Le radar, le sonar, l’échographie à l’hôpital et les chauves-souris émettent un son ou une onde radio et écoutent ce qui revient. Dans « Une carte des lois en inverse du carré », j’ai écrit que lorsque le point qui émet et le point qui reçoit sont au même endroit, l’intensité reçue décroît comme la puissance quatre de la distance, parce que l’onde traverse deux fois, à l’aller et au retour, des peaux qui l’amincissent comme le carré de la distance.
Cette fois, nous séparons le point qui émet de celui qui reçoit. C’est la disposition qu’utilisent Kenjiro Kimura et ses collègues de l’université de Kobe pour imager l’intérieur avec des ondes (l’article précédent, « Un réarrangement invisible devient visible quand la fréquence change »). Qu’est-ce qui change alors dans l’écho, et qu’est-ce qui ne change pas ? Et pourquoi un écho revient-il sous la forme où il a été émis ? La réponse tenait au nombre trois.
Les calculs présentés ici ont été faits pour cette page, ou proviennent des articles de l’auteur, publiés en prépublication et non évalués par des pairs.
Points clés
- Quand on sépare le point qui émet et celui qui reçoit, un écho traverse deux peaux, l’une à l’aller et l’autre au retour, et son intensité est divisée par le carré de 4π et par le produit des deux distances. L’heure d’arrivée fixe la somme des chemins, et les points dont l’écho arrive à la même heure se rangent sur un ellipsoïde de révolution (une ellipse en coupe).
- Même sur une ellipse de même heure d’arrivée, l’intensité diffère. Sur l’ellipse de somme des chemins 4, le sommet principal et le sommet secondaire diffèrent d’un facteur 1,333333 en intensité et 1,777778 en carré de l’intensité.
- En trois dimensions, un écho arrive en s’affaiblissant, sous la forme où il a été émis. En cinq dimensions, la forme se rapproche de sa dérivée, et en deux dimensions l’onde laisse une traîne après son arrivée.
- Ce n’est qu’en trois dimensions qu’une onde s’affaiblit tout en arrivant avec sa forme inchangée : là, l’exposant qui conserve le flux, (d−1)/2, rejoint l’exposant de la solution de l’équation de Laplace, d−2 (en une dimension, une onde plane garde sa forme sans s’affaiblir).
Deux peaux, à l’aller et au retour
Une onde partant d’un centre s’étale sur des sphères de rayon r. Leur aire vaut 4πr², donc pour que le flux à travers chaque sphère soit le même, l’intensité de l’onde s’amincit comme le carré de la distance et l’amplitude est inversement proportionnelle à la distance. C’est l’exposant 2 de mon théorème d’unicité (article 01), et que la conservation du flux d’une onde fixe l’exposant de façon unique, je l’ai écrit dans l’article 41 et l’article 53.
Lorsqu’une onde partie du point qui émet rebondit une fois sur un diffuseur et atteint le point qui reçoit, elle traverse deux peaux. Avec la distance aller ρ1 et la distance retour ρ2, l’intensité de l’écho est divisée par (4π)²ρ1ρ2, et l’heure d’arrivée fixe la somme des chemins ρ1 + ρ2. Les points dont l’écho arrive à la même heure se rangent sur un ellipsoïde de révolution ayant pour foyers les points qui émettent et reçoivent. En coupe, c’est une ellipse.
Les curseurs déplacent le diffuseur à gauche et à droite, en haut et en bas. La ligne pointillée dorée est l’ellipse sur laquelle les échos arrivent à la même heure.
- somme des chemins (heure d’arrivée)
- produit des distances ρ1ρ2
- intensité rapportée au sommet secondaire de la même ellipse
Comparons sur l’ellipse de somme des chemins 4. Au sommet principal (2 ; 0 ; 0), ρ1ρ2 = 3 ; au sommet secondaire (0 ; √3 ; 0), ρ1ρ2 = 4. Les deux échos arrivent à la même heure, mais leurs intensités diffèrent d’un facteur 1,333333 et les carrés de leurs intensités d’un facteur 1,777778. L’heure ne fixe que la somme des chemins. Pour diviser l’intensité par (4π)²ρ1ρ2 et en tirer l’intensité du rebond, il faut aussi savoir où se trouve le diffuseur sur l’ellipse.
Quand les points qui émettent et reçoivent sont au même endroit, ρ1 = ρ2, et doubler la distance multiplie le carré de l’intensité par 0,062500 (un seizième). C’est la puissance de l’aller-retour écrite dans l’article 335, qui ne traitait pas les points d’émission et de réception séparés. Le présent calcul (article 1111) compte cette disposition séparée.
En trois dimensions, un écho arrive avec sa forme inchangée
En trois dimensions, une solution de l’équation des ondes est la forme émise, retardée de la distance et multipliée par 1/(4πr). Dans l’article 1111 aussi, les échos d’un diffuseur proche (0 ; 0 ; 2) et d’un diffuseur lointain (0 ; 0 ; 4), alignés sur leurs heures d’arrivée, leurs intensités rétablies, puis superposés, coïncidaient jusqu’aux chiffres du calcul ; cela vérifie en nombres ce que dit la formule. En trois dimensions, un écho arrive sous la forme où il a été émis, quelle que soit la distance. Ce n’est pas vrai dans toutes les dimensions. Changez la dimension de l’espace dans la figure ci-dessous.
Les boutons choisissent la dimension de l’espace, le curseur la distance. En gris, la forme émise (une impulsion de largeur 1).
- accord de forme (corrélation en trois et cinq dimensions ; ce qui reste à τ = 5 en deux)
En cinq dimensions, l’onde sortante mêle la dérivée de la forme émise. À la distance 10, la corrélation au meilleur recalage vaut 0,688416, et au loin elle tend vers 0,606531 (e^(−1/2)), car la forme devient la dérivée de la forme émise. En deux dimensions, l’onde laisse une traîne après son arrivée : à la distance 10, il restait 0,406428 du pic à τ = 5 après l’arrivée, et 0,157827 à τ = 20. Qu’aucun signal ne reste derrière en trois dimensions est connu sous le nom de principe de Huygens (article 247), valable dans les dimensions impaires à partir de trois. Mais, comme en cinq dimensions, la forme peut changer même sans traîne. Seules les trois dimensions conservent aussi la forme.
Pourquoi trois dimensions : deux exposants se rejoignent
En d dimensions, demandons-nous selon quelle puissance de la distance doit décroître l’amplitude d’une onde partant d’un centre. Il y a deux conditions. L’une est que le flux à travers chaque sphère soit le même. L’étendue d’une sphère croît comme la puissance d−1 de la distance, donc l’intensité s’amincit comme la puissance d−1 et l’amplitude décroît comme la puissance (d−1)/2. C’est le compte des peaux du théorème d’unicité appliqué à l’intensité d’une onde.
L’autre est que l’équation des ondes elle-même admette une solution sans briser la forme. Pour cela, la décroissance de l’amplitude doit être une solution à symétrie sphérique de l’équation de Laplace (une constante, ou inversement proportionnelle à la puissance d−2 de la distance). Si les deux ne sont pas remplies, il reste un reste quand on met l’onde dans l’équation des ondes. Le coefficient du reste vaut (d−1)(3−d)/4 et ne s’annule que pour d = 1 et d = 3.
Le curseur fait varier la dimension de l’espace d. L’endroit entouré est la troisième dimension, où les deux exposants se rejoignent.
- exposant qui conserve le flux
- exposant de Laplace
- reste pour arriver sans déformation
L’exposant qui conserve le flux (d−1)/2 et l’exposant de Laplace d−2 valent tous deux 1 en trois dimensions et s’y rejoignent. La dimension un est une onde plane dont l’amplitude ne décroît pas, avec un reste nul, mais une onde sphérique qui s’affaiblit avec la distance tout en gardant sa forme n’existe qu’en trois dimensions. C’est un calcul classique, que l’on trouve aussi parmi les exercices des manuels d’équations aux dérivées partielles.
Mes articles contiennent plusieurs histoires de deux nombres qui ne se rejoignent qu’en trois dimensions. Dans l’article sur le théorème d’unicité aussi, j’ai écrit que faire varier la dimension sépare le « 2 » en deux, qui ne se rejoignent qu’en trois dimensions. L’écho qui garde sa forme est un membre de plus de cette famille.
Deux rôles de 1/r²
Le 1/r² de la gravité et de l’électricité est un champ sans source en dehors de l’intérieur, et le flux à travers une surface fermée vaut 4π fois la quantité intérieure, où que se trouve l’intérieur. Qu’on ne puisse lire, de l’extérieur d’une peau fermée, qu’un nombre par motif angulaire ne vient pas de ce 4π, mais de ce que l’équation du champ est du second ordre et locale (article 1107). En ce sens, le champ en 1/r² cache l’intérieur à l’extérieur.
Pour les ondes, la même conservation du flux fixe l’amplitude à 1/r, et en trois dimensions cette amplitude rejoint la solution de Laplace, si bien que l’écho arrive avec sa forme inchangée. L’heure fixe la somme des chemins, et une fois connue la position du diffuseur, l’intensité peut être ramenée en divisant par le 4π de deux peaux. Quand on fait varier la dimension, le 1/r² du champ statique et le 1/r² de l’intensité d’une onde bougent ensemble ; ils ont donc une même racine. Garder la forme est une rencontre distincte, et une affaire de trois dimensions seulement. Ce qui permet toutefois au professeur Kimura et à ses collègues d’imager l’intérieur avec des points d’émission et de réception séparés, c’est moins que l’écho garde sa forme que le fait que ce que mesurent deux points ne tient pas dans une seule fonction sur la peau.
Questions
Ne peut-on pas utiliser les échos dans un monde à deux dimensions ?
On le peut, mais comme le signal laisse une traîne après son arrivée, on ne peut pas lire le chemin directement à partir de l’heure d’arrivée. Il faut un calcul qui retranche la traîne.
Le principe de Huygens ne vaut-il pas aussi en cinq dimensions ?
Si. En cinq dimensions aussi, l’onde ne laisse pas de traîne après son arrivée. Pourtant, la forme qui arrive contient la dérivée de la forme émise. Ne pas laisser de traîne et garder la forme sont deux choses différentes.
Tous les échos qui arrivent à la même heure ont-ils la même intensité ?
Non. Même sur la même ellipse, l’intensité dépend du produit des distances ρ1ρ2, et le sommet proche du point qui émet ou qui reçoit est plus fort. Sur l’ellipse de somme des chemins 4, le sommet principal est 1,333333 fois plus fort que le sommet secondaire.
Articles et références
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- Article 1111 « The Inverse Square Hides the Interior from a Static Field and Carries the Echo of a Wave Undistorted » : la source des calculs de cette page.
- Article 1107 « When the Field Equation Is of Second Order, the Interior Can Be Read from Outside a Closed Skin Only as One Number per Angular Pattern » : qu’il ne sorte qu’un nombre par motif.
- Article 335 « The Round Trip Changes the Exponent » : la puissance de l’aller-retour quand les points d’émission et de réception sont au même endroit.
- Article 247 « Splitting by Parity Is Not One Phenomenon » : le principe de Huygens et la parité de la dimension.
- Article 01 « The Uniqueness Theorem of n = 2 for Spherically Symmetric Density Distributions » : le compte des peaux.
- Article 41 « The Fringes Do Not Remember the Exponent » : conservation du flux d’une onde sphérique.
- Article 53 « The Yamagishi Born-Rule Geometric Structure Theory » : le flux d’une onde sphérique sortante.
- Article 1092 « The “2” of the Inverse-Square Density Is Two 2s, and the 2 of the Shell Mass Meets the 2 of the Horizon Balance Only in Three Dimensions » : deux nombres qui se rejoignent en trois dimensions.