Radar, Sonar, der Ultraschall im Krankenhaus und Fledermäuse senden Schall oder Funkwellen aus und horchen auf das, was zurückkommt. In „Eine Karte der Abstandsquadratgesetze“ habe ich geschrieben: Liegen der sendende und der empfangende Punkt am selben Ort, nimmt die empfangene Stärke mit der vierten Potenz des Abstands ab, weil die Welle hin und zurück zweimal durch Häute läuft, die sie mit dem Quadrat des Abstands verdünnen.
Diesmal trennen wir den sendenden Punkt vom empfangenden. Das ist die Anordnung, mit der Kenjiro Kimura und Kollegen an der Universität Kobe das Innere mit Wellen abbilden (der vorige Artikel „Eine unsichtbare Umordnung wird sichtbar, wenn sich die Frequenz ändert“). Was ändert sich dann am Echo, und was nicht? Und warum kommt ein Echo in der Form zurück, in der es ausgesandt wurde? Die Antwort lag in der Zahl drei.
Die Rechnungen hier sind für diese Seite neu gemacht oder stammen aus den eigenen Arbeiten des Autors, veröffentlicht als Vorabdrucke, die nicht begutachtet wurden.
Das Wichtigste
- Trennt man den sendenden und den empfangenden Punkt, durchläuft ein Echo zwei Häute, eine hin und eine zurück, und seine Stärke wird durch das Quadrat von 4π und das Produkt der beiden Abstände geteilt. Die Ankunftszeit legt die Summe der Wege fest, und die Punkte, deren Echo zur selben Zeit ankommt, liegen auf einem Rotationsellipsoid (im Schnitt eine Ellipse).
- Auch auf einer Ellipse gleicher Ankunftszeit unterscheidet sich die Stärke. Auf der Ellipse mit der Wegsumme 4 unterscheiden sich Hauptscheitel und Nebenscheitel in der Stärke um das 1,333333-Fache und im Quadrat der Stärke um das 1,777778-Fache.
- In drei Dimensionen kommt ein Echo schwächer werdend in der Form an, in der es ausgesandt wurde. In fünf Dimensionen nähert sich die Form ihrer Ableitung, und in zwei Dimensionen zieht es nach der Ankunft einen Schweif nach.
- Nur in drei Dimensionen wird eine Welle schwächer und kommt trotzdem mit unveränderter Form an: Dort trifft der Exponent, der den Fluss erhält, (d−1)/2, den Exponenten der Lösung der Laplace-Gleichung, d−2 (in einer Dimension behält eine ebene Welle ihre Form, ohne schwächer zu werden).
Zwei Häute, hin und zurück
Eine Welle, die von einem Mittelpunkt ausgeht, breitet sich über Kugeln mit dem Radius r aus. Ihre Fläche ist 4πr², damit also der Fluss durch jede Kugel gleich ist, verdünnt sich die Stärke der Welle mit dem Quadrat des Abstands, und die Amplitude ist umgekehrt proportional zum Abstand. Das ist der Exponent 2 meines Eindeutigkeitssatzes (Arbeit 01), und dass die Erhaltung des Flusses einer Welle den Exponenten eindeutig festlegt, habe ich in Arbeit 41 und Arbeit 53 geschrieben.
Wird eine Welle vom sendenden Punkt einmal an einem Streupunkt zurückgeworfen und erreicht den empfangenden Punkt, durchläuft sie zwei Häute. Mit dem Hinweg ρ1 und dem Rückweg ρ2 wird die Stärke des Echos durch (4π)²ρ1ρ2 geteilt, und die Ankunftszeit legt die Wegsumme ρ1 + ρ2 fest. Die Punkte, deren Echo zur selben Zeit ankommt, liegen auf einem Rotationsellipsoid mit dem sendenden und dem empfangenden Punkt als Brennpunkten. Im Schnitt ist es eine Ellipse.
Die Regler bewegen den Streupunkt nach links und rechts, nach oben und unten. Die goldene gestrichelte Linie ist die Ellipse, auf der Echos zur selben Zeit ankommen.
- Wegsumme (Ankunftszeit)
- Produkt der Abstände ρ1ρ2
- Stärke im Verhältnis zum Nebenscheitel derselben Ellipse
Vergleichen wir auf der Ellipse mit der Wegsumme 4. Am Hauptscheitel (2; 0; 0) ist ρ1ρ2 = 3, am Nebenscheitel (0; √3; 0) ist ρ1ρ2 = 4. Die beiden Echos kommen zur selben Zeit an, unterscheiden sich aber in der Stärke um das 1,333333-Fache und im Quadrat der Stärke um das 1,777778-Fache. Die Zeit legt nur die Wegsumme fest. Um die Stärke durch (4π)²ρ1ρ2 zurückzuteilen und die Stärke der Rückstreuung herauszuholen, muss man auch wissen, wo auf der Ellipse der Streupunkt liegt.
Liegen der sendende und der empfangende Punkt am selben Ort, ist ρ1 = ρ2, und verdoppelt man den Abstand, wird das Quadrat der Stärke mit 0,062500 multipliziert (ein Sechzehntel). Das ist die Potenz des Hin- und Rückwegs aus Arbeit 335, die getrennte Sende- und Empfangspunkte nicht behandelte. Die jetzige Rechnung (Arbeit 1111) zählt diese getrennte Anordnung.
In drei Dimensionen kommt ein Echo mit unveränderter Form an
Eine Lösung der Wellengleichung in drei Dimensionen ist die gesendete Form, um den Abstand verzögert und mit 1/(4πr) multipliziert. Auch in Arbeit 1111 stimmten die Echos eines nahen Streupunkts (0; 0; 2) und eines fernen (0; 0; 4), auf ihre Ankunftszeiten ausgerichtet und mit zurückgerechneten Stärken übereinandergelegt, bis auf die Stellen der Rechnung überein; das prüft in Zahlen, was die Formel sagt. In drei Dimensionen kommt ein Echo unabhängig vom Abstand in der Form an, in der es ausgesandt wurde. Das gilt nicht in jeder Dimension. Ändern Sie in der Abbildung unten die Dimension des Raumes.
Die Knöpfe wählen die Dimension des Raumes, der Regler den Abstand. Grau ist die gesendete Form (ein Puls der Breite 1).
- Übereinstimmung der Form (Korrelation in drei und fünf Dimensionen; was in zwei bei τ = 5 bleibt)
In fünf Dimensionen mischt die nach außen laufende Welle die Ableitung der gesendeten Form hinein. Beim Abstand 10 ist die Korrelation bei bester Überlagerung 0,688416, und weit weg nähert sie sich 0,606531 (e^(−1/2)), weil die Form in die Ableitung der gesendeten Form übergeht. In zwei Dimensionen zieht die Welle nach der Ankunft einen Schweif nach: Beim Abstand 10 blieben bei τ = 5 nach der Ankunft 0,406428 der Spitze und bei τ = 20 noch 0,157827. Dass in drei Dimensionen kein Signal zurückbleibt, ist als huygenssches Prinzip bekannt (Arbeit 247) und gilt in ungeraden Dimensionen ab drei. Wie in fünf Dimensionen kann sich die Form aber auch ohne Schweif ändern. Nur drei Dimensionen erhalten auch die Form.
Warum drei Dimensionen: Zwei Exponenten treffen sich
Fragen wir in d Dimensionen, mit welcher Potenz des Abstands die Amplitude einer Welle abnehmen soll, die von einem Mittelpunkt ausgeht. Es gibt zwei Bedingungen. Die eine ist, dass der Fluss durch jede Kugel gleich ist. Die Ausdehnung einer Kugel wächst mit der (d−1)-ten Potenz des Abstands, also verdünnt sich die Stärke mit der (d−1)-ten Potenz, und die Amplitude nimmt mit der (d−1)/2-ten Potenz ab. Das ist das Zählen der Häute aus dem Eindeutigkeitssatz, angewandt auf die Stärke einer Welle.
Die andere ist, dass die Wellengleichung selbst eine Lösung zulässt, ohne die Form zu zerstören. Dafür muss die Abnahme der Amplitude eine kugelsymmetrische Lösung der Laplace-Gleichung sein (eine Konstante oder umgekehrt proportional zur (d−2)-ten Potenz des Abstands). Sind nicht beide erfüllt, bleibt ein Rest, wenn man die Welle in die Wellengleichung einsetzt. Der Koeffizient des Rests ist (d−1)(3−d)/4 und verschwindet nur für d = 1 und d = 3.
Der Regler bewegt die Dimension des Raumes d. Die eingekreiste Stelle ist die dritte Dimension, in der sich die zwei Exponenten treffen.
- flusserhaltender Exponent
- Laplace-Exponent
- Rest für eine unverzerrte Ankunft
Der flusserhaltende Exponent (d−1)/2 und der Laplace-Exponent d−2 sind in drei Dimensionen beide 1 und treffen sich dort. Eine Dimension ist eine ebene Welle, deren Amplitude nicht abnimmt, mit dem Rest 0; eine Kugelwelle aber, die mit dem Abstand schwächer wird und dabei ihre Form behält, gibt es nur in drei Dimensionen. Das ist eine klassische Rechnung, die man auch unter den Übungen in Lehrbüchern über partielle Differentialgleichungen findet.
In meinen Arbeiten gibt es mehrere Geschichten von zwei Zahlen, die sich nur in drei Dimensionen treffen. Auch im Artikel über den Eindeutigkeitssatz habe ich geschrieben, dass sich die „2“ beim Bewegen der Dimension in zwei aufteilt, die sich nur in drei Dimensionen treffen. Das formtreue Echo ist ein weiteres Mitglied dieser Familie.
Zwei Rollen von 1/r²
Das 1/r² von Schwerkraft und Elektrizität ist ein Feld ohne Quelle außerhalb des Inneren, und der Fluss durch eine geschlossene Fläche ist das 4π-Fache der Menge im Inneren, wo auch immer das Innere liegt. Dass sich von außerhalb einer geschlossenen Haut nur eine Zahl pro Winkelmuster lesen lässt, kommt nicht von diesem 4π, sondern davon, dass die Feldgleichung zweiter Ordnung und lokal ist (Arbeit 1107). In diesem Sinne verbirgt das 1/r²-Feld das Innere vor dem Außen.
Bei Wellen legt dieselbe Erhaltung des Flusses die Amplitude auf 1/r fest, und in drei Dimensionen trifft diese Amplitude die Laplace-Lösung, sodass das Echo mit unveränderter Form ankommt. Die Zeit legt die Wegsumme fest, und kennt man die Lage des Streupunkts, lässt sich die Stärke durch das 4π zweier Häute zurückrechnen. Bewegt man die Dimension, bewegen sich das 1/r² des ruhenden Feldes und das 1/r² der Stärke einer Welle gemeinsam; sie haben also eine Wurzel. Die Form zu erhalten ist ein eigenes Zusammentreffen und eine Sache allein der drei Dimensionen. Dass Professor Kimura und Kollegen das Innere mit getrennten Sende- und Empfangspunkten abbilden können, liegt aber weniger daran, dass das Echo seine Form behält, als daran, dass das, was zwei Punkte messen, nicht in eine Funktion auf der Haut passt.
Fragen
Lassen sich Echos in einer zweidimensionalen Welt nicht nutzen?
Doch, aber weil das Signal nach der Ankunft einen Schweif nachzieht, lässt sich der Weg nicht direkt aus der Ankunftszeit lesen. Man braucht eine Rechnung, die den Schweif abzieht.
Gilt das huygenssche Prinzip nicht auch in fünf Dimensionen?
Doch. Auch in fünf Dimensionen zieht die Welle nach der Ankunft keinen Schweif nach. Trotzdem hat die ankommende Form die Ableitung der gesendeten Form beigemischt. Keinen Schweif nachzuziehen und die Form zu erhalten sind zwei verschiedene Dinge.
Sind alle Echos, die zur selben Zeit ankommen, gleich stark?
Nein. Auch auf derselben Ellipse wird die Stärke vom Produkt der Abstände ρ1ρ2 bestimmt, und der Scheitel nahe dem sendenden oder empfangenden Punkt ist stärker. Auf der Ellipse mit der Wegsumme 4 ist der Hauptscheitel 1,333333-mal so stark wie der Nebenscheitel.
Arbeiten und Literatur
Alle Arbeiten sind unter CC BY 4.0 veröffentlicht.
- Arbeit 1111 „The Inverse Square Hides the Interior from a Static Field and Carries the Echo of a Wave Undistorted“: die Quelle der Rechnungen auf dieser Seite.
- Arbeit 1107 „When the Field Equation Is of Second Order, the Interior Can Be Read from Outside a Closed Skin Only as One Number per Angular Pattern“: dass nach außen eine Zahl pro Muster geht.
- Arbeit 335 „The Round Trip Changes the Exponent“: die Potenz des Hin- und Rückwegs, wenn Sende- und Empfangspunkt am selben Ort liegen.
- Arbeit 247 „Splitting by Parity Is Not One Phenomenon“: das huygenssche Prinzip und die Parität der Dimension.
- Arbeit 01 „The Uniqueness Theorem of n = 2 for Spherically Symmetric Density Distributions“: das Zählen der Häute.
- Arbeit 41 „The Fringes Do Not Remember the Exponent“: Erhaltung des Flusses einer Kugelwelle.
- Arbeit 53 „The Yamagishi Born-Rule Geometric Structure Theory“: der Fluss einer auslaufenden Kugelwelle.
- Arbeit 1092 „The “2” of the Inverse-Square Density Is Two 2s, and the 2 of the Shell Mass Meets the 2 of the Horizon Balance Only in Three Dimensions“: zwei Zahlen, die sich in drei Dimensionen treffen.