E=4πc² è l’equazione di Einstein E=mc² in cui si mette 4π al posto della massa m (articolo 12). Questo 4π è la massa contenuta nel raggio 1 di una sfera la cui densità cala come l’inverso del quadrato della distanza (articolo 02; articolo «Che cos’è m = 4π?», in giapponese). Il membro di destra ha la stessa forma dell’area di una sfera di raggio c.
Non è una nuova legge della fisica, ma un’equazione ben nota letta in un’altra forma. Eppure, letta così, fa comparire davvero nella fisica due sfere di raggio c: la sfera di tutte le velocità possibili e la sfera su cui si diffonde la luce (una volta scelta un’unità di tempo).
Questo articolo riassume articoli che ho pubblicato io stesso come preprint; non sono stati sottoposti a revisione paritaria.
In breve
- E=4πc² è la normale E=mc² con m=4π. Nel risultato non cambia nulla; cambia l’aspetto dell’equazione.
- Il membro di destra ha la stessa forma dell’area di una sfera di raggio c (articolo 12). Stessa forma non vuol dire che l’energia sia diventata un’area.
- Questo 4π non è un angolo solido ma una massa: un numero posto con una scelta delle unità di massa (una convenzione) (articoli 60 e 116).
- Eppure una sfera di raggio c esiste davvero. L’insieme di tutte le velocità possibili è una palla di raggio c con curvatura −1/c², e questa curvatura si misura negli esperimenti (articolo 60).
- Dei miei 1.097 articoli, 22 scrivono la formula E=4πc² nel testo principale. La usano in sette modi.
Da dove viene
Nel calcolo dell’articolo 02, la massa contenuta nel raggio 1 di una sfera con densità 1/r² risulta 4π. Mettendola al posto di m in E=mc² si ottiene E=4πc². È la formula dell’area della sfera, 4πr², con c al posto di r.
Controlliamo le unità. E si misura in joule (kg·m²/s²) e c² in m²/s². Perché i due membri coincidano, il numero che moltiplica c² deve portare i chilogrammi. Un angolo solido non ha unità e non può fornirli. Per questo il 4π di E=4πc² non è un angolo solido ma una massa (articolo 60).
Nelle formule ci sono tre tipi di 4π
L’articolo 60 ha diviso in tre tipi il 4π che compare nelle formule della fisica.
| 4π | Da dove viene | Unità | Status |
|---|---|---|---|
| Angolo solido (tutte le direzioni) | la forma della sfera (articolo 01) | nessuna | fatto |
| 2π × |caratteristica di Eulero| (superficie con due buchi) | come si collega la superficie (articolo 67) | nessuna | fatto |
| Massa m=4π | la scelta delle unità di massa (articoli 56 e 116) | massa | convenzione |
Anche quando il numero è lo stesso, ciò che viene da radici diverse si tratta come cose diverse; è una regola dei miei articoli (articoli 35 e 300). In E=4πc² questa distinzione si vede con la massima chiarezza.
Una sfera di raggio c esiste davvero (1): la sfera delle velocità
La velocità di ogni oggetto ha un limite superiore c. Rappresentiamo ogni velocità, con la sua direzione e la sua grandezza, con un punto, e raccogliamo i punti di tutte le velocità possibili: riempiono esattamente l’interno di una palla di raggio c. Gli articoli 59 e 60 affermano che per questa palla leggere c come raggio vale alla lettera, non come immagine.
In relatività le velocità non si sommano semplicemente; perciò anche la differenza fra due velocità si misura con la regola di addizione relativistica. Misurata così, la palla diventa uno spazio a curvatura negativa uniforme (uno spazio iperbolico) con curvatura K=−1/c². Lo ha mostrato Varičak nel 1910. Il punto della velocità 0,9c sta a distanza 1,47c dal centro, quello di 0,99c a 2,65c e quello di 0,999c a 3,80c; per quanto si vada avanti, il bordo c non si raggiunge mai.
Questa curvatura non è un’immagine ma una grandezza misurata. Se si porta un oggetto in rotazione attraverso un giro di accelerazione, cambio di direzione e decelerazione, il suo orientamento non torna com’era: alla fine risulta un po’ ruotato. Questa rotazione si chiama precessione di Thomas (1926), e il fattore 1/2 nell’interazione spin-orbita dentro l’atomo ne è il segno (articolo 60).
Poiché la grandezza della curvatura |K| è 1/c², si può sostituire c² con 1/|K|. Allora E=mc² diventa E=m/|K|, che si legge: «l’energia a riposo è inversamente proporzionale a quanto è curvo lo spazio delle velocità». Questa sostituzione non richiede 4π e vale per ogni m. Per questo l’articolo 60 riassume la propria conclusione come «un risultato su c, non su 4π».
Nello spazio delle velocità, l’area di una sfera a distanza r dal centro è 4πc² sinh²(r/c) (articolo 60). Finché il raggio è piccolo è quasi uguale all’area piatta 4πr²; oltre 0,537c supera di più del 10% quella dello spazio piatto. 4πc² è la scala di area a partire dalla quale la curvatura di questo spazio si fa sentire. Il 4π di questa formula dell’area è, del resto, il primo tipo, l’angolo solido, diverso dal 4π (massa) di E=4πc².
Una sfera di raggio c esiste davvero (2): la sfera di luce
La luce che parte da un punto si diffonde come la superficie di una sfera di raggio ct. L’articolo 61 chiama questa sfera la sfera di luce. Se si sceglie un’unità di tempo e si pone t=1, la sfera di luce ha raggio c e area 4πc². Allora 4πc² è un’area vera, con l’unità di una lunghezza al quadrato.
Ma quanto duri t=1 lo decidiamo noi. Secondo l’articolo 21, il mio corpus ha già usato tre scelte di unità: per la massa (m=4π), per la costante gravitazionale (G=4π) e per la costante quantistica (ħ=1/(4π)). Leggere c come una lunghezza sarebbe una quarta scelta; la regola è quindi dirlo ogni volta che la si usa. E il 4π nell’area della sfera di luce è il primo tipo, l’angolo solido, diverso dal 4π (massa) di E=4πc². La stessa sequenza di simboli è un’area dal lato della sfera di luce e un’energia dal lato di E=4πc²: due tipi diversi di grandezze.
La sfera di luce si può leggere anche come l’origine della legge dell’inverso del quadrato. La stessa luce si distribuisce sulla superficie di raggio ct, quindi la sua luminosità cala come 1/(ct)² (articolo 61). E la sfera di luce corrisponde al bordo v=c della sfera delle velocità. La superficie vista dal lato della luce e l’interno visto dal lato delle velocità sono due volti dello stesso c (articolo 61). Gli altri luoghi in cui compare la legge dell’inverso del quadrato sono raccolti nell’articolo «Una mappa delle leggi dell’inverso del quadrato».
E=4πc² nei miei articoli: 22 articoli, sette usi
Ho contato gli articoli che scrivono la formula E=4πc² nel testo principale (prima della bibliografia). Oltre a 4πc², ho contato anche la scrittura nello spazio delle velocità 4π/|K| e l’area della sfera di luce 4π(ct)². Sono 22 dei miei 1.097 articoli; leggendo come ciascuno la usa, si ottengono sette usi.
| Uso | Articoli | Che cosa fanno |
|---|---|---|
| Origine | 12 | Mette m=4π in E=mc² e la legge come della stessa forma dell’area di una sfera di raggio c. Impilando l’area lungo il raggio si ottiene la forma del volume (4/3)πc³ (l’equazione di restituzione del volume) |
| Tabelle e schemi | 13 · 38 · 526 | Riporta la formula dell’articolo 12 in tabelle e schemi del corpus |
| Status di 4π, formule della stessa forma | 18 · 913 · 1082 · 1083 | Verifica, con lo stesso conto, che il 4π messo al posto di m è una scelta delle unità di massa: energia cinetica (18), formula della lunghezza di diffusione (1082), h/m (1083). Riesamina anche perché l’energia cinetica di un anello che rotola prende la stessa forma 4πv² (913) |
| Spazio delle velocità (E=4π/|K|) | 60 · 63 · 66 · 76 · 77 | La riscrive nel linguaggio dell’insieme delle velocità possibili (palla di raggio c, curvatura −1/c²) e la collega alla curvatura dello spaziotempo (63), al redshift gravitazionale (66) e allo spazio delle posizioni e degli impulsi (76, 77) |
| Sfera di luce (raggio ct) | 61 · 65 · 75 | La legge dall’area 4π(ct)² della sfera su cui si diffonde la luce: l’attenuazione con l’inverso del quadrato (61), l’entropia della sfera di luce (65), la freccia del tempo (75) |
| Triangolo energia–impulso | 21 · 34 · 56 | La usa nella forma E²=(pc)²+(4πc²)² |
| Pelle e contenuto, altrove | 59 · 908 · 1007 | Dalla forma dell’area alla forma del volume (59); il 4/3 della massa elettromagnetica non viene dal 4/3 del volume della palla ma da una media sulle direzioni del campo (908); la massa critica vista come equilibrio fra pelle e contenuto (1007) |
La lettura nata nell’articolo 12 è ancora in uso nell’articolo 1083. Il gruppo più grande è lo spazio delle velocità, con 5 articoli.
Che cosa E=4πc² non dice
- Non sostiene alcuna nuova legge della fisica né alcuna nuova costante della natura.
- Non dice che l’energia sia un’area. E si misura in joule, non in unità di area.
- Non dice che questo 4π sia un angolo solido. È un numero posto con una scelta delle unità di massa.
- Una scelta di unità non cambia i numeri senza unità. Per esempio, il numero che esprime la debolezza della gravità fra due protoni, Gm²/(ħc) (circa 5,9×10⁻³⁹), non si sposta comunque si fissino le unità (articolo 35).
- La scrittura nello spazio delle velocità E=4π/|K| non spiega il redshift gravitazionale, perché il c dello spazio delle velocità e il c letto dalle coordinate nello spaziotempo curvo sono cose diverse (articolo 66).
A che cosa serve?
Primo, è una palestra per distinguere i 4π. Lo stesso 4π sta come angolo solido in una formula e come massa in un’altra. Ho usato questa distinzione per verificare da dove viene il π nelle formule della fisica e ho stabilito, formula per formula, quale π scompare nella formula della lunghezza di diffusione (articolo 1082) e nella costante di Planck divisa per una massa (articolo 1083).
Secondo, è una porta d’ingresso per leggere c come «il raggio della sfera delle velocità». E=m/|K| vale per ogni m, e la curvatura che c’è dietro si misura come precessione di Thomas (articolo 60).
E impilando la forma dell’area lungo il raggio da 0 a c si ottiene la forma del volume (4/3)πc³. L’articolo 12 la chiama l’equazione di restituzione del volume. Il lato del volume è il tema dell’articolo «Che cos’è E(3D)=(4/3)πc³?».
Domande frequenti
E=4πc² è un’equazione standard della fisica?
No. L’equazione standard è E=mc². E=4πc² è la sua scrittura quando si scelgono le unità di massa in modo che m=4π; il risultato è lo stesso che con E=mc².
Allora l’energia è un’area?
No. La forma è la stessa, ma le unità sono diverse. Se si sceglie un’unità di tempo, 4πc² diventa l’area della sfera di luce; ma allora il suo 4π è un angolo solido, diverso dal 4π (massa) di E=4πc².
c è una velocità. Perché la si può chiamare raggio?
Perché l’insieme di tutte le velocità possibili è davvero una palla di raggio c (articoli 59 e 60). La sfera di luce, dal canto suo, ha raggio c una volta scelta un’unità di tempo (articolo 61).
Che cos’è E=4π/|K|?
È E=4πc² riscritta con la curvatura K=−1/c² dello spazio delle velocità. Senza il 4π, E=m/|K| vale per ogni m (articolo 60).
In che cosa differisce dall’articolo su m=4π?
L’articolo «Che cos’è m = 4π?» (in giapponese) spiega da dove viene il numero di massa 4π. Questo articolo spiega come l’equazione ottenuta mettendo quel numero in E=mc² viene letta e usata nei miei articoli.
Gli articoli originali
- Paper 02: The 4π Mass Cancellation Theorem
- Paper 12: From Boundary Energy to Volume Energy
- Paper 21: Zero-Tension Does Not Act on an Identity
- Paper 59: The Volume of the Unit Ball Is Greatest in Five Dimensions
- Paper 60: c as the Ball of Velocity Space
- Paper 61: c as the Light Sphere
- Paper 66: Velocity-Space Curvature and Gravitational Redshift
- Paper 116: What Does the Exponent of c Count?
Tutti gli articoli sono pubblicati con licenza CC BY 4.0 (le pagine sono in giapponese, con i PDF degli articoli in giapponese e in inglese).
Tutta la storia in un libro
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