La gravitation, la force électrique, l’éclat de la lumière, les ondes radio, le son. La physique compte de nombreuses grandeurs qui s’affaiblissent en proportion inverse du carré de la distance (lois en inverse du carré). Les manuels les enseignent une par une, dans des chapitres séparés. Moi, je les aligne avec une seule règle.
Cette règle, c’est « le poids par couche ». Autour de la source, on empile de fines couches sphériques comme les pelures d’un oignon, et l’on regarde quelle quantité de la grandeur se trouve sur une couche. Cet article est une carte des lois en inverse du carré, tracée avec cette règle.
La règle : le poids par couche n’est plat que pour le carré
Une couche sphérique de rayon r a pour aire 4πr². Lorsqu’une densité décroît comme la puissance n-ième de la distance (1/rⁿ), une couche d’épaisseur 1 pèse 4πr² × 1/rⁿ.
Ce n’est que lorsque n vaut 2 que le r² se simplifie, de sorte que chaque couche pèse le même 4π. Quand n est inférieur à 2, les couches extérieures pèsent plus ; quand il est supérieur, ce sont les couches intérieures qui pèsent plus. Je l’ai montré dans l’article 01 sous le nom de « théorème d’unicité de n = 2 ». On en tire aussi que la masse à l’intérieur d’une sphère de rayon 1 vaut exactement 4π, l’angle solide de toutes les directions.
Cette « platitude » est ce qui se cache derrière les nombreux visages de la loi en inverse du carré. Je vais les passer en revue un par un.
1. Pourquoi le ciel nocturne est-il sombre ? (article 496)
Supposons que les étoiles soient réparties uniformément dans l’espace et s’étendent sans fin. Les étoiles lointaines paraissent plus faibles (1/4πr²). Mais plus la couche est lointaine, plus elle contient d’étoiles (4πr²). Les deux 4π et le r² se compensent exactement, si bien que la lumière arrivant de la couche de rayon 1 et de la couche de rayon 1000 est ressortie identique : 0,010000000.
Comme chaque couche envoie la même quantité de lumière, additionner les couches fait croître la luminosité en proportion du rayon (doubler le rayon donne 2,000000000 fois plus). Le ciel nocturne est sombre non pas parce que les étoiles sont lointaines et faibles, mais parce que la somme est coupée quelque part. C’est le problème connu sous le nom de paradoxe d’Olbers, et c’est la « platitude » du théorème d’unicité qui apparaît directement en astronomie.
2. Quatre grandeurs s’appellent « luminosité » (article 214)
Le mot « luminosité » désigne en réalité quatre grandeurs différentes. Parmi elles, seule la quantité de lumière qui tombe sur une surface (l’éclairement énergétique) suit l’inverse du carré. En s’éloignant d’une source de 1 m à 1000 m, l’éclairement énergétique passe de 0,318 à 3,18×10⁻⁷, tandis que la luminosité de la surface de la source (la luminance énergétique) reste à 1013,211836.
C’est pourquoi une lentille, si fort qu’elle concentre la lumière du Soleil, ne peut rien rendre plus chaud que la surface du Soleil. La limite supérieure calculée était de 5771,83 K, à seulement 0,003 % de la température de surface du Soleil, 5772 K. Ce qui s’étale et s’amincit sur la couche, c’est seulement « la quantité qui tombe sur une surface ».
3. Aller simple ou aller-retour change l’exposant (article 335)
En radiocommunication, l’intensité reçue varie comme 1/r². Un radar, lui, envoie une onde qui atteint la cible et revient en rebondissant. L’amincissement sur la couche se produit deux fois, et l’on obtient 1/r⁴.
Pour doubler la distance, la communication a besoin de 4 fois plus de puissance, et le radar de 16 fois plus. Doubler la puissance d’un radar n’allonge sa portée que de 18,9207 %. Ce qui fixe l’exposant n’est ni la fréquence ni l’espace, mais « aller simple ou aller-retour ».
4. Une source ponctuelle ou une source linéaire (article 456)
En s’éloignant d’une source sonore ponctuelle, le son se répartit sur des couches sphériques et baisse de 6,0206 dB quand la distance double. Pour une source longue comme une route (une source linéaire), le son se répartit sur des couches cylindriques au lieu de couches sphériques, si bien qu’il ne baisse que de 3,0103 dB quand la distance double.
Pour obtenir les 10 dB qui font paraître un bruit deux fois moins fort, il faut s’éloigner 3,1623 fois plus d’une source ponctuelle, mais 10,0000 fois plus d’une source linéaire. La forme de la couche qui s’étale (sphère ou cylindre) change l’exposant d’une unité.
5. Sur une carte, l’exposant « plat » devient 1 (article 1094)
Il existe des modèles où un magasin attire les clients en proportion inverse du carré de la distance (la loi de Reilly, le modèle de Huff). Ce 2 a été emprunté à la gravitation de Newton. Mais les gens vivent sur une carte (en deux dimensions), et non dans un espace sphérique.
Sur une carte, chaque anneau apporte le même nombre de clients lorsque l’exposant vaut 1. Avec le carré, le nombre de clients continue d’augmenter de 14,467569 chaque fois que l’on rend la ville 10 fois plus étendue. Le même « 2 » joue des rôles différents : « le même pour chaque couche » dans l’espace à trois dimensions, mais « la frontière où la somme ne s’arrête jamais » sur une carte.
6. Pour les dipôles, la forme de la sommation compte (article 1084)
Le champ électrique d’une paire de charges positive et négative (un dipôle) s’affaiblit comme 1/r³. En trois dimensions, c’est exactement l’exposant « frontière ». À la frontière, le résultat de la sommation dépend de la forme de la région sur laquelle on additionne.
Sommé sur une sphère, le champ électrique vaut -(4π/3)p. Du côté magnétique, il vaut +(8π/3)m. Additionner 4π/3 et 8π/3 redonne 4π. La répartition en 1/3 et 2/3 ne tient que si la forme qui entoure est ronde ; avec une forme allongée, la répartition change.
7. Changez la dimension, et les deux « 2 » se séparent (article 1092)
Lorsque la dimension de l’espace s’écarte de 3, l’exposant qui rend « chaque couche pareille » devient la dimension moins 1 (3 en quatre dimensions, 4 en cinq). L’exposant d’une densité en équilibre avec un trou noir, en revanche, reste à 2 dans toutes les dimensions. Les deux « 2 » ne coïncident qu’en trois dimensions.
La carte : l’exposant et la dimension fixent le rôle
En réunissant tout cela sur une seule page, on obtient ce qui suit. L’axe horizontal est l’exposant de la distance ; l’axe vertical est la dimension de l’espace.
- Exposant = dimension - 1 : pareil pour chaque couche. 1/r² en trois dimensions (le ciel nocturne, la lumière, la radio en aller simple) ; 1/r en deux dimensions (une source linéaire, la zone de chalandise sur une carte).
- Exposant = dimension : la frontière, où la somme dépend de la forme et de la taille de la région. Les dipôles en trois dimensions ; le 2 de Reilly et Huff sur une carte.
- Exposant = dimension + 1 ou plus : fixé par l’intérieur proche. Le 1/r⁴ de l’aller-retour d’un radar.
Même sous le même nom, « inverse du carré », le rôle est tout à fait différent selon la dimension et la grandeur dont on parle. Dans mes articles, j’appelle de telles choses, désignées par le même nom mais venant de sources différentes, des racines distinctes, et j’indique toujours ce qu’il faut faire varier pour passer de l’une à l’autre (le séparateur). Sur cette carte, les séparateurs sont « la dimension » et « l’écart entre l’exposant et la dimension ».
À propos de cet article
Cet article ne prétend établir aucune loi nouvelle. Chaque nombre provient des vérifications numériques des articles d’origine. Tous les articles sont des prépublications qui n’ont pas été évaluées par des pairs (les pages sont en japonais, avec les PDF des articles en japonais et en anglais).
- Paper 01: The Uniqueness Theorem of n = 2 for Spherically Symmetric Density Distributions
- Paper 496: The 4π Appears Twice, Cancels, and Then the Sum Diverges
- Paper 214: A Lens Can Brighten and Cannot Increase Brightness
- Paper 335: The Round Trip Changes the Exponent
- Paper 456: Doubling the Distance Does Not Halve the Noise
- Paper 1094: The "Squared Distance" in Retail Gravity Models Is, on a Map, the Exponent at the Border Where the Total Number of Customers Stops Converging
- Paper 1084: 4π Splits into a Longitudinal 4π/3 and a Transverse 8π/3, and the 21 cm Line of Hydrogen Measures the Transverse Part
- Paper 1092: The "2" of the Inverse-Square Density Is Two 2s, and the 2 of the Shell Mass Meets the 2 of the Horizon Balance Only in Three Dimensions
- Paper 08: A Structural Interpretation of the 4D Poincaré Conjecture and Exotic Structures via the n=3 Uniqueness Theorem and Hopf Fibration
- Paper 114: Which Objects Know They Are in Four Dimensions?
- Paper 1097: A Lattice Sum of Dipole Fields Is Decided by the Shape of the Summation: 0 for a Sphere, 4π/3 for a Thin Needle, −8π/3 for a Thin Plate
Que voit-on en lisant E=mc² avec la règle d’une seule peau ? J’en ai parlé dans un petit livre, Une seule peau et ce qu’elle contient.