Dans l’article précédent, « Réarrangez l’intérieur d’une boîte, la gravité à l’extérieur ne change pas du tout », j’ai écrit que de l’extérieur d’une peau fermée on ne peut lire qu’un nombre par motif angulaire, une peau de motif. Pourtant, il existe des techniques qui imagent l’intérieur depuis l’extérieur. L’échographie à l’hôpital en est une. Kenjiro Kimura et ses collègues de l’université de Kobe ont bâti une théorie qui mesure en déplaçant à la fois le point qui émet une onde et le point qui la reçoit, et ils développent la mammographie par micro-ondes, qui image l’intérieur du sein avec des ondes radio.
J’ai un grand respect pour la façon de penser du professeur Kimura. J’ai écrit un jour sur note que ce que j’ai appris de mon maître de pêche, apprendre les moments où rien ne mord, semble avoir la même forme que le problème inverse du professeur Kimura. Cette fois, j’ai vérifié la partie de cette forme commune que l’on peut dire par le calcul. Que faut-il ajouter pour lire un intérieur qu’on ne peut pas lire de l’extérieur ? La réponse a été : faire varier la fréquence, ou ajouter un second point.
Les calculs présentés ici ont été faits pour cette page, ou proviennent des articles de l’auteur, publiés en prépublication et non évalués par des pairs.
Points clés
- En ne faisant que recevoir, sans point qui émet, que le champ soit statique comme la gravité ou une onde d’une seule fréquence, ce qui sort est un nombre par motif angulaire. Un réarrangement invisible de l’extérieur existe toujours, sous une forme accordée à cette fréquence.
- La forme du réarrangement invisible change avec la fréquence. Faites varier la fréquence, et aucun réarrangement ne reste invisible à toutes les fréquences.
- En faisant varier la fréquence sur une bande, ou en mesurant avec deux points, l’un qui émet et l’autre qui reçoit, le nombre de valeurs lisibles croît progressivement. Pour un intérieur à symétrie sphérique, deux points à une seule fréquence lisent à peu près autant que la réception seule quand la fréquence monte jusqu’au double.
- L’équation du champ diffusé du professeur Kimura et de ses collègues décrit seulement la propagation des ondes aller et retour dans une région vide, et pour un seul rebond elle vaut sans approximation. L’image ne se forme que là où l’hypothèse de cette équation, une région vide, cesse de tenir, c’est-à-dire aux diffuseurs.
- Recevoir seulement
- Réarrangements invisibles
- Faire varier la fréquence
- Un second point
- L’équation de Kimura
- Le calme de la pêche
- Deux rôles de 1/r²
- Questions
- Références
En réception seule : un nombre par motif à toute fréquence
L’intérieur se trouve dans une boule de rayon 1. Le champ mesuré à l’extérieur est soit statique, comme la gravité ou l’électricité, soit une onde, comme le son ou la lumière. Les ondes sont traitées une fréquence à la fois. « Recevoir seulement » signifie ici que le champ produit par l’intérieur peut être mesuré n’importe où à l’extérieur, aussi souvent qu’on le veut, mais qu’il n’y a pas de point qui émet.
Avec ce genre de mesure, ce qui sort n’est qu’un nombre par motif angulaire. Le champ s’affaiblit quand le rayon extérieur change, mais sa façon de s’affaiblir est une forme fixe, déterminée par le motif et la fréquence, et elle ne porte aucun détail de l’intérieur. J’ai divisé l’intérieur en 40 couches le long du rayon et construit le champ en 30 rayons extérieurs par intégration numérique, sans utiliser la formule de développement. Dans 16 cas, statique et fréquences 2, 5 et 10, motifs 0 à 3, la deuxième valeur singulière valait au plus 2,24×10⁻¹⁴ de la plus grande. Dans chaque cas, un seul nombre sort. Qu’il n’y en ait qu’un à une seule fréquence a aussi été compté pour le noyau de Helmholtz dans l’article 1107.
Ce qui parvient au loin à une fréquence, c’est l’intérieur décomposé selon la finesse (sa transformée de Fourier), lu sur la sphère de rayon k. On peut parler d’une peau dans l’espace de Fourier. La gravité est le cas de la fréquence 0, où cette peau se réduit à un seul point au centre.
Le réarrangement invisible se déplace avec la fréquence
Dans l’article précédent, nous avons vérifié que réarranger l’intérieur d’une boîte sous la forme Δφ (la courbure d’une colline lisse φ) ne change pas la gravité à l’extérieur. Il en va de même pour les ondes. Pour une onde de fréquence k0, un réarrangement de la forme (Δ + k0²)φ n’envoie rien dehors. Le Δφ de la gravité est le cas k0 = 0.
Mais mesuré à une autre fréquence, le même réarrangement sort bel et bien. Ce qui sort porte un poids (k0² − k²). Faites varier dans la figure ci-dessous la fréquence k0 à laquelle le réarrangement est accordé, et la fréquence k à laquelle on mesure.
Le curseur du haut choisit la fréquence k0 à laquelle le réarrangement est accordé, celui du bas la fréquence mesurée k.
- nombre envoyé à cette fréquence
- nombre envoyé à la fréquence d’accord
En nombres : le réarrangement accordé à k0 = 5, (Δ + 25)φ, a envoyé 1,2698413, 0,8870017, −0,0000000 et −0,0095429 aux fréquences 0, 2, 5 et 8. Le Δφ accordé à la gravité a envoyé −0,0000000, −0,1689527, −0,3590739 et −0,0156601. Chacun n’est nul qu’à la fréquence à laquelle il est accordé, et sort ailleurs.
La fréquence invisible n’est cependant pas forcément unique. À une fréquence où φ lui-même n’envoie rien dehors (k = 8,182561 pour ce φ), les deux réarrangements deviennent invisibles (figure 1). Si l’on ne mesure qu’à un nombre fini de fréquences k1, k2, …, un réarrangement de la forme multipliée (Δ + k1²)(Δ + k2²)…ψ reste invisible à chacune. Pourtant, dès que la fréquence varie sur une bande, le seul réarrangement invisible à toutes les fréquences est nul. Ce qui sort est la valeur de la transformée de Fourier sur une sphère ; en parcourant une bande, on la connaît sur toute une coquille sphérique épaisse, et si l’intérieur ne se trouve que dans la boule, être nul là revient à être nul partout.
En faisant varier la fréquence, les nombres croissent progressivement
Toujours en réception seule, faisons varier la fréquence sur une bande. J’ai mesuré à 400 fréquences de 0,05 jusqu’au haut de bande k_max, divisé l’intérieur du motif 0 en 60 couches, et compté les nombres lisibles avec les valeurs singulières.
Le curseur déplace le haut de bande k_max. Les boutons changent la ligne de comptage (la taille du bruit).
- nombres au-dessus de la ligne
- k_max/π
Les nombres au-dessus de 10⁻⁶ de la plus grande valaient 5, 7, 11, 18 et 31 pour des hauts de bande 5, 10, 20, 40 et 80. Ils augmentent d’environ un à chaque fois que le haut de bande augmente de π ; k_max/π est le nombre de demi-longueurs d’onde qui tiennent dans le rayon 1. Contrairement à la falaise d’une seule fréquence, les valeurs singulières s’amincissent progressivement. Où couper dépend de la taille du bruit.
Ajouter un second point
Gardons maintenant une seule fréquence, et déplaçons deux points, celui qui émet et celui qui reçoit, sur une peau de rayon 1,5. L’intérieur ne renvoie l’onde qu’une fois, et l’intensité du rebond est placée dans une densité à symétrie sphérique (motif 0). La réception seule à une fréquence lit un seul nombre pour le motif 0, mais deux points lisent de nombreuses couches.
Le curseur fait varier la fréquence k. Les boutons changent la ligne de comptage.
- deux points, une fréquence
- réception seule, bande [0,05 ; 2k]
Sur la ligne 10⁻⁶, deux points aux fréquences 5, 10 et 20 lisent 8, 11 et 18, presque les 7, 11 et 18 que lit la réception seule sur les bandes [0,05 ; 10], [0,05 ; 20] et [0,05 ; 40]. À l’aller et au retour, la finesse lisible atteint 2k. C’est le même compte que la tomographie par diffraction (Wolf 1969), qui lit l’intérieur jusqu’à la sphère de rayon 2k en faisant varier la direction de l’onde plane incidente et la direction de réception au loin. En arrêtant la fréquence, deux points statiques lisent encore 5, mais leurs valeurs singulières chutent vite, une lecture fragile face au bruit. C’est le côté du problème de Calderón, lire l’intérieur avec des électrodes sur le corps (article 99).
L’équation du professeur Kimura est une équation de la région vide
Le professeur Kimura et ses collègues ont écrit le champ diffusé comme une fonction de deux points, celui qui émet et celui qui reçoit, et ont établi l’équation qu’il vérifie (Kimura et Kimura 2021). Pour un point diffusant, une onde sphérique allant du point qui émet à ce point est multipliée par une onde sphérique allant de ce point au point qui reçoit et par l’intensité du rebond, puis on additionne sur tous les points diffusants. Les deux points partagent une coordonnée x. Dans les RIMS Kokyuroku, cette équation (équation (2-5)) est établie comme une approximation qui néglige les termes d’ordre supérieur en l’inverse de la distance. Avec les valeurs sur la surface mesurée comme conditions aux limites, l’équation est résolue vers l’intérieur dans l’espace des deux points ; en amenant les deux points au même point et en sommant sur les fréquences (en ramenant le temps à zéro), on obtient l’image.
En vérifiant, j’ai trouvé que l’équation valait sans approximation pour un seul rebond. La raison est courte. L’onde aller et l’onde retour se propagent chacune librement dans une région vide, et chacune vérifie sa propre équation des ondes. En séparant le x commun en deux et en introduisant ces deux équations dans l’opérateur, la finesse dans la direction transversale (le nombre d’onde) s’élimine exactement, et l’expression entière devient nulle. Calculé avec 40 chiffres, le reste était inférieur à 10⁻⁴¹ de la taille des termes ; à titre de comparaison, un produit où seule la fréquence du retour était multipliée par 1,3 donnait 0,148 et 0,181, et un produit d’ondes statiques 1,000 et 0,272, non nuls. Bâtir l’image sur une équation des ondes valable en chacun des points qui émet et qui reçoit est la même idée que l’équation à double racine carrée de l’exploration sismique, qui fait descendre ensemble les points d’émission et de réception (Yilmaz et Claerbout 1980 ; Claerbout 1985).
L’approximation n’agit vraiment qu’à l’étape suivante, où l’on aligne les profondeurs des points qui émettent et reçoivent sur la seule surface mesurée. On y choisit l’endroit où l’onde aller et l’onde retour vont dans la même direction (un point de phase stationnaire). La demande de brevet européen sur la même théorie emploie les mots « almost an exact solution », mais cette phrase porte sur une autre disposition, où les deux points partagent deux coordonnées, x et la profondeur z. Ce que j’ai vérifié, c’est l’équation (2-5), où seul x est partagé. Je n’ai pas vérifié si le professeur Kimura et ses collègues ont écrit cette exactitude dans d’autres articles. J’en ai lu trois : l’article des RIMS Kokyuroku, l’article sur les ultrasons et la demande de brevet.
Cette équation ne contient aucune trace de l’intensité des diffuseurs. Elle décrit seulement la propagation des ondes aller et retour dans une région vide ; on pourrait l’appeler une équation de la région vide. C’est pourquoi on peut la résoudre vers l’intérieur avec les seules valeurs mesurées comme conditions aux limites. L’indice sur les diffuseurs n’entre que par les signaux mesurés (les valeurs au bord). Quand on résout l’équation vers l’intérieur, qu’on amène les deux points au même point et qu’on ramène le temps à zéro, des valeurs ne se dressent que là où les points qui émettent et reçoivent rencontrent un diffuseur, c’est-à-dire seulement là où l’hypothèse de l’équation, une région vide, cesse de tenir. La figure ci-dessous est un exemple très simple en deux dimensions pour voir cette idée. Ce n’est pas le calcul du professeur Kimura et de ses collègues lui-même.
Le curseur change le nombre de points alignés sur la ligne du haut. Deux d’entre eux servent à chaque fois de point qui émet et de point qui reçoit.
- paires utilisées
Avec une seule paire, l’heure d’arrivée d’un écho ne dit que l’ensemble des points dont l’écho arrive à cette heure : un cercle si le point qui émet et celui qui reçoit coïncident, une ellipse s’ils sont séparés. En ajoutant des paires, les cercles et les ellipses ne se recouvrent qu’aux diffuseurs, où des pics se dressent. Placer l’image là où les ondes descendantes et montantes se rencontrent dans le temps et dans l’espace est aussi utilisé depuis longtemps en prospection sismique (Claerbout 1971).
Dans la limite idéale où toutes les fréquences sont présentes, l’image d’un diffuseur ponctuel est nette en un point, et sa valeur ne reste pas finie. Avec une bande réelle, la largeur du pic est fixée par la largeur de bande. Pour la bande [π ; 2π] (fréquences 0,5 à 1), le premier zéro de l’enveloppe se trouve à 1,000000, la même formule que la résolution en distance c/2B d’un radar (article 802).
Le calme de la pêche, et une équation de la région vide
Mon maître de pêche ne se contentait pas de chercher les touches ; il gravait dans son corps l’état où rien ne mordait. Sur note, j’ai écrit que cela semble avoir la même forme que le problème inverse du professeur Kimura : que le professeur Kimura a défini un espace calme et vide comme une équation et cherché les endroits où ce calme se rompt. Dans l’article 89, j’ai gardé ce lien en dehors des calculs, comme une impression personnelle et non comme de la science.
Cette fois, une partie peut se dire en nombres. L’équation du professeur Kimura et de ses collègues décrit vraiment la seule propagation des ondes dans une région vide, et les diffuseurs apparaissent comme les points où l’hypothèse de cette équation, une région vide, cesse de tenir. Là où j’ai écrit sur note « les points où les valeurs divergent », dans la limite idéale avec toutes les fréquences l’image d’un point est nette en un point, donc en ce sens c’était juste. Avec une bande réelle, cela devient un pic dont la largeur est fixée par la largeur de bande. La technique de pêche elle-même, je la garde toujours hors de la science.
Deux rôles de 1/r²
Le 1/r² de la gravité et de l’électricité est un champ sans source en dehors de l’intérieur. Le flux à travers toute surface fermée vaut 4π fois la quantité intérieure, quelle que soit la forme de la surface et où que se trouve l’intérieur. Ce 4π vient de ce que le champ est sans masse. Qu’il sorte un nombre par motif angulaire a une autre racine : l’équation du champ est du second ordre et locale (article 1107 ; le champ de Yukawa, massif, n’envoie lui aussi qu’un nombre par motif). En ce sens, le champ en 1/r², représentant des champs du second ordre, cache l’intérieur à l’extérieur.
Pour les ondes, le même 1/r² joue un autre rôle. Que le flux d’une onde sphérique sortante ne dépende pas du rayon fixe son amplitude à 1/r, et en trois dimensions un écho arrive en s’affaiblissant, mais sans changer de forme. L’article suivant, « Ce n’est qu’en trois dimensions qu’un écho revient avec sa forme inchangée », le vérifie. Ce qui permet toutefois à la méthode du professeur Kimura et de ses collègues de lire l’intérieur, c’est moins que l’écho garde sa forme que le fait que ce que mesurent deux points, l’un qui émet et l’autre qui reçoit, ne tient pas dans une seule fonction sur la peau.
Questions
La gravité seule ne peut-elle pas révéler tout l’intérieur de la Terre ?
La gravité seule ne révèle qu’un nombre par motif angulaire. En ajoutant des ondes ayant des fréquences, comme les ondes sismiques, ou des méthodes qui changent les points d’émission et de réception, ce que l’on peut savoir de l’intérieur augmente.
Avec deux points, tout intérieur est-il déterminé de façon unique ?
Les calculs de cette page utilisent un intérieur qui renvoie l’onde une fois (l’approximation de Born) et ne regardent que la densité du motif 0. Être déterminé de façon unique et pouvoir être lu de façon robuste face au bruit sont deux questions différentes, et le nombre de valeurs lisibles bouge avec la ligne de comptage (la taille du bruit).
La méthode du professeur Kimura et de ses collègues est-elle une approximation ?
Dans les RIMS Kokyuroku, l’équation a été établie comme une approximation, mais pour la formule d’un seul rebond elle vaut sans approximation. L’approximation agit à l’étape où l’on aligne les profondeurs des deux points pour former l’image. Les ondes qui rebondissent de nombreuses fois, ou les milieux dont les propriétés changent avec la fréquence, ne sont pas traités sur cette page.
Articles et références
Tous les articles sont publiés sous licence CC BY 4.0.
- Article 1111 « The Inverse Square Hides the Interior from a Static Field and Carries the Echo of a Wave Undistorted » : la source des calculs de cette page.
- Article 1107 « When the Field Equation Is of Second Order, the Interior Can Be Read from Outside a Closed Skin Only as One Number per Angular Pattern » : le compte en réception seule.
- Article 89 « Zero-Tension and the Inverse Problem » : le lien entre la pêche et les problèmes inverses.
- Article 99 « Reading the Interior from the Boundary » : le problème de Calderón.
- Article 802 « Radar Range Resolution Comes from Bandwidth, Velocity Resolution from Time, and a One-Wrap Velocity Error Shifts Range One Cell » : la résolution en distance c/2B.
- Kimura, K., and Kimura, N. (2021). Inverse Scattering filed theory [titre tel qu’imprimé]. RIMS Kokyuroku, Kyoto University.
- Yabumoto, K., Yumii, T., and Kimura, K. (2025). Research on Ultrasonic Imaging Systems Based on Scattering Field Theory. arXiv:2508.14469.
- Kimura, K., Kimura, N., and Kimura, F. (2024). Video-forming device and video-forming method. European Patent Application EP 4357766 A1.
- Wolf, E. (1969). Three-dimensional structure determination of semi-transparent objects from holographic data. Optics Communications.
- Claerbout, J. F. (1971). Toward a unified theory of reflector mapping. Geophysics.
- Yilmaz, Ö., and Claerbout, J. F. (1980). Prestack partial migration. Geophysics.
- Claerbout, J. F. (1985). Imaging the Earth's Interior. Blackwell Scientific Publications.