E(3D)=(4/3)πc³ ist die Formel, die entsteht, wenn man die Flächengestalt 4πc² aus dem Artikel „Was ist E=4πc²?“ über den Radius von 0 bis c aufschichtet (Aufsatz 12). Aufsatz 12 nennt das die Volumen-Wiederherstellungsgleichung und schreibt die linke Seite als E(3D). Die rechte Seite hat dieselbe Gestalt wie das Volumen einer Kugel mit dem Radius c.
Sie trägt zwar ein E im Namen, aber zählt man die Einheiten, ist sie keine Energie: Beim Aufschichten multipliziert man mit einer Breite des Radius, also kommt eine Einheit hinzu. In diesem Artikel nenne ich sie die Volumengestalt.
Trotzdem gibt es das, was eine Kugel mit dem Radius c füllt, in der Physik wirklich: den Bereich, den Licht in einer Zeiteinheit erreicht, und die Menge aller möglichen Geschwindigkeiten. Und die Menge der Geschwindigkeiten zeigt ein ganz anderes Volumen, je nachdem, mit welchem Maßstab man misst.
Dieser Artikel fasst Aufsätze zusammen, die ich selbst als Preprints veröffentlicht habe; sie haben kein Peer-Review durchlaufen. Wo eine Rechnung in diesem Artikel zwei Aufsätze verbindet, steht es dabei.
Das Wichtigste
- E(3D) ist die Flächengestalt 4πr², über den Radius von 0 bis c aufsummiert (Aufsatz 12). Weil die Summe bei 0 beginnt, tritt keine Integrationskonstante +C auf.
- Ihre Einheit ist nicht Energie, sondern Energie mal Geschwindigkeit. Das E im Namen zeigt den Weg, der bei der Energiegleichung E=4πc² begann.
- Ist eine Zeiteinheit gewählt, ist der Bereich, den Licht darin erreicht, eine Kugel mit dem Radius c, und ihr Volumen ist (4/3)πc³ (Aufsatz 61).
- Auch die Menge aller möglichen Geschwindigkeiten ist eine Kugel mit dem Radius c. Mit dem gewöhnlichen Maßstab ist ihr Volumen (4/3)πc³, mit dem relativistischen Maßstab hat das Volumen keine Grenze, und fast alles davon liegt knapp unter der Lichtgeschwindigkeit (eine Rechnung dieses Artikels, die Aufsatz 60 und Aufsatz 208 verbindet).
- Von meinen 1.097 Aufsätzen schreiben 10 im Haupttext (4/3)πc³ oder „Volumen-Wiederherstellung“.
Woher sie kommt
Die Oberfläche einer Kugel mit dem Radius r ist 4πr². Schichtet man sehr dünne Schalen vom Mittelpunkt bis zum Radius c, ist die Summe der Schalenflächen über den Radius das Kugelvolumen. Als Formel: ∫₀ᶜ 4πr² dr = (4/3)πc³ (Aufsatz 12). Im Diagramm ist die Fläche unter der Kurve der Schalenfläche das Kugelvolumen.
Weil von 0 bis c summiert wird, tritt keine Integrationskonstante +C auf. Schreibt man es, ohne den Anfang der Summe festzulegen, kommt ein +C hinzu, und manche Aufsätze lesen es neben der kosmologischen Konstante (Aufsätze 62 und 72). Das Ergebnis von Aufsatz 62 lautet allerdings: +C und die kosmologische Konstante sind nicht dasselbe.
Der Name ist E, die Einheit liegt auf der Seite des Volumens
Die rechte Seite von E=4πc² mit m=4π ist eine Masse (kg) mal eine Geschwindigkeit zum Quadrat, mit der Einheit Joule. Summiert man über den Radius von 0 bis c, multipliziert man mit einer Breite des Radius (hier einer Geschwindigkeitseinheit); die Einheit von (4/3)πc³ ist also kg mal Geschwindigkeit hoch drei, das heißt Joule mal Geschwindigkeit. Deshalb ist (4/3)πc³ selbst keine Energie. Der Name E(3D) zeigt den Weg, der bei der Energiegleichung begann und ihre Gestalt auf die Seite des Volumens verlängerte.
Was den Radius c füllt, gibt es wirklich (1): die Reichweite des Lichts
Licht, das von einem Punkt ausgeht, erreicht in der Zeit t das Innere einer Kugel mit dem Radius ct. Wählt man eine Zeiteinheit und setzt t=1, ist der erreichte Bereich eine Kugel mit dem Radius c und dem Volumen (4/3)πc³ (Aufsatz 61). Sieht man den erreichten Bereich als aufeinandergeschichtete dünne Lichtschalen, ist er das Integral der Volumen-Wiederherstellung selbst (Aufsatz 61).
Die Zahl (4/3)πc³ selbst ändert sich allerdings mit der Wahl der Einheiten, denn die Zahl für die Lichtgeschwindigkeit hängt davon ab, wie Meter und Sekunde festgelegt sind. Aufsatz 112 schreibt, dass nicht die Zahl bleibt, sondern die Gestalt: Der erreichte Bereich ist eine Kugel, und ihr Volumen wächst proportional zu (ct)³.
Was den Radius c füllt, gibt es wirklich (2): die Geschwindigkeitskugel
Weil die Geschwindigkeit von allem die obere Grenze c hat, ergibt die Menge aller möglichen Geschwindigkeiten das Innere einer Kugel mit dem Radius c (Aufsätze 59 und 60). Mit dem gewöhnlichen Maßstab gemessen ist ihr Volumen genau (4/3)πc³. Die Gestalt von E(3D) erscheint hier unverändert.
Die Relativitätstheorie hat aber ihren eigenen Maßstab. Misst man den Unterschied zweier Geschwindigkeiten mit der relativistischen Additionsregel, wird die Geschwindigkeitskugel zu einem hyperbolischen Raum mit der Krümmung −1/c² (Aufsatz 60). Für das Volumen einer Kugel im hyperbolischen Raum gibt es eine geschlossene Formel (Aufsatz 208); auf die Geschwindigkeitskugel angewandt, ist das Volumen bis zur Geschwindigkeit v gleich πc³(sinh 2φ − 2φ), wobei φ der Areatangens hyperbolicus von v/c ist, der relativistische Abstand geteilt durch c. Die Zahlen von hier an habe ich in diesem Artikel durch Verbindung von Aufsatz 60 und Aufsatz 208 berechnet.
Das Volumen bis 0,5c ist das 1,41-fache des mit dem gewöhnlichen Maßstab gemessenen Werts, bis 0,9c das 6,72-fache, bis 0,99c das 73-fache, bis 0,999c das 746-fache. Mit dem gewöhnlichen Maßstab bleibt das Volumen der Geschwindigkeitskugel bei (4/3)πc³ stehen, mit dem relativistischen Maßstab wird es beliebig groß, je näher die Geschwindigkeit der des Lichts kommt.
Mehr noch: Fast das ganze Volumen liegt knapp unter der Lichtgeschwindigkeit. In der Kugel bis 0,99c nimmt das Band von 0,9c bis 0,99c mit dem gewöhnlichen Maßstab 24,9 % des Volumens ein, mit dem relativistischen Maßstab aber 93,1 %.
Aufsatz 208 hat gezeigt, dass im hyperbolischen Raum, wie groß man die Kugel auch macht, 86 % des Volumens in der äußeren Schale der Dicke 1 (einen Krümmungsradius) wohnen bleiben. In der Geschwindigkeitskugel entspricht diese Dicke c im relativistischen Abstand. In der Kugel bis 0,99c enthält die Schale von 0,928c bis 0,99c 89,2 % des Volumens. Mit dem gewöhnlichen Maßstab gemessen enthält dieselbe Geschwindigkeitsschale 17,5 %.
Auch das Gleichgewicht von Haut und Inhalt ändert sich. Oberfläche geteilt durch Volumen ist mit dem gewöhnlichen Maßstab 3/v; je größer die Kugel, desto mehr entfernt sich der Inhalt von der Haut. Mit dem relativistischen Maßstab nähert sich dieser Wert 2/c und bleibt dort (2,09/c bei 0,99c), und der Inhalt entfernt sich nie von der Haut (Aufsatz 208). Wie der Titel von Aufsatz 208 sagt, leistet die Krümmung dieselbe Arbeit wie das Erhöhen der Dimension. Um im flachen Raum dieselbe Drängung zu erzeugen, müsste die Dimension immer weiter bis auf das Doppelte des Radius wachsen (Aufsatz 208).
Beide Maßstäbe sind als Geometrie richtig. Verschieden ist der Maßstab, und solange man nicht sagt, mit welchem gemessen wurde, passen Aussagen über das Volumen der Geschwindigkeitskugel nicht zusammen.
Dieselbe 4/3, verschiedene Wurzeln
Die 4/3 von (4/3)πc³ ist die 4/3 des Kugelvolumens. Auch die kritische Dichte enthält, wenn man die Expansion des Universums mit Newtons Schalen liest, 4π/3; sie tritt als Masse innerhalb einer Schale auf (Kugelvolumen mal Dichte) und ist daher dieselbe 4π/3 wie im Kugelvolumen (Aufsatz 907).
Die elektromagnetische Masse eines Elektrons, gesehen als kleine geladene Kugel, zeigt ebenfalls eine 4/3; diese ist aber das Doppelte des Mittels 2/3 über die Feldrichtungen, eine andere Wurzel als das Kugelvolumen (Aufsatz 908). Verändert man die Dimension d des Raums, ergeben beide nur für d=2 und 3 dieselbe Zahl und trennen sich bei d=4.
Wenn man die Dimension ändert
Aufsatz 12 hat dasselbe Aufschichten in vier Dimensionen ausgeführt und (π²/2)c⁴ erhalten. Aufsatz 59 schreibt, dass die Potenz von c zur Dimension des Volumens einer Kugel mit dem Radius c passt und jedes Aufschichten die Dimension um eins erhöht. Aufsatz 1080 hat gezeigt, dass der Radius, bei dem die Volumina der drei- und der vierdimensionalen Kugel dieselbe Zahl sind, 8/(3π) = 0,849 ist. Mit c = 1 ist das vierdimensionale 4,93 größer als das dreidimensionale 4,19, und welches größer ist, kehrt sich mit der Geschwindigkeitseinheit um.
Übrigens ist die 3 von c³ nur deshalb die 3 der drei Dimensionen, weil c als Radius der Kugel gesetzt wurde. Die Potenzen von c in physikalischen Formeln zählen nicht die Dimension des Raums (Aufsatz 116).
(4/3)πc³ in meinen Aufsätzen: 10 Aufsätze
Ich habe die Aufsätze gezählt, die (4/3)πc³ oder „Volumen-Wiederherstellung“ im Haupttext (vor den Literaturangaben) schreiben. Es sind 10 von 1.097; liest man, wie jeder sie benutzt, ergeben sich sieben Arten.
| Art der Verwendung | Aufsätze | Was sie tun |
|---|---|---|
| Ursprung | 12 | Schichtet die Flächengestalt 4πr² über den Radius von 0 bis c auf und erhält (4/3)πc³ (die Volumen-Wiederherstellungsgleichung). In vier Dimensionen (π²/2)c⁴ |
| Tabellen des Gesamtwerks | 13 | Führt sie in einer Tabelle des Gesamtwerks als Formel von Aufsatz 12 auf |
| Die Kugel, die Licht füllt | 61 | Liest sie als Volumen des Bereichs, den Licht in einer Zeiteinheit erreicht |
| Integrationskonstante +C und kosmologische Konstante | 62 · 72 | Stellt das +C des unbestimmten Integrals neben die kosmologische Konstante (eine Integrationskonstante der unimodularen Gravitation): nicht dasselbe, aber dual |
| Die Zahl ist ein Produkt der Einheiten | 112 | Die Zahl (4/3)πc³ selbst ist ein Produkt der Einheiten; es bleibt die Gestalt: Der erreichte Bereich ist eine Kugel, deren Volumen wie (ct)³ wächst |
| Dimension | 59 · 1080 | Die Potenz von c und die Dimension des Kugelvolumens (59); der Radius, bei dem die Volumina der drei- und der vierdimensionalen Kugel dieselbe Zahl sind (1080) |
| Wohin dieselbe 4/3 führt | 907 · 908 | Die 4π/3 der kritischen Dichte ist die Masse innerhalb einer Schale, dieselbe Wurzel wie das Kugelvolumen (907). Die 4/3 der elektromagnetischen Masse ist ein Mittel über die Feldrichtungen, eine andere Wurzel (908) |
Was E(3D) nicht behauptet
- Kein neues physikalisches Gesetz und keine neue Energie.
- Nicht, dass (4/3)πc³ eine Energie sei. Die Einheit ist Joule mal Geschwindigkeit.
- Nicht, dass +C die kosmologische Konstante selbst sei. Das Ergebnis von Aufsatz 62 lautet, dass sie nicht dasselbe sind.
- Die Zahl (4/3)πc³ selbst ändert sich mit der Wahl der Einheiten (Aufsätze 112 und 1080).
- Die Darstellung des Volumens der Geschwindigkeitskugel mit dem relativistischen Maßstab ist eine Rechnung der Geometrie. Sie stellt keine neue physikalische Größe und keine Vorhersage auf.
Wozu ist das gut?
Erstens dient es als Maßstab, um Haut und Inhalt zu unterscheiden. Stellt man Flächengestalt und Volumengestalt nebeneinander, wird klar, was Haut und was Inhalt ist. Diese Sicht habe ich auch in Aufsatz 1007 benutzt, der die kritische Masse als Gleichgewicht zwischen dem, was durch die Haut entweicht, und dem, was im Inhalt zunimmt, gezählt hat.
Zweitens zeigt es, dass dieselbe „Kugel mit dem Radius c“ mit einem anderen Maßstab einen ganz anderen Inhalt hat. Mit dem gewöhnlichen Maßstab bleibt der Inhalt bei (4/3)πc³ stehen und entfernt sich von der Haut. Mit dem relativistischen Maßstab hat der Inhalt keine Grenze, fast alles liegt knapp innerhalb der Haut, und das Verhältnis von Haut und Inhalt nähert sich einem festen Wert.
Und es ist ein Übungsfeld, um zu prüfen, dass dieselbe Zahl 4/3 verschiedene Wurzeln haben kann (Aufsätze 907 und 908).
Häufige Fragen
Ist E(3D) eine Energie?
Nein. Zählt man die Einheiten, ist es eine Energie mal eine Geschwindigkeit. Das E im Namen zeigt, dass es von der Energiegleichung E=4πc² ausging.
Ist +C die kosmologische Konstante?
Es ist nicht dasselbe. Aufsatz 62 stellt +C neben die kosmologische Konstante, die in der unimodularen Gravitation als Integrationskonstante auftritt, und kommt zu dem Schluss, dass beide nicht dasselbe sind, aber in Bezug auf den Freiheitsgrad des Volumens duale Positionen einnehmen.
Stimmt es, dass das Volumen der Geschwindigkeitskugel keine Grenze hat?
Mit dem relativistischen Maßstab (dem durch die Addition von Geschwindigkeiten gemessenen Abstand) ja. Mit dem gewöhnlichen Maßstab ist es (4/3)πc³. Beides ist als Geometrie richtig; verschieden ist der Maßstab. Diesen Punkt habe ich in diesem Artikel durch Verbindung von Aufsatz 60 und Aufsatz 208 berechnet.
Warum ist die 3 von c³ die 3 der drei Dimensionen?
Weil c als Radius der Kugel gesetzt wurde. Das Volumen einer dreidimensionalen Kugel mit dem Radius c ist proportional zu c³. Die Potenzen von c in physikalischen Formeln zählen nicht direkt die Dimension des Raums (Aufsatz 116).
Wie hängt das mit dem Artikel über E=4πc² zusammen?
Der Artikel „Was ist E=4πc²?“ behandelt die Seite der Flächengestalt (die Haut). Dieser Artikel behandelt die Seite der daraus aufgeschichteten Volumengestalt (den Inhalt).
Die Originalaufsätze
- Paper 12: From Boundary Energy to Volume Energy
- Paper 59: The Volume of the Unit Ball Is Greatest in Five Dimensions
- Paper 60: c as the Ball of Velocity Space
- Paper 61: c as the Light Sphere
- Paper 62: +C and Λ: A Duality on the Volume Degree of Freedom
- Paper 112: The Allotted Region and the Freedom Within
- Paper 116: What Does the Exponent of c Count?
- Paper 208: Curvature Does the Same Work as Dimension
- Paper 908: The 4/3 of the Electromagnetic Mass Comes Not from a Ball’s Volume but from Averaging over Field Directions
- Paper 1080: The Radius Where the 3-Ball and 4-Ball Volumes Are the Same Number Is Where the Largest Dimension Changes
Alle Aufsätze sind unter CC BY 4.0 veröffentlicht (die Seiten sind auf Japanisch, die PDFs der Aufsätze auf Japanisch und Englisch).
Die ganze Geschichte in einem Buch
E=4πc² und die daraus aufgeschichtete Volumengestalt (4/3)πc³ erkläre ich Schritt für Schritt, mit Vergleichen und Rechnungen, im E-Book „Eine einzige Haut und ihr Inneres“ (Amazon · Google Play Bücher).