E=4πc² ist Einsteins Gleichung E=mc², in der für die Masse m der Wert 4π eingesetzt wird (Aufsatz 12). Die 4π ist die Masse innerhalb des Radius 1 einer Kugel, deren Dichte mit dem Quadrat des Abstands abnimmt (Aufsatz 02; Artikel „Was ist m = 4π?“, auf Japanisch). Die rechte Seite hat dieselbe Gestalt wie die Oberfläche einer Kugel mit dem Radius c.
Das ist kein neues physikalisches Gesetz, sondern eine bekannte Gleichung, in einer anderen Gestalt gelesen. Liest man sie so, tauchen in der Physik aber tatsächlich zwei Kugeln mit dem Radius c auf: die Kugel aller möglichen Geschwindigkeiten und die Kugel, über die sich Licht ausbreitet (sobald eine Zeiteinheit gewählt ist).
Dieser Artikel fasst Aufsätze zusammen, die ich selbst als Preprints veröffentlicht habe; sie haben kein Peer-Review durchlaufen.
Das Wichtigste
- E=4πc² ist das gewöhnliche E=mc² mit m=4π. Am Ergebnis ändert sich nichts; es ändert sich nur, wie die Gleichung aussieht.
- Die rechte Seite hat dieselbe Gestalt wie die Oberfläche einer Kugel mit dem Radius c (Aufsatz 12). Gleiche Gestalt heißt nicht, dass Energie zu einer Fläche geworden ist.
- Diese 4π ist kein Raumwinkel, sondern eine Masse: eine Zahl, die durch die Wahl der Masseneinheit gesetzt wird (eine Konvention) (Aufsätze 60 und 116).
- Trotzdem gibt es eine Kugel mit dem Radius c wirklich. Die Menge aller möglichen Geschwindigkeiten ist eine Kugel mit dem Radius c und der Krümmung −1/c², und diese Krümmung wird im Experiment gemessen (Aufsatz 60).
- Von meinen 1.097 Aufsätzen schreiben 22 die Formel E=4πc² im Haupttext. Sie benutzen sie auf sieben Arten.
Woher sie kommt
In der Rechnung von Aufsatz 02 ergibt die Masse innerhalb des Radius 1 einer Kugel mit der Dichte 1/r² genau 4π. Setzt man das in E=mc² für m ein, erhält man E=4πc². Das ist die Formel für die Kugeloberfläche 4πr², in der c an der Stelle von r steht.
Prüfen wir die Einheiten. E wird in Joule gemessen (kg·m²/s²), c² in m²/s². Damit beide Seiten zusammenpassen, muss die Zahl vor c² die Einheit kg tragen. Ein Raumwinkel hat keine Einheit und kann das kg nicht liefern. Deshalb ist die 4π in E=4πc² kein Raumwinkel, sondern eine Masse (Aufsatz 60).
In Formeln gibt es drei Arten von 4π
Aufsatz 60 hat die 4π, die in physikalischen Formeln vorkommt, in drei Arten eingeteilt.
| 4π | Woher | Einheit | Status |
|---|---|---|---|
| Raumwinkel (alle Richtungen) | die Form der Kugel (Aufsatz 01) | keine | Tatsache |
| 2π × |Euler-Charakteristik| (Fläche mit zwei Löchern) | der Zusammenhang der Fläche (Aufsatz 67) | keine | Tatsache |
| Masse m=4π | die Wahl der Masseneinheit (Aufsätze 56 und 116) | Masse | Konvention |
Auch bei gleicher Zahl wird, was aus verschiedenen Wurzeln stammt, als Verschiedenes behandelt; das ist eine Regel in meinen Aufsätzen (Aufsätze 35 und 300). Bei E=4πc² zeigt sich diese Unterscheidung am deutlichsten.
Eine Kugel mit dem Radius c gibt es wirklich (1): die Kugel der Geschwindigkeiten
Jede Geschwindigkeit hat die obere Grenze c. Stellt man jede Geschwindigkeit mit Richtung und Betrag als Punkt dar und sammelt die Punkte aller möglichen Geschwindigkeiten, füllen sie genau das Innere einer Kugel mit dem Radius c. Die Aufsätze 59 und 60 halten fest, dass für diese Kugel „c als Radius lesen“ nicht bildlich, sondern wörtlich gilt.
In der Relativitätstheorie lassen sich Geschwindigkeiten nicht einfach addieren; deshalb misst man auch den Unterschied zweier Geschwindigkeiten mit der relativistischen Additionsregel. So gemessen wird die Kugel zu einem gleichmäßig negativ gekrümmten Raum (einem hyperbolischen Raum) mit der Krümmung K=−1/c². Das hat Varičak 1910 gezeigt. Der Punkt der Geschwindigkeit 0,9c liegt im Abstand 1,47c vom Mittelpunkt, 0,99c bei 2,65c und 0,999c bei 3,80c; wie weit man auch geht, den Rand c erreicht man nie.
Diese Krümmung ist kein Bild, sondern eine gemessene Größe. Führt man einen sich drehenden Körper durch eine Runde aus Beschleunigen, Richtungswechsel und Abbremsen, kehrt seine Ausrichtung nicht zurück: Sie ist am Ende ein wenig gedreht. Diese Drehung heißt Thomas-Präzession (1926), und der Faktor 1/2 in der Spin-Bahn-Wechselwirkung im Atom ist ihr Zeichen (Aufsatz 60).
Da der Betrag der Krümmung |K| gleich 1/c² ist, kann man c² durch 1/|K| ersetzen. Dann wird E=mc² zu E=m/|K|, gelesen: „Die Ruheenergie ist umgekehrt proportional dazu, wie stark der Geschwindigkeitsraum gekrümmt ist.“ Für diese Ersetzung braucht man keine 4π, und sie gilt für jedes m. Deshalb fasst Aufsatz 60 sein eigenes Ergebnis als „ein Ergebnis über c, nicht über 4π“ zusammen.
Im Geschwindigkeitsraum ist die Oberfläche einer Kugel im Abstand r vom Mittelpunkt 4πc² sinh²(r/c) (Aufsatz 60). Solange der Radius klein ist, ist sie fast gleich der flachen 4πr²; ab 0,537c ist sie mehr als 10 % größer als im flachen Raum. 4πc² ist der Flächenmaßstab, ab dem die Krümmung dieses Raums spürbar wird. Die 4π in dieser Flächenformel ist übrigens die erste Art, der Raumwinkel, und etwas anderes als die 4π (Masse) von E=4πc².
Eine Kugel mit dem Radius c gibt es wirklich (2): die Kugel des Lichts
Licht, das von einem Punkt ausgeht, breitet sich als Oberfläche einer Kugel mit dem Radius ct aus. Aufsatz 61 nennt diese Kugel die Lichtkugel. Wählt man eine Zeiteinheit und setzt t=1, hat die Lichtkugel den Radius c und die Fläche 4πc². Dann ist 4πc² eine echte Fläche mit der Einheit einer Länge zum Quadrat.
Wie lang t=1 ist, entscheiden aber wir. Nach Aufsatz 21 sind in meinen Aufsätzen schon drei Wahlen von Einheiten vergeben: für die Masse (m=4π), für die Gravitationskonstante (G=4π) und für die Quantenkonstante (ħ=1/(4π)). c als Länge zu lesen wäre eine vierte Wahl; die Regel lautet daher, das jedes Mal ausdrücklich zu sagen. Und die 4π in der Fläche der Lichtkugel ist die erste Art, der Raumwinkel, etwas anderes als die 4π (Masse) von E=4πc². Dieselbe Zeichenfolge ist auf der Seite der Lichtkugel eine Fläche und auf der Seite von E=4πc² eine Energie: zwei verschiedene Arten von Größen.
Die Lichtkugel lässt sich auch als Ursprung des Abstandsquadratgesetzes lesen. Dasselbe Licht verteilt sich über die Oberfläche mit dem Radius ct, also nimmt seine Helligkeit wie 1/(ct)² ab (Aufsatz 61). Und die Lichtkugel entspricht dem Rand v=c der Geschwindigkeitskugel. Die Oberfläche von der Seite des Lichts und das Innere von der Seite der Geschwindigkeiten sind zwei Gesichter desselben c (Aufsatz 61). Wo das Abstandsquadratgesetz sonst noch auftritt, habe ich im Artikel „Eine Karte der Abstandsquadratgesetze“ zusammengestellt.
E=4πc² in meinen Aufsätzen: 22 Aufsätze, sieben Arten der Verwendung
Ich habe die Aufsätze gezählt, die die Formel E=4πc² im Haupttext (vor den Literaturangaben) schreiben. Neben 4πc² habe ich auch die Schreibweise im Geschwindigkeitsraum 4π/|K| und die Fläche der Lichtkugel 4π(ct)² mitgezählt. Es sind 22 von meinen 1.097 Aufsätzen; liest man, wie jeder sie benutzt, ergeben sich sieben Arten.
| Art der Verwendung | Aufsätze | Was sie tun |
|---|---|---|
| Ursprung | 12 | Setzt m=4π in E=mc² ein und liest die Gleichung als gleich gebaut wie die Oberfläche einer Kugel mit dem Radius c. Schichtet man die Fläche über den Radius auf, ergibt sich die Volumengestalt (4/3)πc³ (die Volumen-Wiederherstellungsgleichung) |
| Tabellen und Schemata | 13 · 38 · 526 | Führt die Formel von Aufsatz 12 in Tabellen und Schemata des Gesamtwerks auf |
| Status von 4π, gleich gebaute Formeln | 18 · 913 · 1082 · 1083 | Prüft mit derselben Rechnung, dass die für m eingesetzte 4π eine Wahl der Masseneinheit ist: kinetische Energie (18), Formel der Streulänge (1082), h/m (1083). Untersucht auch, warum die kinetische Energie eines rollenden Rings dieselbe Gestalt 4πv² hat (913) |
| Geschwindigkeitsraum (E=4π/|K|) | 60 · 63 · 66 · 76 · 77 | Schreibt sie in der Sprache der Menge aller möglichen Geschwindigkeiten um (Kugel mit Radius c, Krümmung −1/c²) und verbindet sie mit der Krümmung der Raumzeit (63), der gravitativen Rotverschiebung (66) und dem Raum aus Orten und Impulsen (76, 77) |
| Lichtkugel (Radius ct) | 61 · 65 · 75 | Liest sie aus der Fläche 4π(ct)² der Kugel, über die sich Licht ausbreitet: das Abnehmen mit dem Abstandsquadrat (61), die Entropie der Lichtkugel (65), der Zeitpfeil (75) |
| Dreieck aus Energie und Impuls | 21 · 34 · 56 | Benutzt sie in der Form E²=(pc)²+(4πc²)² |
| Haut und Inhalt, anderswo | 59 · 908 · 1007 | Von der Flächengestalt zur Volumengestalt (59); die 4/3 der elektromagnetischen Masse stammt nicht aus den 4/3 des Kugelvolumens, sondern aus einem Mittel über die Feldrichtungen (908); die kritische Masse als Gleichgewicht von Haut und Inhalt (1007) |
Die in Aufsatz 12 entstandene Lesart wird bis Aufsatz 1083 benutzt. Die größte Gruppe ist der Geschwindigkeitsraum mit 5 Aufsätzen.
Was E=4πc² nicht behauptet
- Kein neues physikalisches Gesetz und keine neue Naturkonstante.
- Nicht, dass Energie eine Fläche sei. E wird in Joule gemessen, nicht in einer Flächeneinheit.
- Nicht, dass diese 4π ein Raumwinkel sei. Sie ist eine Zahl, die durch die Wahl der Masseneinheit gesetzt wird.
- Eine Wahl der Einheiten ändert keine Zahlen ohne Einheit. Zum Beispiel bewegt sich die Zahl für die Schwäche der Gravitation zwischen zwei Protonen, Gm²/(ħc) (etwa 5,9×10⁻³⁹), nicht, wie man die Einheiten auch setzt (Aufsatz 35).
- Die Schreibweise E=4π/|K| im Geschwindigkeitsraum erklärt die gravitative Rotverschiebung nicht, denn das c des Geschwindigkeitsraums und das c, das man in der gekrümmten Raumzeit aus Koordinaten abliest, sind verschiedene Dinge (Aufsatz 66).
Wozu ist das gut?
Erstens ist es ein Übungsfeld, um verschiedene 4π auseinanderzuhalten. Dieselbe 4π steht in einer Formel als Raumwinkel, in einer anderen als Masse. Ich habe diese Unterscheidung benutzt, um die Herkunft des π in physikalischen Formeln zu prüfen, und für die Formel der Streulänge (Aufsatz 1082) und für die Plancksche Konstante geteilt durch eine Masse (Aufsatz 1083) Formel für Formel geklärt, welches π verschwindet.
Zweitens ist es ein Eingang, um c als „Radius der Geschwindigkeitskugel“ zu lesen. E=m/|K| gilt für jedes m, und die Krümmung dahinter wird als Thomas-Präzession gemessen (Aufsatz 60).
Und schichtet man die Flächengestalt über den Radius von 0 bis c auf, erhält man die Volumengestalt (4/3)πc³. Aufsatz 12 nennt das die Volumen-Wiederherstellungsgleichung. Die Seite des Volumens behandelt der Artikel „Was ist E(3D)=(4/3)πc³?“.
Häufige Fragen
Ist E=4πc² eine Standardgleichung der Physik?
Nein. Die Standardgleichung ist E=mc². E=4πc² ist ihre Schreibweise, wenn man die Masseneinheit so wählt, dass m=4π ist; das Ergebnis ist dasselbe wie mit E=mc².
Ist Energie also eine Fläche?
Nein. Die Gestalt ist gleich, die Einheiten sind verschieden. Wählt man eine Zeiteinheit, wird 4πc² zur Fläche der Lichtkugel; dann ist ihre 4π aber ein Raumwinkel, etwas anderes als die 4π (Masse) von E=4πc².
c ist eine Geschwindigkeit. Warum kann man es einen Radius nennen?
Weil die Menge aller möglichen Geschwindigkeiten wirklich eine Kugel mit dem Radius c ist (Aufsätze 59 und 60). Die Lichtkugel hat den Radius c, sobald eine Zeiteinheit gewählt ist (Aufsatz 61).
Was ist E=4π/|K|?
E=4πc², umgeschrieben mit der Krümmung K=−1/c² des Geschwindigkeitsraums. Ohne die 4π gilt E=m/|K| für jedes m (Aufsatz 60).
Worin unterscheidet sich das vom Artikel über m=4π?
Der Artikel „Was ist m = 4π?“ (auf Japanisch) erklärt, woher die Massenzahl 4π kommt. Dieser Artikel erklärt, wie die Gleichung, die entsteht, wenn man diese Zahl in E=mc² einsetzt, in meinen Aufsätzen gelesen und benutzt wird.
Die Originalaufsätze
- Paper 02: The 4π Mass Cancellation Theorem
- Paper 12: From Boundary Energy to Volume Energy
- Paper 21: Zero-Tension Does Not Act on an Identity
- Paper 59: The Volume of the Unit Ball Is Greatest in Five Dimensions
- Paper 60: c as the Ball of Velocity Space
- Paper 61: c as the Light Sphere
- Paper 66: Velocity-Space Curvature and Gravitational Redshift
- Paper 116: What Does the Exponent of c Count?
Alle Aufsätze sind unter CC BY 4.0 veröffentlicht (die Seiten sind auf Japanisch, die PDFs der Aufsätze auf Japanisch und Englisch).
Die ganze Geschichte in einem Buch
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