Einsteins E = mc² sagt, dass Masse und Energie zwei Gesichter derselben Sache sind. Wählt man die Einheit der Masse geschickt und setzt m auf 4π, wird die Formel zu E = 4πc². Die Zahl 4π ist dieselbe wie die Oberfläche einer Kugel mit Radius 1, und sie taucht in meinen Arbeiten überall auf. Wie diese Formel in meinen Arbeiten bisher verwendet wurde, habe ich in „Was ist E=4πc²?“ zusammengefasst.
In der Physik gibt es viele Stellen, an denen eine Rechnung eine Unendlichkeit liefert und Ärger macht: die Energie eines Körpers nahe der Lichtgeschwindigkeit, die Energie einer punktförmigen Ladung, die Energie des Vakuums. Verschwinden diese Unendlichkeiten, wenn man m auf 4π setzt?
Die Antwort ist nein. Keine einzige verschwindet. Verfolgt man aber, warum sie nicht verschwinden, wird klar, woher eine Unendlichkeit kommt. Entscheidend ist nicht die Masse, sondern ein Vergleich: wie schnell etwas vom Zentrum aus dünner wird, und die Dimension des Raumes.
Die Rechnungen in diesem Artikel wurden für diese Seite gemacht oder stammen aus Arbeiten, die ich selbst als Preprints veröffentlicht habe; sie sind nicht begutachtet.
Das Wichtigste
- Ob man die Masse auf 1, auf 4π oder auf 1000 setzt, keine einzige Unendlichkeit verschwindet. Die Ergebnisse werden nur im selben Verhältnis größer.
- Ob etwas unendlich wird, entscheidet der Vergleich zwischen der Geschwindigkeit, mit der die Dichte vom Zentrum weg abnimmt (n), und der Dimension des Raumes (d).
- Ist n größer als d, läuft die Summe im Zentrum über; ist n kleiner, läuft sie außen über; sind beide genau gleich, wächst sie an beiden Enden langsam (logarithmisch) immer weiter.
- Dieselbe Unendlichkeit erscheint im Zentrum, wenn man im Abstand zählt, und außen, wenn man in Wellen zählt. Was die Physik eine Ultraviolettdivergenz nennt, ist eine davon.
- Nahe an die Lichtgeschwindigkeit
- Woher Unendlichkeiten kommen
- Warum der Faktor nicht zählt
- Eine Karte berühmter Unendlichkeiten
- Abstand oder Wellen
- Die Dimension bewegen
- Wenn die Masse unendlich wird
- Was 4π gezeigt hat
- Fragen
- Literatur
Was passiert, wenn man m auf 4π setzt und sich der Lichtgeschwindigkeit nähert?
Beginnen wir mit der vertrautesten Unendlichkeit. Die Energie eines Körpers mit der Geschwindigkeit v ist E = γmc². Dabei ist γ eine Zahl, die unbegrenzt wächst, wenn v sich der Lichtgeschwindigkeit c nähert.
Schieben Sie den Regler nach rechts, um sich der Lichtgeschwindigkeit zu nähern. Auf der Skala ist 1 gleich 90 % der Lichtgeschwindigkeit, 2 gleich 99 % und 6 gleich 99,9999 %.
- Geschwindigkeit (Prozent der Lichtgeschwindigkeit)
- γ
- Energie (m = 1)
- Energie (m = 4π)
- Verhältnis der beiden
Bei 90 % der Lichtgeschwindigkeit ist γ gleich 2,294, bei 99 % gleich 7,089 und bei 99,9999 % gleich 707,1. Mit m = 4π wird die Energie 28,83; 89,08 und 8885,8. Bei jeder Geschwindigkeit bleibt das Verhältnis der beiden 4π = 12,566.
γ hängt nur von der Geschwindigkeit ab, und m multipliziert es nur von außen. Was man auch für m einsetzt, die Energie wächst unbegrenzt, wenn man sich der Lichtgeschwindigkeit nähert. Die Unendlichkeit entsteht auf der Seite von γ, nicht auf der Seite von m.
Woher kommt eine Unendlichkeit?
Denken wir etwas allgemeiner. Eine Größe werde dünner, je weiter man sich von einem Zentrum entfernt, etwa die Energie des elektrischen Feldes um eine Punktladung oder das Licht der Sterne. Wenn ihre Dichte mit der n-ten Potenz des Abstands abnimmt, zählen wir, wie viel es insgesamt ist.
Stellen Sie sich eine Zwiebel vor. Vom Zentrum nach außen fügen wir eine dünne Schale nach der anderen hinzu. Die Menge in einer Schale ist Fläche der Schale mal Dichte. In drei Dimensionen ist die Fläche einer Schale proportional zum Quadrat des Radius und die Dichte zur n-ten Potenz des Radius umgekehrt proportional, also ist die Menge in einer Schale proportional zum Radius hoch (2−n). Im d-dimensionalen Raum ist es die Potenz (d−1−n).
Menge in einer Schale mit Radius r ∝ rd−1−n
Die Zahl der Schalen wächst ohne Grenze, sowohl zum Zentrum hin als auch nach außen. Ob die Summe endlich bleibt, hängt davon ab, wie sich die Menge in einer Schale im Zentrum und außen verhält.
- Ist n kleiner als d, sind die Schalen nahe dem Zentrum leicht, also bleibt die Summe im Zentrum endlich; die äußeren Schalen sind schwer, also läuft sie außen über.
- Ist n größer als d, ist es umgekehrt: Sie läuft im Zentrum über und bleibt außen endlich.
- Sind n und d genau gleich, wächst die Summe jedes Mal, wenn man die Schalen 100-mal feiner addiert, um denselben Betrag (jeweils 4,605). Das heißt „logarithmisch wachsen“.
Bewegen Sie n und d mit den Reglern oder drücken Sie einen der Namen unten. Ändert man den Faktor, verschieben sich die Linien nach oben oder unten, ihre Steigung aber bleibt.
- Menge in einer Schale
- Seite des Zentrums
- Äußere Seite
- Wenn a auf 1/100 sinkt
- Wenn R 100-mal größer wird
In drei Dimensionen mit n = 4 wächst die Summe jedes Mal hundertfach, wenn die Länge a, die nahe dem Zentrum abschneidet, auf 1/100 sinkt: 99, 9999, 999999. Mit n = 2 ist sie 0,99; 0,9999; 0,999999 und bleibt bei 1. n = 3 ist die Grenze und wächst jedes Mal um denselben Schritt: 4,61; 9,21; 13,82.
Warum zählt der Faktor nicht?
Die Menge in einer Schale trägt noch eine Zahl: den Faktor der Fläche der Schale (in drei Dimensionen 4π) und die Gesamtgröße, etwa eine Masse oder eine Ladung. Ändert man diesen „Gesamtfaktor“ von 1 auf 4π oder auf 1000, wird die Summe nur im selben Verhältnis größer.
In drei Dimensionen mit n = 4 wuchs die Summe, als a von einem Zehntausendstel auf ein Millionstel ging, um das 100,0099-Fache, ob der Faktor 1, 4π oder 1000 war. In einer Grafik verschieben sich die Linien nur nach oben oder unten; die Steigung ändert sich nicht.
Setzt man den Faktor auf 0, wird die Summe 0, aber damit löscht man die Größe selbst; man macht keine Unendlichkeit endlich. Die Wahl der Einheiten ist eine menschliche Vereinbarung, und ob etwas endlich oder unendlich ist, ist eine Tatsache, die nicht von den Einheiten abhängt. Eine Vereinbarung kann eine Tatsache nicht verschieben.
Der Nachthimmel ist ein gutes Beispiel. Angenommen, Sterne sind gleichmäßig und ohne Ende im Raum verteilt. In einer ferneren Schale wächst die Zahl der Sterne mit dem Quadrat des Radius, und die Helligkeit eines Sterns sinkt mit dem Quadrat des Radius. Also ist die Helligkeit einer Schale nah wie fern gleich. Summiert man ohne Ende, müsste der Nachthimmel unendlich hell sein (Olberssches Paradoxon). In dieser Rechnung erscheint das 4π der Kugelfläche zweimal und kürzt sich weg. Trotzdem bleibt die Unendlichkeit (Arbeit 496). Sie bleibt, wenn der Faktor verschwindet, und sie bleibt, wenn der Faktor 4π wird. Der wirkliche Nachthimmel ist dunkel, weil das Universum ein endliches Alter hat und Licht von weit her uns noch nicht erreicht hat.
Berühmte Unendlichkeiten auf einer Karte
Ich habe berühmte Unendlichkeiten der Physik auf eine Karte aus Dimension d und Verdünnung n gesetzt. Die schräge Linie ist die Grenze n = d; darüber läuft eine Summe im Zentrum über, darunter außen.
| Nr. | Unendlichkeit | Dimension d | Verdünnung n | Wo es überläuft | Wachstum |
|---|---|---|---|---|---|
| ① | Energie des elektrischen Feldes einer Punktladung | 3 | 4 | Zentrum | 1/a |
| ② | Energie des Schwerefeldes einer Punktmasse | 3 | 4 | Zentrum | 1/a |
| ③ | Masse einer Kugel homogener Dichte | 3 | 0 | außen | R³ |
| ④ | Masse im äußeren Teil einer Galaxie mit flacher Rotationskurve (Dichte 1/r²) | 3 | 2 | außen | R |
| ⑤ | Helligkeit gleichmäßig verteilter Sterne (Nachthimmel) | 3 | 2 | außen | R |
| ⑥ | Feldenergie um einen ebenen Wirbel oder einen geraden Draht | 2 | 2 | beide Enden | Logarithmus |
| ⑦ | nicht kondensierte Teilchen eines Bose-Gases (3D, in Wellen gezählt) | 3 | 2 | nirgends | endlich |
| ⑧ | nicht kondensierte Teilchen eines Bose-Gases (2D, in Wellen gezählt) | 2 | 2 | lange Abstände | Logarithmus |
| ⑨ | Nullpunktsenergie des Vakuums (in Wellen gezählt) | 3 | −1 | kurze Abstände | Λ⁴ |
| ⑩ | Korrektur der Higgs-Masse (in Wellen gezählt) | 4 | 2 | kurze Abstände | Λ² |
a ist die Länge, die nahe dem Zentrum abschneidet, R die äußere Größe und Λ die obere Grenze der Wellenzahl. Die Lage jedes Punktes hängt nur von der Dimension und der Verdünnung ab. Der Wert der Masse kommt auf der Karte nirgends vor.
⑥, Wirbel oder Draht, liegt genau auf der Grenze. Auch Gravitationsmodelle des Einzugsgebiets im Handel, die die Anziehung eines Geschäfts durch das Quadrat des Abstands teilen, liegen auf der zweidimensionalen Karte, auf der Menschen leben, genau auf dieser Grenze (Arbeit 1094). ⑧, das Bose-Gas, hängt damit zusammen, dass in zwei Dimensionen keine Kondensation stattfindet (Arbeit 482).
Im Abstand zählen oder in Wellen zählen
Die Energie einer Punktladung ist nahe dem Zentrum dichter und läuft im Zentrum über. Dieselbe Energie kann man auch zählen, indem man sie in Wellen verschiedener Länge zerlegt (Fourier-Transformation). Kurze Abstände entsprechen feinen Wellen, also der Seite großer Wellenzahl.
In Wellen gezählt, läuft dieselbe Unendlichkeit „außen in der Wellenzahl“ über. Was die Physik Ultraviolettdivergenz nennt, ist der Name in dieser Zählweise. Auf der Karte springt der Punkt an die an der Grenze gespiegelte Stelle. Eine Punktladung hat im Abstand n = 4 und in Wellen n = 2. Der Exponent im Abstand plus der Exponent in Wellen ergibt immer das Doppelte der Dimension (in drei Dimensionen 6).
Verschmiert man die Ladung zu einer kleinen Wolke der Breite σ, wird die Energie endlich. Für σ = 1; 0,1 und 0,01 ist sie 0,282; 2,82 und 28,2, gleich, ob im Abstand oder in Wellen gezählt. Jedes Mal, wenn σ auf 1/10 sinkt, wird sie zehnmal größer, und bei σ = 0 ist sie unendlich. Das Verschmieren ist eine Art, festzulegen, wo man abschneidet, kein Faktor.
Was passiert, wenn man die Dimension bewegt?
Von den beiden Koordinaten der Karte legt die Physik n fest. Aber d lässt sich in einer Rechnung bewegen. Die dimensionale Regularisierung, die in Rechnungen der Teilchenphysik verwendet wird, behandelt die Dimension nicht als 3 oder 4, sondern als reelle Zahl wie 1,9 oder 2,5.
Summiert man 1/(k² + 1) über d Dimensionen, ist das Ergebnis nur endlich, wenn d kleiner als 2 ist. Bei d = 1 ist es 3,14159 (π), bei d = 1,9 ist es 57,76. Setzt man dieses endliche Ergebnis als Formel in d bis 3 fort, erhält man −19,739 (−2π²).
Bewegen Sie die Dimension d mit dem Regler. Stellen Sie d auf 3, erscheint −2π². In der Nähe von 2 und 4 springt der Wert.
- Dimension d
- Wert
- In dieser Dimension
Der fortgesetzte Wert ist nicht die wirkliche Summe. In drei Dimensionen ergibt die Summe bis zur Wellenzahl Λ bei Λ = 100 den Wert 1237,02, und sie wächst mit Λ ohne Grenze. Zieht man 4πΛ ab, bleiben −19,6135, und bei Λ = einer Million −19,7391962; das nähert sich −2π². Der Wert der dimensionalen Regularisierung ist die Zahl, die übrig bleibt, wenn man beschließt, den Teil, der proportional zu Λ wächst, nicht mitzuzählen. Die Unendlichkeit wurde nicht beseitigt; sie wurde auf die Seite gelegt, die nicht gezählt wird.
Bei d = 2 und d = 4 liegen Pole (Stellen, an denen der Wert springt). Entwickelt man 1/(k² + 1) für große k, werden die Glieder mit den Geschwindigkeiten 2, 4, 6, … dünner. Die Dimensionen, in denen ein Glied genau auf der Grenze n = d liegt, sind die Orte der Pole.
Was passiert dort, wo die Masse selbst unendlich wird?
In der Theorie der Elementarteilchen erhält auch die Masse des Elektrons selbst eine unendliche Korrektur. Die Korrektur wächst langsam, wie der Logarithmus der oberen Grenze der Wellenzahl, und ihre Größe ist proportional zur Masse des Elektrons. Hier ist die Masse wirklich der Faktor vor einer Unendlichkeit.
Diese Unendlichkeit wird durch ein Verfahren namens Renormierung in die Definition der beobachteten Masse aufgenommen. Die Unendlichkeit geht in die Masse hinein. Aber nicht der Wert der Masse beseitigt sie. Auch mit m = 4π ändert sich das logarithmische Wachstum beim Anheben der oberen Grenze nicht.
Was hat das Setzen von 4π also gezeigt?
Setzt man m auf 4π, verschwindet keine Unendlichkeit. Aber der Versuch hat etwas gezeigt: 4π ist ein Faktor, der außerhalb der Unendlichkeit steht. Das 4π der Kugelfläche multipliziert die Menge in einer Schale und hat keinen Einfluss darauf, ob die Summe endlich oder unendlich ist. Wo die Unendlichkeit sitzt und wie schnell sie wächst, entscheidet der Rest, „der Radius hoch wie viel“.
In Arbeit 02 habe ich die Masse einer Kugel mit der Dichte 1/rⁿ als m(n) = 4π/(3−n) geschrieben. Auch in dieser Formel ist 4π der Faktor, und wo sie unendlich wird, entscheidet 3−n.
Die Energie einer Punktladung, die Schwerkraft einer Punktmasse, der Nachthimmel, die Energie des Vakuums und das Higgs passen alle auf eine Karte. Jede einzelne Tatsache steht in Physiklehrbüchern. Ich habe zehn Unendlichkeiten auf einer Karte aufgereiht und durch Rechnung geprüft und nebeneinandergestellt, dass ein anderer Gesamtfaktor das Wachstum nicht ändert, dass der Exponent zwischen Abstand und Wellen an der Grenze gespiegelt wird und dass die dimensionale Regularisierung eine Bewegung zur Seite auf der Karte ist (Arbeit 1106).
Fragen
Verschwindet eine Unendlichkeit, wenn man die Einheiten ändert?
Nein. Ändert man die Einheiten, wird das Ergebnis nur mit einer Zahl multipliziert. Eine endliche Größe bleibt endlich, und eine Unendlichkeit bleibt eine Unendlichkeit.
Beseitigt die Renormierung die Unendlichkeit?
Nein. Sie nimmt die Unendlichkeit in die Definition der beobachteten Masse oder Ladung auf. Der endliche Teil, der übrig bleibt, hängt davon ab, was man nicht mitzählt (Arbeit 230).
Ist eine Rechnung falsch, wenn eine Unendlichkeit herauskommt?
Nicht unbedingt. Oft zeigt sie an, dass eine Formel über den Bereich hinaus summiert wurde, in dem sie gilt. Gibt man an, wie weit die Summe reicht, ist das Ergebnis eine endliche Zahl.
Arbeiten und Literatur
Alle Arbeiten sind unter CC BY 4.0 veröffentlicht.
- Arbeit 1106, „A Physical Infinity Is Set by How Fast Things Thin Out against the Dimension, Not by the Mass“: die Grundlage der Rechnungen auf dieser Seite.
- Arbeit 02, „The 4π Mass Cancellation Theorem“: m(n) = 4π/(3−n).
- Arbeit 496, „The 4π Appears Twice, Cancels, and Then the Sum Diverges“: der Nachthimmel.
- Arbeit 482, „The Same Words ‚Critical Dimension‘ Name Two Different Numbers, Above and Below“: das Bose-Gas.
- Arbeit 1094, „The ‚Squared Distance‘ in Retail Gravity Models Is, on a Map, the Exponent at the Border Where the Total Number of Customers Stops Converging“: die Grenze auf einer Karte.
- Arbeit 230, „There Are Seven Minus Signs, and One of Them Undoes No Addition“: Arten, eine Divergenz abzuziehen.
- Peskin, M. E., and Schroeder, D. V. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Addison-Wesley.
- Bollini, C. G., and Giambiagi, J. J. (1972). Dimensional renormalization: The number of dimensions as a regularizing parameter. Il Nuovo Cimento B.
- 't Hooft, G., and Veltman, M. (1972). Regularization and renormalization of gauge fields. Nuclear Physics B.