Schwerkraft, die elektrische Kraft, die Helligkeit des Lichts, Funkwellen, Schall. In der Physik gibt es viele Größen, die umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands schwächer werden (Abstandsquadratgesetze). In Lehrbüchern lernt man sie einzeln, in getrennten Kapiteln. Ich stelle sie mit einem einzigen Maßstab nebeneinander.
Dieser Maßstab ist „das Gewicht je Schale“. Um die Quelle herum schichtet man dünne Kugelschalen wie die Lagen einer Zwiebel und schaut, wie viel von der Größe auf einer Schale liegt. Dieser Artikel ist eine Karte der Abstandsquadratgesetze, gezeichnet mit diesem Maßstab.
Der Maßstab: Das Gewicht je Schale ist nur beim Quadrat flach
Eine Kugelschale mit dem Radius r hat die Fläche 4πr². Wenn eine Dichte mit der n-ten Potenz des Abstands abfällt (1/rⁿ), ist das Gewicht einer Schale der Dicke 1 gleich 4πr² × 1/rⁿ.
Nur wenn n gleich 2 ist, hebt sich das r² weg, sodass jede Schale dasselbe Gewicht 4π hat. Ist n kleiner als 2, wiegen die äußeren Schalen mehr; ist es größer, wiegen die inneren Schalen mehr. Das habe ich in Aufsatz 01 als „Eindeutigkeitssatz von n = 2“ gezeigt. Daraus folgt auch, dass die Masse in einer Kugel vom Radius 1 genau 4π beträgt, der Raumwinkel aller Richtungen.
Diese „Flachheit“ steckt hinter den vielen Gesichtern des Abstandsquadratgesetzes. Ich gehe sie der Reihe nach durch.
1. Warum ist der Nachthimmel dunkel? (Aufsatz 496)
Angenommen, die Sterne sind gleichmäßig im Raum verteilt und setzen sich unendlich fort. Ferne Sterne erscheinen schwächer (1/4πr²). Doch je weiter entfernt die Schale ist, desto mehr Sterne enthält sie (4πr²). Die beiden 4π und das r² heben sich genau auf, sodass das Licht, das von der Schale mit Radius 1 und von der Schale mit Radius 1000 ankommt, gleich ausfiel: 0,010000000.
Da jede Schale gleich viel Licht schickt, wächst die Helligkeit beim Aufsummieren der Schalen proportional zum Radius (der doppelte Radius ergibt das 2,000000000-Fache). Der Nachthimmel ist nicht deshalb dunkel, weil die Sterne fern und schwach sind, sondern weil die Summe irgendwo abgeschnitten wird. Das ist das Problem, das als Olberssches Paradoxon bekannt ist, und es ist die „Flachheit“ des Eindeutigkeitssatzes, die direkt in der Astronomie auftaucht.
2. Vier Größen heißen „Helligkeit“ (Aufsatz 214)
Das Wort „Helligkeit“ bezeichnet eigentlich vier verschiedene Größen. Davon folgt nur die Lichtmenge, die auf eine Fläche fällt (die Bestrahlungsstärke), dem Abstandsquadratgesetz. Entfernt man sich von 1 m auf 1000 m von einer Quelle, sinkt die Bestrahlungsstärke von 0,318 auf 3,18×10⁻⁷, während die Helligkeit der Oberfläche der Quelle (die Strahldichte) bei 1013,211836 bleibt.
Deshalb kann eine Linse, so stark sie das Sonnenlicht auch bündelt, nichts heißer machen als die Oberfläche der Sonne. Die berechnete Obergrenze lag bei 5771,83 K, nur 0,003 % von der Oberflächentemperatur der Sonne von 5772 K entfernt. Was sich über die Schale ausbreitet und verdünnt, ist nur „die Menge, die auf eine Fläche fällt“.
3. Einfacher Weg oder Hin- und Rückweg ändert den Exponenten (Aufsatz 335)
Bei der Funkübertragung geht die Empfangsstärke mit 1/r². Ein Radar dagegen sendet eine Welle aus, die das Ziel erreicht und zurückprallt. Die Verdünnung über die Schale geschieht zweimal, also wird daraus 1/r⁴.
Um den Abstand zu verdoppeln, braucht die Funkübertragung die 4-fache Leistung und das Radar die 16-fache. Verdoppelt man die Leistung eines Radars, wächst seine Reichweite nur um 18,9207 %. Was den Exponenten festlegt, ist weder die Frequenz noch der Raum, sondern „einfacher Weg oder Hin- und Rückweg“.
4. Eine Punktquelle oder eine Linienquelle (Aufsatz 456)
Entfernt man sich von einer punktförmigen Schallquelle, breitet sich der Schall über Kugelschalen aus und sinkt um 6,0206 dB, wenn sich der Abstand verdoppelt. Bei einer langen Quelle wie einer Straße (einer Linienquelle) breitet sich der Schall statt über Kugelschalen über Zylinderschalen aus, sodass er bei doppeltem Abstand nur um 3,0103 dB sinkt.
Um die 10 dB zu erreichen, bei denen Lärm halb so laut klingt, muss man sich von einer Punktquelle 3,1623-mal so weit entfernen, von einer Linienquelle aber 10,0000-mal so weit. Die Form der sich ausbreitenden Schale (Kugel oder Zylinder) ändert den Exponenten um eins.
5. Auf einer Karte wird der „flache“ Exponent zu 1 (Aufsatz 1094)
Es gibt Modelle, in denen ein Geschäft Kunden umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands anzieht (das Reillysche Gesetz, das Huff-Modell). Diese 2 wurde von Newtons Gravitation entlehnt. Menschen leben aber auf einer Karte (in zwei Dimensionen), nicht in einem kugelförmigen Raum.
Auf einer Karte kommen aus jedem Ring gleich viele Kunden, wenn der Exponent 1 ist. Beim Quadrat wächst die Zahl der Kunden immer weiter, jedes Mal um 14,467569, wenn man die Stadt um das 10-Fache erweitert. Dieselbe „2“ spielt verschiedene Rollen: im dreidimensionalen Raum „gleich für jede Schale“, auf einer Karte aber „die Grenze, an der die Summe nie aufhört“.
6. Bei Dipolen kommt es auf die Form der Summation an (Aufsatz 1084)
Das elektrische Feld eines Paars aus positiver und negativer Ladung (eines Dipols) wird mit 1/r³ schwächer. In drei Dimensionen ist das genau der „Grenz“-Exponent. An der Grenze hängt das Ergebnis der Summation von der Form des Bereichs ab, über den man summiert.
Summiert über eine Kugel, ist das elektrische Feld -(4π/3)p. Auf der magnetischen Seite ist es +(8π/3)m. Addiert man 4π/3 und 8π/3, erhält man wieder 4π. Die Aufteilung in 1/3 und 2/3 gilt nur, wenn die umschließende Form rund ist; bei einer länglichen Form ändert sich die Aufteilung.
7. Ändert man die Dimension, trennen sich die beiden „2“ (Aufsatz 1092)
Entfernt sich die Dimension des Raums von 3, wird der Exponent, der „jede Schale gleich“ macht, zur Dimension minus 1 (3 in vier Dimensionen, 4 in fünf). Der Exponent einer Dichte, die mit einem Schwarzen Loch im Gleichgewicht steht, bleibt dagegen in jeder Dimension bei 2. Die beiden „2“ fallen nur in drei Dimensionen zusammen.
Die Karte: Exponent und Dimension bestimmen die Rolle
Bringt man all das auf eine Seite, ergibt sich Folgendes. Die waagerechte Achse ist der Exponent des Abstands, die senkrechte Achse die Dimension des Raums.
- Exponent = Dimension - 1: gleich für jede Schale. 1/r² in drei Dimensionen (der Nachthimmel, Licht, Funk auf einfachem Weg); 1/r in zwei Dimensionen (eine Linienquelle, das Einzugsgebiet auf einer Karte).
- Exponent = Dimension: die Grenze, an der die Summe von Form und Größe des Bereichs abhängt. Dipole in drei Dimensionen; die 2 von Reilly und Huff auf einer Karte.
- Exponent = Dimension + 1 oder mehr: vom nahen Inneren bestimmt. Das 1/r⁴ beim Hin- und Rückweg eines Radars.
Selbst unter demselben Namen „Abstandsquadratgesetz“ ist die Rolle völlig verschieden, je nachdem, von welcher Dimension und welcher Größe man spricht. In meinen Aufsätzen nenne ich solche Dinge, die denselben Namen tragen, aber aus verschiedenen Quellen stammen, getrennte Wurzeln, und ich gebe immer an, was man verändern muss, um das eine in das andere zu verwandeln (den Separator). Auf dieser Karte sind die Separatoren „die Dimension“ und „wie weit der Exponent von der Dimension entfernt ist“.
Über diesen Artikel
Dieser Artikel beansprucht kein neues Gesetz. Jede Zahl stammt aus den numerischen Prüfungen in den ursprünglichen Aufsätzen. Alle Aufsätze sind Preprints, die kein Peer-Review durchlaufen haben (die Seiten sind auf Japanisch, die PDFs der Aufsätze auf Japanisch und Englisch).
- Paper 01: The Uniqueness Theorem of n = 2 for Spherically Symmetric Density Distributions
- Paper 496: The 4π Appears Twice, Cancels, and Then the Sum Diverges
- Paper 214: A Lens Can Brighten and Cannot Increase Brightness
- Paper 335: The Round Trip Changes the Exponent
- Paper 456: Doubling the Distance Does Not Halve the Noise
- Paper 1094: The "Squared Distance" in Retail Gravity Models Is, on a Map, the Exponent at the Border Where the Total Number of Customers Stops Converging
- Paper 1084: 4π Splits into a Longitudinal 4π/3 and a Transverse 8π/3, and the 21 cm Line of Hydrogen Measures the Transverse Part
- Paper 1092: The "2" of the Inverse-Square Density Is Two 2s, and the 2 of the Shell Mass Meets the 2 of the Horizon Balance Only in Three Dimensions
- Paper 08: A Structural Interpretation of the 4D Poincaré Conjecture and Exotic Structures via the n=3 Uniqueness Theorem and Hopf Fibration
- Paper 114: Which Objects Know They Are in Four Dimensions?
- Paper 1097: A Lattice Sum of Dipole Fields Is Decided by the Shape of the Summation: 0 for a Sphere, 4π/3 for a Thin Needle, −8π/3 for a Thin Plate
Was sieht man, wenn man E=mc² mit dem Maßstab einer einzigen Haut liest? Darüber habe ich in einem kleinen Buch geschrieben, Eine einzige Haut und ihr Inneres.