Il radar, il sonar, l’ecografia in ospedale e i pipistrelli emettono un suono o un’onda radio e ascoltano ciò che torna. In «Una mappa delle leggi dell’inverso del quadrato» ho scritto che, quando il punto che invia e quello che riceve stanno nello stesso luogo, l’intensità ricevuta si indebolisce come la quarta potenza della distanza, perché l’onda attraversa due volte, all’andata e al ritorno, pelli che la diradano come il quadrato della distanza.
Questa volta separiamo il punto che invia da quello che riceve. È la disposizione che Kenjiro Kimura e i suoi colleghi dell’Università di Kobe usano per formare immagini dell’interno con le onde (l’articolo precedente, «Un riordino invisibile diventa visibile quando cambia la frequenza»). Che cosa cambia allora nell’eco, e che cosa no? E perché un’eco torna nella forma in cui è stata emessa? La risposta stava nel numero tre.
I calcoli qui presentati sono stati fatti per questa pagina, oppure provengono dagli articoli dell’autore, pubblicati come preprint che non sono stati sottoposti a revisione paritaria.
Punti chiave
- Separando il punto che invia e quello che riceve, un’eco attraversa due pelli, una all’andata e una al ritorno, e la sua intensità è divisa per il quadrato di 4π e per il prodotto delle due distanze. L’istante d’arrivo fissa la somma dei percorsi, e i punti la cui eco arriva nello stesso istante stanno su un ellissoide di rotazione (un’ellisse in sezione).
- Anche su un’ellisse di uguale istante d’arrivo l’intensità cambia. Sull’ellisse con somma dei percorsi 4, il vertice principale e il vertice secondario differiscono di 1,333333 volte nell’intensità e di 1,777778 volte nel quadrato dell’intensità.
- In tre dimensioni un’eco arriva indebolendosi, nella forma in cui è stata emessa. In cinque dimensioni la forma si avvicina alla sua derivata, e in due dimensioni l’onda lascia una coda dopo l’arrivo.
- Solo in tre dimensioni un’onda si indebolisce e arriva comunque con la forma invariata: lì l’esponente che conserva il flusso, (d−1)/2, incontra l’esponente della soluzione dell’equazione di Laplace, d−2 (in una dimensione un’onda piana conserva la forma senza indebolirsi).
Due pelli, all’andata e al ritorno
Un’onda che parte da un centro si allarga su sfere di raggio r. La loro area è 4πr², quindi, perché il flusso attraverso ogni sfera sia lo stesso, l’intensità dell’onda si dirada come il quadrato della distanza e l’ampiezza è inversamente proporzionale alla distanza. È l’esponente 2 del mio teorema di unicità (articolo 01), e che la conservazione del flusso di un’onda fissi l’esponente in modo unico l’ho scritto nell’articolo 41 e nell’articolo 53.
Quando un’onda partita dal punto che invia rimbalza una volta su un diffusore e raggiunge il punto che riceve, attraversa due pelli. Con la distanza d’andata ρ1 e quella di ritorno ρ2, l’intensità dell’eco è divisa per (4π)²ρ1ρ2, e l’istante d’arrivo fissa la somma dei percorsi ρ1 + ρ2. I punti la cui eco arriva nello stesso istante stanno su un ellissoide di rotazione con i punti che inviano e ricevono come fuochi. In sezione è un’ellisse.
I cursori muovono il diffusore a sinistra e a destra, in alto e in basso. La linea tratteggiata dorata è l’ellisse su cui le eco arrivano nello stesso istante.
- somma dei percorsi (istante d’arrivo)
- prodotto delle distanze ρ1ρ2
- intensità rispetto al vertice secondario della stessa ellisse
Confrontiamo sull’ellisse con somma dei percorsi 4. Al vertice principale (2; 0; 0) si ha ρ1ρ2 = 3, al vertice secondario (0; √3; 0) ρ1ρ2 = 4. Le due eco arrivano nello stesso istante, ma le intensità differiscono di 1,333333 volte e i quadrati delle intensità di 1,777778 volte. L’istante fissa solo la somma dei percorsi. Per dividere l’intensità per (4π)²ρ1ρ2 e ricavarne l’intensità del rimbalzo, bisogna sapere anche dove si trova il diffusore sull’ellisse.
Quando i punti che inviano e ricevono stanno nello stesso luogo, ρ1 = ρ2, e raddoppiare la distanza moltiplica il quadrato dell’intensità per 0,062500 (un sedicesimo). È la potenza dell’andata e ritorno scritta nell’articolo 335, che non trattava punti d’invio e di ricezione separati. Il calcolo presente (articolo 1111) conta questa disposizione separata.
In tre dimensioni un’eco arriva con la forma invariata
In tre dimensioni una soluzione dell’equazione delle onde è la forma emessa, ritardata della distanza e moltiplicata per 1/(4πr). Anche nell’articolo 1111, le eco di un diffusore vicino (0; 0; 2) e di uno lontano (0; 0; 4), allineate ai loro istanti d’arrivo, con le intensità riportate e poi sovrapposte, coincidevano fino alle cifre del calcolo; questo verifica con i numeri ciò che dice la formula. In tre dimensioni un’eco arriva nella forma in cui è stata emessa, qualunque sia la distanza. Non vale in ogni dimensione. Cambiate la dimensione dello spazio nella figura qui sotto.
I pulsanti scelgono la dimensione dello spazio, il cursore la distanza. In grigio la forma emessa (un impulso di larghezza 1).
- accordo della forma (correlazione in tre e cinque dimensioni; ciò che resta a τ = 5 in due)
In cinque dimensioni l’onda uscente mescola la derivata della forma emessa. Alla distanza 10 la correlazione con la migliore sovrapposizione è 0,688416, e lontano tende a 0,606531 (e^(−1/2)), perché la forma diventa la derivata della forma emessa. In due dimensioni l’onda lascia una coda dopo l’arrivo: alla distanza 10 restavano 0,406428 del picco a τ = 5 dopo l’arrivo e 0,157827 a τ = 20. Che in tre dimensioni nessun segnale resti indietro è noto come principio di Huygens (articolo 247), valido nelle dimensioni dispari da tre in su. Ma, come in cinque dimensioni, la forma può cambiare anche senza coda. Solo le tre dimensioni conservano anche la forma.
Perché tre dimensioni: due esponenti si incontrano
In d dimensioni chiediamoci secondo quale potenza della distanza debba indebolirsi l’ampiezza di un’onda che parte da un centro. Le condizioni sono due. Una è che il flusso attraverso ogni sfera sia lo stesso. L’estensione di una sfera cresce come la potenza d−1 della distanza, quindi l’intensità si dirada come la potenza d−1 e l’ampiezza si indebolisce come la potenza (d−1)/2. È il conteggio delle pelli del teorema di unicità applicato all’intensità di un’onda.
L’altra è che l’equazione delle onde stessa ammetta una soluzione senza rompere la forma. Per questo l’indebolimento dell’ampiezza deve essere una soluzione a simmetria sferica dell’equazione di Laplace (una costante, oppure inversamente proporzionale alla potenza d−2 della distanza). Se non sono soddisfatte entrambe, resta un resto quando si inserisce l’onda nell’equazione delle onde. Il coefficiente del resto è (d−1)(3−d)/4 e si annulla solo per d = 1 e d = 3.
Il cursore muove la dimensione dello spazio d. Il punto cerchiato è la terza dimensione, dove i due esponenti si incontrano.
- esponente che conserva il flusso
- esponente di Laplace
- resto per arrivare senza distorsione
L’esponente che conserva il flusso (d−1)/2 e l’esponente di Laplace d−2 valgono entrambi 1 in tre dimensioni e lì si incontrano. La dimensione uno è un’onda piana la cui ampiezza non si indebolisce, con resto 0, ma un’onda sferica che si indebolisce con la distanza mantenendo la forma esiste solo in tre dimensioni. È un calcolo classico, che si trova anche tra gli esercizi dei manuali di equazioni alle derivate parziali.
Nei miei articoli ci sono diverse storie di due numeri che si incontrano solo in tre dimensioni. Anche nell’articolo sul teorema di unicità ho scritto che, muovendo la dimensione, il «2» si separa in due, che si incontrano solo in tre dimensioni. L’eco che conserva la forma è un membro in più di questa famiglia.
Due ruoli di 1/r²
L’1/r² della gravità e dell’elettricità è un campo senza sorgenti fuori dall’interno, e il flusso attraverso una superficie chiusa vale 4π volte la quantità interna, ovunque si trovi l’interno. Che dall’esterno di una pelle chiusa si possa leggere solo un numero per motivo angolare non viene da questo 4π, ma dal fatto che l’equazione del campo è del secondo ordine e locale (articolo 1107). In questo senso il campo 1/r² nasconde l’interno all’esterno.
Per le onde, la stessa conservazione del flusso fissa l’ampiezza a 1/r, e in tre dimensioni quell’ampiezza incontra la soluzione di Laplace, così che l’eco arriva con la forma invariata. L’istante fissa la somma dei percorsi, e una volta nota la posizione del diffusore, l’intensità si può riportare dividendo per il 4π di due pelli. Muovendo la dimensione, l’1/r² del campo statico e l’1/r² dell’intensità di un’onda si muovono insieme; hanno quindi la stessa radice. Conservare la forma è un incontro distinto, e una faccenda delle sole tre dimensioni. Ciò che permette al professor Kimura e ai suoi colleghi di formare immagini dell’interno con punti d’invio e di ricezione separati, però, non è tanto che l’eco conservi la forma, quanto che ciò che misurano due punti non sta in una sola funzione sulla pelle.
Domande
In un mondo a due dimensioni non si possono usare le eco?
Si possono usare, ma poiché il segnale lascia una coda dopo l’arrivo, non si può leggere il percorso direttamente dall’istante d’arrivo. Serve un calcolo che sottragga la coda.
Il principio di Huygens non vale anche in cinque dimensioni?
Sì. Anche in cinque dimensioni l’onda non lascia una coda dopo l’arrivo. Eppure la forma che arriva contiene la derivata della forma emessa. Non lasciare una coda e conservare la forma sono cose diverse.
Tutte le eco che arrivano nello stesso istante hanno la stessa intensità?
No. Anche sulla stessa ellisse l’intensità dipende dal prodotto delle distanze ρ1ρ2, e il vertice vicino al punto che invia o che riceve è più forte. Sull’ellisse con somma dei percorsi 4, il vertice principale è 1,333333 volte più forte del vertice secondario.
Articoli e riferimenti
Tutti gli articoli sono pubblicati con licenza CC BY 4.0.
- Articolo 1111 «The Inverse Square Hides the Interior from a Static Field and Carries the Echo of a Wave Undistorted»: la fonte dei calcoli di questa pagina.
- Articolo 1107 «When the Field Equation Is of Second Order, the Interior Can Be Read from Outside a Closed Skin Only as One Number per Angular Pattern»: che esca un solo numero per motivo.
- Articolo 335 «The Round Trip Changes the Exponent»: la potenza dell’andata e ritorno quando i punti d’invio e di ricezione stanno nello stesso luogo.
- Articolo 247 «Splitting by Parity Is Not One Phenomenon»: il principio di Huygens e la parità della dimensione.
- Articolo 01 «The Uniqueness Theorem of n = 2 for Spherically Symmetric Density Distributions»: il conteggio delle pelli.
- Articolo 41 «The Fringes Do Not Remember the Exponent»: conservazione del flusso di un’onda sferica.
- Articolo 53 «The Yamagishi Born-Rule Geometric Structure Theory»: il flusso di un’onda sferica uscente.
- Articolo 1092 «The “2” of the Inverse-Square Density Is Two 2s, and the 2 of the Shell Mass Meets the 2 of the Horizon Balance Only in Three Dimensions»: due numeri che si incontrano in tre dimensioni.