Dans « Qu’est-ce qu’un séparateur ? », j’ai parlé d’une boîte de pêche. Il s’agissait des cloisons à l’intérieur de la boîte. Cette page parle d’un petit casier qu’on range dans la boîte.
Je suis plus doué pour me déplacer latéralement d’un domaine à l’autre que pour creuser profondément un seul. J’ai voulu laisser les outils utilisés en chemin sous une forme que chacun puisse emporter. Le monde de la programmation a des lieux comme l’ancien CPAN de Perl, où des pièces sont rangées sur une étagère à la disposition de tous. J’appelle l’essai de faire la même chose pour la géométrie et la physique l’étagère à gabarits. Cette page en est la première entrée.
Un gabarit (en anglais jig) est un outil auxiliaire qui permet de répéter exactement la même opération. Celui-ci est né du calcul de l’article 1105. Il pèse la partie de la courbure de l’espace appelée W comme s’il s’agissait de plis, d’où le nom de gabarit anti-plis.
Voici la formule d’où il est né. Imaginez la sphère de dimension quatre comme un empilement de couches de dimension trois, et décrivez l’écrasement d’une couche par v, le rapport de la fibre de Hopf à sa base. Une couche ronde a v = 1. La quantité de plis le long du chemin est ce 𝒴.
$$\mathcal{Y}[v]=\int\frac{E^{2}+G^{2}}{3v}\,dt$$ $$E=\ddot v+v^{3}-v,\qquad G=3v\dot v$$𝒴 est la somme des quantités des deux orientations de W, et sur la sphère c’est exactement f, la part de W. E et G ne s’annulent ensemble que si toutes les couches sont rondes. La lettre 𝒴 est mon initiale et n’est pas la constante de Yamabe Y.
Si l’on sépare à nouveau cette somme en deux carrés, le terme croisé se réduit à une différence du U suivant. Ainsi, sur un chemin dont les couches sont rondes aux deux bouts, la valeur en une seule couche donne une borne inférieure, sans connaître la forme de v entre les deux.
$$U=-\dot v^{2}+v^{2}-\frac{v^{4}}{2}$$ $$\mathcal{Y}[v]\ \ge\ \max_{t}\bigl[(1-v^{2})^{2}+2\dot v^{2}\bigr]$$Autrement dit, la couche la plus écrasée fixe le plancher des plis. Cette quantité, avec la procédure qui consiste à couper à une couche et à presser des deux côtés, est ce que j’appelle le gabarit anti-plis. Le mode d’emploi de cette page est cette forme sans les noms, pour qu’on puisse l’emporter dans d’autres domaines.
Ce texte résume des travaux que j’ai publiés moi-même en prépublication, qui n’ont pas été évalués par des pairs, ainsi que des essais réalisés spécialement pour cette page.
Mode d’emploi
- En un mot
- Séparer en deux carrés et presser aux extrémités.
- Ce qu’il fait
- Donner une borne inférieure (un plancher) d’une quantité sans calculer le chemin entre les deux.
- Ce qu’on y branche
- Une quantité qui s’écrit comme somme de deux carrés et dont le terme croisé ne dépend que des valeurs aux extrémités.
- Quand il échoue
- Quand il reste un terme croisé après un tour complet.
- Où il est passé
- Géométrie en dimension quatre, thermodynamique, coûts de transaction.
L’essentiel
- Si la quantité cherchée est une somme de deux carrés et que le terme croisé ne dépend que des valeurs aux extrémités, on obtient une borne inférieure sans calculer le chemin entre les deux.
- Coupez le chemin quelque part : le point le plus efficace fixe le plancher. Dans l’espace de dimension quatre, c’est la couche la plus écrasée ; pour franchir une colline, le sommet le plus haut ; dans les transactions, la plus grande position.
- Sur un chemin posé exactement sur le plancher, l’ordre de l’équation est divisé par deux.
- La même procédure a fonctionné dans trois domaines. Certaines pièces ne sont pourtant pas passées, comme le mur à un demi.
- Il y a une seule façon de reconnaître l’échec. Si le terme croisé ne revient pas à 0 après un tour, cet outil ne s’applique pas.
- Quand l’utiliser
- Procédure
- Percer le plancher
- Journal des passages
- Quand il échoue
- Essayer dans votre domaine
- Le connu et mon travail
- Références
Quand on peut l’utiliser
Si vous répondez oui aux trois questions suivantes, vous pouvez y brancher votre problème. Aucune connaissance spécialisée n’est nécessaire.
- La quantité cherchée est-elle une somme de carrés pris à chaque instant, comme le carré d’une vitesse, d’un déplacement ou d’une force ?
- Les carrés se répartissent-ils en deux sortes, l’une du côté de ce que l’on déplace, l’autre du côté du lieu ou de l’état ?
- Quand on additionne le produit des deux le long du chemin, le total ne dépend-il que des valeurs de départ et d’arrivée, quoi qu’il arrive entre les deux ?
La troisième se vérifie facilement. Faites faire un tour complet au chemin et regardez si le total des produits revient à 0.
La procédure, en verbes seulement
Il suffit du développement d’un carré, qu’on apprend au collège.
$$p^{2}+q^{2}=(p-q)^{2}+2pq$$Le membre de gauche est la quantité cherchée. Le premier terme de droite vaut au moins 0. Si le second terme ne dépend que des valeurs aux extrémités, on peut énoncer une borne inférieure sans connaître le milieu. Je découpe cela en cinq verbes.
| Verbe | Ce qu’on fait |
|---|---|
| Séparer | Séparer la quantité en une somme de deux carrés |
| Rassembler | Rassembler le terme croisé en une différence de valeurs aux extrémités |
| Couper | Couper le chemin en route. Chaque côté de la coupure reçoit son propre plancher |
| Atteindre | Écrire le chemin sur lequel p et q sont égaux. Ce chemin est exactement sur le plancher |
| Rester | Ajouter le prix de l’arrêt en route |
Le verbe important est « couper ». Même si le départ et l’arrivée sont au même endroit, un chemin qui passe par un lieu élevé voit son plancher monter quand on le coupe là. Inutile de connaître la forme du chemin entier : le point le plus efficace décide de la borne inférieure.
Dans « atteindre », l’équation s’allège. L’équation d’un chemin stationnaire est une équation différentielle du second ordre, mais un chemin sur le plancher s’écrit par une équation du premier ordre. Dans l’article 1105, une équation du quatrième ordre est devenue du second ordre, puis est tombée sur une équation linéaire.
Percer le plancher
Essayez ici. Trois domaines sont au choix. Changez les vitesses et la durée de l’arrêt comme vous voulez : le coût ne passe pas sous le plancher.
Choisissez un domaine et déplacez les quatre curseurs. Pouvez-vous faire passer le coût sous le plancher ?
- Coût
- Plancher
- Coût ÷ plancher
Voici quelques nombres de l’exemple des transactions. Pour une position au sommet de 1, le plancher vaut 3,000000. En doublant la vitesse de constitution, le rapport vaut 1,125000. En constituant quatre fois plus vite et en dénouant quatre fois moins vite, il vaut 2,125000. En conservant la position pendant une durée 2, il vaut 2,500000, et le coût continue de s’étirer au-dessus du plancher.
Journal des passages
Le plus important pour un outil de l’étagère est le journal de ce qu’il a traversé et de l’endroit où il s’est arrêté. J’ai fait tourner la même procédure dans trois domaines.
| Verbe | Géométrie 4D (origine) | Thermodynamique (colline) | Coûts de transaction |
|---|---|---|---|
| Séparer | Les deux orientations de W | Vitesse et force | Vitesse de transaction et position |
| Rassembler | La formule du rapport de la couche | La différence de potentiel | Le carré de la position |
| Couper | La couche la plus écrasée | Le sommet le plus haut | La plus grande position |
| Atteindre | Sphères de Pedersen dos à dos | Monter en inversant le flux | Dénouer à taux constant |
| Rester | Le cou de Berger | S’arrêter au sommet | Conserver la position |
| Non passé | Le mur à un demi | Aucun équivalent trouvé | Aucun équivalent trouvé |
En thermodynamique, le plancher était l’exposant d’Arrhenius lui-même. Quand on calcule par intégration le temps qu’il faut à une petite particule pour franchir une colline par fluctuation thermique, la pente du logarithme du temps vaut 0,249466 et s’approche de la hauteur 0,25 de la colline. Sans connaître le chemin, la hauteur du sommet décide seule de l’exposant.
Dans les transactions, le seul point de plus grande position a fixé le plancher. Constituer coûte un trajet, dénouer coûte un trajet, et leur somme est le plancher. Allonger le temps d’exécution ne fait pas passer en dessous.
L’équation des transactions est la même que celle de la vallée la plus simple en thermodynamique. Selon la règle du séparateur, deux choses issues de la même équation ne valent pas verdict de même racine. Je ne dis donc pas que les transactions sont de la thermodynamique. Tout ce que je peux dire, c’est que la même procédure a fonctionné.
Quand il échoue : il reste quelque chose après un tour
Les endroits où cet outil s’arrête se sont ramenés à une seule forme : le terme croisé ne revient pas à 0 après un tour.
En thermodynamique, quand un flux circulant était mêlé, il restait 9,424778 après un tour. Dans les transactions, le coût d’un tour valait −0,137132 pour un exposant d’impact permanent de 0,5, +0,193934 pour 1,5, et 0 seulement pour 1. Un coût négatif signifierait un gain sur l’aller-retour. Cela désigne le même endroit que le résultat de Huberman et Stanzl, selon lequel l’impact permanent doit être linéaire.
La façon de réparer l’outil est passée elle aussi. Dans l’exemple du flux circulant, le plancher ne convient pas tel quel, avec un rapport de 0,818015, mais si l’on remplace la fonction qui mesure les valeurs aux extrémités par une solution de l’équation de Hamilton-Jacobi, le rapport revient à 1,000000.
Essayer dans votre domaine
- Écrivez la quantité dont vous cherchez la borne inférieure comme somme de deux carrés.
- Écrivez la formule qui additionne le terme croisé le long du chemin.
- Faites faire un tour complet au chemin et vérifiez si le total revient à 0. Sinon, arrêtez.
- S’il y revient, les valeurs aux extrémités donnent à elles seules un plancher. Essayez aussi de couper au point le plus efficace en route.
- Regardez à quel multiple du plancher se situe la valeur réelle. Si elle en est loin, il y a du gaspillage en route.
- Notez où cela a marché et où cela s’est arrêté. La trace de l’arrêt aide la personne suivante.
Ce qui est connu et ce qui est mon travail
Ce qui est connu. La forme qui sépare en carrés et minore par une quantité topologique est connue sous le nom d’inégalité de Bogomolny. En géométrie, les calibrations de Harvey et Lawson sont un outil de même orientation. Du côté des flots de gradient, il y a le principe de dissipation de l’énergie de De Giorgi. L’exposant d’Arrhenius en thermodynamique, la formule de Kramers, le travail minimal de Schmiedl et Seifert, la forme d’Almgren-Chriss dans les transactions et le résultat de Huberman et Stanzl sont également connus. Aucun des résultats produits par cet outil dans d’autres domaines n’est nouveau.
Mon travail. J’ai assemblé cette procédure dans le calcul de l’article 1105. J’ai retiré les noms, je l’ai découpée en verbes et j’y ai joint les conditions d’échec et le journal des passages. J’ai fait tourner la même procédure dans trois domaines et j’ai noté jusqu’aux pièces qui ne sont pas passées. Je n’ai pas vérifié de façon exhaustive si une publication contient un rangement de même forme.
Ce que cette page ne fait pas. Le calcul sur les transactions est une vérification des équations ; il n’a pas été appliqué à de vraies données de marché. Ce n’est pas un conseil en investissement.
Articles et références
Tous les articles sont publiés sous licence CC BY 4.0.
- Article 1105, « On the Four-Sphere, Q and W Share 16π², and the Most Squashed Shell Sets a Floor under the Share of W » : l’origine de cet outil.
- Article 300, « The Three Hundredth Census: Whether Two Things Share a Root Is Decidable » : le test du séparateur.
- Bogomolny, E. B. (1976). The stability of classical solutions. Soviet Journal of Nuclear Physics.
- Harvey, R. & Lawson, H. B. (1982). Calibrated geometries. Acta Mathematica.
- Schmiedl, T. & Seifert, U. (2007). Optimal finite-time processes in stochastic thermodynamics. Physical Review Letters.
- Huberman, G. & Stanzl, W. (2004). Price manipulation and quasi-arbitrage. Econometrica.