Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文68 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/68 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.21642238）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文68】Hopf 束としての量子ビット

@misc{yamagishi2026yoi68,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Qubit as a Hopf Fibration},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/68},
  doi = {10.5281/zenodo.21642238},
  note = {Preprint, edition 2}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、5 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969387・969388・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 12:18（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

1個の量子ビットの状態空間は、まさに Hopf 束である：規格化した状態ベクトルは $S^3\subset\mathbb{C}^2$ をなし、物理的に無意味な全体位相が繊維 $U(1)=S^1$、商 $S^3/U(1)=S^2$ がブロッホ球で、射影 $S^3\to S^2$ が Hopf 写像（Mosseri–Dandoloff 2001; Urbantke 2003）。本稿は、Hopf（ブロッホ）写像 $(\alpha,\beta)\mapsto\langle\psi|\vec\sigma|\psi\rangle$ が振幅について2次であり、ボルン則 $p=|\psi|^2$ もまた2次であることを観察する。命題：両者はいずれも単一の双一次形式 $\langle\psi|A|\psi\rangle$（$A$ はエルミート）の値である。ゆえにボルン則の「$2$」と Hopf 写像の「$2$」は同根：振幅が二度、一度は共役として入る。これは体系の「2」たちのうち、出自が真に一致する唯一の場所である。次に論文48・58の規律を残りの「2」に適用し点呼を与える：空間フラックスの $n=2$（論文01・53）、オイラー標数 $\chi(S^2)=2$（論文67）、トレース反転／階段の $2$（論文58）、スピノル／二重被覆の $2$（ベリー位相 $=\tfrac12\Omega$；$720^\circ$ 周期）は、値は一致するが出自を共有しないことを示す。幾何学的（ベリー）位相を Hopf 繊維のホロノミーと同定し、論文67の立体角に接続する一方、なお別の（スピノルの）根であることを保つ。点呼の価値は、根を共有するものだけを統合し、残りを分けることにある。

Abstract

The state space of a single qubit is exactly the Hopf fibration: normalised state vectors form $S^3\subset\mathbb{C}^2$, the physically irrelevant global phase is the fibre $U(1)=S^1$, and the quotient $S^3/U(1)=S^2$ is the Bloch sphere; the projection $S^3\to S^2$ is the Hopf map (Mosseri–Dandoloff 2001; Urbantke 2003). We observe that the Hopf (Bloch) map $(\alpha,\beta)\mapsto\langle\psi|\vec\sigma|\psi\rangle$ is quadratic in the amplitudes, and so is the Born rule $p=|\psi|^2$. Proposition: both are instances of the single sesquilinear pairing $\langle\psi|A|\psi\rangle$ (with $A$ Hermitian)、so Born’s “$2$” and the Hopf map’s “$2$” are the same root: the amplitude enters twice, once conjugated. This is the one place where two of the system’s “twos” genuinely coincide in origin. We then apply the discipline of Papers 48 and 58 to the remaining twos and give a census: the spatial-flux $n=2$ (Papers 01, 53), the Euler characteristic $\chi(S^2)=2$ (Paper 67), the trace-reversal/ladder $2$ (Paper 58), and the spinor/double-cover $2$ (Berry phase $=\tfrac12\Omega$; the $720^\circ$ periodicity) are shown to coincide in value without sharing an origin. The geometric (Berry) phase is identified as the holonomy of the Hopf fibre and ties to the solid angle of Paper 67, while remaining a distinct (spinor) root. The value of the census is precisely that it unifies only what shares a root and separates the rest.

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第2版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/68/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/68 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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