E(3D)=(4/3)πc³ est la formule obtenue en empilant la forme d’aire 4πc², vue dans l’article « Qu’est-ce que E=4πc² ? », sur le rayon de 0 à c (article 12). L’article 12 l’appelle l’équation de restitution du volume et écrit son membre de gauche E(3D). Le membre de droite a la même forme que le volume d’une boule de rayon c.
Elle porte un E dans son nom, mais en comptant les unités, ce n’est pas une énergie : empiler revient à multiplier par une largeur de rayon, ce qui ajoute une unité. Dans cet article, je l’appelle la forme de volume.
Pourtant, ce qui remplit une boule de rayon c existe vraiment en physique : la région que la lumière atteint en une unité de temps, et l’ensemble de toutes les vitesses possibles. Et l’ensemble des vitesses montre un volume tout à fait différent selon la règle avec laquelle on le mesure.
Cet article résume des articles que j’ai publiés moi-même sous forme de prépublications ; ils n’ont pas été évalués par des pairs. Quand un calcul de cet article combine deux articles, il le dit.
L’essentiel
- E(3D) est la forme d’aire 4πr² sommée sur le rayon de 0 à c (article 12). Comme la somme commence à 0, aucune constante d’intégration +C n’apparaît.
- Son unité n’est pas une énergie, mais une énergie fois une vitesse. Le E du nom montre le chemin parti de l’équation d’énergie E=4πc².
- Une fois choisie une unité de temps, la région que la lumière atteint pendant celle-ci est une boule de rayon c, et son volume est (4/3)πc³ (article 61).
- L’ensemble de toutes les vitesses possibles est lui aussi une boule de rayon c. Avec la règle ordinaire, son volume est (4/3)πc³, mais avec la règle relativiste le volume n’a pas de limite, et presque tout se trouve juste en dessous de la vitesse de la lumière (un calcul de cet article qui combine l’article 60 et l’article 208).
- Sur mes 1 097 articles, 10 écrivent (4/3)πc³ ou « restitution du volume » dans leur texte principal.
D’où elle vient
L’aire d’une sphère de rayon r vaut 4πr². En empilant de très fines coquilles du centre jusqu’au rayon c, la somme des aires des coquilles sur le rayon donne le volume de la boule. En formule : ∫₀ᶜ 4πr² dr = (4/3)πc³ (article 12). Sur un graphique, l’aire sous la courbe de l’aire des coquilles est le volume de la boule.
Comme on somme de 0 à c, aucune constante d’intégration +C n’apparaît. Écrite sans fixer le point de départ de la somme, elle porte un +C, que certains articles lisent à côté de la constante cosmologique (articles 62 et 72). La conclusion de l’article 62 est toutefois que +C et la constante cosmologique ne sont pas la même chose.
Le nom est E, l’unité est du côté du volume
Le membre de droite de E=4πc², avec m=4π, est une masse (kg) fois une vitesse au carré, avec l’unité du joule. Sommer sur le rayon de 0 à c revient à multiplier par une largeur de rayon (ici une unité de vitesse) ; l’unité de (4/3)πc³ est donc le kilogramme fois une vitesse au cube, c’est-à-dire le joule fois une vitesse. Ainsi (4/3)πc³ n’est pas en soi une énergie. Le nom E(3D) montre le chemin parti de l’équation d’énergie, qui en a prolongé la forme du côté du volume.
Ce qui remplit le rayon c existe vraiment (1) : la portée de la lumière
La lumière partie d’un point atteint, en un temps t, l’intérieur d’une boule de rayon ct. Si l’on choisit une unité de temps et que t=1, la région atteinte est une boule de rayon c, de volume (4/3)πc³ (article 61). Vue comme de fines coquilles de lumière empilées, la région atteinte est l’intégrale de restitution du volume elle-même (article 61).
Le nombre (4/3)πc³ lui-même change cependant avec le choix des unités, car le nombre de la vitesse de la lumière dépend de la façon de fixer le mètre et la seconde. L’article 112 écrit que ce qui reste n’est pas le nombre mais la forme : la région atteinte est une boule, et son volume croît proportionnellement à (ct)³.
Ce qui remplit le rayon c existe vraiment (2) : la boule des vitesses
Comme la vitesse de toute chose a une limite supérieure c, rassembler toutes les vitesses possibles donne l’intérieur d’une boule de rayon c (articles 59 et 60). Mesuré avec la règle ordinaire, le volume de cette boule vaut exactement (4/3)πc³. La forme de E(3D) y apparaît telle quelle.
Mais la relativité a sa propre règle. Si l’on mesure l’écart entre deux vitesses avec la règle d’addition relativiste, la boule des vitesses devient un espace hyperbolique de courbure −1/c² (article 60). Le volume d’une boule dans l’espace hyperbolique a une formule fermée (article 208) ; appliquée à la boule des vitesses, le volume jusqu’à la vitesse v vaut πc³(sinh 2φ − 2φ), où φ est l’argument tangente hyperbolique de v/c, la distance relativiste divisée par c. Les nombres qui suivent ont été calculés dans cet article en combinant l’article 60 et l’article 208.
Le volume jusqu’à 0,5c vaut 1,41 fois la valeur mesurée avec la règle ordinaire ; jusqu’à 0,9c, 6,72 fois ; jusqu’à 0,99c, 73 fois ; jusqu’à 0,999c, 746 fois. Avec la règle ordinaire, le volume de la boule des vitesses plafonne à (4/3)πc³, mais avec la règle relativiste il devient aussi grand qu’on veut à mesure que la vitesse s’approche de celle de la lumière.
De plus, presque tout ce volume se trouve juste en dessous de la vitesse de la lumière. Dans la boule jusqu’à 0,99c, la bande de 0,9c à 0,99c occupe 24,9 % du volume avec la règle ordinaire, mais 93,1 % avec la règle relativiste.
L’article 208 a montré que, dans l’espace hyperbolique, quelle que soit la taille de la boule, 86 % de son volume continue d’habiter la coquille extérieure d’épaisseur 1 (un rayon de courbure). Dans la boule des vitesses, cette épaisseur correspond à c en distance relativiste. Pour la boule jusqu’à 0,99c, la coquille de 0,928c à 0,99c contient 89,2 % du volume. Mesurée avec la règle ordinaire, la même coquille de vitesses en contient 17,5 %.
L’équilibre entre la peau et le contenu change aussi. La surface de la boule divisée par son volume vaut 3/v avec la règle ordinaire, et plus la boule grandit, plus le contenu s’éloigne de la peau. Avec la règle relativiste, ce rapport s’approche de 2/c et s’y arrête (2,09/c à 0,99c), et le contenu ne s’éloigne jamais de la peau (article 208). Comme le dit le titre de l’article 208, la courbure fait le même travail qu’une montée de la dimension. Pour créer le même entassement dans l’espace plat, il faudrait que la dimension continue de croître jusqu’au double du rayon (article 208).
Les deux règles sont justes en tant que géométrie. Ce qui diffère, c’est la règle, et tant qu’on ne dit pas avec laquelle on a mesuré, les propos sur le volume de la boule des vitesses ne s’accordent pas.
Le même 4/3, des racines différentes
Le 4/3 de (4/3)πc³ est le 4/3 du volume de la boule. La densité critique, quand on lit l’expansion de l’univers avec les coquilles de Newton, contient elle aussi 4π/3 ; il y entre comme la masse contenue dans une coquille (le volume de la boule fois la densité), c’est donc le même 4π/3 que celui du volume de la boule (article 907).
La masse électromagnétique d’un électron vu comme une petite boule chargée montre elle aussi un 4/3, mais celui-ci est le double de la moyenne 2/3 sur les directions du champ, une racine différente du volume de la boule (article 908). Si l’on fait varier la dimension d de l’espace, les deux ne donnent le même nombre que pour d=2 et 3, et se séparent à d=4.
Quand on change la dimension
L’article 12 a effectué le même empilement en quatre dimensions et obtenu (π²/2)c⁴. L’article 59 écrit que la puissance de c correspond à la dimension du volume d’une boule de rayon c, et que chaque empilement élève la dimension d’une unité. L’article 1080 a montré que le rayon pour lequel les volumes des boules à trois et à quatre dimensions sont le même nombre vaut 8/(3π) = 0,849. Avec c = 1, le 4,93 à quatre dimensions est plus grand que le 4,19 à trois dimensions, et lequel est le plus grand s’inverse avec l’unité de vitesse.
Notons que le 3 de c³ n’est le 3 des trois dimensions que parce que c a été posé comme rayon de la boule. Les puissances de c qui apparaissent dans les formules de la physique ne comptent pas la dimension de l’espace (article 116).
(4/3)πc³ dans mes articles : 10 articles
J’ai compté les articles qui écrivent (4/3)πc³ ou « restitution du volume » dans leur texte principal (avant les références). Cela fait 10 articles sur 1 097 ; en lisant comment chacun l’utilise, on obtient sept usages.
| Usage | Articles | Ce qu’ils font |
|---|---|---|
| Origine | 12 | Empile la forme d’aire 4πr² sur le rayon de 0 à c et obtient (4/3)πc³ (l’équation de restitution du volume). En quatre dimensions, (π²/2)c⁴ |
| Tableaux de l’ensemble | 13 | L’inscrit dans un tableau de l’ensemble comme formule de l’article 12 |
| La boule que remplit la lumière | 61 | La lit comme le volume de la région que la lumière atteint en une unité de temps |
| Constante d’intégration +C et constante cosmologique | 62 · 72 | Place le +C de l’intégrale indéfinie à côté de la constante cosmologique (une constante d’intégration en gravité unimodulaire) : pas la même chose, mais duale |
| Le nombre est un produit des unités | 112 | Le nombre (4/3)πc³ lui-même est un produit des unités ; ce qui reste, c’est la forme : la région atteinte est une boule dont le volume croît comme (ct)³ |
| Dimension | 59 · 1080 | La puissance de c et la dimension du volume de la boule (59) ; le rayon où les volumes des boules à trois et à quatre dimensions sont le même nombre (1080) |
| Où va le même 4/3 | 907 · 908 | Le 4π/3 de la densité critique est la masse contenue dans une coquille, la même racine que le volume de la boule (907). Le 4/3 de la masse électromagnétique est une moyenne sur les directions du champ, une autre racine (908) |
Ce que E(3D) ne dit pas
- Il ne prétend établir ni nouvelle loi de la physique ni nouvelle énergie.
- Il ne dit pas que (4/3)πc³ est une énergie. Son unité est le joule fois une vitesse.
- Il ne dit pas que +C est la constante cosmologique elle-même. La conclusion de l’article 62 est que ce n’est pas la même chose.
- Le nombre (4/3)πc³ lui-même change avec le choix des unités (articles 112 et 1080).
- Le récit du volume de la boule des vitesses mesuré avec la règle relativiste est un calcul de géométrie. Il ne propose ni nouvelle grandeur physique ni prédiction.
À quoi cela sert-il ?
D’abord, cela sert de règle pour distinguer la peau du contenu. En mettant côte à côte la forme d’aire et la forme de volume, on voit clairement ce qui est peau et ce qui est contenu. J’ai aussi utilisé ce regard dans l’article 1007, qui a compté la masse critique comme un équilibre entre ce qui fuit par la peau et ce qui croît dans le contenu.
Ensuite, cela montre qu’en changeant de règle, la même « boule de rayon c » a un contenu tout différent. Avec la règle ordinaire, le contenu plafonne à (4/3)πc³ et s’éloigne de la peau. Avec la règle relativiste, le contenu n’a pas de limite, presque tout se trouve juste à l’intérieur de la peau, et le rapport de la peau au contenu s’approche d’une valeur fixe.
Enfin, c’est un terrain d’exercice pour vérifier qu’un même nombre 4/3 peut avoir des racines différentes (articles 907 et 908).
Questions fréquentes
E(3D) est-elle une énergie ?
Non. En comptant les unités, c’est une énergie fois une vitesse. Le E du nom indique qu’elle est partie de l’équation d’énergie E=4πc².
+C est-il la constante cosmologique ?
Ce n’est pas la même chose. L’article 62 place +C à côté de la constante cosmologique qui apparaît comme constante d’intégration en gravité unimodulaire, et conclut qu’ils ne sont pas la même chose, mais occupent des positions duales vis-à-vis du degré de liberté du volume.
Est-il vrai que le volume de la boule des vitesses n’a pas de limite ?
Mesuré avec la règle relativiste (la distance mesurée par l’addition des vitesses), oui. Mesuré avec la règle ordinaire, il vaut (4/3)πc³. Les deux sont justes en tant que géométrie ; ce qui diffère, c’est la règle. Ce point a été calculé dans cet article en combinant l’article 60 et l’article 208.
Pourquoi le 3 de c³ est-il le 3 des trois dimensions ?
Parce que c a été posé comme rayon de la boule. Le volume d’une boule à trois dimensions de rayon c est proportionnel à c³. Les puissances de c qui apparaissent dans les formules de la physique ne comptent pas directement la dimension de l’espace (article 116).
Quel lien avec l’article sur E=4πc² ?
L’article « Qu’est-ce que E=4πc² ? » traite du côté de la forme d’aire (la peau). Cet article-ci traite du côté de la forme de volume obtenue en l’empilant (le contenu).
Les articles d’origine
- Paper 12: From Boundary Energy to Volume Energy
- Paper 59: The Volume of the Unit Ball Is Greatest in Five Dimensions
- Paper 60: c as the Ball of Velocity Space
- Paper 61: c as the Light Sphere
- Paper 62: +C and Λ: A Duality on the Volume Degree of Freedom
- Paper 112: The Allotted Region and the Freedom Within
- Paper 116: What Does the Exponent of c Count?
- Paper 208: Curvature Does the Same Work as Dimension
- Paper 908: The 4/3 of the Electromagnetic Mass Comes Not from a Ball’s Volume but from Averaging over Field Directions
- Paper 1080: The Radius Where the 3-Ball and 4-Ball Volumes Are the Same Number Is Where the Largest Dimension Changes
Tous les articles sont publiés sous licence CC BY 4.0 (les pages sont en japonais, avec les PDF des articles en japonais et en anglais).
Toute l’histoire en un livre
E=4πc² et la forme de volume (4/3)πc³ obtenue en l’empilant sont expliquées pas à pas, avec des images et des calculs, dans le livre numérique « Une seule peau et ce qu’elle contient » (Amazon · Google Play Livres).