In un articolo precedente, «Una mappa delle leggi dell’inverso del quadrato», ho disegnato un’unica mappa: in orizzontale l’esponente della distanza, in verticale la dimensione dello spazio. Su quella mappa c’è una diagonale colorata di giallo. È dove l’esponente è esattamente uguale alla dimensione, e lì una somma non smette mai di crescere.
«Nelle caselle vuote dorme forse ancora un teorema?» Con questa domanda ho esaminato la diagonale gialla con i numeri. Ho trovato che la somma senza fine si divide nettamente in tre parti. In questo articolo mostro che cosa c’è dentro, con figure e il minor numero possibile di formule. I calcoli dettagliati sono nell’articolo 1098.
Sommare i punti di un foglio a quadretti dentro un cerchio
Immaginate i punti di un foglio a quadretti (i punti con coordinate intere). Prendiamo il punto centrale come origine e diamo a ogni altro punto il peso «uno diviso la distanza al quadrato». I punti vicini pesano di più, quelli lontani di meno: lo stesso peso dell’inverso del quadrato della gravità o della luminosità della luce.
Ora sommiamo questo peso per i punti dentro un cerchio di raggio R.
- Raggio 10: 316 punti, somma 17,079016
- Raggio 100: 31.416 punti, somma 31,520224
- Raggio 1000: 3.141.548 punti, somma 45,987645
È curioso che il numero dei punti sia quasi π×R², ma guardate la somma. Ogni volta che il raggio viene moltiplicato per 10, cresce di circa 14,467569. Non si ferma mai, ma cresce molto lentamente (in matematica si dice che «cresce come un logaritmo»).
Perché non si ferma mai: ogni anello aggiunge lo stesso
Il motivo si vede dividendo i punti in anelli: raggio da 1 a 2, da 2 a 4, da 4 a 8, raddoppiando il raggio a ogni passo verso l’esterno. Gli anelli esterni contengono più punti (8, 36, 148, 600: circa 4 volte di più ogni volta), ma ogni punto pesa meno (distanza doppia, quindi un quarto del peso). I due effetti si compensano, e ogni anello aggiunge quasi la stessa quantità alla somma.
Anelli che aggiungono ciascuno la stessa quantità continuano all’infinito, quindi la somma non si ferma mai. Questo accade nel piano (due dimensioni) con esponente 2, cioè solo quando l’esponente è uguale alla dimensione. Ecco che cos’è davvero la diagonale gialla della mappa.
Togliete la crescita, e resta il «numero della carta a quadretti»
Poiché sappiamo come cresce la somma, possiamo togliere questa crescita (2π ln R). La somma si assesta allora su un solo numero, 2,584982 (a destra nella figura 1).
Questo numero appartiene al reticolo della carta a quadretti stessa. In realtà si può scrivere con una formula nota da tempo (la formula limite di Kronecker), in cui compaiono la costante di Eulero γ e un numero speciale, Γ(1/4). Qui lo chiamerò il «numero della carta a quadretti».
Sommando su un quadrato, la risposta supera di 0,691310 quella del cerchio
E se sommassimo su un quadrato invece che su un cerchio? Sommando su un quadrato di mezzo lato R e togliendo la crescita allo stesso modo, la risposta è risultata 0,691310 più grande che per il cerchio. Contando sul reticolo, la differenza era scesa a 0,692372 per R = 3000. Questo 0,691310 ha la forma 2π ln 2 − 4G, dove G è il numero chiamato costante di Catalan (0,915966).
Cercando dove entra la forma, ho trovato una risposta molto semplice. Si misura la distanza dall’origine al bordo in ogni direzione e si prende la media del suo logaritmo. Solo questo decide l’effetto della forma. In altre parole, per R grande, sommare su qualsiasi forma equivale a sommare su un cerchio il cui raggio è la media geometrica della distanza dal bordo. Lo chiamo il «raggio efficace».
- Il raggio efficace di un quadrato (mezzo lato 1) è 1,116306, un po’ meno di 1,128379, il raggio del cerchio di pari area.
- Il raggio efficace di un’ellisse (raggi 2 e 1) è 1,333333, esattamente la media armonica dei due raggi, 2×2×1÷(2+1) = 4/3. Il cerchio di pari area ha raggio 1,414214.
A parità di misura vince il cerchio (la sfera)
Il raggio efficace è sempre al più uguale al raggio del cerchio o della sfera di pari area (di pari volume). È uguale solo per un cerchio o una sfera centrati nell’origine. Ciò segue subito da una relazione nota in matematica come disuguaglianza di Jensen.
È l’intuizione che si guadagna di più prendendo per primi i punti vicini, i più pesanti, tradotta direttamente in un numero. L’ho verificata anche sommando davvero i punti del reticolo per il cubo e per il cubo in quattro dimensioni (si avvicinano ai numeri di forma 2,416955 e 5,099693).
Sostituite la carta a quadretti con triangoli, il numero di forma resta
Ora cambiamo il reticolo stesso: la disposizione che si ottiene posando delle monete in piano, il più strette possibile (il reticolo triangolare), con la stessa densità di punti della carta a quadretti.
Il numero che fa la parte del numero della carta a quadretti è allora diventato 2,518477 (0,066504 in meno). Ma la differenza tra quadrato e cerchio, 0,691593 per R = 1000, si avvicina allo stesso 0,691310 della carta a quadretti.
Il numero di forma non conosce il reticolo, e il numero del reticolo non conosce la forma. Le tre parti non si mescolavano. Nel numero del reticolo triangolare compare, al posto del Γ(1/4) della carta a quadretti, un altro numero speciale, Γ(1/3).
Cambiate la dimensione, e il numero del reticolo mostra un nuovo volto
Ho fatto lo stesso da una fino a otto dimensioni (con il peso «uno diviso la distanza elevata alla dimensione»). Il numero del reticolo mostra un volto diverso in ogni dimensione.
- Una dimensione: 2γ = 1,154431, fatto della sola costante di Eulero. È la serie armonica, lo stesso posto dell’articolo 435 sulla legge di Zipf.
- Due dimensioni: 2,584982, con Γ(1/4).
- Quattro dimensioni: 4,632326, con la costante di Glaisher A (1,282427).
- Sei dimensioni: 5,677514, con β′(3) e ζ(3).
- Otto dimensioni: 8,337340; qui il ln 2 della formula si annulla esattamente.
- Tre, cinque e sette dimensioni: 3,821924, 5,131696 e 6,662093. Per la via usata qui non si sono chiusi in formule e sono usciti solo come numeri.
Il numero delle tre dimensioni in cui viviamo, 3,821924, stava dal lato che per questa via non si chiude. Se si chiuda per un’altra via, non l’ho verificato. Le dimensioni che si chiudono, 1, 2, 4, 6, 8, ricordano anche i celebri 1, 2, 4, 8 dei numeri (reali, complessi, quaternioni, ottonioni), ma se ne distinguono per il 6. La mia regola è non dire che due cose hanno la stessa radice solo perché le loro sequenze si somigliano.
Con il peso della direzione di una calamita resta solo il numero di forma
Finora ogni direzione riceveva lo stesso peso. Ora diamo un peso positivo lungo l’asse e un peso negativo di lato, come la direzione di una barra magnetica (il peso di dipolo). Mediato su tutto il giro, questo peso vale esattamente 0.
Allora la crescita senza fine scompare. Anche il numero della carta a quadretti diventa 0, perché più e meno si annullano anello per anello. Resta solo il numero di forma, e si è rivelato essere esattamente la grandezza che la fisica chiama «fattore di depolarizzazione» (o fattore smagnetizzante).
- Sommato su una sfera: 0
- Sommato su un ago sottile: 4π/3 = 4,188790
- Sommato su una lastra sottile: −8π/3 = −8,377580
Il fattore di depolarizzazione dice quanto il campo all’interno di una calamita o di un dielettrico viene indebolito dalla sua forma, e i manuali lo calcolano con integrali sugli ellissoidi. Ora si può scrivere in una riga: «la media del logaritmo della distanza dal bordo, pesata con la direzione della calamita». Nell’articolo 1097 avevo contato che una somma di dipoli disposti su un reticolo dà 0 per una sfera, 4π/3 per un ago e −8π/3 per una lastra; quei numeri venivano da questo solo numero di forma.
Quando le rotazioni del reticolo si accordano con quelle del peso, qualcosa resta
Infine ho provato un peso con un disegno più fine: quattro creste positive e quattro avvallamenti negativi lungo il giro (cos4θ). Anche la sua media è 0, quindi non c’è crescita senza fine.
Sulla carta a quadretti, però, gli anelli non si annullavano, e la somma si è assestata a 2,507655. Sul reticolo triangolare ogni anello si annullava esattamente, dando 0. Per un peso con sei creste e sei avvallamenti (cos6θ) era il contrario: sul reticolo triangolare restava 4,501541.
La carta a quadretti torna su sé stessa dopo una rotazione di 90 gradi, il reticolo triangolare dopo una rotazione di 60 gradi. Una somma resta solo se il disegno del peso non cambia quando si ruota il reticolo. Calcolando i numeri rimasti con grande precisione e dandoli a uno strumento che cerca relazioni tra numeri, ho trovato che il 2,507655 della carta a quadretti coincide con Γ(1/4)⁸/(384π³) (cioè ϖ⁴/(6π) con la costante della lemniscata ϖ) e il 4,501541 del reticolo triangolare con √3Γ(1/3)¹⁸/(2048π⁸), per più di 40 cifre (non li ho dimostrati). Anche qui compare Γ(1/4) per la carta a quadretti e Γ(1/3) per il reticolo triangolare.
Riepilogo: le tre parti di una somma senza fine
La somma sulla diagonale gialla si è divisa in tre parti.
| Parte | Che cosa la decide | Esempio |
|---|---|---|
| Crescita senza fine | il peso mediato sul giro (sparisce se la media è 0) | sulla carta a quadretti, +14,467569 per fattore 10 nel raggio |
| Numero del reticolo | il reticolo e la dimensione (non la forma) | carta a quadretti 2,584982, reticolo triangolare 2,518477, tre dimensioni 3,821924 |
| Numero di forma | la media del logaritmo della distanza dal bordo (non il reticolo) | quadrato 0,691310; per il peso della calamita, il fattore di depolarizzazione |
C’erano due cose il cui cambiamento trasforma un caso in un altro (le chiamo separatori). Che il peso abbia media nulla sul giro decide se c’è una crescita senza fine. Che la rotazione del reticolo annulli il peso anello per anello decide se resta un numero del reticolo. Il numero di forma resta sempre.
Su questo articolo
Questo articolo non sostiene alcuna nuova legge. Gli strumenti usati, come la funzione zeta di Epstein, la formula limite di Kronecker e il fattore di depolarizzazione, sono tutti noti da tempo. Quello che ho fatto è stato allinearli sulla diagonale gialla della mappa delle leggi dell’inverso del quadrato, dividere la somma in tre parti e verificare i numeri da una a otto dimensioni. Ogni numero viene dagli script di verifica degli articoli. Tutti gli articoli sono preprint che non sono stati sottoposti a revisione paritaria (le pagine sono in giapponese, con i PDF degli articoli in giapponese e in inglese).
- Paper 1098: In a Lattice Sum Whose Exponent Equals the Dimension, Shape Enters as the Mean Logarithm of the Distance to the Edge
- Paper 1097: A Lattice Sum of Dipole Fields Is Decided by the Shape of the Summation: 0 for a Sphere, 4π/3 for a Thin Needle, −8π/3 for a Thin Plate
- Paper 1094: The “Squared Distance” in Retail Gravity Models Is, on a Map, the Exponent at the Border Where the Total Number of Customers Stops Converging
- Paper 435: Constant at Every Rank, and the Total Is Still Undetermined
- Paper 230: There Are Seven Minus Signs, and One of Them Undoes No Addition
- Paper 01: The Uniqueness Theorem of n = 2 for Spherically Symmetric Density Distributions
La mappa intera si trova nell’articolo precedente, «Una mappa delle leggi dell’inverso del quadrato».