanzl, W. (2004). Price manipulation and quasi-arbitrage. Econometrica.