In einem früheren Artikel, „Eine Karte der Abstandsquadratgesetze“, habe ich eine einzige Karte gezeichnet: waagerecht der Exponent des Abstands, senkrecht die Dimension des Raums. Auf dieser Karte gibt es eine gelb gefärbte Diagonale. Dort ist der Exponent genau gleich der Dimension, und dort hört eine Summe nie auf zu wachsen.
„Schläft in den leeren Feldern vielleicht noch ein Satz?“ Mit dieser Frage habe ich die gelbe Diagonale mit Zahlen untersucht. Herausgekommen ist, dass sich die nie endende Summe sauber in drei Teile zerlegt. In diesem Artikel zeige ich, was darin steckt, mit Abbildungen und möglichst wenig Formeln. Die ausführlichen Rechnungen stehen in Aufsatz 1098.
Die Punkte auf Millimeterpapier im Kreis aufsummieren
Stellen Sie sich die Punkte eines Millimeterpapiers vor (die Stellen mit ganzzahligen Koordinaten). Der mittlere Punkt sei der Ursprung, und jeder andere Punkt bekommt das Gewicht „eins durch Abstand zum Quadrat“. Nahe Punkte wiegen mehr, ferne weniger: dasselbe Abstandsquadratgewicht wie bei der Schwerkraft oder der Helligkeit des Lichts.
Nun addieren wir dieses Gewicht für die Punkte innerhalb eines Kreises mit Radius R.
- Radius 10: 316 Punkte, Summe 17,079016
- Radius 100: 31.416 Punkte, Summe 31,520224
- Radius 1000: 3.141.548 Punkte, Summe 45,987645
Hübsch ist, dass die Zahl der Punkte fast π×R² beträgt, doch achten Sie auf die Summe. Jedes Mal, wenn der Radius verzehnfacht wird, wächst sie um etwa 14,467569. Sie hört nie auf, wächst aber sehr langsam (in der Mathematik sagt man: „sie wächst logarithmisch“).
Warum es nie aufhört: Jeder Ring trägt gleich viel bei
Den Grund sieht man, wenn man die Punkte in Ringe teilt: Radius 1 bis 2, 2 bis 4, 4 bis 8, nach außen jedes Mal mit doppeltem Radius. Äußere Ringe enthalten mehr Punkte (8, 36, 148, 600: jedes Mal etwa viermal so viele), aber jeder Punkt wiegt weniger (doppelter Abstand, also ein Viertel des Gewichts). Beides hebt sich auf, und jeder Ring trägt fast gleich viel zur Summe bei.
Ringe, die jeweils gleich viel beitragen, gehen endlos weiter, also hört die Summe nie auf. Das geschieht in der Ebene (zwei Dimensionen) mit Exponent 2, also nur dann, wenn der Exponent gleich der Dimension ist. Genau das ist die gelbe Diagonale der Karte.
Zieht man das Wachstum ab, bleibt die „Zahl des Millimeterpapiers“
Da wir wissen, wie die Summe wächst, können wir dieses Wachstum (2π ln R) abziehen. Dann kommt die Summe bei einer einzigen Zahl zur Ruhe, 2,584982 (Abbildung 1 rechts).
Diese Zahl gehört zum Gitter des Millimeterpapiers selbst. Sie lässt sich mit einer seit Langem bekannten Formel schreiben (Kroneckers Grenzwertformel), in der die Eulersche Konstante γ und eine besondere Zahl, Γ(1/4), auftauchen. Ich nenne sie hier die „Zahl des Millimeterpapiers“.
Über ein Quadrat summiert, ist das Ergebnis um 0,691310 größer als über einen Kreis
Was passiert, wenn wir statt über einen Kreis über ein Quadrat summieren? Summiert man über ein Quadrat mit halber Seite R und zieht das Wachstum ebenso ab, ist das Ergebnis um 0,691310 größer als beim Kreis. Auf dem Gitter gezählt, war der Unterschied bei R = 3000 schon auf 0,692372 heruntergegangen. Diese 0,691310 hat die Form 2π ln 2 − 4G, wobei G die Catalansche Konstante ist (0,915966).
Als ich nachsah, wo die Form eingeht, war die Antwort sehr schlicht. Man misst den Abstand vom Ursprung zum Rand in jeder Richtung und nimmt den Mittelwert seines Logarithmus. Das allein bestimmt die Wirkung der Form. Anders gesagt: Für großes R ist das Summieren über eine beliebige Form dasselbe wie das Summieren über einen Kreis, dessen Radius das geometrische Mittel des Abstands zum Rand ist. Ich nenne ihn den „wirksamen Radius“.
- Der wirksame Radius eines Quadrats (halbe Seite 1) ist 1,116306, etwas kleiner als 1,128379, der Radius des flächengleichen Kreises.
- Der wirksame Radius einer Ellipse (Radien 2 und 1) ist 1,333333, genau das harmonische Mittel der beiden Radien, 2×2×1÷(2+1) = 4/3. Der flächengleiche Kreis hat den Radius 1,414214.
Bei gleicher Größe gewinnt der Kreis (die Kugel)
Der wirksame Radius ist nie größer als der Radius des Kreises oder der Kugel gleicher Fläche (gleichen Volumens). Gleich ist er nur für einen Kreis oder eine Kugel um den Ursprung. Das folgt sofort aus einer Beziehung, die in der Mathematik Jensensche Ungleichung heißt.
Es ist die Intuition, dass man am meisten bekommt, wenn man die schweren, nahen Punkte zuerst nimmt, direkt in eine Zahl gefasst. Für den Würfel und den vierdimensionalen Würfel habe ich es auch durch echtes Aufsummieren von Gitterpunkten geprüft (sie nähern sich den Formzahlen 2,416955 und 5,099693).
Tauscht man das Millimeterpapier gegen Dreiecke, bleibt die Formzahl
Als Nächstes tauschen wir das Gitter selbst aus: die Anordnung, die entsteht, wenn man Münzen flach so dicht wie möglich legt (das Dreiecksgitter), mit derselben Punktdichte wie beim Millimeterpapier.
Die Zahl, die die Rolle der Zahl des Millimeterpapiers spielt, änderte sich dann auf 2,518477 (um 0,066504 kleiner). Der Unterschied zwischen Quadrat und Kreis aber, 0,691593 bei R = 1000, nähert sich denselben 0,691310 wie auf dem Millimeterpapier.
Die Formzahl kennt das Gitter nicht, und die Gitterzahl kennt die Form nicht. Die drei Teile vermischten sich nicht. In der Zahl des Dreiecksgitters erscheint statt des Γ(1/4) des Millimeterpapiers eine andere besondere Zahl, Γ(1/3).
Ändert man die Dimension, zeigt die Gitterzahl ein neues Gesicht
Dasselbe habe ich von einer bis zu acht Dimensionen gemacht (mit dem Gewicht „eins durch Abstand hoch Dimension“). Die Gitterzahl zeigt in jeder Dimension ein anderes Gesicht.
- Eine Dimension: 2γ = 1,154431, allein aus der Eulerschen Konstante. Das ist die harmonische Reihe, dieselbe Stelle wie Aufsatz 435 über das Zipfsche Gesetz.
- Zwei Dimensionen: 2,584982, mit Γ(1/4).
- Vier Dimensionen: 4,632326, mit der Glaisher-Konstante A (1,282427).
- Sechs Dimensionen: 5,677514, mit β′(3) und ζ(3).
- Acht Dimensionen: 8,337340; hier hebt sich das ln 2 in der Formel genau weg.
- Drei, fünf und sieben Dimensionen: 3,821924, 5,131696 und 6,662093. Auf dem hier benutzten Weg schlossen sie sich nicht zu Formeln und ergaben sich nur als Zahlen.
Die Zahl der drei Dimensionen, in denen wir leben, 3,821924, lag auf der Seite, die sich auf diesem Weg nicht schließt. Ob sie sich auf einem anderen Weg schließt, habe ich nicht geprüft. Die schließenden Dimensionen 1, 2, 4, 6, 8 erinnern außerdem an die berühmten 1, 2, 4, 8 der Zahlen (reelle Zahlen, komplexe Zahlen, Quaternionen, Oktonionen), unterscheiden sich aber durch die 6. Meine Regel ist, zwei Dinge nicht gleichen Ursprungs zu nennen, nur weil ihre Folgen ähnlich aussehen.
Mit dem Gewicht einer Magnetrichtung bleibt nur die Formzahl
Bisher bekam jede Richtung dasselbe Gewicht. Nun geben wir entlang der Achse ein Plus-Gewicht und quer dazu ein Minus-Gewicht, wie die Richtung eines Stabmagneten (das Dipolgewicht). Einmal rundherum gemittelt ist dieses Gewicht genau 0.
Dann verschwindet das endlose Wachstum. Auch die Zahl des Millimeterpapiers wird 0, weil sich Plus und Minus Ring für Ring aufheben. Übrig bleibt nur die Formzahl, und sie erwies sich als genau die Größe, die die Physik „Entelektrisierungsfaktor“ (oder Entmagnetisierungsfaktor) nennt.
- Über eine Kugel summiert: 0
- Über eine dünne Nadel summiert: 4π/3 = 4,188790
- Über eine dünne Platte summiert: −8π/3 = −8,377580
Der Entelektrisierungsfaktor gibt an, wie stark das Feld im Inneren eines Magneten oder Dielektrikums durch dessen Form geschwächt wird; Lehrbücher berechnen ihn mit Integralen über Ellipsoide. Er lässt sich nun in einer Zeile schreiben als „Mittelwert des Logarithmus des Abstands zum Rand, gewichtet mit der Magnetrichtung“. Im früheren Aufsatz 1097 habe ich gezählt, dass eine Summe von Dipolen auf einem Gitter für eine Kugel 0, für eine Nadel 4π/3 und für eine Platte −8π/3 ergibt; diese Zahlen kamen allein aus dieser Formzahl.
Wenn die Drehungen des Gitters zu denen des Gewichts passen, bleibt etwas übrig
Zum Schluss habe ich ein Gewicht mit feinerem Muster versucht: eines mit vier Plus-Bergen und vier Minus-Tälern rund um den Kreis (cos4θ). Auch sein Mittelwert ist 0, es gibt also kein endloses Wachstum.
Auf dem Millimeterpapier hoben sich die Ringe jedoch nicht auf, und die Summe kam bei 2,507655 zur Ruhe. Auf dem Dreiecksgitter hob sich jeder Ring genau auf und ergab 0. Bei einem Gewicht mit sechs Bergen und sechs Tälern (cos6θ) war es umgekehrt: Auf dem Dreiecksgitter blieben 4,501541 übrig.
Das Millimeterpapier geht nach einer Drehung um 90 Grad in sich über, das Dreiecksgitter nach einer Drehung um 60 Grad. Nur wenn sich das Muster des Gewichts beim Drehen des Gitters nicht ändert, bleibt eine Summe übrig. Als ich die übrig bleibenden Zahlen sehr genau berechnete und einem Werkzeug gab, das Beziehungen zwischen Zahlen sucht, stimmten die 2,507655 des Millimeterpapiers mit Γ(1/4)⁸/(384π³) überein (mit der Lemniskatenkonstante ϖ ist das ϖ⁴/(6π)) und die 4,501541 des Dreiecksgitters mit √3Γ(1/3)¹⁸/(2048π⁸), auf mehr als 40 Stellen (bewiesen habe ich das nicht). Auch hier erscheint Γ(1/4) beim Millimeterpapier und Γ(1/3) beim Dreiecksgitter.
Zusammenfassung: die drei Teile einer nie endenden Summe
Die Summe auf der gelben Diagonale zerfiel in drei Teile.
| Teil | Was ihn bestimmt | Beispiel |
|---|---|---|
| Endloses Wachstum | das rundherum gemittelte Gewicht (verschwindet, wenn der Mittelwert 0 ist) | auf Millimeterpapier +14,467569 je Faktor 10 im Radius |
| Gitterzahl | Gitter und Dimension (nicht die Form) | Millimeterpapier 2,584982, Dreiecksgitter 2,518477, drei Dimensionen 3,821924 |
| Formzahl | der mittlere Logarithmus des Abstands zum Rand (nicht das Gitter) | Quadrat 0,691310; beim Magnetgewicht der Entelektrisierungsfaktor |
Es gab zwei Dinge, deren Änderung einen Fall in einen anderen verwandelt (ich nenne sie Separatoren). Ob das Gewicht rundherum gemittelt 0 ergibt, entscheidet, ob es endloses Wachstum gibt. Ob eine Drehung des Gitters das Gewicht Ring für Ring aufhebt, entscheidet, ob eine Gitterzahl übrig bleibt. Die Formzahl bleibt immer.
Über diesen Artikel
Dieser Artikel behauptet kein neues Gesetz. Die benutzten Werkzeuge, etwa die Epsteinsche Zetafunktion, Kroneckers Grenzwertformel und der Entelektrisierungsfaktor, sind alle seit Langem bekannt. Ich habe sie auf der gelben Diagonale der Karte der Abstandsquadratgesetze aufgereiht, die Summe in drei Teile zerlegt und die Zahlen von einer bis zu acht Dimensionen geprüft. Jede Zahl stammt aus den Prüfskripten der Aufsätze. Alle Aufsätze sind Preprints, die kein Peer-Review durchlaufen haben (die Seiten sind auf Japanisch, die PDFs der Aufsätze auf Japanisch und Englisch).
- Paper 1098: In a Lattice Sum Whose Exponent Equals the Dimension, Shape Enters as the Mean Logarithm of the Distance to the Edge
- Paper 1097: A Lattice Sum of Dipole Fields Is Decided by the Shape of the Summation: 0 for a Sphere, 4π/3 for a Thin Needle, −8π/3 for a Thin Plate
- Paper 1094: The “Squared Distance” in Retail Gravity Models Is, on a Map, the Exponent at the Border Where the Total Number of Customers Stops Converging
- Paper 435: Constant at Every Rank, and the Total Is Still Undetermined
- Paper 230: There Are Seven Minus Signs, and One of Them Undoes No Addition
- Paper 01: The Uniqueness Theorem of n = 2 for Spherically Symmetric Density Distributions
Die ganze Karte steht im früheren Artikel „Eine Karte der Abstandsquadratgesetze“.