Im vorigen Artikel „Ordnet man das Innere einer Kiste um, ändert sich die Schwerkraft draußen überhaupt nicht“ habe ich geschrieben, dass sich von außerhalb einer geschlossenen Haut nur eine Zahl pro Winkelmuster lesen lässt, eine Haut voll Muster. Doch es gibt Verfahren, die das Innere von außen abbilden. Der Ultraschall im Krankenhaus ist eines davon. Kenjiro Kimura und Kollegen an der Universität Kobe haben eine Theorie aufgebaut, die misst, während sowohl der Punkt bewegt wird, der eine Welle sendet, als auch der Punkt, der sie empfängt, und sie entwickeln die Mikrowellen-Mammographie, die das Innere der Brust mit Funkwellen abbildet.
Ich schätze die Denkweise von Professor Kimura sehr. Auf note habe ich einmal geschrieben, dass das, was ich von meinem Angelmeister gelernt habe, nämlich die Zeiten zu lernen, in denen nichts anbeißt, dieselbe Form zu haben scheint wie das inverse Problem von Professor Kimura. Diesmal habe ich den Teil dieser gemeinsamen Form geprüft, der sich durch Rechnung sagen lässt. Was muss man hinzufügen, um ein Inneres zu lesen, das sich von außen nicht lesen lässt? Die Antwort lautete: die Frequenz bewegen oder einen zweiten Punkt hinzunehmen.
Die Rechnungen hier sind für diese Seite neu gemacht oder stammen aus den eigenen Arbeiten des Autors, veröffentlicht als Vorabdrucke, die nicht begutachtet wurden.
Das Wichtigste
- Misst man nur empfangend, ohne sendenden Punkt, so geht nach außen nur eine Zahl pro Winkelmuster, ob das Feld ruhend ist wie die Schwerkraft oder eine Welle einer Frequenz. Eine von außen unsichtbare Umordnung gibt es immer, in einer auf diese Frequenz abgestimmten Form.
- Die Form der unsichtbaren Umordnung ändert sich mit der Frequenz. Bewegt man die Frequenz, bleibt keine Umordnung bei jeder Frequenz unsichtbar.
- Bewegt man die Frequenz über ein Band oder misst mit zwei Punkten, einem sendenden und einem empfangenden, wächst die Zahl der lesbaren Werte allmählich. Bei einem kugelsymmetrischen Inneren lesen zwei Punkte bei einer Frequenz etwa so viel wie bloßes Empfangen, wenn man die Frequenz bis zum Doppelten hinaufbewegt.
- Die Streufeldgleichung von Professor Kimura und Kollegen beschreibt nur, wie die hinlaufende und die zurücklaufende Welle durch einen leeren Bereich laufen, und gilt für eine einzige Rückstreuung ohne Näherung. Das Bild entsteht nur dort, wo die Voraussetzung dieser Gleichung, ein leerer Bereich, nicht mehr gilt, also an den Streupunkten.
- Nur empfangen
- Unsichtbare Umordnungen
- Die Frequenz bewegen
- Ein zweiter Punkt
- Kimuras Gleichung
- Die Stille beim Angeln
- Zwei Rollen von 1/r²
- Fragen
- Literatur
Nur empfangen: eine Zahl pro Muster bei jeder Frequenz
Das Innere liege in einer Kugel mit dem Radius 1. Das außen gemessene Feld ist entweder ruhend, wie Schwerkraft oder Elektrizität, oder eine Welle, wie Schall oder Licht. Wellen behandeln wir jeweils bei einer Frequenz. „Nur empfangen“ heißt hier: Das Feld, das das Innere erzeugt, darf überall außen und so oft wir wollen gemessen werden, aber es gibt keinen sendenden Punkt.
Bei dieser Art der Messung geht nach außen nur eine Zahl pro Winkelmuster. Das Feld wird schwächer, wenn sich der äußere Radius ändert, aber die Art, wie es schwächer wird, ist eine feste Form, die das Muster und die Frequenz festlegen, und sie trägt keine Einzelheiten des Inneren. Ich habe das Innere in 40 Schichten entlang des Radius geteilt und das Feld bei 30 äußeren Radien durch numerische Integration aufgebaut, ohne die Entwicklungsformel zu benutzen. In 16 Fällen, ruhend und bei den Frequenzen 2, 5 und 10, Muster 0 bis 3, war der zweite Singulärwert höchstens 2,24×10⁻¹⁴ des größten. In jedem Fall geht eine Zahl nach außen. Dass es bei einer einzigen Frequenz eine ist, wurde auch in Arbeit 1107 für den Helmholtz-Kern gezählt.
Was bei einer Frequenz weit hinaus gelangt, ist das nach Feinheit in Bestandteile zerlegte Innere (seine Fourier-Transformierte), gelesen auf der Kugel mit dem Radius k. Man kann es eine Haut voll im Fourier-Raum nennen. Die Schwerkraft ist der Fall der Frequenz 0, bei dem diese Haut zu einem einzigen Punkt im Mittelpunkt schrumpft.
Die unsichtbare Umordnung wandert mit der Frequenz
Im vorigen Artikel haben wir geprüft, dass eine Umordnung des Inneren einer Kiste in der Form Δφ (der Krümmung eines glatten Hügels φ) die Schwerkraft draußen nicht ändert. Bei Wellen geschieht dasselbe. Für eine Welle der Frequenz k0 sendet eine Umordnung der Form (Δ + k0²)φ nichts nach außen. Das Δφ der Schwerkraft ist der Fall k0 = 0.
Misst man aber bei einer anderen Frequenz, kommt dieselbe Umordnung heraus. Was nach außen geht, trägt ein Gewicht von (k0² − k²). Bewegen Sie in der Abbildung unten die Frequenz k0, auf die die Umordnung abgestimmt ist, und die Frequenz k, bei der gemessen wird.
Der obere Regler wählt die Frequenz k0, auf die die Umordnung abgestimmt ist, der untere die gemessene Frequenz k.
- bei dieser Frequenz nach außen gesandte Zahl
- bei der abgestimmten Frequenz nach außen gesandte Zahl
In Zahlen: Die auf k0 = 5 abgestimmte Umordnung (Δ + 25)φ sandte bei den Frequenzen 0, 2, 5 und 8 die Werte 1,2698413, 0,8870017, −0,0000000 und −0,0095429 nach außen. Das auf die Schwerkraft abgestimmte Δφ sandte −0,0000000, −0,1689527, −0,3590739 und −0,0156601. Jede ist nur bei ihrer abgestimmten Frequenz null und kommt sonst heraus.
Die unsichtbare Frequenz muss aber nicht die einzige sein. Bei einer Frequenz, bei der φ selbst nichts nach außen sendet (k = 8,182561 für dieses φ), werden beide Umordnungen unsichtbar (Abbildung 1). Misst man nur bei endlich vielen Frequenzen k1, k2, …, bleibt eine Umordnung der multiplizierten Form (Δ + k1²)(Δ + k2²)…ψ bei allen unsichtbar. Trotzdem ist, sobald man die Frequenz über ein Band bewegt, die einzige bei jeder Frequenz des Bandes unsichtbare Umordnung null. Was nach außen geht, ist der Wert der Fourier-Transformierten auf einer Kugel; bewegt man sich über ein Band, zeigt er sich auf einer ganzen dicken Kugelschale, und liegt das Innere nur in der Kugel, heißt null dort null überall.
Bewegt man die Frequenz, wachsen die Zahlen allmählich
Wir empfangen weiter nur und bewegen die Frequenz über ein Band. Ich habe bei 400 Frequenzen von 0,05 bis zum oberen Ende k_max gemessen, das Innere des Musters 0 in 60 Schichten geteilt und die lesbaren Zahlen mit Singulärwerten gezählt.
Der Regler bewegt das obere Bandende k_max. Die Knöpfe ändern die Zähllinie (die Größe des Rauschens).
- Zahlen über der Linie
- k_max/π
Die Zahlen über 10⁻⁶ des größten waren 5, 7, 11, 18 und 31 für die oberen Enden 5, 10, 20, 40 und 80. Sie wachsen um etwa eins, jedes Mal wenn das obere Ende um π wächst; k_max/π ist die Zahl der halben Wellenlängen, die in den Radius 1 passen. Anders als die Klippe bei einer einzigen Frequenz dünnen die Singulärwerte allmählich aus. Wo man schneidet, legt die Größe des Rauschens fest.
Ein zweiter Punkt kommt hinzu
Nun behalten wir eine Frequenz und bewegen zwei Punkte, den sendenden und den empfangenden, auf einer Haut mit dem Radius 1,5. Das Innere wirft die Welle nur einmal zurück, und die Stärke der Rückstreuung steckt in einer kugelsymmetrischen Dichte (Muster 0). Bloßes Empfangen bei einer Frequenz liest für das Muster 0 eine einzige Zahl, zwei Punkte aber lesen viele Schichten.
Der Regler bewegt die Frequenz k. Die Knöpfe ändern die Zähllinie.
- zwei Punkte, eine Frequenz
- nur empfangen, Band [0,05; 2k]
Auf der Linie 10⁻⁶ lesen zwei Punkte bei den Frequenzen 5, 10 und 20 die Werte 8, 11 und 18, fast die 7, 11 und 18, die bloßes Empfangen über die Bänder [0,05; 10], [0,05; 20] und [0,05; 40] liest. Hin und zurück erreicht die lesbare Feinheit 2k. Das ist dieselbe Zählung wie bei der Beugungstomographie (Wolf 1969), die das Innere bis zur Kugel mit dem Radius 2k liest, indem sie die Richtung der einfallenden ebenen Welle und die Richtung bewegt, in der fern empfangen wird. Hält man die Frequenz an, lesen zwei ruhende Punkte immer noch 5, aber ihre Singulärwerte fallen schnell, ein rauschempfindliches Lesen. Das ist die Seite des Calderón-Problems, das Innere mit Elektroden am Körper zu lesen (Arbeit 99).
Die Gleichung von Professor Kimura ist eine Gleichung des leeren Bereichs
Professor Kimura und Kollegen haben das Streufeld als Funktion zweier Punkte geschrieben, des sendenden und des empfangenden, und die Gleichung hergeleitet, die es erfüllt (Kimura und Kimura 2021). Für einen Streupunkt wird eine Kugelwelle vom sendenden Punkt zu diesem Punkt mit einer Kugelwelle von diesem Punkt zum empfangenden Punkt und mit der Stärke der Rückstreuung multipliziert, und das wird über alle Streupunkte summiert. Die beiden Punkte teilen sich eine Koordinate x. In RIMS Kokyuroku wird diese Gleichung (Gleichung (2-5)) als Näherung hergeleitet, die höhere Glieder im Kehrwert des Abstands weglässt. Mit den Werten auf der gemessenen Fläche als Randbedingungen wird die Gleichung im Raum zweier Punkte nach innen gelöst; bringt man die beiden Punkte zum selben Punkt und summiert über die Frequenzen (setzt die Zeit auf null zurück), erhält man das Bild.
Als ich nachrechnete, galt die Gleichung für eine einzige Rückstreuung ohne Näherung. Der Grund ist kurz. Die hinlaufende und die zurücklaufende Welle laufen jede frei durch einen leeren Bereich, und jede erfüllt ihre eigene Wellengleichung. Teilt man das gemeinsame x in zwei und setzt diese beiden Gleichungen in den Operator ein, hebt sich die Feinheit in Querrichtung (die Wellenzahl) genau weg, und der ganze Ausdruck wird null. Auf 40 Stellen gerechnet war der Rest kleiner als 10⁻⁴¹ der Größe der Glieder; zum Vergleich ergab ein Produkt, bei dem nur die Frequenz der Rückkehr mit 1,3 multipliziert war, 0,148 und 0,181, und ein Produkt ruhender Wellen 1,000 und 0,272, also nicht null. Das Bild auf einer Wellengleichung aufzubauen, die am sendenden und am empfangenden Punkt jeweils gilt, ist derselbe Gedanke wie die Doppelwurzelgleichung der seismischen Erkundung, die sendende und empfangende Punkte gemeinsam absenkt (Yilmaz und Claerbout 1980; Claerbout 1985).
Die Näherung wirkt tatsächlich erst im nächsten Schritt, in dem die Tiefen des sendenden und des empfangenden Punktes an die eine gemessene Fläche angeglichen werden. Dort wird die Stelle gewählt, an der hinlaufende und zurücklaufende Welle in dieselbe Richtung laufen (ein Punkt stationärer Phase). Die europäische Patentanmeldung zur selben Theorie spricht von „almost an exact solution“, doch dieser Satz betrifft eine andere Anordnung, in der sich die beiden Punkte zwei Koordinaten teilen, x und die Tiefe z. Geprüft habe ich die Gleichung (2-5), in der nur x gemeinsam ist. Ob Professor Kimura und Kollegen diese Genauigkeit in anderen Arbeiten geschrieben haben, habe ich nicht geprüft. Gelesen habe ich drei: die Arbeit in RIMS Kokyuroku, die Arbeit über Ultraschall und die Patentanmeldung.
Diese Gleichung enthält keine Spur der Stärke der Streupunkte. Sie beschreibt nur, wie die hinlaufende und die zurücklaufende Welle durch einen leeren Bereich laufen; man könnte sie eine Gleichung des leeren Bereichs nennen. Deshalb lässt sie sich allein mit den gemessenen Werten als Randbedingungen nach innen lösen. Der Hinweis auf die Streupunkte kommt nur über die gemessenen Signale (die Randwerte) hinein. Löst man die Gleichung nach innen, bringt die beiden Punkte zum selben Punkt und setzt die Zeit auf null zurück, stehen Werte nur dort, wo die sendenden und empfangenden Punkte auf einen Streupunkt treffen, also nur dort, wo die Voraussetzung der Gleichung, ein leerer Bereich, nicht mehr gilt. Die Abbildung unten ist ein sehr einfaches zweidimensionales Beispiel, um diese Idee zu sehen. Sie ist nicht die Rechnung von Professor Kimura und Kollegen selbst.
Der Regler ändert, wie viele Punkte auf der oberen Linie stehen. Je zwei davon dienen als sendender und als empfangender Punkt.
- benutzte Paare
Mit einem Paar verrät die Ankunftszeit eines Echos nur die Menge der Punkte, deren Echo zu dieser Zeit ankommt: ein Kreis, wenn sendender und empfangender Punkt zusammenfallen, eine Ellipse, wenn sie getrennt sind. Nimmt man Paare hinzu, überlagern sich die Kreise und Ellipsen nur an den Streupunkten, und dort entstehen Spitzen. Das Bild dort hinzustellen, wo abwärts- und aufwärtslaufende Wellen sich in Zeit und Ort treffen, wird auch in der seismischen Erkundung seit Langem genutzt (Claerbout 1971).
Im idealen Grenzfall, in dem alle Frequenzen vorhanden sind, ist das Bild eines punktförmigen Streukörpers an einem Punkt scharf, und sein Wert bleibt nicht endlich. Bei einem wirklichen Band legt die Bandbreite die Breite der Spitze fest. Für das Band [π; 2π] (Frequenzen 0,5 bis 1) liegt die erste Nullstelle der Hüllkurve bei 1,000000, dieselbe Formel wie die Entfernungsauflösung c/2B eines Radars (Arbeit 802).
Die Stille beim Angeln und eine Gleichung des leeren Bereichs
Mein Angelmeister suchte nicht nur nach Bissen; er prägte seinem Körper den Zustand ein, in dem nichts anbiss. Auf note habe ich geschrieben, dass das dieselbe Form zu haben scheint wie das inverse Problem von Professor Kimura: dass Professor Kimura einen stillen, leeren Raum als Gleichung festgelegt und nach den Stellen gesucht hat, an denen diese Stille bricht. In Arbeit 89 habe ich diese Verbindung außerhalb der Rechnungen gehalten, als persönlichen Eindruck und nicht als Wissenschaft.
Diesmal lässt sich ein Teil davon in Zahlen sagen. Die Gleichung von Professor Kimura und Kollegen beschreibt tatsächlich nur, wie Wellen durch einen leeren Bereich laufen, und die Streupunkte treten als die Stellen hervor, an denen die Voraussetzung dieser Gleichung, ein leerer Bereich, nicht mehr gilt. Wo ich auf note von „den Stellen, an denen die Werte divergieren“ geschrieben habe, ist im idealen Grenzfall mit allen Frequenzen das Bild eines Punktes an einem Punkt scharf, in diesem Sinne lag ich also richtig. Bei einem wirklichen Band wird daraus eine Spitze, deren Breite die Bandbreite festlegt. Die Angeltechnik selbst halte ich weiterhin außerhalb der Wissenschaft.
Zwei Rollen von 1/r²
Das 1/r² von Schwerkraft und Elektrizität ist ein Feld ohne Quelle außerhalb des Inneren. Der Fluss durch jede geschlossene Fläche ist das 4π-Fache der Menge im Inneren, welche Form die Fläche auch hat und wo auch immer das Innere liegt. Dieses 4π kommt daher, dass das Feld masselos ist. Dass nach außen eine Zahl pro Winkelmuster geht, hat eine andere Wurzel: Die Feldgleichung ist zweiter Ordnung und lokal (Arbeit 1107; auch das massive Yukawa-Feld gibt eine Zahl pro Muster nach außen). In diesem Sinne verbirgt das 1/r²-Feld, als Vertreter der Felder zweiter Ordnung, das Innere vor dem Außen.
Bei Wellen spielt dasselbe 1/r² eine andere Rolle. Dass der Fluss einer auslaufenden Kugelwelle nicht vom Radius abhängt, legt ihre Amplitude auf 1/r fest, und in drei Dimensionen kommt ein Echo schwächer werdend, aber ohne seine Form zu ändern, an. Der nächste Artikel, „Nur in drei Dimensionen kommt ein Echo mit unveränderter Form zurück“, prüft das. Dass die Methode von Professor Kimura und Kollegen das Innere lesen kann, liegt aber weniger daran, dass das Echo seine Form behält, als daran, dass das, was zwei Punkte, ein sendender und ein empfangender, messen, nicht in eine Funktion auf der Haut passt.
Fragen
Kann die Schwerkraft allein nicht alles im Inneren der Erde zeigen?
Die Schwerkraft allein zeigt nur eine Zahl pro Winkelmuster. Nimmt man Wellen mit Frequenzen hinzu, wie Erdbebenwellen, oder Verfahren, die die sendenden und empfangenden Punkte wechseln, wächst das, was man über das Innere wissen kann.
Ist mit zwei Punkten jedes Innere eindeutig bestimmt?
Die Rechnungen auf dieser Seite benutzen ein Inneres, das die Welle einmal zurückwirft (die Bornsche Näherung), und betrachten nur die Dichte des Musters 0. Ob es eindeutig bestimmt ist und ob es sich rauschfest lesen lässt, sind verschiedene Fragen, und die Zahl der lesbaren Werte bewegt sich mit der Zähllinie (der Größe des Rauschens).
Ist die Methode von Professor Kimura und Kollegen eine Näherung?
In RIMS Kokyuroku wurde die Gleichung als Näherung hergeleitet, galt aber für die Formel einer einzigen Rückstreuung ohne Näherung. Die Näherung wirkt in dem Schritt, in dem die Tiefen der beiden Punkte angeglichen werden, um das Bild zu formen. Wellen, die viele Male zurückgeworfen werden, oder Medien, deren Eigenschaften sich mit der Frequenz ändern, werden auf dieser Seite nicht behandelt.
Arbeiten und Literatur
Alle Arbeiten sind unter CC BY 4.0 veröffentlicht.
- Arbeit 1111 „The Inverse Square Hides the Interior from a Static Field and Carries the Echo of a Wave Undistorted“: die Quelle der Rechnungen auf dieser Seite.
- Arbeit 1107 „When the Field Equation Is of Second Order, the Interior Can Be Read from Outside a Closed Skin Only as One Number per Angular Pattern“: die Zählung beim bloßen Empfangen.
- Arbeit 89 „Zero-Tension and the Inverse Problem“: die Verbindung zwischen Angeln und inversen Problemen.
- Arbeit 99 „Reading the Interior from the Boundary“: das Calderón-Problem.
- Arbeit 802 „Radar Range Resolution Comes from Bandwidth, Velocity Resolution from Time, and a One-Wrap Velocity Error Shifts Range One Cell“: die Entfernungsauflösung c/2B.
- Kimura, K., and Kimura, N. (2021). Inverse Scattering filed theory [Titel wie gedruckt]. RIMS Kokyuroku, Kyoto University.
- Yabumoto, K., Yumii, T., and Kimura, K. (2025). Research on Ultrasonic Imaging Systems Based on Scattering Field Theory. arXiv:2508.14469.
- Kimura, K., Kimura, N., and Kimura, F. (2024). Video-forming device and video-forming method. European Patent Application EP 4357766 A1.
- Wolf, E. (1969). Three-dimensional structure determination of semi-transparent objects from holographic data. Optics Communications.
- Claerbout, J. F. (1971). Toward a unified theory of reflector mapping. Geophysics.
- Yilmaz, Ö., and Claerbout, J. F. (1980). Prestack partial migration. Geophysics.
- Claerbout, J. F. (1985). Imaging the Earth's Interior. Blackwell Scientific Publications.