Pliez deux anneaux égaux dans du fil de fer, placez-les face à face et sortez-les d’eau savonneuse : un film à la taille resserrée se tend entre eux. Écartez doucement les anneaux, et à un certain moment le film se rompt d’un coup. L’écart vaut alors 1,3255 fois le rayon des anneaux ; pour des anneaux de rayon 5 cm, 6,627 cm.
La section du film a la même forme qu’une chaîne suspendue (une chaînette). Pourtant une chaîne garde sa forme suspendue, aussi longue soit-elle. La forme est la même : qu’est-ce qui sépare donc les deux ? Dans l’article 1102, je l’ai vérifié avec des nombres.
Cet article résume des travaux que j’ai publiés moi-même en prépublication ; ils n’ont pas été évalués par des pairs.
Points clés
- Le film entre les anneaux se rompt quand l’écart dépasse 1,325486839 fois le rayon : 6,627 cm pour des anneaux de rayon 5 cm.
- En deçà, le film a deux formes possibles, un col épais et un col mince. Le mince s’effondre quand on le secoue.
- Dès que l’écart dépasse 1,055394794 fois le rayon, même le col épais a plus d’aire que deux films plats tendus dans chaque anneau (deux disques).
- Une chaîne pend toujours parce que sa longueur fixée lui donne la liberté de décaler sa forme vers le haut ou vers le bas. Le film n’a pas cette liberté.
- Trois films se rencontrent à 120 degrés, et quatre arêtes de films à 109,4712206 degrés. Cet angle a la même racine que l’angle entre les faces d’un octaèdre régulier.
Une expérience à faire chez soi
Pliez dans du fil de fer deux anneaux de rayon 5 cm, placez-les face à face sur un même axe et sortez-les d’eau savonneuse. Un film à la taille resserrée se tend entre les anneaux. Augmentez l’écart peu à peu : la taille s’amincit de plus en plus, et dès que l’écart dépasse 6,627 cm, le film se rompt, laissant un film plat sur chaque anneau.
Un autre repère est 5,277 cm. Tant que l’écart est plus petit, le film à la taille resserrée a moins d’aire que les deux films plats. Comme un film cherche à réduire son aire, c’est la frontière en deçà de laquelle le film resserré « gagne ».
Le film a la forme d’une chaîne suspendue
Le film entre les anneaux prend la forme d’aire minimale. Sa section est la même chaînette qu’une chaîne suspendue. En notant R le rayon des anneaux, h l’écart et a le rayon de la taille au milieu, la condition que le film ait le rayon R aux anneaux fixe la relation entre écart ÷ rayon et la taille.
Le film a deux formes
Le calcul montre que, pour tout écart inférieur à la limite, il y avait toujours deux formes de film satisfaisant la condition. Quand l’écart égale le rayon, la taille vaut 0,848338 fois le rayon de l’anneau pour le col épais et 0,235095 fois pour le col mince.
Pour voir laquelle apparaît vraiment, j’ai secoué légèrement le film en gardant les deux bouts fixes et calculé comment son aire varie. Le col épais gagnait de l’aire (18,521973 quand l’écart égale le rayon), le col mince en perdait (−7,421269). Un film qu’on peut secouer dans une direction qui diminue son aire continue simplement de s’effondrer. Ce qu’on voit dans l’expérience, c’est le col épais.
À un écart de 1,3255, le film disparaît
Quand les anneaux s’écartent, le col épais s’amincit et le col mince s’épaissit, et les deux se rapprochent. À 1,325486839 fois le rayon, ils se confondent en une seule forme, et au-delà il n’existe plus aucune forme de film. La taille vaut alors 0,552434125 fois le rayon de l’anneau.
Au-delà de 1,0554, deux films plats sont plus petits
Comparer les aires rend l’histoire plus intéressante encore. L’aire du film à col épais égale celle de deux films plats (disques) à un écart de 1,055394794 fois le rayon (Goldschmidt, 1831). Entre ce point et la limite de 1,3255, le film à col épais a plus d’aire que deux disques et tient pourtant sans s’effondrer, car il ne peut devenir deux disques sans se rompre d’abord.
À la limite, le rapport des aires vaut 1,199678640, la même valeur que le nombre t qui fixe la limite (le nombre vérifiant tanh t = 1/t). Je l’ai remarqué dans le calcul et confirmé que les formules le donnent ainsi.
Pourquoi une chaîne pend-elle toujours ?
Avec la même chaînette, une chaîne pend quelle que soit sa longueur. Pour une chaîne aux extrémités distantes de 2, chaque longueur de 2,05 à 100 avait une forme ; la flèche vaut 0,195335 pour la longueur 2,05 et 49,845746 pour la longueur 100.
La différence, c’est que la longueur est fixée. La forme d’une chaîne est une chaînette décalée vers le haut ou vers le bas. Comme sa longueur est fixée, en choisissant le décalage elle peut satisfaire à chaque fois ses trois conditions (deux extrémités et la longueur). Un film n’a pas de longueur fixée. Et décaler la section d’un film vers le haut ou vers le bas rend sa courbure moyenne non nulle (−0,247651) : ce n’est plus une forme de film. Le film ne peut satisfaire les conditions aux anneaux qu’avec l’épaisseur de sa taille, et quand l’écart s’ouvre assez, il n’y parvient plus.
Que ce qu’on minimise (pour la chaîne la hauteur de son poids, pour le film son aire) porte ou non une contrainte : c’est la ligne de partage, le séparateur, que nomme l’article 1102.
Les angles où les films se rencontrent
Quand des bulles se rassemblent, leurs films se rencontrent sous des angles fixes (lois de Plateau). Trois films se rencontrent à 120 degrés, le même angle qui apparaît quand on ajoute un point pour raccourcir la longueur totale d’un réseau (article 770). Là où quatre arêtes de films se rejoignent, l’angle vaut 109,4712206 degrés. C’est la même valeur que l’angle entre faces voisines d’un octaèdre régulier (article 209) ; les deux viennent des directions des diagonales d’un cube.
Les cercles tracés sur le film ont trop de circonférence
Un film de savon est une surface dont les courbures dans deux directions se compensent : en moyenne, il n’est pas courbé. Pourtant un cercle tracé sur le film a une circonférence plus longue que 2πr : 1,001662520 fois 2πr pour un cercle de rayon 0,1 sur le col. J’en ai parlé dans l’article « Un cercle de 1000 km de rayon sur la Terre est trop court de 25,77 km ».
Ce que cette histoire ne dit pas
- Elle ne revendique aucun nouveau théorème. La forme de la caténoïde, la limite de l’écart, la solution de Goldschmidt et les lois de Plateau sont des faits connus.
- Que le col épais ne s’effondre pas n’a été vérifié qu’avec une seule façon de secouer ; ce n’est pas une preuve.
- Pourquoi un film s’amincit et quand il éclate (écoulement et évaporation du liquide) n’est pas traité (la couleur des films est dans l’article 588).
- Seuls des anneaux égaux placés sur le même axe ont été traités.
Questions fréquentes
Dans une vraie expérience, le film peut-il se rompre avant 6,627 cm ?
Oui. Avec le temps, le liquide s’écoule du film qui s’amincit, si bien qu’il peut éclater avant la limite. Ce que l’article 1102 a compté, c’est la limite au-delà de laquelle aucune forme de film n’existe.
Est-ce le même mécanisme qu’un filet d’eau du robinet qui se fragmente ?
Non. Un filet d’eau contient du liquide et se fragmente quand croissent des ondulations plus longues que sa circonférence (article 309). Le film entre les anneaux ne contient pas de liquide ; il se rompt parce que, l’écart s’ouvrant, sa forme même cesse d’exister.
Est-ce un hasard si 109,47 degrés égale l’angle de l’octaèdre ?
Non. Les deux viennent de l’angle entre les directions allant du centre d’un cube à ses sommets (dont le cosinus vaut −1/3).
Les articles d’origine
- Article 1102 « A Soap Film between Two Rings Breaks at a Gap of 1.3255 Radii, While a Chain of the Same Shape Always Hangs »
- Article 588 « A Soap Film Turns Black Not Because the Film Is Gone »
- Article 309 « The Length That Divides Gravity from Surface Tension Is Nobody’s Size »
- Article 770 « Adding One Point Shortens the Total Length of a Network, and the 120-Degree Angle Decides Whether It Does »
- Article 209 « Equal Volume Is Not Enough to Cut and Reassemble »
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