Le E = mc² d’Einstein dit que la masse et l’énergie sont deux visages d’une même chose. Si l’on choisit bien l’unité de masse et que l’on pose m égal à 4π, la formule devient E = 4πc². Le nombre 4π est le même que l’aire de la sphère de rayon 1, et il revient partout dans mes articles. La façon dont cette formule a été utilisée jusqu’ici dans mes articles est rassemblée dans « Qu’est-ce que E=4πc² ? ».
La physique a bien des endroits où un calcul produit un infini et pose problème : l’énergie d’un corps qui approche la vitesse de la lumière, l’énergie d’une charge aussi petite qu’un point, l’énergie du vide. Alors, si l’on pose m égal à 4π, ces infinis disparaissent-ils ?
La réponse est non. Pas un seul ne disparaît. Mais en suivant pourquoi ils ne disparaissent pas, on voit clairement d’où vient un infini. Ce qui le décide n’est pas la masse, mais une comparaison : la vitesse à laquelle quelque chose se dilue depuis le centre, et la dimension de l’espace.
Les calculs de cet article ont été faits pour cette page ou viennent d’articles que j’ai publiés moi-même en prépublication ; ils n’ont pas été évalués par des pairs.
L’essentiel
- Que l’on pose la masse égale à 1, à 4π ou à 1000, aucun infini ne disparaît. Les réponses grandissent seulement dans la même proportion.
- Qu’une quantité devienne infinie ou non se décide en comparant la vitesse à laquelle sa densité diminue en s’éloignant du centre (n) et la dimension de l’espace (d).
- Si n est plus grand que d, la somme déborde au centre ; s’il est plus petit, elle déborde à l’extérieur ; s’ils sont exactement égaux, elle continue de croître lentement (comme un logarithme) aux deux bouts.
- Le même infini apparaît au centre quand on compte en distance, et à l’extérieur quand on compte en ondes. Ce que la physique appelle une divergence ultraviolette en fait partie.
- Approcher la vitesse de la lumière
- D’où viennent les infinis
- Pourquoi le facteur ne compte pas
- Une carte des infinis célèbres
- Distance ou ondes
- Déplacer la dimension
- Quand la masse devient infinie
- Ce que 4π a montré
- Questions
- Références
Que se passe-t-il si l’on pose m égal à 4π et que l’on approche la vitesse de la lumière ?
Commençons par l’infini le plus familier. L’énergie d’un corps qui se déplace à la vitesse v est E = γmc², où γ est un nombre qui croît sans limite quand v approche la vitesse de la lumière c.
Déplacez le curseur vers la droite pour approcher la vitesse de la lumière. Sur l’échelle, 1 vaut 90 % de la vitesse de la lumière, 2 vaut 99 % et 6 vaut 99,9999 %.
- Vitesse (pourcentage de celle de la lumière)
- γ
- Énergie (m = 1)
- Énergie (m = 4π)
- Rapport des deux
À 90 % de la vitesse de la lumière, γ vaut 2,294 ; à 99 %, 7,089 ; à 99,9999 %, 707,1. Avec m égal à 4π, l’énergie devient 28,83 ; 89,08 et 8885,8. Quelle que soit la vitesse, le rapport des deux reste 4π = 12,566.
γ ne dépend que de la vitesse, et m ne fait que le multiplier de l’extérieur. Quoi que l’on mette pour m, l’énergie croît sans limite quand on approche la vitesse de la lumière. L’infini se fabrique du côté de γ, pas du côté de m.
D’où vient un infini ?
Pensons un peu plus largement. Supposons qu’une quantité se dilue à mesure qu’on s’éloigne d’un centre, comme l’énergie du champ électrique autour d’une charge ponctuelle, ou la lumière des étoiles. Quand sa densité diminue comme l’inverse de la puissance n de la distance, comptons combien il y en a au total.
Imaginez un oignon. Du centre vers l’extérieur, ajoutez de fines couches une à une. La quantité dans une couche est l’aire de la couche multipliée par la densité. En trois dimensions, l’aire d’une couche est proportionnelle au carré du rayon, et la densité à l’inverse de la puissance n du rayon ; la quantité dans une couche est donc proportionnelle au rayon à la puissance (2−n). Dans un espace à d dimensions, c’est la puissance (d−1−n).
quantité dans une couche de rayon r ∝ rd−1−n
Le nombre de couches croît sans limite, vers le centre comme vers l’extérieur. Que le total reste fini ou non dépend de la façon dont la quantité d’une couche se comporte au centre et à l’extérieur.
- Si n est plus petit que d, les couches proches du centre sont légères, donc le total reste fini au centre ; les couches extérieures sont lourdes, donc il déborde à l’extérieur.
- Si n est plus grand que d, c’est l’inverse : il déborde au centre et reste fini à l’extérieur.
- Si n et d sont exactement égaux, chaque fois qu’on ajoute les couches 100 fois plus finement, le total augmente de la même quantité (4,605 à chaque fois). C’est ce que veut dire « croître comme un logarithme ».
Déplacez n et d avec les curseurs, ou appuyez sur l’un des noms ci-dessous. Changer le facteur décale les courbes vers le haut ou le bas, mais leur pente ne change pas.
- Quantité dans une couche
- Côté du centre
- Côté extérieur
- Quand a passe à 1/100
- Quand R devient 100 fois plus grand
En trois dimensions avec n = 4, chaque fois que la longueur a qui coupe près du centre passe à 1/100, le total est multiplié par cent : 99 ; 9999 ; 999999. Avec n = 2, il vaut 0,99 ; 0,9999 ; 0,999999 et reste près de 1. n = 3 est la frontière, et le total augmente chaque fois du même pas : 4,61 ; 9,21 ; 13,82.
Pourquoi le facteur ne compte-t-il pas ?
La quantité dans une couche porte encore un nombre : le facteur de l’aire de la couche (4π en trois dimensions) et la taille globale, comme une masse ou une charge. Changer ce « facteur global » de 1 à 4π ou à 1000 ne fait que rendre le total plus grand dans la même proportion.
En trois dimensions avec n = 4, quand a passe d’un dix-millième à un millionième, le total a été multiplié par 100,0099, que le facteur soit 1, 4π ou 1000. Sur un graphique, les courbes se décalent seulement vers le haut ou le bas ; la pente ne change pas.
Poser le facteur égal à 0 rend le total nul, mais cela efface la quantité elle-même ; cela ne rend pas un infini fini. Le choix des unités est une convention humaine, et qu’une chose soit finie ou infinie est un fait qui ne dépend pas des unités. Une convention ne peut pas déplacer un fait.
Le ciel nocturne en est un bon exemple. Supposons des étoiles réparties uniformément dans l’espace, sans fin. Dans une couche plus lointaine, le nombre d’étoiles croît comme le carré du rayon, et l’éclat d’une étoile diminue comme le carré du rayon. L’éclat d’une couche est donc le même, proche ou lointaine. En additionnant sans fin, le ciel nocturne devrait être infiniment brillant (paradoxe d’Olbers). Dans ce calcul, le 4π de l’aire de la sphère apparaît deux fois et se simplifie. Pourtant l’infini demeure (article 496). Il demeure quand le facteur disparaît, et il demeure quand le facteur devient 4π. Le vrai ciel nocturne est sombre parce que l’Univers a un âge fini et que la lumière venue de très loin ne nous est pas encore parvenue.
Placer des infinis célèbres sur une seule carte
J’ai placé des infinis célèbres de la physique sur une carte de la dimension d et de la dilution n. La ligne oblique est la frontière n = d ; au-dessus, une somme déborde au centre, en dessous, à l’extérieur.
| N° | Infini | Dimension d | Dilution n | Où cela déborde | Croissance |
|---|---|---|---|---|---|
| ① | énergie du champ électrique d’une charge ponctuelle | 3 | 4 | centre | 1/a |
| ② | énergie du champ de gravitation d’une masse ponctuelle | 3 | 4 | centre | 1/a |
| ③ | masse d’une boule de densité uniforme | 3 | 0 | extérieur | R³ |
| ④ | masse de la partie extérieure d’une galaxie à courbe de rotation plate (densité 1/r²) | 3 | 2 | extérieur | R |
| ⑤ | éclat d’étoiles réparties uniformément (ciel nocturne) | 3 | 2 | extérieur | R |
| ⑥ | énergie du champ autour d’un tourbillon plan ou d’un fil droit | 2 | 2 | deux bouts | logarithme |
| ⑦ | particules non condensées d’un gaz de Bose (3D, comptées en ondes) | 3 | 2 | nulle part | fini |
| ⑧ | particules non condensées d’un gaz de Bose (2D, comptées en ondes) | 2 | 2 | grandes distances | logarithme |
| ⑨ | énergie de point zéro du vide (comptée en ondes) | 3 | −1 | petites distances | Λ⁴ |
| ⑩ | correction de la masse du Higgs (comptée en ondes) | 4 | 2 | petites distances | Λ² |
a est la longueur qui coupe près du centre, R la taille extérieure et Λ la borne supérieure du nombre d’onde. La position de chaque point n’est décidée que par la dimension et la dilution. La valeur de la masse n’apparaît nulle part sur la carte.
⑥, le tourbillon ou le fil, est exactement sur la frontière. Les modèles gravitaires de zone de chalandise, qui divisent l’attraction d’un magasin par le carré de la distance, se trouvent eux aussi exactement sur cette frontière, sur la carte à deux dimensions où vivent les gens (article 1094). ⑧, le gaz de Bose, est lié au fait qu’il n’y a pas de condensation en deux dimensions (article 482).
Compter en distance, ou compter en ondes
L’énergie d’une charge ponctuelle est plus dense près du centre et déborde au centre. On peut aussi compter la même énergie en la découpant en ondes de différentes longueurs (transformée de Fourier). Les petites distances correspondent aux ondes fines, c’est-à-dire au côté des grands nombres d’onde.
Compté en ondes, le même infini déborde « à l’extérieur en nombre d’onde ». Ce que la physique appelle divergence ultraviolette est le nom qu’il prend dans cette façon de compter. Sur la carte, le point passe à la position symétrique par rapport à la frontière. Une charge ponctuelle a n = 4 en distance et n = 2 en ondes. L’exposant en distance plus l’exposant en ondes fait toujours le double de la dimension (6 en trois dimensions).
Si l’on étale la charge en un petit nuage de largeur σ, l’énergie devient finie. Pour σ = 1 ; 0,1 et 0,01, elle vaut 0,282 ; 2,82 et 28,2, la même que l’on compte en distance ou en ondes. Chaque fois que σ passe à 1/10, elle est multipliée par dix, et pour σ = 0 elle est infinie. Étaler la charge est une façon de fixer où l’on coupe, pas un facteur.
Que se passe-t-il quand on déplace la dimension ?
Des deux coordonnées de la carte, n est fixé par la physique. Mais d peut être déplacé dans un calcul. La régularisation dimensionnelle, utilisée dans les calculs de physique des particules, traite la dimension non comme 3 ou 4 mais comme un nombre réel, par exemple 1,9 ou 2,5.
La somme de 1/(k² + 1) sur d dimensions n’est finie que lorsque d est plus petit que 2. En d = 1, elle vaut 3,14159 (π), et en d = 1,9, 57,76. Prolonger ce résultat fini comme une formule en d jusqu’à 3 donne −19,739 (−2π²).
Déplacez la dimension d avec le curseur. Placez d sur 3 et −2π² apparaît. Près de 2 et de 4, la valeur saute.
- Dimension d
- Valeur
- Dans cette dimension
La valeur prolongée n’est pas le vrai total. En trois dimensions, la somme jusqu’au nombre d’onde Λ vaut 1237,02 pour Λ = 100, et elle croît sans limite avec Λ. En retranchant 4πΛ, il reste −19,6135, et pour Λ = un million −19,7391962 ; cela s’approche de −2π². La valeur de la régularisation dimensionnelle est le nombre qui reste quand on décide de ne pas compter la partie qui croît proportionnellement à Λ. L’infini n’a pas été supprimé ; il a été mis du côté qu’on ne compte pas.
En d = 2 et d = 4, il y a des pôles (des endroits où la valeur saute). En développant 1/(k² + 1) pour les grands k, les termes se diluent aux vitesses 2, 4, 6, … Les dimensions où un terme tombe exactement sur la frontière n = d sont les emplacements des pôles.
Que se passe-t-il là où la masse elle-même devient infinie ?
Dans la théorie des particules élémentaires, la masse de l’électron elle-même reçoit une correction infinie. La correction croît lentement, comme le logarithme de la borne supérieure du nombre d’onde, et sa taille est proportionnelle à la masse de l’électron. Ici, la masse est vraiment le facteur devant un infini.
Cet infini est absorbé dans la définition de la masse observée par une procédure appelée renormalisation. L’infini va dans la masse. Mais ce n’est pas la valeur de la masse qui le supprime. Avec m égal à 4π, la croissance logarithmique quand on relève la borne supérieure ne change pas.
Alors, qu’a montré le fait de poser 4π ?
Poser m égal à 4π ne supprime aucun infini. Mais l’essai a montré quelque chose : 4π est un facteur qui se tient hors de l’infini. Le 4π de l’aire de la sphère multiplie la quantité dans une couche, et il n’a aucune part dans le fait que le total soit fini ou infini. Où se trouve l’infini et à quelle vitesse il croît, c’est le reste qui le décide, « le rayon à quelle puissance ».
Dans l’article 02, j’ai écrit la masse d’une boule de densité 1/rⁿ sous la forme m(n) = 4π/(3−n). Dans cette formule aussi, 4π est le facteur, et ce qui décide où elle devient infinie, c’est 3−n.
L’énergie d’une charge ponctuelle, la gravité d’une masse ponctuelle, le ciel nocturne, l’énergie du vide et le Higgs tiennent tous sur une seule carte. Chaque fait pris à part est écrit dans les manuels de physique. Ce que j’ai fait, c’est aligner dix infinis sur une carte, et vérifier par le calcul, en les mettant côte à côte, que changer le facteur global ne change pas la croissance, que l’exposant se réfléchit à travers la frontière entre distance et ondes, et que la régularisation dimensionnelle est un déplacement latéral sur la carte (article 1106).
Questions
Changer d’unités fait-il disparaître un infini ?
Non. Changer d’unités ne fait que multiplier la réponse par un nombre. Une quantité finie reste finie, et un infini reste un infini.
La renormalisation supprime-t-elle l’infini ?
Non. Elle absorbe l’infini dans la définition de la masse ou de la charge observée. La partie finie qui reste dépend du choix de ce qu’on ne compte pas (article 230).
Si un infini apparaît dans un calcul, le calcul est-il faux ?
Pas forcément. Souvent, il signale qu’une formule a été sommée au-delà du domaine où elle s’applique. Si l’on précise jusqu’où va la somme, la réponse est un nombre fini.
Articles et références
Tous les articles sont publiés sous licence CC BY 4.0.
- Article 1106, « A Physical Infinity Is Set by How Fast Things Thin Out against the Dimension, Not by the Mass » : la source des calculs de cette page.
- Article 02, « The 4π Mass Cancellation Theorem » : m(n) = 4π/(3−n).
- Article 496, « The 4π Appears Twice, Cancels, and Then the Sum Diverges » : le ciel nocturne.
- Article 482, « The Same Words “Critical Dimension” Name Two Different Numbers, Above and Below » : le gaz de Bose.
- Article 1094, « The “Squared Distance” in Retail Gravity Models Is, on a Map, the Exponent at the Border Where the Total Number of Customers Stops Converging » : la frontière sur une carte.
- Article 230, « There Are Seven Minus Signs, and One of Them Undoes No Addition » : façons de retrancher une divergence.
- Peskin, M. E., and Schroeder, D. V. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Addison-Wesley.
- Bollini, C. G., and Giambiagi, J. J. (1972). Dimensional renormalization: The number of dimensions as a regularizing parameter. Il Nuovo Cimento B.
- 't Hooft, G., and Veltman, M. (1972). Regularization and renormalization of gauge fields. Nuclear Physics B.