E(3D)=(4/3)πc³ è la formula che si ottiene impilando la forma dell’area 4πc², vista nell’articolo «Che cos’è E=4πc²?», lungo il raggio da 0 a c (articolo 12). L’articolo 12 la chiama equazione di restituzione del volume e scrive il membro di sinistra come E(3D). Il membro di destra ha la stessa forma del volume di una palla di raggio c.
Porta una E nel nome, ma contando le unità non è un’energia: impilare significa moltiplicare per una larghezza di raggio, quindi si aggiunge un’unità. In questo articolo la chiamo forma del volume.
Eppure ciò che riempie una palla di raggio c esiste davvero nella fisica: la regione che la luce raggiunge in un’unità di tempo e l’insieme di tutte le velocità possibili. E l’insieme delle velocità mostra un volume del tutto diverso a seconda del metro con cui lo si misura.
Questo articolo riassume articoli che ho pubblicato io stesso come preprint; non sono stati sottoposti a revisione paritaria. Dove un calcolo di questo articolo combina due articoli, lo dice.
In sintesi
- E(3D) è la forma dell’area 4πr² sommata lungo il raggio da 0 a c (articolo 12). Poiché la somma parte da 0, non compare alcuna costante d’integrazione +C.
- La sua unità non è un’energia, ma un’energia per una velocità. La E del nome indica il percorso partito dall’equazione dell’energia E=4πc².
- Scelta un’unità di tempo, la regione che la luce vi raggiunge è una palla di raggio c, e il suo volume è (4/3)πc³ (articolo 61).
- Anche l’insieme di tutte le velocità possibili è una palla di raggio c. Con il metro ordinario il suo volume è (4/3)πc³, ma con il metro relativistico il volume non ha limite, e quasi tutto si trova appena sotto la velocità della luce (un calcolo di questo articolo che combina l’articolo 60 e l’articolo 208).
- Dei miei 1.097 articoli, 10 scrivono (4/3)πc³ o «restituzione del volume» nel testo principale.
Da dove viene
L’area di una sfera di raggio r è 4πr². Impilando gusci sottilissimi dal centro fino al raggio c, la somma delle aree dei gusci lungo il raggio è il volume della palla. In formula: ∫₀ᶜ 4πr² dr = (4/3)πc³ (articolo 12). In un grafico, l’area sotto la curva dell’area dei gusci è il volume della palla.
Poiché si somma da 0 a c, non compare alcuna costante d’integrazione +C. Scritta senza fissare il punto di partenza della somma, porta un +C, che alcuni articoli leggono accanto alla costante cosmologica (articoli 62 e 72). La conclusione dell’articolo 62, però, è che +C e la costante cosmologica non sono la stessa cosa.
Il nome è E, l’unità sta dalla parte del volume
Il membro di destra di E=4πc², con m=4π, è una massa (kg) per una velocità al quadrato, con l’unità del joule. Sommare lungo il raggio da 0 a c significa moltiplicare per una larghezza di raggio (qui un’unità di velocità); l’unità di (4/3)πc³ è quindi il chilogrammo per una velocità al cubo, cioè il joule per una velocità. Perciò (4/3)πc³ non è di per sé un’energia. Il nome E(3D) indica il percorso partito dall’equazione dell’energia, che ne ha prolungato la forma dalla parte del volume.
Ciò che riempie il raggio c esiste davvero (1): la portata della luce
La luce che parte da un punto raggiunge, nel tempo t, l’interno di una palla di raggio ct. Scelta un’unità di tempo e posto t=1, la regione raggiunta è una palla di raggio c, con volume (4/3)πc³ (articolo 61). Vista come gusci sottili di luce impilati uno sull’altro, la regione raggiunta è l’integrale di restituzione del volume stesso (articolo 61).
Il numero (4/3)πc³ in sé, però, cambia con la scelta delle unità, perché il numero della velocità della luce dipende da come si fissano il metro e il secondo. L’articolo 112 scrive che ciò che resta non è il numero ma la forma: la regione raggiunta è una palla, e il suo volume cresce in proporzione a (ct)³.
Ciò che riempie il raggio c esiste davvero (2): la palla delle velocità
Poiché la velocità di qualunque cosa ha un limite superiore c, raccogliendo tutte le velocità possibili si ottiene l’interno di una palla di raggio c (articoli 59 e 60). Misurato con il metro ordinario, il volume di questa palla è esattamente (4/3)πc³. La forma di E(3D) compare qui così com’è.
Ma la relatività ha il suo metro. Misurando la differenza fra due velocità con la regola di addizione relativistica, la palla delle velocità diventa uno spazio iperbolico di curvatura −1/c² (articolo 60). Il volume di una palla nello spazio iperbolico ha una formula chiusa (articolo 208); applicata alla palla delle velocità, il volume fino alla velocità v è πc³(sinh 2φ − 2φ), dove φ è l’arcotangente iperbolica di v/c, la distanza relativistica divisa per c. I numeri da qui in poi sono calcolati in questo articolo combinando l’articolo 60 e l’articolo 208.
Il volume fino a 0,5c è 1,41 volte il valore misurato con il metro ordinario; fino a 0,9c, 6,72 volte; fino a 0,99c, 73 volte; fino a 0,999c, 746 volte. Con il metro ordinario il volume della palla delle velocità si ferma a (4/3)πc³, ma con il metro relativistico diventa grande quanto si vuole man mano che la velocità si avvicina a quella della luce.
Per di più, quasi tutto quel volume si trova appena sotto la velocità della luce. Nella palla fino a 0,99c, la fascia da 0,9c a 0,99c occupa il 24,9% del volume con il metro ordinario, ma il 93,1% con il metro relativistico.
L’articolo 208 ha mostrato che nello spazio iperbolico, per quanto grande si faccia la palla, l’86% del suo volume continua ad abitare il guscio esterno di spessore 1 (un raggio di curvatura). Nella palla delle velocità questo spessore corrisponde a c in distanza relativistica. Per la palla fino a 0,99c, il guscio da 0,928c a 0,99c contiene l’89,2% del volume. Misurato con il metro ordinario, lo stesso guscio di velocità ne contiene il 17,5%.
Cambia anche l’equilibrio fra pelle e contenuto. La superficie della palla divisa per il volume è 3/v con il metro ordinario, e più la palla cresce, più il contenuto si allontana dalla pelle. Con il metro relativistico questo rapporto si avvicina a 2/c e si ferma (2,09/c a 0,99c), e il contenuto non si allontana mai dalla pelle (articolo 208). Come dice il titolo dell’articolo 208, la curvatura fa lo stesso lavoro dell’aumento della dimensione. Per creare lo stesso affollamento nello spazio piatto, la dimensione dovrebbe continuare a crescere fino al doppio del raggio (articolo 208).
Entrambi i metri sono corretti come geometria. Ciò che differisce è il metro, e finché non si dice con quale si è misurato, i discorsi sul volume della palla delle velocità non combaciano.
Lo stesso 4/3, radici diverse
Il 4/3 di (4/3)πc³ è il 4/3 del volume della palla. Anche la densità critica, leggendo l’espansione dell’universo con i gusci di Newton, contiene 4π/3; vi entra come massa dentro un guscio (il volume della palla per la densità), quindi è lo stesso 4π/3 del volume della palla (articolo 907).
Anche la massa elettromagnetica di un elettrone visto come una piccola palla carica mostra un 4/3, ma questo è il doppio della media 2/3 sulle direzioni del campo, una radice diversa dal volume della palla (articolo 908). Facendo variare la dimensione d dello spazio, i due danno lo stesso numero solo per d=2 e 3, e si separano a d=4.
Cambiando la dimensione
L’articolo 12 ha eseguito lo stesso impilamento in quattro dimensioni e ha ottenuto (π²/2)c⁴. L’articolo 59 scrive che la potenza di c corrisponde alla dimensione del volume di una palla di raggio c, e che ogni impilamento alza la dimensione di uno. L’articolo 1080 ha mostrato che il raggio in cui i volumi delle palle a tre e a quattro dimensioni sono lo stesso numero è 8/(3π) = 0,849. Con c = 1, il 4,93 a quattro dimensioni è maggiore del 4,19 a tre dimensioni, e quale sia maggiore si inverte con l’unità di velocità.
Va notato che il 3 di c³ è il 3 delle tre dimensioni solo perché c è stato posto come raggio della palla. Le potenze di c che compaiono nelle formule della fisica non contano la dimensione dello spazio (articolo 116).
(4/3)πc³ nei miei articoli: 10 articoli
Ho contato gli articoli che scrivono (4/3)πc³ o «restituzione del volume» nel testo principale (prima della bibliografia). Sono 10 su 1.097, e leggendo come ciascuno li usa si ottengono sette usi.
| Uso | Articoli | Che cosa fanno |
|---|---|---|
| Origine | 12 | Impila la forma dell’area 4πr² lungo il raggio da 0 a c e ottiene (4/3)πc³ (l’equazione di restituzione del volume). In quattro dimensioni, (π²/2)c⁴ |
| Tabelle del corpus | 13 | La riporta in una tabella del corpus come formula dell’articolo 12 |
| La palla che la luce riempie | 61 | La legge come il volume della regione che la luce raggiunge in un’unità di tempo |
| Costante d’integrazione +C e costante cosmologica | 62 · 72 | Mette il +C dell’integrale indefinito accanto alla costante cosmologica (una costante d’integrazione nella gravità unimodulare): non la stessa cosa, ma duale |
| Il numero è un prodotto delle unità | 112 | Il numero (4/3)πc³ in sé è un prodotto delle unità; ciò che resta è la forma: la regione raggiunta è una palla il cui volume cresce come (ct)³ |
| Dimensione | 59 · 1080 | La potenza di c e la dimensione del volume della palla (59); il raggio in cui i volumi delle palle a tre e a quattro dimensioni sono lo stesso numero (1080) |
| Dove va lo stesso 4/3 | 907 · 908 | Il 4π/3 della densità critica è la massa dentro un guscio, la stessa radice del volume della palla (907). Il 4/3 della massa elettromagnetica è una media sulle direzioni del campo, un’altra radice (908) |
Che cosa E(3D) non dice
- Non afferma una nuova legge della fisica né una nuova energia.
- Non dice che (4/3)πc³ sia un’energia. La sua unità è il joule per una velocità.
- Non dice che +C sia la costante cosmologica in sé. La conclusione dell’articolo 62 è che non sono la stessa cosa.
- Il numero (4/3)πc³ in sé cambia con la scelta delle unità (articoli 112 e 1080).
- Il discorso sul volume della palla delle velocità misurato con il metro relativistico è un calcolo di geometria. Non propone né una nuova grandezza fisica né una previsione.
A che cosa serve?
Primo, serve da metro per distinguere la pelle dal contenuto. Mettendo affiancate la forma dell’area e la forma del volume, diventa chiaro che cosa è pelle e che cosa è contenuto. Ho usato questo sguardo anche nell’articolo 1007, che ha contato la massa critica come equilibrio fra ciò che sfugge dalla pelle e ciò che cresce nel contenuto.
Secondo, mostra che cambiando metro la stessa «palla di raggio c» ha un contenuto completamente diverso. Con il metro ordinario il contenuto si ferma a (4/3)πc³ e si allontana dalla pelle. Con il metro relativistico il contenuto non ha limite, quasi tutto sta appena dentro la pelle, e il rapporto fra pelle e contenuto si avvicina a un valore fisso.
Infine, è un terreno di esercizio per verificare che lo stesso numero 4/3 può avere radici diverse (articoli 907 e 908).
Domande frequenti
E(3D) è un’energia?
No. Contando le unità, è un’energia per una velocità. La E del nome indica che è partita dall’equazione dell’energia E=4πc².
+C è la costante cosmologica?
Non sono la stessa cosa. L’articolo 62 mette +C accanto alla costante cosmologica che compare come costante d’integrazione nella gravità unimodulare, e conclude che non sono la stessa cosa, ma occupano posizioni duali rispetto al grado di libertà del volume.
È vero che il volume della palla delle velocità non ha limite?
Misurato con il metro relativistico (la distanza misurata con l’addizione delle velocità), sì. Misurato con il metro ordinario, è (4/3)πc³. Entrambi sono corretti come geometria; ciò che differisce è il metro. Questo punto è stato calcolato in questo articolo combinando l’articolo 60 e l’articolo 208.
Perché il 3 di c³ è il 3 delle tre dimensioni?
Perché c è stato posto come raggio della palla. Il volume di una palla a tre dimensioni di raggio c è proporzionale a c³. Le potenze di c che compaiono nelle formule della fisica non contano direttamente la dimensione dello spazio (articolo 116).
Che rapporto c’è con l’articolo su E=4πc²?
L’articolo «Che cos’è E=4πc²?» tratta il lato della forma dell’area (la pelle). Questo articolo tratta il lato della forma del volume che si ottiene impilandola (il contenuto).
Gli articoli originali
- Paper 12: From Boundary Energy to Volume Energy
- Paper 59: The Volume of the Unit Ball Is Greatest in Five Dimensions
- Paper 60: c as the Ball of Velocity Space
- Paper 61: c as the Light Sphere
- Paper 62: +C and Λ: A Duality on the Volume Degree of Freedom
- Paper 112: The Allotted Region and the Freedom Within
- Paper 116: What Does the Exponent of c Count?
- Paper 208: Curvature Does the Same Work as Dimension
- Paper 908: The 4/3 of the Electromagnetic Mass Comes Not from a Ball’s Volume but from Averaging over Field Directions
- Paper 1080: The Radius Where the 3-Ball and 4-Ball Volumes Are the Same Number Is Where the Largest Dimension Changes
Tutti gli articoli sono pubblicati con licenza CC BY 4.0 (le pagine sono in giapponese, con i PDF degli articoli in giapponese e in inglese).
Tutta la storia in un libro
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