In «Che cos’è un separatore?» ho parlato di una cassetta da pesca. Lì si trattava dei divisori dentro la cassetta. Questa pagina parla di una piccola scatola che si mette nella cassetta.
Sono più bravo a spostarmi di lato tra i campi che a scavare a fondo in uno solo. Ho voluto lasciare gli strumenti usati lungo la strada in una forma che chiunque possa portare via. Il mondo della programmazione ha luoghi come il vecchio CPAN di Perl, dove i pezzi stanno su uno scaffale a disposizione di tutti. Chiamo scaffale delle dime il tentativo di fare lo stesso per la geometria e la fisica. Questa pagina ne è la prima voce.
Una dima (in inglese jig) è un attrezzo ausiliario per ripetere con precisione la stessa lavorazione. Questa è nata dal calcolo dell’articolo 1105. Pesa la parte della curvatura dello spazio chiamata W come se fossero pieghe, perciò l’ho chiamata dima togli-pieghe.
Ecco la formula da cui è nata. Pensate alla sfera di dimensione quattro come a una pila di gusci di dimensione tre, e descrivete lo schiacciamento di un guscio con v, il rapporto tra la fibra di Hopf e la sua base. Un guscio rotondo ha v = 1. La quantità di pieghe lungo il percorso è questo 𝒴.
$$\mathcal{Y}[v]=\int\frac{E^{2}+G^{2}}{3v}\,dt$$ $$E=\ddot v+v^{3}-v,\qquad G=3v\dot v$$𝒴 è la somma delle quantità dei due orientamenti di W, e sulla sfera è esattamente f, la quota di W. E e G si annullano insieme solo quando tutti i gusci sono rotondi. La lettera 𝒴 è la mia iniziale e non è la costante di Yamabe Y.
Dividendo di nuovo questa somma in due quadrati, il termine incrociato si riduce a una differenza del seguente U. Così, su un percorso i cui gusci sono rotondi ai due estremi, il valore su un solo guscio dà un limite inferiore, senza conoscere la forma di v nel mezzo.
$$U=-\dot v^{2}+v^{2}-\frac{v^{4}}{2}$$ $$\mathcal{Y}[v]\ \ge\ \max_{t}\bigl[(1-v^{2})^{2}+2\dot v^{2}\bigr]$$In altre parole, il guscio più schiacciato fissa il pavimento delle pieghe. Questa quantità, insieme alla procedura di tagliare a un guscio e premere dai due lati, è ciò che chiamo dima togli-pieghe. Il manuale di questa pagina è questa forma senza i nomi, perché si possa portarla in altri campi.
Questo testo riassume un articolo che ho pubblicato io stesso come preprint, non sottoposto a revisione paritaria, insieme a prove fatte appositamente per questa pagina.
Manuale
- In una parola
- Dividere in due quadrati e premere agli estremi.
- Che cosa fa
- Dà un limite inferiore (un pavimento) di una quantità senza calcolare il percorso intermedio.
- Che cosa si inserisce
- Una quantità scrivibile come somma di due quadrati, il cui termine incrociato dipende solo dai valori agli estremi.
- Quando non funziona
- Quando dopo un giro completo resta un termine incrociato.
- Dove è arrivata
- Geometria in dimensione quattro, termodinamica, costi di negoziazione.
In sintesi
- Se la quantità cercata è una somma di due quadrati e il termine incrociato dipende solo dai valori agli estremi, si ottiene un limite inferiore senza calcolare il percorso intermedio.
- Tagliate il percorso in un punto qualsiasi: il punto più efficace fissa il pavimento. Nello spazio di dimensione quattro è il guscio più schiacciato; nello scavalcare una collina, la cima più alta; nella negoziazione, la posizione più grande.
- Su un percorso che poggia esattamente sul pavimento, l’ordine dell’equazione si dimezza.
- La stessa procedura ha funzionato in tre campi. Alcuni pezzi però non sono passati, come il muro a un mezzo.
- C’è un solo modo di riconoscere il fallimento. Se dopo un giro il termine incrociato non torna a 0, questo strumento non si può usare.
- Quando usarla
- Procedura
- Sfondare il pavimento
- Registro dei passaggi
- Quando non funziona
- Provare nel proprio campo
- Il noto e il mio lavoro
- Bibliografia
Quando si può usare
Se potete rispondere sì alle tre domande seguenti, potete inserire il vostro problema. Non servono conoscenze specialistiche.
- La quantità cercata è una somma di quadrati presi a ogni istante, come il quadrato di una velocità, di uno spostamento o di una forza?
- I quadrati si dividono in due tipi, uno dalla parte di ciò che si muove e uno dalla parte del luogo o dello stato?
- Sommando il prodotto dei due lungo il percorso, il totale dipende solo dai valori iniziale e finale, qualunque cosa accada nel mezzo?
La terza si controlla facilmente. Fate compiere al percorso un giro completo e guardate se il totale dei prodotti torna a 0.
La procedura, solo con i verbi
Basta lo sviluppo di un quadrato che si impara alle scuole medie.
$$p^{2}+q^{2}=(p-q)^{2}+2pq$$Il membro di sinistra è la quantità cercata. Il primo termine a destra vale almeno 0. Se il secondo termine dipende solo dai valori agli estremi, si può enunciare un limite inferiore senza conoscere il mezzo. Divido questo in cinque verbi.
| Verbo | Che cosa si fa |
|---|---|
| Dividere | Dividere la quantità in una somma di due quadrati |
| Raccogliere | Raccogliere il termine incrociato in una differenza di valori agli estremi |
| Tagliare | Tagliare il percorso a metà strada. Ogni lato del taglio riceve il proprio pavimento |
| Raggiungere | Scrivere il percorso su cui p e q sono uguali. Questo percorso poggia esattamente sul pavimento |
| Restare | Aggiungere il prezzo della sosta lungo la strada |
Il verbo importante è «tagliare». Anche se partenza e arrivo sono nello stesso luogo, un percorso che passa per un punto alto vede salire il pavimento quando lo si taglia lì. Non serve conoscere la forma dell’intero percorso: il punto più efficace decide il limite inferiore.
In «raggiungere» l’equazione si alleggerisce. L’equazione di un percorso stazionario è un’equazione differenziale del secondo ordine, ma un percorso sul pavimento si scrive con una del primo ordine. Nell’articolo 1105 un’equazione del quarto ordine è diventata del secondo ordine ed è poi caduta su un’equazione lineare.
Sfondare il pavimento
Provate qui. Si può scegliere tra tre campi. Cambiate le velocità e la durata della sosta come volete: il costo non scende sotto il pavimento.
Scegliete un campo e muovete i quattro cursori. Riuscite a portare il costo sotto il pavimento?
- Costo
- Pavimento
- Costo ÷ pavimento
Ecco alcuni numeri dall’esempio della negoziazione. Con una posizione di picco pari a 1 il pavimento è 3,000000. Raddoppiando la velocità di costruzione il rapporto è 1,125000. Costruendo quattro volte più in fretta e chiudendo a un quarto della velocità è 2,125000. Mantenendo per un tempo 2 è 2,500000, e il costo continua ad allungarsi sopra il pavimento.
Registro dei passaggi
La cosa più importante di uno strumento sullo scaffale è il registro di dove è passato e di dove si è fermato. Ho fatto girare la stessa procedura in tre campi.
| Verbo | Geometria 4D (origine) | Termodinamica (collina) | Costi di negoziazione |
|---|---|---|---|
| Dividere | I due orientamenti di W | Velocità e forza | Velocità di negoziazione e posizione |
| Raccogliere | La formula del rapporto del guscio | La differenza di potenziale | Il quadrato della posizione |
| Tagliare | Il guscio più schiacciato | La cima più alta | La posizione più grande |
| Raggiungere | Sfere di Pedersen schiena contro schiena | Salire invertendo il flusso | Chiudere a tasso costante |
| Restare | Il collo di Berger | Fermarsi sulla cima | Continuare a mantenere |
| Non passato | Il muro a un mezzo | Nessun corrispondente trovato | Nessun corrispondente trovato |
In termodinamica il pavimento era l’esponente di Arrhenius stesso. Calcolando per integrazione il tempo che una piccola particella impiega a superare una collina per fluttuazione termica, la pendenza del logaritmo del tempo è 0,249466 e si avvicina all’altezza 0,25 della collina. Senza conoscere il percorso, la sola altezza della cima decide l’esponente.
Nella negoziazione il solo punto di posizione più grande ha fissato il pavimento. Costruire costa un tratto, chiudere costa un tratto, e la loro somma è il pavimento. Allungare il tempo di esecuzione non porta sotto di esso.
L’equazione della negoziazione è la stessa della valle più semplice in termodinamica. Secondo la regola del separatore, due cose che vengono dalla stessa equazione non valgono come verdetto di stessa radice. Perciò non dico che la negoziazione è termodinamica. Posso dire soltanto che la stessa procedura ha funzionato.
Quando non funziona: dopo un giro resta qualcosa
I punti in cui questo strumento si ferma si sono raccolti in una sola forma: dopo un giro il termine incrociato non torna a 0.
In termodinamica, quando era mescolato un flusso circolante, dopo un giro restava 9,424778. Nella negoziazione il costo di un giro era −0,137132 per un esponente dell’impatto permanente pari a 0,5, +0,193934 per 1,5 e 0 solo per 1. Un costo negativo significherebbe un guadagno sull’andata e ritorno. Questo indica lo stesso punto del risultato di Huberman e Stanzl, secondo cui l’impatto permanente deve essere lineare.
Anche il modo di riparare lo strumento è passato. Nell’esempio del flusso circolante il pavimento così com’è non torna, con un rapporto di 0,818015, ma sostituendo la funzione che misura i valori agli estremi con una soluzione dell’equazione di Hamilton-Jacobi il rapporto torna a 1,000000.
Provare nel proprio campo
- Scrivete la quantità di cui cercate il limite inferiore come somma di due quadrati.
- Scrivete la formula che somma il termine incrociato lungo il percorso.
- Fate compiere al percorso un giro completo e controllate se il totale torna a 0. Se non torna, fermatevi.
- Se torna, i soli valori agli estremi danno un pavimento. Provate anche a tagliare nel punto più efficace lungo la strada.
- Guardate quante volte il valore reale supera il pavimento. Se è molto sopra, lungo la strada c’è uno spreco.
- Annotate dove ha funzionato e dove si è fermato. Il registro della fermata aiuta la persona successiva.
Che cosa è noto e che cosa è lavoro mio
Che cosa è noto. La forma che divide in quadrati e minora con una quantità topologica è nota come disuguaglianza di Bogomolny. In geometria, le calibrazioni di Harvey e Lawson sono uno strumento dello stesso orientamento. Dalla parte dei flussi di gradiente c’è il principio di dissipazione dell’energia di De Giorgi. Anche l’esponente di Arrhenius in termodinamica, la formula di Kramers, il lavoro minimo di Schmiedl e Seifert, la forma di Almgren-Chriss nella negoziazione e il risultato di Huberman e Stanzl sono noti. Nessuno dei risultati ottenuti da questo strumento in altri campi è nuovo.
Il mio lavoro. Ho composto questa procedura nel calcolo dell’articolo 1105. Ho tolto i nomi, l’ho divisa in verbi e vi ho aggiunto le condizioni di fallimento e il registro dei passaggi. Ho fatto girare la stessa procedura in tre campi e ho annotato anche i pezzi che non sono passati. Non ho controllato in modo completo se esista letteratura con un ordinamento della stessa forma.
Che cosa questa pagina non fa. Il calcolo sulla negoziazione è una verifica delle equazioni; non è stato applicato a dati reali di mercato. Non è una consulenza finanziaria.
Articoli e bibliografia
Tutti gli articoli sono pubblicati con licenza CC BY 4.0.
- Articolo 1105, «On the Four-Sphere, Q and W Share 16π², and the Most Squashed Shell Sets a Floor under the Share of W»: l’origine di questo strumento.
- Articolo 300, «The Three Hundredth Census: Whether Two Things Share a Root Is Decidable»: il test del separatore.
- Bogomolny, E. B. (1976). The stability of classical solutions. Soviet Journal of Nuclear Physics.
- Harvey, R. & Lawson, H. B. (1982). Calibrated geometries. Acta Mathematica.
- Schmiedl, T. & Seifert, U. (2007). Optimal finite-time processes in stochastic thermodynamics. Physical Review Letters.
- Huberman, G. & Stanzl, W. (2004). Price manipulation and quasi-arbitrage. Econometrica.