Nell’articolo precedente, «Riordinate l’interno di una scatola e la gravità fuori non cambia affatto», ho scritto che dall’esterno di una pelle chiusa si legge solo un numero per motivo angolare, una pelle di motivo. Eppure esistono tecniche che formano immagini dell’interno dall’esterno. L’ecografia in ospedale è una di queste. Kenjiro Kimura e i suoi colleghi dell’Università di Kobe hanno costruito una teoria che misura muovendo sia il punto che invia un’onda sia il punto che la riceve, e stanno sviluppando la mammografia a microonde, che forma immagini dell’interno del seno con le onde radio.
Stimo molto il modo di pensare del professor Kimura. Una volta ho scritto su note che ciò che ho imparato dal mio maestro di pesca, imparare i momenti in cui non abbocca nulla, sembra avere la stessa forma del problema inverso del professor Kimura. Questa volta ho verificato la parte di quella forma comune che si può dire con il calcolo. Che cosa bisogna aggiungere per leggere un interno che da fuori non si legge? La risposta è stata: muovere la frequenza, oppure aggiungere un secondo punto.
I calcoli qui presentati sono stati fatti per questa pagina, oppure provengono dagli articoli dell’autore, pubblicati come preprint che non sono stati sottoposti a revisione paritaria.
Punti chiave
- Ricevendo soltanto, senza un punto che invia, che il campo sia statico come la gravità o un’onda di una sola frequenza, ciò che esce è un numero per motivo angolare. Un riordino invisibile da fuori esiste sempre, in una forma accordata a quella frequenza.
- La forma del riordino invisibile cambia con la frequenza. Muovendo la frequenza, nessun riordino resta invisibile a tutte le frequenze.
- Muovendo la frequenza su una banda, o misurando con due punti, uno che invia e uno che riceve, il numero di valori leggibili cresce gradualmente. Per un interno a simmetria sferica, due punti a una sola frequenza leggono circa quanto la sola ricezione con la frequenza spinta fino al doppio.
- L’equazione del campo diffuso del professor Kimura e dei suoi colleghi descrive solo come viaggiano in una regione vuota le onde d’andata e di ritorno, e per un solo rimbalzo vale senza approssimazione. L’immagine si forma solo dove viene meno la premessa di quell’equazione, una regione vuota, cioè nei diffusori.
- Solo ricevere
- Riordini invisibili
- Muovere la frequenza
- Un secondo punto
- L’equazione di Kimura
- La quiete della pesca
- Due ruoli di 1/r²
- Domande
- Riferimenti
Solo ricezione: un numero per motivo a ogni frequenza
L’interno sta in una sfera di raggio 1. Il campo misurato fuori è statico, come la gravità o l’elettricità, oppure un’onda, come il suono o la luce. Le onde si trattano una frequenza alla volta. «Solo ricevere» significa qui che il campo prodotto dall’interno si può misurare ovunque fuori, quante volte si vuole, ma non c’è un punto che invia.
Con questo tipo di misura, ciò che esce è solo un numero per motivo angolare. Il campo si indebolisce quando cambia il raggio esterno, ma il modo in cui si indebolisce è una forma fissa, stabilita dal motivo e dalla frequenza, e non porta alcun dettaglio dell’interno. Ho diviso l’interno in 40 strati lungo il raggio e costruito il campo in 30 raggi esterni con un’integrazione numerica, senza usare la formula di sviluppo. In 16 casi, statico e frequenze 2, 5 e 10, motivi da 0 a 3, il secondo valore singolare era al massimo 2,24×10⁻¹⁴ del più grande. In ogni caso esce un solo numero. Che a una sola frequenza sia uno è stato contato anche per il nucleo di Helmholtz nell’articolo 1107.
Ciò che arriva lontano a una frequenza è l’interno scomposto per finezza (la sua trasformata di Fourier), letto sulla sfera di raggio k. Si può chiamare una pelle nello spazio di Fourier. La gravità è il caso della frequenza 0, in cui quella pelle si riduce a un solo punto nel centro.
Il riordino invisibile si sposta con la frequenza
Nell’articolo precedente abbiamo verificato che riordinare l’interno di una scatola nella forma Δφ (la curvatura di una collina liscia φ) non cambia la gravità fuori. Con le onde accade lo stesso. Per un’onda di frequenza k0, un riordino della forma (Δ + k0²)φ non emette nulla fuori. Il Δφ della gravità è il caso k0 = 0.
Ma misurato a un’altra frequenza, lo stesso riordino esce eccome. Ciò che esce porta un peso (k0² − k²). Muovete nella figura qui sotto la frequenza k0 a cui è accordato il riordino e la frequenza k a cui si misura.
Il cursore in alto sceglie la frequenza k0 a cui è accordato il riordino, quello in basso la frequenza misurata k.
- numero emesso a questa frequenza
- numero emesso alla frequenza d’accordo
In numeri: il riordino accordato a k0 = 5, (Δ + 25)φ, ha emesso 1,2698413, 0,8870017, −0,0000000 e −0,0095429 alle frequenze 0, 2, 5 e 8. Il Δφ accordato alla gravità ha emesso −0,0000000, −0,1689527, −0,3590739 e −0,0156601. Ciascuno è nullo solo alla frequenza a cui è accordato, ed esce altrove.
La frequenza invisibile però non è per forza unica. A una frequenza in cui φ stesso non emette nulla (k = 8,182561 per questo φ), entrambi i riordini diventano invisibili (figura 1). Se si misura solo a un numero finito di frequenze k1, k2, …, un riordino della forma moltiplicata (Δ + k1²)(Δ + k2²)…ψ resta invisibile a tutte. Eppure, appena si muove la frequenza su una banda, l’unico riordino invisibile a tutte le frequenze è quello nullo. Ciò che esce è il valore della trasformata di Fourier su una sfera; muovendosi su una banda lo si conosce su un intero guscio sferico spesso, e se l’interno sta solo nella sfera, essere nullo lì significa essere nullo ovunque.
Muovendo la frequenza, i numeri crescono gradualmente
Sempre con la sola ricezione, muoviamo la frequenza su una banda. Ho misurato a 400 frequenze da 0,05 fino all’estremo superiore k_max, ho diviso l’interno del motivo 0 in 60 strati e ho contato i numeri leggibili con i valori singolari.
Il cursore muove l’estremo superiore della banda k_max. I pulsanti cambiano la linea di conteggio (la grandezza del rumore).
- numeri sopra la linea
- k_max/π
I numeri sopra 10⁻⁶ del più grande erano 5, 7, 11, 18 e 31 per estremi superiori 5, 10, 20, 40 e 80. Crescono di circa uno ogni volta che l’estremo superiore cresce di π; k_max/π è il numero di mezze lunghezze d’onda che stanno nel raggio 1. A differenza della scogliera di una sola frequenza, i valori singolari si assottigliano gradualmente. Dove tagliare lo decide la grandezza del rumore.
Aggiungere un secondo punto
Ora teniamo una sola frequenza e muoviamo due punti, quello che invia e quello che riceve, su una pelle di raggio 1,5. L’interno rimanda l’onda una sola volta, e l’intensità del rimbalzo sta in una densità a simmetria sferica (motivo 0). La sola ricezione a una frequenza legge un solo numero per il motivo 0, ma due punti leggono molti strati.
Il cursore muove la frequenza k. I pulsanti cambiano la linea di conteggio.
- due punti, una frequenza
- solo ricezione, banda [0,05; 2k]
Sulla linea 10⁻⁶, due punti alle frequenze 5, 10 e 20 leggono 8, 11 e 18, quasi i 7, 11 e 18 che la sola ricezione legge sulle bande [0,05; 10], [0,05; 20] e [0,05; 40]. All’andata e al ritorno, la finezza leggibile arriva a 2k. È lo stesso conteggio della tomografia a diffrazione (Wolf 1969), che legge l’interno fino alla sfera di raggio 2k muovendo la direzione dell’onda piana incidente e la direzione in cui la si riceve lontano. Fermando la frequenza, due punti statici leggono ancora 5, ma i loro valori singolari calano in fretta: una lettura che teme il rumore. È il lato del problema di Calderón, leggere l’interno con elettrodi sul corpo (articolo 99).
L’equazione del professor Kimura è un’equazione della regione vuota
Il professor Kimura e i suoi colleghi hanno scritto il campo diffuso come funzione di due punti, quello che invia e quello che riceve, e hanno ricavato l’equazione che esso soddisfa (Kimura e Kimura 2021). Per un punto diffusore, un’onda sferica dal punto che invia a quel punto è moltiplicata per un’onda sferica da quel punto al punto che riceve e per l’intensità del rimbalzo, e si somma su tutti i punti diffusori. I due punti condividono una coordinata x. Nei RIMS Kokyuroku questa equazione (equazione (2-5)) è ricavata come approssimazione che trascura i termini di ordine superiore nell’inverso della distanza. Con i valori sulla superficie misurata come condizioni al contorno, l’equazione si risolve verso l’interno nello spazio dei due punti; portando i due punti nello stesso punto e sommando sulle frequenze (riportando il tempo a zero), si ottiene l’immagine.
Verificando, ho trovato che l’equazione vale senza approssimazione per un solo rimbalzo. Il motivo è breve. L’onda d’andata e l’onda di ritorno viaggiano ciascuna liberamente in una regione vuota, e ciascuna soddisfa la propria equazione delle onde. Dividendo in due la x comune e inserendo queste due equazioni nell’operatore, la finezza nella direzione trasversale (il numero d’onda) si elide esattamente, e l’intera espressione diventa nulla. Calcolato con 40 cifre, il resto era inferiore a 10⁻⁴¹ della grandezza dei termini; per confronto, un prodotto in cui solo la frequenza del ritorno era moltiplicata per 1,3 dava 0,148 e 0,181, e un prodotto di onde statiche 1,000 e 0,272, non nulli. Costruire l’immagine su un’equazione delle onde valida in ciascuno dei punti che invia e che riceve è la stessa idea dell’equazione a doppia radice quadrata dell’esplorazione sismica, che fa scendere insieme i punti di emissione e di ricezione (Yilmaz e Claerbout 1980; Claerbout 1985).
L’approssimazione agisce davvero solo al passo successivo, in cui si allineano le profondità dei punti che inviano e ricevono all’unica superficie misurata. Lì si sceglie il punto in cui l’onda d’andata e quella di ritorno vanno nella stessa direzione (un punto di fase stazionaria). La domanda di brevetto europeo sulla stessa teoria usa le parole «almost an exact solution», ma quella frase riguarda un’altra disposizione, in cui i due punti condividono due coordinate, x e la profondità z. Ciò che ho verificato è l’equazione (2-5), in cui è condivisa solo x. Non ho verificato se il professor Kimura e i suoi colleghi abbiano scritto questa esattezza in altri articoli. Ne ho letti tre: l’articolo nei RIMS Kokyuroku, l’articolo sugli ultrasuoni e la domanda di brevetto.
Questa equazione non contiene alcuna traccia dell’intensità dei diffusori. Descrive solo come le onde d’andata e di ritorno viaggiano in una regione vuota; la si potrebbe chiamare un’equazione della regione vuota. Per questo la si può risolvere verso l’interno con i soli valori misurati come condizioni al contorno. L’indizio sui diffusori entra solo attraverso i segnali misurati (i valori al contorno). Quando si risolve l’equazione verso l’interno, si portano i due punti nello stesso punto e si riporta il tempo a zero, dei valori si alzano solo dove i punti che inviano e ricevono incontrano un diffusore, cioè solo dove viene meno la premessa dell’equazione, una regione vuota. La figura qui sotto è un esempio molto semplice in due dimensioni per vedere questa idea. Non è il calcolo del professor Kimura e dei suoi colleghi in sé.
Il cursore cambia quanti punti sono allineati sulla linea in alto. Due qualsiasi di essi fanno da punto che invia e da punto che riceve.
- coppie usate
Con una sola coppia, l’istante d’arrivo di un’eco dice solo l’insieme dei punti la cui eco arriva in quell’istante: un cerchio se il punto che invia e quello che riceve coincidono, un’ellisse se sono separati. Aggiungendo coppie, cerchi ed ellissi si sovrappongono solo nei diffusori, dove si alzano dei picchi. Porre l’immagine dove le onde discendenti e ascendenti si incontrano nel tempo e nello spazio è usato da tempo anche nella prospezione sismica (Claerbout 1971).
Nel limite ideale in cui sono presenti tutte le frequenze, l’immagine di un diffusore puntiforme è netta in un punto, e il suo valore non resta finito. Con una banda reale, la larghezza del picco è fissata dalla larghezza di banda. Per la banda [π; 2π] (frequenze da 0,5 a 1) il primo zero dell’inviluppo è a 1,000000, la stessa formula della risoluzione in distanza c/2B di un radar (articolo 802).
La quiete della pesca, e un’equazione della regione vuota
Il mio maestro di pesca non si limitava a cercare le abboccate; imprimeva nel corpo lo stato in cui non abboccava nulla. Su note ho scritto che questo sembra avere la stessa forma del problema inverso del professor Kimura: che il professor Kimura ha definito uno spazio quieto e vuoto come un’equazione e ha cercato i punti in cui quella quiete si rompe. Nell’articolo 89 ho tenuto questo legame fuori dai calcoli, come impressione personale e non come scienza.
Questa volta una parte si può dire con i numeri. L’equazione del professor Kimura e dei suoi colleghi descrive davvero solo come le onde viaggiano in una regione vuota, e i diffusori emergono come i punti in cui viene meno la premessa di quell’equazione, una regione vuota. Dove su note ho scritto «i punti in cui i valori divergono», nel limite ideale con tutte le frequenze l’immagine di un punto è netta in un punto, quindi in quel senso era giusto. Con una banda reale diventa un picco la cui larghezza è fissata dalla larghezza di banda. La tecnica di pesca in sé la tengo ancora fuori dalla scienza.
Due ruoli di 1/r²
L’1/r² della gravità e dell’elettricità è un campo senza sorgenti fuori dall’interno. Il flusso attraverso ogni superficie chiusa vale 4π volte la quantità interna, qualunque sia la forma della superficie e ovunque si trovi l’interno. Questo 4π viene dal fatto che il campo è privo di massa. Che esca un numero per motivo angolare ha un’altra radice: l’equazione del campo è del secondo ordine e locale (articolo 1107; anche il campo di Yukawa, dotato di massa, emette un numero per motivo). In questo senso il campo 1/r², come rappresentante dei campi del secondo ordine, nasconde l’interno all’esterno.
Per le onde, lo stesso 1/r² gioca un altro ruolo. Che il flusso di un’onda sferica uscente non dipenda dal raggio fissa la sua ampiezza a 1/r, e in tre dimensioni un’eco arriva indebolendosi, ma senza cambiare forma. Il prossimo articolo, «Solo in tre dimensioni un’eco torna con la forma invariata», lo verifica. Ciò che permette al metodo del professor Kimura e dei suoi colleghi di leggere l’interno, però, non è tanto che l’eco conservi la forma, quanto che ciò che misurano due punti, uno che invia e uno che riceve, non sta in una sola funzione sulla pelle.
Domande
La gravità da sola non può rivelare tutto l’interno della Terra?
La gravità da sola rivela solo un numero per motivo angolare. Aggiungendo onde con frequenze, come le onde sismiche, o metodi che cambiano i punti d’invio e di ricezione, cresce ciò che si può sapere dell’interno.
Con due punti, ogni interno è determinato in modo unico?
I calcoli di questa pagina usano un interno che rimanda l’onda una volta (l’approssimazione di Born) e guardano solo la densità del motivo 0. Essere determinato in modo unico e poter essere letto in modo robusto contro il rumore sono domande diverse, e il numero di valori leggibili si muove con la linea di conteggio (la grandezza del rumore).
Il metodo del professor Kimura e dei suoi colleghi è un’approssimazione?
Nei RIMS Kokyuroku l’equazione è stata ricavata come approssimazione, ma per la formula di un solo rimbalzo vale senza approssimazione. L’approssimazione agisce al passo in cui si allineano le profondità dei due punti per formare l’immagine. Onde che rimbalzano molte volte, o mezzi le cui proprietà cambiano con la frequenza, non sono trattati in questa pagina.
Articoli e riferimenti
Tutti gli articoli sono pubblicati con licenza CC BY 4.0.
- Articolo 1111 «The Inverse Square Hides the Interior from a Static Field and Carries the Echo of a Wave Undistorted»: la fonte dei calcoli di questa pagina.
- Articolo 1107 «When the Field Equation Is of Second Order, the Interior Can Be Read from Outside a Closed Skin Only as One Number per Angular Pattern»: il conteggio con la sola ricezione.
- Articolo 89 «Zero-Tension and the Inverse Problem»: il legame tra la pesca e i problemi inversi.
- Articolo 99 «Reading the Interior from the Boundary»: il problema di Calderón.
- Articolo 802 «Radar Range Resolution Comes from Bandwidth, Velocity Resolution from Time, and a One-Wrap Velocity Error Shifts Range One Cell»: la risoluzione in distanza c/2B.
- Kimura, K., and Kimura, N. (2021). Inverse Scattering filed theory [titolo come stampato]. RIMS Kokyuroku, Kyoto University.
- Yabumoto, K., Yumii, T., and Kimura, K. (2025). Research on Ultrasonic Imaging Systems Based on Scattering Field Theory. arXiv:2508.14469.
- Kimura, K., Kimura, N., and Kimura, F. (2024). Video-forming device and video-forming method. European Patent Application EP 4357766 A1.
- Wolf, E. (1969). Three-dimensional structure determination of semi-transparent objects from holographic data. Optics Communications.
- Claerbout, J. F. (1971). Toward a unified theory of reflector mapping. Geophysics.
- Yilmaz, Ö., and Claerbout, J. F. (1980). Prestack partial migration. Geophysics.
- Claerbout, J. F. (1985). Imaging the Earth's Interior. Blackwell Scientific Publications.