L’E = mc² di Einstein dice che massa ed energia sono due volti della stessa cosa. Se si sceglie bene l’unità di massa e si pone m uguale a 4π, la formula diventa E = 4πc². Il numero 4π è lo stesso dell’area della sfera di raggio 1, e ricorre ovunque nei miei articoli. Come questa formula sia stata usata finora nei miei articoli è raccolto in «Che cos’è E=4πc²?».
La fisica ha molti punti in cui un calcolo produce un infinito e crea problemi: l’energia di un corpo che si avvicina alla velocità della luce, l’energia di una carica piccola come un punto, l’energia del vuoto. Allora, se si pone m uguale a 4π, questi infiniti spariscono?
La risposta è no. Non ne sparisce nemmeno uno. Ma seguendo il perché non spariscono, diventa chiaro da dove viene un infinito. A deciderlo non è la massa, ma un confronto: la velocità con cui qualcosa si dirada a partire dal centro, e la dimensione dello spazio.
I calcoli di questo articolo sono stati fatti per questa pagina o vengono da lavori che ho pubblicato io stesso come preprint; non sono stati sottoposti a revisione paritaria.
In breve
- Che si ponga la massa uguale a 1, a 4π o a 1000, nessun infinito sparisce. Le risposte crescono soltanto nella stessa proporzione.
- Se qualcosa diventa infinito lo decide il confronto fra la velocità con cui la sua densità diminuisce allontanandosi dal centro (n) e la dimensione dello spazio (d).
- Se n è maggiore di d, la somma trabocca al centro; se è minore, trabocca all’esterno; se sono esattamente uguali, continua a crescere lentamente (come un logaritmo) a entrambi gli estremi.
- Lo stesso infinito compare al centro se si conta in distanza, e all’esterno se si conta in onde. Quella che la fisica chiama divergenza ultravioletta è una di queste.
- Avvicinarsi alla velocità della luce
- Da dove vengono gli infiniti
- Perché il fattore non conta
- Una mappa di infiniti famosi
- Distanza o onde
- Spostare la dimensione
- Quando la massa diventa infinita
- Che cosa ha mostrato 4π
- Domande
- Riferimenti
Che cosa succede se si pone m uguale a 4π e ci si avvicina alla velocità della luce?
Cominciamo dall’infinito più familiare. L’energia di un corpo che si muove alla velocità v è E = γmc², dove γ è un numero che cresce senza limite quando v si avvicina alla velocità della luce c.
Spostate il cursore verso destra per avvicinarvi alla velocità della luce. Sulla scala, 1 è il 90% della velocità della luce, 2 è il 99% e 6 è il 99,9999%.
- Velocità (percentuale di quella della luce)
- γ
- Energia (m = 1)
- Energia (m = 4π)
- Rapporto fra le due
Al 90% della velocità della luce γ vale 2,294; al 99%, 7,089; al 99,9999%, 707,1. Con m uguale a 4π l’energia diventa 28,83; 89,08 e 8885,8. A qualunque velocità il rapporto fra le due resta 4π = 12,566.
γ dipende solo dalla velocità, e m lo moltiplica soltanto dall’esterno. Qualunque cosa si metta per m, l’energia cresce senza limite quando ci si avvicina alla velocità della luce. L’infinito nasce dalla parte di γ, non dalla parte di m.
Da dove viene un infinito?
Pensiamo in modo un po’ più ampio. Supponiamo che una grandezza si diradi man mano che ci si allontana da un centro, come l’energia del campo elettrico attorno a una carica puntiforme, o la luce delle stelle. Quando la sua densità diminuisce come l’inverso della potenza n della distanza, contiamo quanta ce n’è in tutto.
Pensate a una cipolla. Dal centro verso l’esterno, aggiungiamo strati sottili uno alla volta. La quantità in uno strato è l’area dello strato per la densità. In tre dimensioni l’area di uno strato è proporzionale al quadrato del raggio, e la densità all’inverso della potenza n del raggio; quindi la quantità in uno strato è proporzionale al raggio alla potenza (2−n). In uno spazio a d dimensioni è la potenza (d−1−n).
quantità in uno strato di raggio r ∝ rd−1−n
Il numero di strati cresce senza limite, sia verso il centro sia verso l’esterno. Se il totale resti finito dipende da come si comporta la quantità di uno strato al centro e all’esterno.
- Se n è minore di d, gli strati vicini al centro sono leggeri, quindi il totale resta finito al centro; gli strati esterni sono pesanti, quindi trabocca all’esterno.
- Se n è maggiore di d è il contrario: trabocca al centro e resta finito all’esterno.
- Se n e d sono esattamente uguali, ogni volta che si aggiungono gli strati 100 volte più finemente, il totale cresce della stessa quantità (4,605 ogni volta). È questo che vuol dire «crescere come un logaritmo».
Muovete n e d con i cursori, oppure premete uno dei nomi qui sotto. Cambiando il fattore le curve si spostano in alto o in basso, ma la loro pendenza non cambia.
- Quantità in uno strato
- Lato del centro
- Lato esterno
- Quando a scende a 1/100
- Quando R diventa 100 volte più grande
In tre dimensioni con n = 4, ogni volta che la lunghezza a che taglia vicino al centro scende a 1/100, il totale si moltiplica per cento: 99; 9999; 999999. Con n = 2 vale 0,99; 0,9999; 0,999999 e resta vicino a 1. n = 3 è il confine, e il totale cresce ogni volta dello stesso passo: 4,61; 9,21; 13,82.
Perché il fattore non conta?
La quantità in uno strato porta con sé un altro numero: il fattore dell’area dello strato (4π in tre dimensioni) e la grandezza complessiva, come una massa o una carica. Cambiare questo «fattore globale» da 1 a 4π o a 1000 rende il totale più grande solo nella stessa proporzione.
In tre dimensioni con n = 4, quando a passa da un decimillesimo a un milionesimo, il totale è cresciuto di 100,0099 volte, che il fattore fosse 1, 4π o 1000. In un grafico le curve si spostano solo in alto o in basso; la pendenza non cambia.
Porre il fattore uguale a 0 rende nullo il totale, ma così si cancella la grandezza stessa; non si rende finito un infinito. La scelta delle unità è una convenzione umana, e che qualcosa sia finito o infinito è un fatto che non dipende dalle unità. Una convenzione non può spostare un fatto.
Il cielo notturno è un buon esempio. Supponiamo che le stelle siano distribuite uniformemente nello spazio, senza fine. In uno strato più lontano il numero di stelle cresce come il quadrato del raggio, e la luminosità di una stella diminuisce come il quadrato del raggio. Quindi la luminosità di uno strato è la stessa, vicino o lontano. Sommando senza fine, il cielo notturno dovrebbe essere infinitamente luminoso (paradosso di Olbers). In questo calcolo il 4π dell’area della sfera compare due volte e si semplifica. Eppure l’infinito resta (articolo 496). Resta quando il fattore sparisce, e resta quando il fattore diventa 4π. Il vero cielo notturno è buio perché l’universo ha un’età finita e la luce che viene da molto lontano non ci ha ancora raggiunti.
Mettere infiniti famosi su un’unica mappa
Ho messo infiniti famosi della fisica su una mappa della dimensione d e del diradamento n. La linea obliqua è il confine n = d; sopra, una somma trabocca al centro, sotto, all’esterno.
| N. | Infinito | Dimensione d | Diradamento n | Dove trabocca | Crescita |
|---|---|---|---|---|---|
| ① | energia del campo elettrico di una carica puntiforme | 3 | 4 | centro | 1/a |
| ② | energia del campo gravitazionale di una massa puntiforme | 3 | 4 | centro | 1/a |
| ③ | massa di una sfera di densità uniforme | 3 | 0 | esterno | R³ |
| ④ | massa della parte esterna di una galassia con curva di rotazione piatta (densità 1/r²) | 3 | 2 | esterno | R |
| ⑤ | luminosità di stelle distribuite uniformemente (cielo notturno) | 3 | 2 | esterno | R |
| ⑥ | energia del campo attorno a un vortice piano o a un filo rettilineo | 2 | 2 | entrambi gli estremi | logaritmo |
| ⑦ | particelle non condensate di un gas di Bose (3D, contate in onde) | 3 | 2 | da nessuna parte | finita |
| ⑧ | particelle non condensate di un gas di Bose (2D, contate in onde) | 2 | 2 | grandi distanze | logaritmo |
| ⑨ | energia di punto zero del vuoto (contata in onde) | 3 | −1 | piccole distanze | Λ⁴ |
| ⑩ | correzione alla massa del bosone di Higgs (contata in onde) | 4 | 2 | piccole distanze | Λ² |
a è la lunghezza che taglia vicino al centro, R la dimensione esterna e Λ il limite superiore del numero d’onda. La posizione di ogni punto è decisa solo dalla dimensione e dal diradamento. Il valore della massa non compare da nessuna parte sulla mappa.
⑥, il vortice o il filo, sta esattamente sul confine. Anche i modelli gravitazionali del bacino commerciale, che dividono l’attrazione di un negozio per il quadrato della distanza, stanno esattamente su questo confine, sulla mappa a due dimensioni dove vivono le persone (articolo 1094). ⑧, il gas di Bose, è legato al fatto che in due dimensioni non avviene la condensazione (articolo 482).
Contare in distanza, o contare in onde
L’energia di una carica puntiforme è più densa vicino al centro e trabocca al centro. La stessa energia si può contare anche scomponendola in onde di lunghezze diverse (trasformata di Fourier). Le piccole distanze corrispondono alle onde fini, cioè al lato dei grandi numeri d’onda.
Contato in onde, lo stesso infinito trabocca «all’esterno nel numero d’onda». Quella che la fisica chiama divergenza ultravioletta è il nome che prende in questo modo di contare. Sulla mappa il punto passa alla posizione riflessa rispetto al confine. Una carica puntiforme ha n = 4 in distanza e n = 2 in onde. L’esponente in distanza più l’esponente in onde fa sempre il doppio della dimensione (6 in tre dimensioni).
Se si spalma la carica in una piccola nuvola di larghezza σ, l’energia diventa finita. Per σ = 1; 0,1 e 0,01 vale 0,282; 2,82 e 28,2, la stessa sia contando in distanza sia contando in onde. Ogni volta che σ scende a 1/10 diventa dieci volte più grande, e con σ = 0 è infinita. Spalmare la carica è un modo di stabilire dove si taglia, non un fattore.
Che cosa succede quando si sposta la dimensione?
Delle due coordinate della mappa, n è fissato dalla fisica. Ma d si può spostare in un calcolo. La regolarizzazione dimensionale, usata nei calcoli della fisica delle particelle, tratta la dimensione non come 3 o 4 ma come un numero reale, per esempio 1,9 o 2,5.
La somma di 1/(k² + 1) su d dimensioni è finita solo quando d è minore di 2. Per d = 1 vale 3,14159 (π), e per d = 1,9 vale 57,76. Prolungando questo risultato finito come formula in d fino a 3 si ottiene −19,739 (−2π²).
Spostate la dimensione d con il cursore. Portate d a 3 e compare −2π². Vicino a 2 e a 4 il valore salta.
- Dimensione d
- Valore
- In questa dimensione
Il valore prolungato non è il vero totale. In tre dimensioni, la somma fino al numero d’onda Λ vale 1237,02 per Λ = 100, e cresce senza limite con Λ. Sottraendo 4πΛ resta −19,6135, e per Λ = un milione −19,7391962; si avvicina a −2π². Il valore della regolarizzazione dimensionale è il numero che resta quando si decide di non contare la parte che cresce in proporzione a Λ. L’infinito non è stato eliminato; è stato messo dalla parte che non si conta.
In d = 2 e d = 4 ci sono poli (punti dove il valore salta). Sviluppando 1/(k² + 1) per k grandi, i termini si diradano con velocità 2, 4, 6, … Le dimensioni in cui un termine cade esattamente sul confine n = d sono i luoghi dei poli.
Che cosa succede dove la massa stessa diventa infinita?
Nella teoria delle particelle elementari, anche la massa dell’elettrone riceve una correzione infinita. La correzione cresce lentamente, come il logaritmo del limite superiore del numero d’onda, e la sua grandezza è proporzionale alla massa dell’elettrone. Qui la massa è davvero il fattore davanti a un infinito.
Questo infinito viene assorbito nella definizione della massa osservata con una procedura chiamata rinormalizzazione. L’infinito va dentro la massa. Ma non è il valore della massa a eliminarlo. Con m uguale a 4π, la crescita logaritmica quando si alza il limite superiore non cambia.
E allora, che cosa ha mostrato porre 4π?
Porre m uguale a 4π non elimina nessun infinito. Ma il tentativo ha mostrato una cosa: 4π è un fattore che sta fuori dall’infinito. Il 4π dell’area della sfera moltiplica la quantità in uno strato, e non ha voce nel fatto che il totale sia finito o infinito. Dove si trova l’infinito e quanto velocemente cresce lo decide il resto, «il raggio a quale potenza».
Nell’articolo 02 ho scritto la massa di una sfera di densità 1/rⁿ come m(n) = 4π/(3−n). Anche in questa formula 4π è il fattore, e a decidere dove diventa infinita è 3−n.
L’energia di una carica puntiforme, la gravità di una massa puntiforme, il cielo notturno, l’energia del vuoto e il bosone di Higgs stanno tutti su un’unica mappa. Ogni singolo fatto è scritto nei manuali di fisica. Quello che ho fatto è stato mettere in fila dieci infiniti su una mappa e verificare con il calcolo, accostandoli, che cambiare il fattore globale non cambia la crescita, che l’esponente si riflette attraverso il confine fra distanza e onde, e che la regolarizzazione dimensionale è uno spostamento laterale sulla mappa (articolo 1106).
Domande
Cambiare le unità fa sparire un infinito?
No. Cambiare le unità moltiplica soltanto la risposta per un numero. Una grandezza finita resta finita, e un infinito resta un infinito.
La rinormalizzazione elimina l’infinito?
No. Assorbe l’infinito nella definizione della massa o della carica osservata. La parte finita che resta dipende dalla scelta di ciò che non si conta (articolo 230).
Se in un calcolo compare un infinito, il calcolo è sbagliato?
Non necessariamente. Spesso segnala che una formula è stata sommata oltre il campo in cui vale. Se si dice fin dove arriva la somma, la risposta è un numero finito.
Articoli e riferimenti
Tutti gli articoli sono pubblicati con licenza CC BY 4.0.
- Articolo 1106, «A Physical Infinity Is Set by How Fast Things Thin Out against the Dimension, Not by the Mass»: la fonte dei calcoli di questa pagina.
- Articolo 02, «The 4π Mass Cancellation Theorem»: m(n) = 4π/(3−n).
- Articolo 496, «The 4π Appears Twice, Cancels, and Then the Sum Diverges»: il cielo notturno.
- Articolo 482, «The Same Words “Critical Dimension” Name Two Different Numbers, Above and Below»: il gas di Bose.
- Articolo 1094, «The “Squared Distance” in Retail Gravity Models Is, on a Map, the Exponent at the Border Where the Total Number of Customers Stops Converging»: il confine su una mappa.
- Articolo 230, «There Are Seven Minus Signs, and One of Them Undoes No Addition»: modi di sottrarre una divergenza.
- Peskin, M. E., and Schroeder, D. V. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Addison-Wesley.
- Bollini, C. G., and Giambiagi, J. J. (1972). Dimensional renormalization: The number of dimensions as a regularizing parameter. Il Nuovo Cimento B.
- 't Hooft, G., and Veltman, M. (1972). Regularization and renormalization of gauge fields. Nuclear Physics B.