Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文91 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/91 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.21758406）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文91】曲率は内在的である

@misc{yamagishi2026yoi91,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Curvature Is Intrinsic},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/91},
  doi = {10.5281/zenodo.21758406},
  note = {Preprint, edition 2}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、5 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969387・969388・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 12:18（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

本体系が立つ幾何学的物理の本流の源流は、ベルンハルト・リーマンである。彼の革命は一言でいえば、曲率は内在的（intrinsic）である。曲面や空間の曲がりは、それを取り囲む「外の高次元空間への埋め込み」の性質ではなく、その空間自身の計量だけから決まる。ガウスの驚異の定理（Theorema Egregium：ガウス曲率は等長変形で不変＝第一基本形式だけで決まる）を、リーマンは1854年に $n$ 次元へ一般化し、リーマン曲率テンソル（計量とその微分（クリストッフェル記号）だけから作られる量）を与えた。内在的とは、外に出なくても、内側から曲率を検出できるということだ（平行移動のホロノミー・測地線のずれ・三角形の内角和）。本稿はこのリーマンの言語を、体系のいくつもの「曲率」を仕分ける道具として使う。体系には複数の曲率が現れる。時空の曲率（一般相対論）、速度空間の一定曲率 $K=-1/c^2$（論文60）、2次元球面のガウス曲率を積分して $4\pi$ を得る Gauss–Bonnet（論文67）。リーマンは「曲率とは何か」を一つの内在的概念として統一するが、それはどの空間の曲率も同じ量だという意味ではない。各々は別の多様体の内在量であり、「曲率」という語を共有していても別根である（論文48・58）。共有されるのは概念（内在性）であり、インスタンスは一つずつ別である。

Abstract

The headwater of the geometric-physics mainstream in which this corpus stands is Bernhard Riemann. His revolution, in one line: curvature is intrinsic. The bending of a surface or space is not a property of its embedding into some outer, higher-dimensional space, but is determined by the space’s own metric alone. Gauss’s Theorema Egregium (the Gaussian curvature is invariant under isometry、determined by the first fundamental form alone) was generalized by Riemann in 1854 to $n$ dimensions, giving the Riemann curvature tensor（a quantity built from the metric and its derivatives (the Christoffel symbols) alone. Intrinsic means: curvature can be detected from within, without stepping outside (holonomy of parallel transport; geodesic deviation; the angle sum of a triangle). This paper uses Riemann’s language as a tool for sorting the corpus’s several “curvatures”. The corpus features several curvatures）spacetime curvature (general relativity), the constant velocity-space curvature $K=-1/c^2$ (Paper 60), and Gauss–Bonnet, which integrates the Gaussian curvature of the 2-sphere to $4\pi$ (Paper 67). Riemann unifies “what curvature is” into one intrinsic concept, but that does not mean that every space’s curvature is the same quantity. Each is an intrinsic quantity of a different manifold, and although they share the word “curvature”, they are distinct roots (Papers 48 and 58). What is shared is the concept (intrinsicness); the instances are separate, one by one.

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第2版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/91/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/91 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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