Dans un article précédent, « Une carte des lois en inverse du carré », j’ai dessiné une seule carte : en abscisse l’exposant de la distance, en ordonnée la dimension de l’espace. Sur cette carte se trouve une diagonale peinte en jaune. C’est là que l’exposant est exactement égal à la dimension, et là une somme ne cesse jamais de croître.
« Un théorème dormirait-il encore dans les cases vides ? » Avec cette question en tête, j’ai examiné la diagonale jaune avec des nombres. J’ai trouvé que la somme sans fin se découpe proprement en trois parties. Dans cet article, je montre ce qu’il y a dedans, avec des figures et le moins de formules possible. Les calculs détaillés sont dans l’article 1098.
Additionner les points d’un papier quadrillé dans un cercle
Imaginez les points d’une feuille de papier quadrillé (les points dont les coordonnées sont des nombres entiers). Prenons le point du milieu comme origine et donnons à chaque autre point un poids « un sur la distance au carré ». Les points proches pèsent plus, les points lointains moins : le même poids en inverse du carré que pour la gravité ou l’éclat de la lumière.
Additionnons maintenant ce poids pour les points situés dans un cercle de rayon R.
- Rayon 10 : 316 points, somme 17,079016
- Rayon 100 : 31 416 points, somme 31,520224
- Rayon 1000 : 3 141 548 points, somme 45,987645
Il est amusant que le nombre de points soit presque π×R², mais regardez la somme. Chaque fois que le rayon est multiplié par 10, elle augmente d’environ 14,467569. Elle ne s’arrête jamais, mais elle croît très lentement (en mathématiques, on dit qu’elle « croît comme un logarithme »).
Pourquoi elle ne s’arrête jamais : chaque anneau ajoute autant
La raison apparaît si l’on découpe les points en anneaux : rayon de 1 à 2, de 2 à 4, de 4 à 8, en doublant le rayon à chaque pas vers l’extérieur. Les anneaux extérieurs contiennent plus de points (8, 36, 148, 600 : environ 4 fois plus à chaque fois), mais chaque point pèse moins (distance double, donc un quart du poids). Les deux effets se compensent, et chaque anneau ajoute presque la même quantité à la somme.
Des anneaux qui ajoutent chacun la même quantité se succèdent sans fin, donc la somme ne s’arrête jamais. Cela se produit dans le plan (deux dimensions) avec l’exposant 2, c’est-à-dire seulement quand l’exposant est égal à la dimension. Voilà ce qu’est vraiment la diagonale jaune de la carte.
Retirez la croissance, il reste le « nombre du papier quadrillé »
Puisque nous savons comment la somme croît, nous pouvons retirer cette croissance (2π ln R). La somme se stabilise alors à un seul nombre, 2,584982 (à droite de la figure 1).
Ce nombre appartient au réseau du papier quadrillé lui-même. On peut en fait l’écrire avec une formule connue depuis longtemps (la formule limite de Kronecker), où apparaissent la constante d’Euler γ et un nombre particulier, Γ(1/4). Je l’appellerai ici le « nombre du papier quadrillé ».
Sommée sur un carré, la réponse dépasse de 0,691310 celle du cercle
Et si l’on somme sur un carré au lieu d’un cercle ? En sommant sur un carré de demi-côté R et en retirant la croissance de la même façon, la réponse est 0,691310 plus grande que pour le cercle. En comptant sur le réseau, l’écart était descendu à 0,692372 pour R = 3000. Ce 0,691310 a la forme 2π ln 2 − 4G, où G est le nombre appelé constante de Catalan (0,915966).
En cherchant où la forme intervient, j’ai trouvé une réponse très simple. On mesure la distance de l’origine au bord dans chaque direction et l’on prend la moyenne de son logarithme. Cela seul décide de l’effet de la forme. Autrement dit, pour R grand, sommer sur n’importe quelle forme revient à sommer sur un cercle dont le rayon est la moyenne géométrique de la distance au bord. Je l’appelle le « rayon efficace ».
- Le rayon efficace d’un carré (demi-côté 1) vaut 1,116306, un peu moins que 1,128379, le rayon du cercle de même aire.
- Le rayon efficace d’une ellipse (rayons 2 et 1) vaut 1,333333, exactement la moyenne harmonique des deux rayons, 2×2×1÷(2+1) = 4/3. Le cercle de même aire a pour rayon 1,414214.
À taille égale, le cercle (la boule) l’emporte
Le rayon efficace est toujours au plus égal au rayon du cercle ou de la boule de même aire (de même volume). Il n’est égal que pour un cercle ou une boule centrés à l’origine. Cela découle aussitôt d’une relation connue en mathématiques sous le nom d’inégalité de Jensen.
C’est l’intuition qu’on gagne le plus en prenant d’abord les points proches, les plus lourds, traduite directement en nombre. Je l’ai aussi vérifiée en sommant réellement des points du réseau pour le cube et pour le cube en quatre dimensions (ils s’approchent des nombres de forme 2,416955 et 5,099693).
Remplacez le papier quadrillé par des triangles, le nombre de forme reste
Changeons maintenant le réseau lui-même : la disposition obtenue en posant des pièces de monnaie à plat, aussi serrées que possible (le réseau triangulaire), avec la même densité de points que le papier quadrillé.
Le nombre qui joue le rôle du nombre du papier quadrillé devient alors 2,518477 (0,066504 de moins). Mais l’écart entre carré et cercle, 0,691593 pour R = 1000, s’approche du même 0,691310 que sur le papier quadrillé.
Le nombre de forme ne connaît pas le réseau, et le nombre du réseau ne connaît pas la forme. Les trois parties ne se mélangeaient pas. Dans le nombre du réseau triangulaire, un autre nombre particulier, Γ(1/3), apparaît à la place du Γ(1/4) du papier quadrillé.
Changez la dimension, le nombre du réseau montre un nouveau visage
J’ai fait de même d’une dimension jusqu’à huit (avec le poids « un sur la distance à la puissance de la dimension »). Le nombre du réseau montre un visage différent dans chaque dimension.
- Une dimension : 2γ = 1,154431, fait de la seule constante d’Euler. C’est la série harmonique, au même endroit que l’article 435 sur la loi de Zipf.
- Deux dimensions : 2,584982, avec Γ(1/4).
- Quatre dimensions : 4,632326, avec la constante de Glaisher A (1,282427).
- Six dimensions : 5,677514, avec β′(3) et ζ(3).
- Huit dimensions : 8,337340 ; le ln 2 de la formule s’y annule exactement.
- Trois, cinq et sept dimensions : 3,821924, 5,131696 et 6,662093. Par la voie utilisée ici, ils ne se sont pas refermés en formules et ne sont sortis que comme nombres.
Le nombre des trois dimensions où nous vivons, 3,821924, était du côté qui ne se referme pas par cette voie. S’il se referme par une autre voie, je ne l’ai pas vérifié. Les dimensions qui se referment, 1, 2, 4, 6, 8, rappellent aussi les célèbres 1, 2, 4, 8 des nombres (réels, complexes, quaternions, octonions), mais s’en distinguent par le 6. Ma règle est de ne pas dire que deux choses ont la même racine simplement parce que leurs suites se ressemblent.
Avec le poids de la direction d’un aimant, seul le nombre de forme reste
Jusqu’ici, chaque direction recevait le même poids. Donnons maintenant un poids positif le long de l’axe et un poids négatif sur les côtés, comme la direction d’un barreau aimanté (le poids dipolaire). En moyenne sur tout le tour, ce poids vaut exactement 0.
La croissance sans fin disparaît alors. Le nombre du papier quadrillé devient lui aussi 0, car le plus et le moins s’annulent anneau par anneau. Il ne reste que le nombre de forme, et il s’est avéré être exactement la grandeur que la physique appelle « coefficient de dépolarisation » (ou coefficient démagnétisant).
- Sommé sur une sphère : 0
- Sommé sur une aiguille fine : 4π/3 = 4,188790
- Sommé sur une plaque mince : −8π/3 = −8,377580
Le coefficient de dépolarisation indique combien le champ à l’intérieur d’un aimant ou d’un diélectrique est affaibli par sa forme, et les manuels le calculent avec des intégrales sur des ellipsoïdes. On peut maintenant l’écrire en une ligne : « la moyenne du logarithme de la distance au bord, pondérée par la direction de l’aimant ». Dans l’article 1097, j’avais compté qu’une somme de dipôles placés sur un réseau donne 0 pour une sphère, 4π/3 pour une aiguille et −8π/3 pour une plaque ; ces nombres venaient de ce seul nombre de forme.
Quand les rotations du réseau s’accordent avec celles du poids, quelque chose reste
Pour finir, j’ai essayé un poids à motif plus fin : quatre bosses positives et quatre creux négatifs sur le tour (cos4θ). Sa moyenne est aussi 0, donc il n’y a pas de croissance sans fin.
Sur le papier quadrillé, pourtant, les anneaux ne s’annulaient pas, et la somme s’est stabilisée à 2,507655. Sur le réseau triangulaire, chaque anneau s’annulait exactement, donnant 0. Pour un poids à six bosses et six creux (cos6θ), c’était l’inverse : il restait 4,501541 sur le réseau triangulaire.
Le papier quadrillé revient sur lui-même après une rotation de 90 degrés, le réseau triangulaire après une rotation de 60 degrés. Une somme ne reste que si le motif du poids ne change pas quand on tourne le réseau. En calculant les nombres restants avec une grande précision et en les donnant à un outil qui cherche des relations entre nombres, j’ai trouvé que le 2,507655 du papier quadrillé coïncide avec Γ(1/4)⁸/(384π³) (soit ϖ⁴/(6π) avec la constante de la lemniscate ϖ) et le 4,501541 du réseau triangulaire avec √3Γ(1/3)¹⁸/(2048π⁸), sur plus de 40 chiffres (je ne les ai pas démontrés). Ici encore, Γ(1/4) apparaît pour le papier quadrillé et Γ(1/3) pour le réseau triangulaire.
Résumé : les trois parties d’une somme sans fin
La somme sur la diagonale jaune s’est découpée en trois parties.
| Partie | Ce qui la décide | Exemple |
|---|---|---|
| Croissance sans fin | le poids moyenné sur le tour (disparaît si la moyenne vaut 0) | sur le papier quadrillé, +14,467569 par facteur 10 du rayon |
| Nombre du réseau | le réseau et la dimension (pas la forme) | papier quadrillé 2,584982, réseau triangulaire 2,518477, trois dimensions 3,821924 |
| Nombre de forme | la moyenne du logarithme de la distance au bord (pas le réseau) | carré 0,691310 ; pour le poids de l’aimant, le coefficient de dépolarisation |
Il y avait deux choses dont le changement transforme un cas en un autre (je les appelle des séparateurs). Que le poids ait une moyenne nulle sur le tour décide s’il y a une croissance sans fin. Que la rotation du réseau annule le poids anneau par anneau décide s’il reste un nombre du réseau. Le nombre de forme reste toujours.
À propos de cet article
Cet article ne prétend établir aucune loi nouvelle. Les outils utilisés, comme la fonction zêta d’Epstein, la formule limite de Kronecker et le coefficient de dépolarisation, sont tous connus depuis longtemps. Ce que j’ai fait, c’est les aligner sur la diagonale jaune de la carte des lois en inverse du carré, découper la somme en trois parties et vérifier les nombres d’une dimension jusqu’à huit. Chaque nombre provient des scripts de vérification des articles. Tous les articles sont des prépublications qui n’ont pas été évaluées par des pairs (les pages sont en japonais, avec les PDF des articles en japonais et en anglais).
- Paper 1098: In a Lattice Sum Whose Exponent Equals the Dimension, Shape Enters as the Mean Logarithm of the Distance to the Edge
- Paper 1097: A Lattice Sum of Dipole Fields Is Decided by the Shape of the Summation: 0 for a Sphere, 4π/3 for a Thin Needle, −8π/3 for a Thin Plate
- Paper 1094: The “Squared Distance” in Retail Gravity Models Is, on a Map, the Exponent at the Border Where the Total Number of Customers Stops Converging
- Paper 435: Constant at Every Rank, and the Total Is Still Undetermined
- Paper 230: There Are Seven Minus Signs, and One of Them Undoes No Addition
- Paper 01: The Uniqueness Theorem of n = 2 for Spherically Symmetric Density Distributions
La carte entière se trouve dans l’article précédent, « Une carte des lois en inverse du carré ».