La gravità, la forza elettrica, la luminosità della luce, le onde radio, il suono. In fisica ci sono molte grandezze che si indeboliscono in proporzione inversa al quadrato della distanza (leggi dell’inverso del quadrato). I libri di testo le insegnano una alla volta, in capitoli separati. Io le metto in fila con un solo metro di misura.
Quel metro è «il peso per guscio». Attorno alla sorgente si sovrappongono sottili gusci sferici come gli strati di una cipolla, e si guarda quanta parte della grandezza si trova su un guscio. Questo articolo è una mappa delle leggi dell’inverso del quadrato, disegnata con quel metro.
Il metro: il peso per guscio è piatto solo per il quadrato
Un guscio sferico di raggio r ha area 4πr². Quando una densità diminuisce come la potenza n-esima della distanza (1/rⁿ), un guscio di spessore 1 pesa 4πr² × 1/rⁿ.
Solo quando n vale 2 l’r² si semplifica, così che ogni guscio pesa lo stesso 4π. Quando n è minore di 2 pesano di più i gusci esterni; quando è maggiore, pesano di più quelli interni. L’ho mostrato nell’articolo 01 come «il teorema di unicità di n = 2». Ne deriva anche che la massa dentro una sfera di raggio 1 è esattamente 4π, l’angolo solido di tutte le direzioni.
Questa «piattezza» è ciò che sta dietro ai molti volti della legge dell’inverso del quadrato. Vediamoli uno alla volta.
1. Perché il cielo notturno è buio? (articolo 496)
Supponiamo che le stelle siano sparse in modo uniforme nello spazio e continuino all’infinito. Le stelle lontane appaiono più deboli (1/4πr²). Ma più il guscio è lontano, più stelle contiene (4πr²). I due 4π e l’r² si compensano esattamente, così la luce che arriva dal guscio di raggio 1 e dal guscio di raggio 1000 è risultata la stessa: 0,010000000.
Poiché ogni guscio invia la stessa quantità di luce, sommando i gusci la luminosità cresce in proporzione al raggio (raddoppiando il raggio si ottiene 2,000000000 volte tanto). Il cielo notturno è buio non perché le stelle sono lontane e deboli, ma perché la somma si interrompe da qualche parte. È il problema noto come paradosso di Olbers, ed è la «piattezza» del teorema di unicità che compare direttamente in astronomia.
2. Quattro grandezze si chiamano «luminosità» (articolo 214)
La parola «luminosità» indica in realtà quattro grandezze diverse. Tra queste, solo la quantità di luce che cade su una superficie (l’irradianza) segue l’inverso del quadrato. Allontanandosi da una sorgente da 1 m a 1000 m, l’irradianza scende da 0,318 a 3,18×10⁻⁷, mentre la luminosità della superficie della sorgente (la radianza) resta a 1013,211836.
Per questo una lente, per quanto concentri la luce del Sole, non può rendere nulla più caldo della superficie del Sole. Il limite superiore calcolato era 5771,83 K, che differisce solo dello 0,003% dalla temperatura superficiale del Sole, 5772 K. Ciò che si allarga e si diluisce sul guscio è solo «la quantità che cade su una superficie».
3. Sola andata o andata e ritorno cambia l’esponente (articolo 335)
Nelle comunicazioni radio l’intensità ricevuta va come 1/r². Un radar, invece, invia un’onda che raggiunge il bersaglio e torna indietro rimbalzando. La diluizione sul guscio avviene due volte, quindi diventa 1/r⁴.
Per raddoppiare la distanza, la comunicazione ha bisogno di 4 volte la potenza, il radar di 16 volte. Raddoppiare la potenza di un radar ne allunga la portata solo del 18,9207%. A fissare l’esponente non sono né la frequenza né lo spazio, ma «sola andata o andata e ritorno».
4. Una sorgente puntiforme o una sorgente lineare (articolo 456)
Allontanandosi da una sorgente sonora puntiforme, il suono si distribuisce su gusci sferici e cala di 6,0206 dB quando la distanza raddoppia. Per una sorgente lunga come una strada (una sorgente lineare), il suono si distribuisce su gusci cilindrici invece che sferici, quindi cala solo di 3,0103 dB quando la distanza raddoppia.
Per ottenere i 10 dB che fanno sembrare un rumore forte la metà, bisogna allontanarsi 3,1623 volte di più da una sorgente puntiforme, ma 10,0000 volte di più da una sorgente lineare. La forma del guscio che si allarga (sfera o cilindro) cambia l’esponente di uno.
5. Su una mappa l’esponente «piatto» diventa 1 (articolo 1094)
Esistono modelli in cui un negozio attira i clienti in proporzione inversa al quadrato della distanza (la legge di Reilly, il modello di Huff). Questo 2 è stato preso in prestito dalla gravità di Newton. Ma le persone vivono su una mappa (in due dimensioni), non in uno spazio sferico.
Su una mappa, da ogni anello arriva lo stesso numero di clienti quando l’esponente è 1. Con il quadrato, il numero di clienti continua a crescere di 14,467569 ogni volta che la città diventa 10 volte più ampia. Lo stesso «2» ha ruoli diversi: «uguale per ogni guscio» nello spazio tridimensionale, ma «il confine dove la somma non si ferma mai» su una mappa.
6. Per i dipoli conta la forma della somma (articolo 1084)
Il campo elettrico di una coppia di cariche positiva e negativa (un dipolo) si indebolisce come 1/r³. In tre dimensioni questo è esattamente l’esponente di «confine». Al confine, il risultato della somma dipende dalla forma della regione su cui si somma.
Sommato su una sfera, il campo elettrico è -(4π/3)p. Dal lato magnetico è +(8π/3)m. Sommando 4π/3 e 8π/3 si ritorna a 4π. La suddivisione in 1/3 e 2/3 vale solo quando la forma che racchiude è rotonda; con una forma allungata la suddivisione cambia.
7. Cambiando la dimensione, i due «2» si separano (articolo 1092)
Quando la dimensione dello spazio si allontana da 3, l’esponente che rende «ogni guscio uguale» diventa la dimensione meno 1 (3 in quattro dimensioni, 4 in cinque). L’esponente di una densità in equilibrio con un buco nero, invece, resta 2 in ogni dimensione. I due «2» coincidono solo in tre dimensioni.
La mappa: esponente e dimensione decidono il ruolo
Mettendo tutto questo su una sola pagina si ottiene quanto segue. L’asse orizzontale è l’esponente della distanza; l’asse verticale è la dimensione dello spazio.
- Esponente = dimensione - 1: uguale per ogni guscio. 1/r² in tre dimensioni (il cielo notturno, la luce, la radio in sola andata); 1/r in due dimensioni (una sorgente lineare, il bacino su una mappa).
- Esponente = dimensione: il confine, dove la somma dipende dalla forma e dall’estensione della regione. I dipoli in tre dimensioni; il 2 di Reilly e Huff su una mappa.
- Esponente = dimensione + 1 o più: deciso dall’interno vicino. L’1/r⁴ dell’andata e ritorno di un radar.
Anche sotto lo stesso nome, «inverso del quadrato», il ruolo è del tutto diverso a seconda della dimensione e della grandezza di cui si parla. Nei miei articoli chiamo queste cose, indicate con lo stesso nome ma provenienti da fonti diverse, radici distinte, e scrivo sempre che cosa bisogna muovere per trasformare l’una nell’altra (il separatore). Su questa mappa i separatori sono «la dimensione» e «quanto l’esponente si discosta dalla dimensione».
A proposito di questo articolo
Questo articolo non sostiene alcuna nuova legge. Ogni numero viene dalle verifiche numeriche degli articoli originali. Tutti gli articoli sono preprint che non sono stati sottoposti a revisione paritaria (le pagine sono in giapponese, con i PDF degli articoli in giapponese e in inglese).
- Paper 01: The Uniqueness Theorem of n = 2 for Spherically Symmetric Density Distributions
- Paper 496: The 4π Appears Twice, Cancels, and Then the Sum Diverges
- Paper 214: A Lens Can Brighten and Cannot Increase Brightness
- Paper 335: The Round Trip Changes the Exponent
- Paper 456: Doubling the Distance Does Not Halve the Noise
- Paper 1094: The "Squared Distance" in Retail Gravity Models Is, on a Map, the Exponent at the Border Where the Total Number of Customers Stops Converging
- Paper 1084: 4π Splits into a Longitudinal 4π/3 and a Transverse 8π/3, and the 21 cm Line of Hydrogen Measures the Transverse Part
- Paper 1092: The "2" of the Inverse-Square Density Is Two 2s, and the 2 of the Shell Mass Meets the 2 of the Horizon Balance Only in Three Dimensions
- Paper 08: A Structural Interpretation of the 4D Poincaré Conjecture and Exotic Structures via the n=3 Uniqueness Theorem and Hopf Fibration
- Paper 114: Which Objects Know They Are in Four Dimensions?
- Paper 1097: A Lattice Sum of Dipole Fields Is Decided by the Shape of the Summation: 0 for a Sphere, 4π/3 for a Thin Needle, −8π/3 for a Thin Plate
Che cosa si vede leggendo E=mc² con il metro di una sola pelle? Ne ho scritto in un piccolo libro, Una sola pelle e ciò che contiene.