Piegate nel fil di ferro due anelli uguali, teneteli uno di fronte all’altro ed estraeteli dall’acqua saponata: fra di loro si tende una pellicola con la vita stretta. Allontanate piano gli anelli, e a un certo punto la pellicola si rompe all’improvviso. La distanza in quel momento è 1,3255 volte il raggio degli anelli; per anelli di raggio 5 cm, 6,627 cm.
La sezione della pellicola ha la stessa forma di una catena appesa (una catenaria). Eppure una catena mantiene la sua forma appesa, per quanto lunga la si faccia. La forma è la stessa: che cosa separa allora le due? Nell’articolo 1102 l’ho verificato con i numeri.
Questo articolo riassume lavori che ho pubblicato io stesso come preprint; non sono stati sottoposti a revisione paritaria.
Punti chiave
- La pellicola fra gli anelli si rompe quando la distanza supera 1,325486839 volte il raggio: 6,627 cm per anelli di raggio 5 cm.
- Al di sotto, la pellicola ha due forme possibili, un collo spesso e un collo sottile. Quello sottile crolla se lo si scuote.
- Quando la distanza supera 1,055394794 volte il raggio, anche il collo spesso ha più area di due pellicole piane tese in ciascun anello (due dischi).
- Una catena pende sempre perché la sua lunghezza fissata le dà la libertà di spostare la sua forma in su o in giù. La pellicola non ha questa libertà.
- Tre pellicole si incontrano a 120 gradi, e quattro spigoli di pellicole a 109,4712206 gradi. Questo angolo ha la stessa radice dell’angolo fra le facce di un ottaedro regolare.
Un esperimento da fare in casa
Piegate nel fil di ferro due anelli di raggio 5 cm, metteteli uno di fronte all’altro sullo stesso asse ed estraeteli dall’acqua saponata. Fra gli anelli si tende una pellicola con la vita stretta. Aumentate la distanza a poco a poco: la vita si assottiglia sempre di più, e appena la distanza supera 6,627 cm la pellicola si rompe, lasciando una pellicola piana su ciascun anello.
Un altro riferimento è 5,277 cm. Finché la distanza è minore, la pellicola con la vita stretta ha meno area delle due pellicole piane. Poiché una pellicola cerca di rendere piccola la sua area, questo è il confine al di sotto del quale la pellicola stretta «vince».
La pellicola ha la forma di una catena appesa
La pellicola fra gli anelli prende la forma di area minima. La sua sezione è la stessa catenaria di una catena appesa. Con R il raggio degli anelli, h la distanza e a il raggio della vita al centro, la condizione che la pellicola abbia raggio R agli anelli fissa la relazione fra distanza ÷ raggio e la vita.
La pellicola ha due forme
Facendo i conti, per ogni distanza al di sotto del limite c’erano sempre due forme di pellicola che soddisfano la condizione. Quando la distanza è uguale al raggio, la vita è 0,848338 volte il raggio dell’anello per il collo spesso e 0,235095 volte per quello sottile.
Per vedere quale compare davvero, ho scosso leggermente la pellicola tenendo fermi i due estremi e ho calcolato come cambia la sua area. Il collo spesso guadagnava area (18,521973 con la distanza uguale al raggio), quello sottile ne perdeva (−7,421269). Una pellicola che si può scuotere in una direzione che ne riduce l’area continua semplicemente a crollare. Nell’esperimento si vede il collo spesso.
A una distanza di 1,3255 la pellicola scompare
Quando gli anelli si allontanano, il collo spesso si assottiglia e quello sottile si ispessisce, e i due si avvicinano. A 1,325486839 volte il raggio si fondono in una sola forma, e oltre non esiste più alcuna forma di pellicola. La vita in quel punto è 0,552434125 volte il raggio dell’anello.
Oltre 1,0554, due pellicole piane sono più piccole
Confrontare le aree rende la storia ancora più interessante. L’area della pellicola con il collo spesso è uguale a quella di due pellicole piane (dischi) a una distanza di 1,055394794 volte il raggio (Goldschmidt, 1831). Fra quel punto e il limite di 1,3255, la pellicola con il collo spesso ha più area di due dischi e tuttavia resta senza crollare, perché non può diventare due dischi senza prima rompersi.
Al limite, il rapporto delle aree è 1,199678640, lo stesso valore del numero t che fissa il limite (il numero che soddisfa tanh t = 1/t). L’ho notato nel calcolo e ho confermato che le formule danno proprio questo.
Perché una catena pende sempre?
Con la stessa catenaria, una catena pende comunque sia lunga. Per una catena con gli estremi a distanza 2, ogni lunghezza da 2,05 a 100 aveva una forma; l’abbassamento è 0,195335 per la lunghezza 2,05 e 49,845746 per la lunghezza 100.
La differenza è che la lunghezza è fissata. La forma di una catena è una catenaria spostata in su o in giù. Poiché la sua lunghezza è fissata, scegliendo lo spostamento può soddisfare ogni volta le sue tre condizioni (due estremi e la lunghezza). Una pellicola non ha una lunghezza fissata. E spostando in su o in giù la sezione di una pellicola, la sua curvatura media diventa diversa da zero (−0,247651): non è più una forma di pellicola. La pellicola può soddisfare le condizioni agli anelli solo con lo spessore della sua vita, e quando la distanza si apre abbastanza non ci riesce più.
Se ciò che si minimizza (per la catena l’altezza del suo peso, per la pellicola la sua area) porti o no un vincolo: è questa la linea di separazione, il separatore, che l’articolo 1102 nomina.
Gli angoli a cui si incontrano le pellicole
Quando le bolle si raccolgono, le loro pellicole si incontrano ad angoli fissi (leggi di Plateau). Tre pellicole si incontrano a 120 gradi, lo stesso angolo che compare quando si aggiunge un punto per accorciare la lunghezza totale di una rete (articolo 770). Dove si incontrano quattro spigoli di pellicole, l’angolo è 109,4712206 gradi. È lo stesso valore dell’angolo fra facce adiacenti di un ottaedro regolare (articolo 209); entrambi vengono dalle direzioni delle diagonali di un cubo.
I cerchi sulla pellicola hanno troppa circonferenza
Una pellicola di sapone è una superficie le cui curvature in due direzioni si compensano: in media non è curva. Eppure un cerchio disegnato sulla pellicola ha una circonferenza più lunga di 2πr: 1,001662520 volte 2πr per un cerchio di raggio 0,1 sul collo. Ne ho scritto nell’articolo «Un cerchio di raggio 1000 km sulla Terra è corto di 25,77 km».
Che cosa questa storia non dice
- Non rivendica alcun nuovo teorema. La forma del catenoide, il limite della distanza, la soluzione di Goldschmidt e le leggi di Plateau sono fatti noti.
- Che il collo spesso non crolli è stato verificato con un solo modo di scuotere; non è una dimostrazione.
- Perché una pellicola si assottiglia e quando scoppia (deflusso ed evaporazione del liquido) non viene trattato (il colore delle pellicole è nell’articolo 588).
- Sono stati trattati solo anelli uguali posti sullo stesso asse.
Domande frequenti
In un esperimento reale la pellicola può rompersi prima di 6,627 cm?
Sì. Col tempo il liquido defluisce dalla pellicola, che si assottiglia, e può scoppiare prima del limite. Ciò che l’articolo 1102 ha contato è il limite oltre il quale non esiste affatto una forma di pellicola.
È lo stesso meccanismo di un filo d’acqua dal rubinetto che si spezza?
No. Un filo d’acqua contiene liquido e si spezza quando crescono ondulazioni più lunghe della sua circonferenza (articolo 309). La pellicola fra gli anelli non contiene liquido; si rompe perché, aprendosi la distanza, la sua forma stessa smette di esistere.
È un caso che 109,47 gradi sia uguale all’angolo dell’ottaedro?
No. Entrambi vengono dall’angolo fra le direzioni che vanno dal centro di un cubo ai suoi vertici (il cui coseno è −1/3).
Gli articoli originali
- Articolo 1102 «A Soap Film between Two Rings Breaks at a Gap of 1.3255 Radii, While a Chain of the Same Shape Always Hangs»
- Articolo 588 «A Soap Film Turns Black Not Because the Film Is Gone»
- Articolo 309 «The Length That Divides Gravity from Surface Tension Is Nobody’s Size»
- Articolo 770 «Adding One Point Shortens the Total Length of a Network, and the 120-Degree Angle Decides Whether It Does»
- Articolo 209 «Equal Volume Is Not Enough to Cut and Reassemble»
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