球の皮とブラックホールが 3 次元でだけ重なるわけと、写真の影がエントロピーの円盤ではないわけ
第1章 はじまりは、一枚の皮の「2」
1-1 どの殻にも、同じ量がのる密度
私が最初に書いた論文は、球の形に広がった分布についての、小さな定理だった。
玉ねぎのように、球を薄い殻に分けて考える。中心から遠い殻ほど面積が広いので、同じ濃さで物を詰めると、外の殻ほど重くなる。殻の面積は、半径の二乗で増えるからである。
では、どの殻にもちょうど同じ量がのるようにするには、濃さ（密度）をどう減らせばよいか。答えは一つしかなく、半径の二乗に反比例させること、つまり 1/r² である。
半径 1 の殻と半径 2 の殻を比べると、面積は 4 倍になる。濃さを 4 分の 1 にすれば、どちらの殻にも同じ量がのる。これより速く薄めると外の殻が軽くなり、ゆっくり薄めると外の殻が重くなる。釣り合うのは、ちょうど 1/r² のときだけである。面積が r² で増える分を、濃さが 1/r² で打ち消す。これが論文01 の「n＝2 の唯一性」で、この 2 が、今回の話の主役になる。
続く論文02 では、そのとき半径 1 の中に入る量が、ちょうど 4π になることを示した。4π は、球の真ん中から見た全方向の広がり（全立体角）である。E＝mc² の m に 4π を置くと、式が球の表面積の形 4πc² に見えてくる。私の体系は、そこから始まった。
1-2 「ふっくら」という手触り
最近、AI と話しているうちに、一つの問いが出てきた。
物理には、ホログラフィー原理という考え方がある。ある領域の中で起きることの自由度は、中身の体積ではなく、境の面の面積で数えられる、という考えで、1990 年代に 't Hooft と Susskind が述べた。ブラックホールのエントロピーが、地平線の面積に比例することが出発点になっている。
平らな面に書かれた情報が、立体の中身として「ふっくら」立ち上がる。その手触りは、一枚の皮を積み重ねると中身が戻ってくる、私の 1/r² の話と、どこか似ている。
似ているなら、どこまでが本当に同じで、どこからが違うのか。言葉で似ていると言うだけなら、いくらでも言える。私は、数で確かめたくなった。
1-3 次元を動かして、確かめる
似ているかどうかを確かめるとき、私がよく使う方法がある。空間の次元を、3 から 4、5、6 と動かしてみることである。
3 次元でたまたま同じ数になっているだけのものは、次元を動かすと、別々の数に分かれる。逆に、どの次元でも一緒に動くものは、同じ仕組みから来ている見込みが高い。何を動かすと別物になるかを、私は 分離子 と呼んでいる。
たとえば、2＋2 と 2×2 は、どちらも 4 になる。答えだけを見ていると、二つは同じに見える。ところが 2 を 3 に替えると、3＋3 は 6、3×3 は 9 で、はっきり分かれる。足し算と掛け算という別の仕組みが、2 のときだけ同じ答えを出していたのである。次元を動かすのは、この「2 を 3 に替えてみる」と同じことをするためである。
論文01 の定理も、次元を動かすと形が変わる。4 次元の空間では殻の面積が r³ で増えるので、どの殻にも同じ量がのる密度は 1/r³ になる。d 次元なら、1/r の d−1 乗である。これは、論文08 と論文114 で確かめてあった。
今回、論文1092 と論文1093 で調べたのは、その先である。1/r² の 2 には、球の皮とは別の、もう一つの顔があった。
- 論文01 の n＝2 は、どの殻にも同じ量がのる、ただ一つの密度の指数
- ホログラフィー原理の「面で数える」手触りと、どこまで同じかを数で確かめたくなった
- 方法は、空間の次元を動かして、二つが一緒に動くか分かれるかを見ること
第2章 1/r² には、ブラックホールの顔もある
2-1 どの半径でも、地平線と同じつり合い
重さ M のものを、半径 r の中に押しこめていくと、ある所で、表面から光さえ逃げられなくなる。それがブラックホールで、その境目を地平線と呼ぶ。3 次元の空間では、2GM を r で割った値が、光の速さの二乗 c² に届いたところが境目である。G は、万有引力の定数である。
地上で物を真上に投げても落ちてくるのは、投げる速さが足りないからで、十分速く投げれば、地球の引力を振り切って逃げられる。その逃げるのに要る速さが、ちょうど光の速さに届く所が地平線だ、と考えるとよい。論文1092 では、地平線がどの次元でも、ちょうどこの所に置かれていることも確かめた。
ここで、1/r² の密度を思い出す。どの殻にも同じ重さがのるので、半径 r の中の重さ M(r) は、半径に比例して増える。すると、2GM(r) を r で割った値は、どの半径で区切っても同じ数になる。
その数を、ちょうど c² にそろえることができる。密度を ρ＝c²/(8πG r²) にすればよい。そうすると、どの半径で区切っても、中の重さは、その半径に地平線を持つブラックホールの重さと同じになる。
1/r² の密度は、どの半径でも、ブラックホールと同じつり合いにできる のである。ここに出てくる 8πG は、アインシュタインの重力の方程式に出てくる 8πG と、同じ形をしている。
2-2 次元を動かすと、二つの 2 が分かれる
では、次元を動かすとどうなるか。d 次元の空間のブラックホールは、タンゲルリーニの解（1963 年）で書ける。論文1092 では、3 次元から 6 次元まで数えた。
| 空間の次元 | どの殻にも同じ量がのる指数 | どの半径でも地平線とつり合う指数 |
|---|---|---|
| 3 次元 | 2 | 2 |
| 4 次元 | 3 | 2 |
| 5 次元 | 4 | 2 |
| 6 次元 | 5 | 2 |
球殻の側は「次元 − 1」で、次元とともに増えていく。地平線の側は、どの次元でも 2 のままである。二つが同じ数になるのは、3 次元だけだった。
つまり、論文01 の n＝2 は、根の違う二つの 2 が、3 次元で重なった数 だったのである。
これは、3 次元の中だけで考えていると気づけない。3 次元では、二つの 2 はいつも同じ顔をしているからである。次元を一つ上げた 4 次元で、殻の側は 3、地平線の側は 2 と、はじめて別の数になる。第1章の 2＋2 と 2×2 と、同じ形である。
2-3 単位を選び直すと、4π の球が現れる
物理学には、8πG を 1 と置く単位の選び方がある。そう置くと、地平線とつり合う密度は ρ＝1/r² になる。論文02 の、半径 1 の中にちょうど 4π が入る、あの分布そのものである。半径 0.5、1、2、10 のどこで区切っても、2GM/r はちょうど 1 になった。
これは一見、劇的に見える。私の最初の二つの論文の分布が、そのままブラックホールのつり合いになっているのだから。
ただし、この「ちょうど 1」は、単位の選び方から出た数である。G を 4π と置く別の選び方をすると、係数は 0.003166287 になる。数は、単位で動く。
動かないのは、指数が 2 であること のほうである。私はここを単位の選び方として扱い、それ以上の意味は読まないことにした。数が同じに見えることと、同じものであることは、別の話だからである。
- 密度 ρ＝c²/(8πG r²) なら、どの半径でもブラックホールと同じつり合いになる
- 次元を動かすと、球殻の側は「次元 − 1」、地平線の側はいつも 2 で、重なるのは 3 次元だけ
- 8πG＝1 では論文02 の分布そのものになるが、それは単位の選び方
第3章 重力の側の 2 は、時間の二乗だった
3-1 落ちる時間は、半径によらない
では、地平線の側の 2 は、どこから来たのか。答えは、時間である。
重力の定数 G と密度 ρ を掛けると、どの次元でも、単位は「1 ÷ 秒²」になる。時間の二乗の逆数である。
論文1092 では、これを数で確かめた。中身が一様に詰まった球を考え、その一番外の殻を、止まった所から落とす。G と密度の積を 1 とした単位で、中心の近くまで落ちる時間を測ると、3 次元で 0.542700、4 次元で 0.450180、5 次元で 0.398700 だった。そして、どの次元でも、球の半径が 1 でも 2 でも 5 でも、時間は同じだった。3 次元の 0.542700 は、教科書にある自由落下の時間の式から出る 0.542701 と、ほぼそろっている。大きな球も小さな球も、濃さが同じなら、同じ時間で落ちきるのである。
時間を決めるのは G と密度の積だけで、半径は入らない。だから、どの半径でも地平線と同じ深さにそろえるには、密度を半径の二乗に反比例させるしかない。地平線の側の 2 は、時間の二乗の 2 なのである。
一方、球殻の側の 2 は、球の表面の次元だった。3 次元の空間の中の球の表面は、2 次元である。空間の側の 2 と、時間の側の 2。根の違う二つの 2 が、3 次元で同じ数になっていた。
3-2 宇宙の側にも、同じつり合いがある
もう一つ、つながる話がある。
宇宙は膨らんでいて、遠くの銀河ほど速く遠ざかっている。曲がっていない、平らな宇宙を考え、遠ざかる速さがちょうど光の速さになる距離を半径とする球を、ハッブル球と呼ぶ。平らな宇宙では、ハッブル球の中身の重さは、同じ半径のブラックホールの重さと、ちょうど等しくなる。これは平らな宇宙という前提から出る恒等式で、私は論文169 で、3 次元について示していた。
論文1092 では、これがどの次元でも成り立つことを確かめた。3 次元から 10 次元まで、比はどれも 1 で、ずれは計算の丸めの大きさしかなかった。
そして、地平線とつり合う 1/r² の分布は、どの半径で区切っても、中の平均の密度が、その半径のハッブル球の密度と同じだった。入れ子になったハッブル球 と言える。3 次元では、縁の密度は中の平均のちょうど 3 分の 1 だった。どこで切っても、玉ねぎの一枚一枚が、それぞれ一つのハッブル球の縁になっている。宇宙の側の一致も、時間の側の 2 に属している。
3-3 言えることと、言えないこと
ここで、話が大きくなりすぎないように、線を引いておく。
この 1/r² の分布が、宇宙のどこかに本当にあるとは言っていない。どの半径も地平線の深さにある星は、一般相対論では止まって立っていられない。円軌道の速さも、3 次元で光の速さの 0.707106781 倍に達する。私が数えたのは、ニュートンの見方での形までである。
宇宙がブラックホールだ、とも言っていない。ハッブル球の一致は、平らな宇宙という前提から出る恒等式である。
銀河の回転曲線が平らになる密度も、同じく 1/r² である（論文910）。ただ、指数が同じでも、量（係数）はブラックホールのつり合いよりずっと小さい。同じ形をしていることと、同じものであることは、ここでも別の話である。
言えるのは、3 次元が、表面で数えることと重力のつり合いが同じ指数を持つ次元だ ということである。
- 地平線の側の 2 は、G と密度の積が時間の二乗の逆数であることから来る
- 平らな宇宙のハッブル球は、どの次元でもブラックホールと同じつり合いにある
- この分布が実在するとも、宇宙がブラックホールだとも言っていない
第4章 ブラックホールのエントロピーは、円盤の数
4-1 4 分の 1 が、アルキメデスの 4 を打ち消す
ここからは、論文1093 の話である。
ブラックホールのエントロピーは、地平線の面積の 4 分の 1 である。1970 年代に Bekenstein と Hawking が示した、物理で最も有名な式の一つである。ħ・c・ボルツマン定数・G を 1 とする単位で書くと、S＝A/4 になる。
3 次元では地平線は球面なので、面積は A＝4πr² である。これを 4 で割ると、πr² になる。πr² は、球を真ん中で切った断面、つまり大円の円盤の面積である。エントロピーは、地平線の断面の円盤と同じ数 になっていた。質量 M で書けば S＝4πM² で、質量を 1 とすると、ここにも 4π が出てくる。
なぜこうなるのか。球の表面積が、大円の円盤の面積のちょうど 4 倍だからである。これはアルキメデスが見つけた比で、エントロピーの 4 分の 1 は、この 4 をちょうど打ち消している。
ただし、この比が 4 になるのは 3 次元だけである（論文1081）。4 次元では 4.712388980、5 次元では 5.333333333 になる。だから、エントロピーが断面と同じ数になるのも、3 次元だけだった。
4-2 重力の定数の決め方で、読みが動く
ここで、もう一歩踏みこむ。
エントロピーの式は、熱の法則（第一法則）から、「2π」と「残りの因子」の積に書き直せる。2π は、ブラックホールの温度の式に出てくる 2π である。そして残りの因子は、重力の定数 G をどう決めるかで、形が変わる。
G は、重力の方程式の係数として決めることもできるし、ニュートンの万有引力の強さとして決めることもできる。3 次元では二つは同じ数だが、次元を変えると分かれる。
ニュートンの強さで決めると、エントロピーの式から、球面の面積の因子が消える。そして、断面と同じ数になる次元が、3 次元と 4 次元の二つに増える。4 次元では、地平線（3 次元の球面）を赤道で切った、3 次元の球の体積 4π/3 と同じ数になる。
しかも、全体だけでなく、殻ごとに一致する。質量を少し足すごとに増えるエントロピーは、3 次元では円盤に細い輪を足したときの面積の増え方 2πr dr、4 次元では球に薄い殻を足したときの体積の増え方 4πr² dr と、ちょうど同じだった。エントロピーは、断面の円盤（4 次元では球）を、外へ外へと塗り広げるように増えていく。
4-3 円盤が出てこない決め方もある
なぜ、3 次元と 4 次元の二つだけなのか。
球の体積の式を整理すると、一致の条件は「空間の次元から 2 を引いた数」と「二つ下の次元の球の体積」が等しいこと、に変わる。ところが、球の体積はふつう π を含む。π を含まないのは、0 次元の球（点、体積 1）と、1 次元の球（長さ 2 の線分）の二つだけである。だから、一致も二つしか起きない。
一方、論文1092 で使った 8πG＝1 の単位では、エントロピーはどの次元でも「2π × 面積」になり、円盤はどこにも出てこない。残るのは、温度の 2π だけである。
つまり、エントロピーの円盤は、重力の定数の決め方の一つで現れる、数の形 である。どの決め方が正しい、という話ではない。私は三つを並べて、どこで円盤が現れ、どこで消えるかを数えた。
- 3 次元のエントロピー S＝A/4 は、地平線の断面の円盤 πr² と同じ数（アルキメデスの 4 を 4 分の 1 が打ち消す）
- ニュートンの G で書くと 3 次元と 4 次元で一致し、それも殻ごと。π を持たない球が点と線分の二つだけだから
- 8πG＝1 では円盤は消える。円盤は、決め方の一つで現れる数の形
第5章 写真に写る影は、別の円盤だった
5-1 写真の暗い円盤の縁は、地平線ではない
2019 年、Event Horizon Telescope が、M87 という銀河の中心にあるブラックホールの写真を発表した。明るい輪の内側に、暗い円盤が写っている。
この暗い円盤を、地平線そのものの姿だと思う人は多いと思う。けれども、私が論文1046 で確かめたとおり、暗い円盤の縁は地平線ではない。ブラックホールのまわりには、光が円を描いて回れる半径があり、その円の像が、影の縁になる。
3 次元では、光が回れる円は、地平線の半径の 1.5 倍の所にある。光はブラックホールの重力で曲げられるので、その円をかすめて遠くの私たちに届く光の道を数えると、円はさらに引きのばされて見える。影の縁は、地平線の半径の 2.598076211 倍の所に見える。1.5 倍の円が、もう √3 倍に広がって見えるのである。面積にすると、地平線の断面の 27/4＝6.75 倍である。
5-2 次元を動かすと、影はもっと大きくなる
この比も、次元を動かして数えた。4 次元では、影の縁は地平線のちょうど 2 倍で、面積の比は 8 倍になる。5 次元では 9.425061169 倍、6 次元では 10.880020560 倍と、次元とともに大きくなっていった。数えた 3 次元から 8 次元のどれでも、光が回れる円は地平線の外にあり、影は地平線の断面より大きかった。
3 次元に戻って、G と質量を 1 とすると、エントロピーの円盤の面積は 4π、写真に写る影の円盤は 27π になる（論文1069）。地平線の球面全体の面積は 16π だから、写真の影は、地平線の表面全体よりも大きい。
二つの円盤は、同じ「πR²」の形をしている。けれども、半径が違い、π の出どころも違う。エントロピーの円盤は地平線を切った断面で、決め方の一つで現れる数の形である。影の円盤は光が回れる円の像で、写真に写る。
別の AI と話を広げていたとき、写真の影の円盤とエントロピーの円盤は同じものだ、という言い方が出てきたことがある。数えてみると、二つは 6.75 倍離れた、別の円盤だった。
5-3 正直に言えること、言えないこと
最後に、二本の論文で言えたことと、言えないことを並べておく。
言えないことから書く。エントロピーの中身、つまり何を数えると 4 分の 1 になるのかには、入っていない。情報が断面の円盤に住んでいる、とも言っていない。ホログラフィー原理が正しい、とも言っていない。この原理は面積で数える形で述べられていて次元を選ばないので、3 次元だけの重なりは、その証拠にも反証にもならない。写真の影がエントロピーを測った、とも言っていない。
言えることは、三つある。論文01 の 2 は、空間の側の 2 と時間の側の 2 が、3 次元で重なった数だったこと。3 次元のエントロピーは、地平線の断面の円盤と同じ数で、それは重力の定数の決め方の一つで現れる形だったこと。そして、写真に写る影は、その 6.75 倍の、別の円盤だったこと。
「ふっくら」の手触りから始まった問いは、ここで閉じない。表面で数えることと重力のつり合いが、3 次元で同じ指数を持つ。その重なりがどこまで続くのかは、次の問いとして開いたままにしておく。
- 写真の暗い円盤の縁は、光が回れる円の像で、地平線の 2.598076211 倍の所にある
- 影の円盤は地平線の断面の 6.75 倍で、次元とともに大きくなる
- 言えたのは、二つの 2 の重なりと、二つの円盤の区別まで
参考文献
- 山岸勇輝「密度 1/r² の「2」は二つあり、球殻の重さの 2 と地平線のつり合いの 2 が重なるのは 3 次元だけである」[論文1092]
第2章・第3章の骨格
YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1092 - 山岸勇輝「ブラックホールのエントロピーは 3 次元では地平線の断面の円盤の面積と同じ数で、写真に写る影の円盤はその 27/4 倍である」[論文1093]
第4章・第5章の骨格
YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1093 - 山岸勇輝「球対称密度分布における n＝2 の唯一性定理」[論文01]
第1章の出発点
YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1 DOI: 10.5281/zenodo.21403186 - 山岸勇輝「4π 質量相殺定理」[論文02]
第1章・第2章（半径 1 の中の 4π）
YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/2 DOI: 10.5281/zenodo.21403931 - 山岸勇輝「n=3唯一性定理とホップファイブレーションに基づく4次元ポアンカレ予想とエキゾチック構造の構造的解釈」[論文08]
第1章（4 次元の 1/r³）
YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/8 DOI: 10.5281/zenodo.21404419 - 山岸勇輝「「4次元らしさ」を担うのは誰か」[論文114]
第1章（d 次元の殻の指数）
YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/114 DOI: 10.5281/zenodo.21963544 - 山岸勇輝「シアマの「偶然の一致」は、恒等式である」[論文169]
第3章（ハッブル球）
YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/169 DOI: 10.5281/zenodo.22093563 - 山岸勇輝「回転曲線が平らな区間は、そこの密度を決め、内側には囲む質量だけを課す」[論文910]
第3章（銀河の 1/r²）
YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/910 DOI: 10.5281/zenodo.22804897 - 山岸勇輝「ブラックホールの影の縁は地平線ではなく、光が回れる円の像である」[論文1046]
第5章（影の縁）
YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1046 DOI: 10.5281/zenodo.22861257 - 山岸勇輝「光子の軌道は四倍に割れるのに、影はほとんど円のままである」[論文1069]
第5章（影の面積 27π）
YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1069 DOI: 10.5281/zenodo.22943738 - 山岸勇輝「球の断面積は πa² の 1・2・4・8 倍の四つあり、4 が出るのは 3 次元だけである」[論文1081]
第4章（球面と大円の比）
YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1081 - 't Hooft, G. (1993). Dimensional reduction in quantum gravity. arXiv:gr-qc/9310026.
- Susskind, L. (1995). The world as a hologram. Journal of Mathematical Physics.
- Bekenstein, J. D. (1973). Black holes and entropy. Physical Review D.
- Hawking, S. W. (1975). Particle creation by black holes. Communications in Mathematical Physics.
- Tangherlini, F. R. (1963). Schwarzschild field in n dimensions and the dimensionality of space problem. Il Nuovo Cimento.
- Event Horizon Telescope Collaboration (2019). First M87 Event Horizon Telescope Results. I. The Shadow of the Supermassive Black Hole. The Astrophysical Journal Letters.
文中の数は、すべて論文1092・1093 の検算の出力から取った。論文はいずれも、査読を経ていない、著者自身による公開（プレプリント）である。