E=4πc² est l’équation d’Einstein E=mc² dans laquelle on met 4π à la place de la masse m (article 12). Ce 4π est la masse contenue dans le rayon 1 d’une sphère dont la densité décroît comme l’inverse du carré de la distance (article 02 ; article « Qu’est-ce que m = 4π ? », en japonais). Le membre de droite a la même forme que l’aire d’une sphère de rayon c.
Ce n’est pas une nouvelle loi de la physique, mais une équation bien connue lue sous une autre forme. Pourtant, lue ainsi, elle fait apparaître pour de vrai deux sphères de rayon c dans la physique : la sphère de toutes les vitesses possibles, et la sphère sur laquelle la lumière se répand (une fois choisie une unité de temps).
Cet article résume des articles que j’ai publiés moi-même sous forme de prépublications ; ils n’ont pas été évalués par des pairs.
L’essentiel
- E=4πc² est l’équation ordinaire E=mc² avec m=4π. Rien ne change dans le résultat ; ce qui change, c’est l’allure de l’équation.
- Le membre de droite a la même forme que l’aire d’une sphère de rayon c (article 12). Même forme ne veut pas dire que l’énergie soit devenue une aire.
- Ce 4π n’est pas un angle solide mais une masse : un nombre posé par un choix d’unités de masse (une convention) (articles 60 et 116).
- Pourtant, une sphère de rayon c existe bel et bien. L’ensemble de toutes les vitesses possibles est une boule de rayon c, de courbure −1/c², et cette courbure se mesure par l’expérience (article 60).
- Sur mes 1 097 articles, 22 écrivent la formule E=4πc² dans leur texte principal. Ils l’utilisent de sept façons.
D’où elle vient
Dans le calcul de l’article 02, la masse contenue dans le rayon 1 d’une sphère de densité 1/r² vaut 4π. En la mettant à la place de m dans E=mc², on obtient E=4πc². C’est la formule de l’aire de la sphère, 4πr², avec c à la place de r.
Vérifions les unités. E se mesure en joules (kg·m²/s²), et c² en m²/s². Pour que les deux membres concordent, le nombre qui multiplie c² doit porter des kilogrammes. Un angle solide n’a pas d’unité ; il ne peut pas fournir ces kilogrammes. Voilà pourquoi le 4π de E=4πc² n’est pas un angle solide mais une masse (article 60).
Il y a trois sortes de 4π dans les formules
L’article 60 a classé en trois sortes le 4π qui apparaît dans les formules de la physique.
| 4π | Origine | Unité | Statut |
|---|---|---|---|
| Angle solide (toutes les directions) | la forme de la sphère (article 01) | aucune | fait |
| 2π × |caractéristique d’Euler| (surface à deux trous) | la connexité de la surface (article 67) | aucune | fait |
| Masse m=4π | le choix des unités de masse (articles 56 et 116) | masse | convention |
Même quand le nombre est le même, ce qui vient de racines différentes est traité comme des choses différentes ; c’est une règle de mes articles (articles 35 et 300). C’est dans E=4πc² que cette distinction se voit le plus nettement.
Une sphère de rayon c existe vraiment (1) : la sphère des vitesses
La vitesse de tout objet a une limite supérieure c. Représentons chaque vitesse, avec sa direction et sa grandeur, par un point, et rassemblons les points de toutes les vitesses possibles : ils remplissent exactement l’intérieur d’une boule de rayon c. Les articles 59 et 60 indiquent que, pour cette boule, lire c comme un rayon est vrai à la lettre, et non par image.
En relativité, les vitesses ne s’additionnent pas simplement ; l’écart entre deux vitesses se mesure donc lui aussi avec la règle d’addition relativiste. Mesurée ainsi, la boule devient un espace uniformément courbé négativement (un espace hyperbolique), de courbure K=−1/c². C’est ce qu’a montré Varičak en 1910. Le point de la vitesse 0,9c est à la distance 1,47c du centre, celui de 0,99c à 2,65c et celui de 0,999c à 3,80c ; si loin qu’on aille, on n’atteint jamais le bord c.
Cette courbure n’est pas une image mais une grandeur mesurée. Si l’on fait passer un objet en rotation par un tour d’accélération, de changement de direction et de décélération, son orientation ne revient pas : elle finit légèrement tournée. Cette rotation s’appelle la précession de Thomas (1926), et le facteur 1/2 de l’interaction spin-orbite dans l’atome en est le signe (article 60).
Comme la grandeur de la courbure |K| vaut 1/c², on peut remplacer c² par 1/|K|. Alors E=mc² devient E=m/|K|, qui se lit : « l’énergie au repos est inversement proportionnelle à la courbure de l’espace des vitesses ». Ce remplacement n’a pas besoin de 4π et vaut pour tout m. C’est pourquoi l’article 60 résume sa propre conclusion comme « un résultat sur c, non sur 4π ».
Dans l’espace des vitesses, l’aire d’une sphère à la distance r du centre vaut 4πc² sinh²(r/c) (article 60). Tant que le rayon est petit, elle est presque égale à l’aire plate 4πr² ; au-delà de 0,537c, elle dépasse de plus de 10 % celle de l’espace plat. 4πc² est l’échelle d’aire à partir de laquelle la courbure de cet espace se fait sentir. Notons que le 4π de cette formule d’aire est la première sorte, l’angle solide, différente du 4π (masse) de E=4πc².
Une sphère de rayon c existe vraiment (2) : la sphère de lumière
La lumière partie d’un point se répand comme la surface d’une sphère de rayon ct. L’article 61 appelle cette sphère la sphère de lumière. Si l’on choisit une unité de temps et que t=1, la sphère de lumière a pour rayon c et pour aire 4πc². Alors 4πc² est une vraie aire, avec l’unité d’une longueur au carré.
Mais la durée de t=1, c’est nous qui la fixons. D’après l’article 21, mon ensemble d’articles a déjà utilisé trois choix d’unités : pour la masse (m=4π), pour la constante de gravitation (G=4π) et pour la constante quantique (ħ=1/(4π)). Lire c comme une longueur serait un quatrième choix ; la règle est donc de le dire chaque fois qu’on s’en sert. Et le 4π qui figure dans l’aire de la sphère de lumière est la première sorte, l’angle solide, différente du 4π (masse) de E=4πc². La même suite de symboles est une aire du côté de la sphère de lumière et une énergie du côté de E=4πc² : deux sortes de grandeurs différentes.
La sphère de lumière peut aussi se lire comme l’origine de la loi en inverse du carré. La même lumière se répartit sur la surface de rayon ct, donc son éclat décroît comme 1/(ct)² (article 61). Et la sphère de lumière correspond au bord v=c de la sphère des vitesses. La surface vue du côté de la lumière et l’intérieur vu du côté des vitesses sont deux visages d’un même c (article 61). Les autres endroits où apparaît la loi en inverse du carré sont rassemblés dans l’article « Une carte des lois en inverse du carré ».
E=4πc² dans mes articles : 22 articles, sept usages
J’ai compté les articles qui écrivent la formule E=4πc² dans leur texte principal (avant les références). Outre 4πc², j’ai aussi compté l’écriture dans l’espace des vitesses 4π/|K| et l’aire de la sphère de lumière 4π(ct)². Cela fait 22 articles sur 1 097 ; en lisant comment chacun l’utilise, on obtient sept usages.
| Usage | Articles | Ce qu’ils font |
|---|---|---|
| Origine | 12 | Met m=4π dans E=mc² et la lit comme ayant la même forme que l’aire d’une sphère de rayon c. En empilant l’aire sur le rayon, on obtient la forme de volume (4/3)πc³ (l’équation de restitution du volume) |
| Tableaux et schémas | 13 · 38 · 526 | Inscrit la formule de l’article 12 dans des tableaux et des schémas de l’ensemble |
| Statut de 4π, formules de même forme | 18 · 913 · 1082 · 1083 | Vérifie, par le même décompte, que le 4π mis à la place de m est un choix d’unités de masse : énergie cinétique (18), formule de la longueur de diffusion (1082), h/m (1083). Réexamine aussi pourquoi l’énergie cinétique d’un anneau qui roule prend la même forme 4πv² (913) |
| Espace des vitesses (E=4π/|K|) | 60 · 63 · 66 · 76 · 77 | La réécrit dans le langage de l’ensemble des vitesses possibles (boule de rayon c, courbure −1/c²) et la relie à la courbure de l’espace-temps (63), au décalage vers le rouge gravitationnel (66) et à l’espace des positions et des impulsions (76, 77) |
| Sphère de lumière (rayon ct) | 61 · 65 · 75 | La lit à partir de l’aire 4π(ct)² de la sphère sur laquelle se répand la lumière : la dilution en inverse du carré (61), l’entropie de la sphère de lumière (65), la flèche du temps (75) |
| Triangle énergie–impulsion | 21 · 34 · 56 | L’utilise sous la forme E²=(pc)²+(4πc²)² |
| Peau et contenu, ailleurs | 59 · 908 · 1007 | De la forme d’aire à la forme de volume (59) ; le 4/3 de la masse électromagnétique ne vient pas du 4/3 du volume de la boule mais d’une moyenne sur les directions du champ (908) ; la masse critique vue comme un équilibre entre peau et contenu (1007) |
La lecture née dans l’article 12 est encore utilisée dans l’article 1083. Le groupe le plus grand est l’espace des vitesses, avec 5 articles.
Ce que E=4πc² ne dit pas
- Il ne prétend établir ni nouvelle loi de la physique ni nouvelle constante de la nature.
- Il ne dit pas que l’énergie est une aire. E se mesure en joules, non en unités d’aire.
- Il ne dit pas que ce 4π est un angle solide. C’est un nombre posé par un choix d’unités de masse.
- Un choix d’unités ne change pas les nombres sans unité. Par exemple, le nombre qui exprime la faiblesse de la gravitation entre deux protons, Gm²/(ħc) (environ 5,9×10⁻³⁹), ne bouge pas, quelles que soient les unités (article 35).
- L’écriture dans l’espace des vitesses E=4π/|K| n’explique pas le décalage vers le rouge gravitationnel, car le c de l’espace des vitesses et le c lu sur les coordonnées dans un espace-temps courbe sont deux choses différentes (article 66).
À quoi cela sert-il ?
D’abord, c’est un terrain d’exercice pour distinguer les 4π. Le même 4π se tient comme angle solide dans une formule et comme masse dans une autre. J’ai utilisé cette distinction pour vérifier d’où vient le π des formules de la physique, et j’ai établi, formule par formule, quel π disparaît dans la formule de la longueur de diffusion (article 1082) et dans la constante de Planck divisée par une masse (article 1083).
Ensuite, c’est une porte d’entrée pour lire c comme « le rayon de la sphère des vitesses ». E=m/|K| vaut pour tout m, et la courbure qui est derrière se mesure comme précession de Thomas (article 60).
Enfin, en empilant la forme d’aire sur le rayon de 0 à c, on obtient la forme de volume (4/3)πc³. L’article 12 l’appelle l’équation de restitution du volume. Le côté du volume fait l’objet de l’article « Qu’est-ce que E(3D)=(4/3)πc³ ? ».
Questions fréquentes
E=4πc² est-elle une équation standard de la physique ?
Non. L’équation standard est E=mc². E=4πc² est sa forme quand on choisit les unités de masse de sorte que m=4π ; le résultat est le même qu’avec E=mc².
L’énergie est-elle donc une aire ?
Non. La forme est la même, mais les unités diffèrent. Si l’on choisit une unité de temps, 4πc² devient l’aire de la sphère de lumière ; mais alors son 4π est un angle solide, différent du 4π (masse) de E=4πc².
c est une vitesse. Pourquoi peut-on l’appeler un rayon ?
Parce que l’ensemble de toutes les vitesses possibles est vraiment une boule de rayon c (articles 59 et 60). La sphère de lumière, elle, a pour rayon c une fois choisie une unité de temps (article 61).
Qu’est-ce que E=4π/|K| ?
C’est E=4πc² réécrite avec la courbure K=−1/c² de l’espace des vitesses. Sans le 4π, E=m/|K| vaut pour tout m (article 60).
En quoi est-ce différent de l’article sur m=4π ?
L’article « Qu’est-ce que m = 4π ? » (en japonais) explique d’où vient le nombre de masse 4π. Cet article-ci explique comment l’équation obtenue en mettant ce nombre dans E=mc² est lue et utilisée dans mes articles.
Les articles d’origine
- Paper 02: The 4π Mass Cancellation Theorem
- Paper 12: From Boundary Energy to Volume Energy
- Paper 21: Zero-Tension Does Not Act on an Identity
- Paper 59: The Volume of the Unit Ball Is Greatest in Five Dimensions
- Paper 60: c as the Ball of Velocity Space
- Paper 61: c as the Light Sphere
- Paper 66: Velocity-Space Curvature and Gravitational Redshift
- Paper 116: What Does the Exponent of c Count?
Tous les articles sont publiés sous licence CC BY 4.0 (les pages sont en japonais, avec les PDF des articles en japonais et en anglais).
Toute l’histoire en un livre
E=4πc² et la forme de volume (4/3)πc³ obtenue en l’empilant sont expliquées pas à pas, avec des images et des calculs, dans le livre numérique « Une seule peau et ce qu’elle contient » (Amazon · Google Play Livres).