Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

物理の有名な式に出る π は、どれも同じ π ではありません。私が有名な式 103 本を点検したところ、π の出どころは「全方向の立体角」「一周の角」「球の中身」など十種類に分かれました。この記事では、見分け方の四つの手順と、点検から書いた 9 本の論文を紹介します。

この記事の要点

• 現実：点検した有名な式は 103 本で、質量が入る式は 52 本でした。質量を 4π と置く書き方で π が一つも残らなくなる式は 15 本です（私の点検、2026 年 10 月）。
• 意味：π が消える式は、消えた π が何を数えていたかを教えてくれます。
• 考え方：「π が出たら円を探す」から、「π が何を数えているかを、次元を変えて確かめる」へ。
• やること：半径と波数と質量で書き直す、π の因子を塊に分ける、空間の次元を一つ変える、単位を替えてみる。
• 結論：同じ 4π や 8π でも、出どころは式ごとに違います。いちばん確かな見分け方は、空間の次元を変えたときに数がどう動くかを見ることです。

物理や工学の教科書を開くと、クーロンの法則には 4π が、アインシュタインの方程式には 8π が、丸棒の強さの式には π/64 が出てきます。π は円周率ですから、あなたはきっと、式のどこかに円か球があるはずだと考えます。

それなのに、いくら探しても円が見つからない式があります。

この記事では、この問題を「π の出どころ」と呼びます。

8π と書かれる式の「2」には、十通りの出どころがありました（論文1085、2026 年）。私の論文 1,083 編のうち、8π がそのまま出るのは 43 編で、いちばん多い出どころでも 16 編にとどまります。

ただ、出どころは勘で分けるものではありません。空間の次元を 3 から 4 に変えると、出どころの違う π は違う動き方をするので、数えて確かめられます。

この記事では、点検の数字、π の出どころの分け方、四つの手順、点検から書いた 9 本の論文を順に説明します。読み終えると、式の中の π を見たときに、何の π かを自分で確かめる手順が分かります。

現実：103 本の式の中で、π は何をしていたか

出発点は数字です。点検した 103 本のうち、π が全方向の立体角として働いている式は一部で、残りは一周の角、球の中身、単位の約束などに分かれました。式そのものは、それぞれの発見者のものです。私がしたのは、π の因子を数えて分けることです。

点検の全体の数字

私が点検した有名な式は 103 本で、そのうち質量が式に入るのは 52 本です（2026 年 10 月）。

• π が消える式：質量を 4π と置く書き方を記号計算で入れた 39 本のうち、π が一つも残らなくなる式は 15 本でした。
• 消えたのが立体角だった式：15 本のうち 3 本です（プラズマ振動数、散乱長の式、ボルン近似）。
• 消えたのが一周の 2π だった式：15 本のうち 10 本です（ド・ブロイ波長、コンプトン波長、熱的ド・ブロイ波長など）。

残る 2 本は、単位の置き場所（ボーア半径）と、輪の 2π の 2 倍（ベーテの式）でした。つまり、同じように π が消えても、消えたものは三種類以上あります。

π の因子と、その出どころ

同じ因子でも、出どころが二つある行があります。8π/3 は、トムソン散乱では立体角の二軸ぶんで、宇宙の膨張の式では球の体積の 2 倍です。

質量を 4π と置く、とは

質量を 4π と置くとは、質量の単位を、いま見ている粒の質量がちょうど 4π になるように選ぶ書き方です。4π という値は、私の論文02（4π 質量相殺定理）に出るものです。置くこと自体は自然についての事実ではなく、単位の選び方です（論文35、論文60）。

この書き方を入れると、式によっては π が消えます。消えた π が立体角だったのか、一周の角だったのかは、式ごとに確かめる必要があります。だから、この点検では、π が消えるたびに、何が消えたのかを分けて記録しました。

見方を変える：π が消える式は、π の正体を教えてくれる

π が消えることは、式が短くなるという話で終わりません。同じ形の式を二つ並べて次元を変えると、片方の π だけが別の数に変わり、二つの π が別ものだったことが分かります。

同じ 4π/m でも、中身は別

プラズマ振動数の式とベーテの式には、どちらも 4π を質量で割った形が入っています（ガウス単位）。質量を 4π と置くと、どちらの式からも π が消えます。

なぜか。

プラズマ振動数の 4π は、電荷の面から出る場の立体角です。ベーテの式の 4π は、輪の周の 2π に 2 を掛けた数です。空間を 4 次元にすると、プラズマ振動数の係数は 2π²、ベーテの式の係数は π³/2 になり、比は π/4 です（論文1088、2026 年）。3 次元では、別のものが同じ数に見えていました。

球の断面積は、一つではない

半径 a の固い球に何かを当てたときの断面積は、πa² の 1 倍、2 倍、4 倍、8 倍の四つあります（論文1081、2026 年）。粒として当たれば 1 倍、短い波長の波なら 2 倍、長い波長の波なら 4 倍、同じ種類のボース粒子どうしなら 8 倍です。

4 倍は、長い波長の波が全方向の立体角 4π に一様に散るために出ます。次元を変えて計算すると、波長によらない数になるのは 3 次元だけでした。つまり、4πa² の 4π も、全方向の立体角です。

「ħ の半分」は三つある

量子力学には、ħ/2 という同じ数が三か所に出ます。不確定性の下限、スピン 1/2、質量を 4π と置いたときの h/m の三つです（論文1083、論文1087）。

三つは、次元を変えたときの動き方が違います。不確定性の 1/2 は、どの次元でも 1/2 です。スピンの 1/2 は 3 次元以上で 1/2 で、2 次元では決まりません。h/m の係数は、質量を球の表面積に取る族では、2 次元で 1、3 次元で 1/2、4 次元で 1/π と動きます。つまり、同じ数でも出どころは三つです。

4π は三つの軸ぶんに分かれる

全方向の立体角 4π は、x、y、z の三つの軸に 4π/3 ずつ、同じ重みで分かれます。一軸ぶんが 4π/3 で、二軸ぶんが 8π/3 です。

球の中で電場を足し合わせると一軸ぶんの −(4π/3) が、磁場を足し合わせると二軸ぶんの ＋(8π/3) が出ます（論文1084、2026 年）。水素の 21 cm 線は、二軸ぶんの側を測っています。二軸ぶんの係数と物理定数だけで計算した振動数は 1420.485452 MHz で、実測の 1420.405751768 MHz（Hellwig ほか、1970 年）との相対差は 5.611×10⁻⁵ でした。

約分で消えていた π

式に π が無いからといって、円が関わっていないとは限りません。コイルばねのばね定数の式には π がありませんが、線の断面の π と線の長さの π が約分で消えた結果です（論文1089、2026 年）。

水素の 21 cm 線の式でも、同じことが起きます。係数 8π/3 の π が、電子の波の規格化に入る 1/π と約分して、8/3 が残ります（論文1084）。つまり、π の無い式を見たときも、消えた π を探す価値があります。

枠組み：「π ＝ 円」から「π の根を分ける」へ

数字を並べただけでは、次の式に使えません。私は、π の因子に「根の札」を付けて、十種類に分けました。

これまでの問い：「この式の π は、どの円から来たのか」
これからの問い：「この π は何を数えていて、次元を変えるとどう動くのか」

π の根の札

π の根の札とは、π の因子が何を数えているかに付ける名前です。私の点検では、次の十種類に分かれました（2026 年 10 月）。

多くの解説は、立体角の 4π だけを見ています。見落とされやすいのは、一周の 2π が 2 倍されて 4π に見える場合と、単位の約束で入った 4π です。

何を測るか

次元を変えたときの動き方：

• 4π が 4 次元で 2π² になるか（立体角なら、なります）
• 8π の 2 が、4 次元で 3 になるか、1.5 になるか、2 のままか（論文1085）

書き方を変えたときの動き方：

• 密度を質量に書き直すと、π が消えるか（論文1086）
• 直径を半径に書き直すと、大きな整数が消えるか（論文1089）
• 単位を替えると、4π が動くか

やり方：式の中の π を四つの手順で見分ける

π の出どころの点検とは、式の中の π の因子が何を数えているかを、書き直しと次元の変更で確かめる作業です。8π の「2」は、3 次元ではそろって 2 に見え、4 次元では 3、1.5、2 の三つに分かれました（論文1085、2026 年）。

仕組み：なぜ次元を変えると分かるのか

1. 立体角は次元で変わります。全方向の立体角は、3 次元で 4π、4 次元で 2π² です。
2. 一周の角は変わりません。一周の 2π は、何次元でも 2π です。
3. 約束で入った数は、約束を替えると動きます。単位や、直径か半径かの選び方で入った数は、選び方を替えると消えます。

四つの手順

1. 式を、半径、波数、質量で書き直します（直径、波長、密度を使いません）。
2. 残った π の因子を、4π、2π、4π/3 のような塊に分けます。
3. 空間の次元を 3 から 4 に変えた式を作り、塊がどの数に変わるかを見ます。
4. 単位を替えて、数が動くかどうかを見ます。

手順 1 だけで片づく式もあります。星がつぶれる時間の式に出る 3π/32 は、密度を質量に書き直すと、半周の角にあたる π/2 だけが残ります（論文1086）。丸棒の πD⁴/64 は、半径で書くと πR⁴/4 です（論文1089）。

悪い例と良い例

悪い例：「E＝mc² の m に 4π を入れると 4πc² で、球の表面積と同じ形になる。だから質量は立体角である。」
良い例：「m＝4π は質量の単位の選び方である。4πc² が球の表面積と同じ形になるのは、選んだ数が 4π だからで、立体角の 4π とは別のものである。」

悪い例は、同じ数が並んだことを、同じものである証拠に使っています。良い例は、選んだ数と、選べない数を分けています（論文35、論文60）。

点検表：式の π を読む前に確かめること

式の π を読む前に、次の 9 項目を確かめます。前半は書き方、後半は出どころについてです。

書き方

• ☐ 式を、直径ではなく半径で書き直したか
• ☐ 波長ではなく波数で書き直したか
• ☐ 密度で書いた式を、質量でも書いてみたか
• ☐ 式に π が無いとき、約分で消えた π が無いかを見たか

出どころ

• ☐ 4π が全方向の和（立体角）であることを、源から出る流れまでたどって確かめたか
• ☐ 8π の 2 が何を数えているかを、一言で言えるか
• ☐ 次元を変えた式を作り、数がどう動くかを確かめたか
• ☐ 同じ数が並んだだけで、同じものと呼んでいないか
• ☐ 単位の選び方で入った 4π と、選べない 4π を分けたか

これから：点検から書いた 9 本の論文

点検で見つけた空きから、私は 9 本の論文を書き、2026 年 10 月 8 日に自分のサイトの永続 ID（YOI）で公開しました。9 本とも査読を経ていないプレプリントで、日本語版と英語版の PDF があります。

9 本の一覧

9 本とも、本文の数は検算のプログラムの出力から写しています。どの論文も、新しい法則は主張していません。している仕事は、既知の式の中の数を分けて、数えて確かめることです。

論文にしなかった材料

点検で拾ったが、論文にしていない材料もあります。16π² の出どころは、既刊の論文35 が四つを数えていて、点検ではそこに足せる材料を四つ拾いました（自由空間の式の (4πd/λ)²、二体の位相空間の 16π² など）。

π を見て円を探すだけの読み方と、π が何を数えているかを確かめる読み方では、同じ式から読み取れることが変わります。

関連する論文

• 論文01：球対称密度分布における n = 2 の唯一性定理
• 論文02：4π 質量相殺定理
• 論文35：山岸万有引力定数解凍理論（4πG に含まれる二つの 4π）
• 論文60：速度空間の球としての c
• 論文300：三百本目の点呼（同根か別根かは、判定できる）
• 論文912：m を単位球の面積に取ると、温度の係数はどの次元でも単位球の体積になる

よくある質問

物理の式の 4π は、いつも立体角ですか

いいえ。ガウスの法則やクーロンの法則の 4π は全方向の立体角ですが、ベーテの式の 4π は輪の周の 2π の 2 倍です（論文1088）。4 次元では前者が 2π²、後者が π³/2 になり、別の数に分かれます。単位の約束で入った 4π もあります。

m＝4π は、自然の法則ですか

いいえ。m＝4π は、質量の単位を粒の質量が 4π になるように選ぶ書き方で、単位の選び方です（論文35、論文60）。4π という値は、論文02 の定理に出るものです。私の点検では、この書き方で π が一つも残らなくなる式が、記号計算をした 39 本のうち 15 本ありました。

8π は、4π の 2 倍と考えてよいですか

多くの式ではそう書けますが、2 の中身は式ごとに違います。私の論文で 8π が出る 43 編を読むと、2 × 4π と読む出どころが十通り、そう読めない 8π が三通りありました（論文1085）。ホーキング温度の 8π は 4 × 2π です。

スピンが 1/2 になるのは、なぜですか

位相の一回り 2π を、全方向の立体角 4π で割ると 1/2 になるからです（論文1087）。スピン s の状態を球面の上で一周させると、位相は立体角の s 倍だけ動きます。球面全体で食い違わない最小の s が 1/2 です。スピン 1/2 の粒がなぜ在るのかには、この論文は答えていません。

丸棒の式の 64 や、管の式の 128 に、物理の意味はありますか

ありません。64 と 128 は、長さを直径で書いたために付いた 2 の冪です（論文1089）。半径で書くと 1/4 と 8 が残り、物理を運んでいるのはこの小さな数のほうです。管の 8 は、二枚の板のすきまでは 3 になります。摩擦の係数の 64 も、板のすきまでは 96 に動きます。

次元を変えるとは、4 次元の世界があるという意味ですか

いいえ。空間が 4 次元だったら式がどう変わるかを計算して、3 次元で同じに見える数を見分ける方法です。全方向の立体角は 3 次元で 4π、4 次元で 2π² ですが、一周の角は何次元でも 2π です。高い次元が実在するとは言っていません。

この記事の論文は、査読を受けていますか

いいえ。9 本とも査読を経ていないプレプリントです。本文の数は検算のプログラムの出力と照合してあり、PDF には公開した日付の証拠（タイムスタンプ）を付けています。数学や物理の専門家による確認は受けていません。誤りに気づかれた方は、このサイトのお問い合わせからお知らせください。

更新日：2026 年 10 月 8 日　書いた人：山岸勇輝（Yamagishi Complexity Torus Lab）