„Was ist ein Separator?“ handelte von den Trennwänden im Werkzeugkasten, und „Die Anleitung zum Faltenglättungs-Jig“ von einem kleinen Einsatz im Kasten. Diese Seite ist die Anleitung zum nächsten Einsatz im selben Regal. Von den Trennwänden an gezählt ist es der dritte.
Gleichungen und Sätze werden alle mit demselben „=“ geschrieben. Doch was dieses = sagt, ist von Formel zu Formel verschieden. Manches = wurde bloß festgelegt, manches erzwingt die Mathematik, manches hat das Experiment bestätigt. In Arbeit 16 habe ich die sechs Wurzeln des = aufgerufen. Dieses Werkzeug macht aus jener Prüfung ein Verfahren, das jeder auf eine berühmte Formel anwenden kann.
Dieser Text fasst eine Arbeit zusammen, die ich selbst als Preprint veröffentlicht habe und die nicht begutachtet ist, dazu Probeläufe, die eigens für diese Seite neu gemacht wurden.
Anleitung
- In einem Satz
- Fragen, was geschehen müsste, damit dieses = bricht.
- Was es kann
- Eine Formel etikettieren. Das Etikett hat fünf Felder: Standort, Wurzel, Feinheit, den Inhalt in einem Satz und die Bedingungen des Versagens.
- Was man einsetzt
- Eine mit = geschriebene Formel und mindestens zwei Welten, deren Eingaben sich bewegen lassen.
- Wann es versagt
- Wenn sich eine Formel nicht allein herausnehmen und brechen lässt. Bei bewiesenen Sätzen nimmt man stattdessen „eine Annahme entfernen“.
- Wohin es gelangt ist
- Elektrizität, Federn, Zähigkeit, Lichtabsorption, chemische Reaktionen, Geld, Wärme, Mechanik, Kosmologie, Sätze.
Das Wichtigste
- Definiert man den Widerstand R als Spannung ÷ Strom, bricht das = in V = IR nicht, selbst bei einer Diode. Der Inhalt des Gesetzes liegt im Satz „R hängt nicht vom Strom ab“.
- Etikettiert wird entlang zweier Achsen: warum es gilt (Wurzel) und wie fein es gilt (Feinheit).
- Dieselbe Formel bekommt ein anderes Etikett, je nachdem, in welcher Theorie man steht.
- Die Wahrheit eines bewiesenen Satzes hat keine Schwäche. Bei Sätzen ersetzt man „brechen“ durch „eine Annahme entfernen“.
- Ein Etikett ist ein Status, kein Werturteil. Das Etikett Definition bedeutet keine schwache Formel.
- Ein Gleichheitszeichen, das nicht bricht
- Verfahren
- Die zwei Achsen
- Die Feinheit ansehen
- Standort
- Übergangsprotokoll
- Sätze
- Wann es versagt
- Im eigenen Gebiet versuchen
- Bekanntes und Eigenes
- Literatur
Ein Gleichheitszeichen, das nicht bricht
Sehen wir uns V = IR an. Definiert man den Widerstand R als das Verhältnis der Spannung V zum Strom I, gilt dieses = für jedes Bauteil. Es gilt sogar für eine Diode.
Für eine ideale Diode bei 300 K (Sättigungsstrom 10⁻¹² A) ergibt das Verhältnis V/I bei 0,40 V den Wert 76270,4 Ω und bei 0,70 V den Wert 1,21791 Ω. Das Verhältnis bewegte sich um das 62623,9-Fache. Trotzdem bleibt V an jedem Punkt gleich I × R, denn R wurde als V/I festgelegt.
Was bricht, ist nicht das =, sondern der Satz „R hängt nicht vom Strom ab“. Der Inhalt des ohmschen Gesetzes ist dieser Satz außerhalb des Gleichheitszeichens.
Bewegen Sie es selbst. Ist die Biegung der Welt 0, ist das Verhältnis überall gleich. Biegen Sie sie, und das Verhältnis bewegt sich, während der Rest des = bei 0 bleibt.
Wählen Sie ein Gebiet und biegen Sie die Welt. Können Sie den Rest des = von 0 wegbewegen?
- V
- R
- Rest des =
- Streuung des Verhältnisses
Das Verfahren, nur in Verben
| Verb | Was man tut |
|---|---|
| Stehen | Aufschreiben, in welcher Theorie man liest |
| Getrennt messen | Aufschreiben, wie man linke und rechte Seite getrennt misst. Geht das für eine Seite nicht, ist es ein Kandidat für das Etikett Definition |
| Brechen | Eine Welt bauen, in der das = versagt. Geht das nicht, ist es ein Kandidat für das Etikett Identität |
| Bewegen | Die Eingaben bewegen und suchen, wo es versagt |
| Etikettieren | Wurzel und Feinheit bestimmen |
| Herausziehen | Den einen Satz „es hängt nicht von … ab“ schreiben |
| Eingrenzen | Die Stellen des Versagens als Bedingungen aufschreiben |
Die Mitte ist „getrennt messen“. Es fragt, ob sich die Größe rechts messen lässt, ohne die linke zu benutzen. Geht das nicht, ist das = eine Definition. Geht es, sagt das = etwas über die Welt.
Der andere Schlüssel ist „herausziehen“. Mit dem Etikett Definition ist die Sache nicht zu Ende. Schreibt man den Satz „dies hängt nicht von jenem ab“, kommt der Inhalt des Gesetzes heraus. Fragt der Separator, was man bewegen muss, damit etwas anderes entsteht, so ist dieser Satz seine Rückseite: Er schreibt auf, was stehen bleibt, wie man auch bewegt. Arbeit 530 teilte den Status von Proportionalitätskonstanten in vier und unterschied sie danach, was man bewegen muss, damit sich die Konstante bewegt. Es ist dieselbe Frage.
Etikettiert wird entlang zweier Achsen
Die erste Achse ist die Wurzel. Sie fragt, warum die Formel gilt. Es sind die sechs aus Arbeit 16.
| Wurzel | Frage | Beispiel |
|---|---|---|
| Definition | Ist eine Seite aus der anderen definiert? | R≡V/I |
| Folge einer Einsetzung | Gilt es, weil eine Konvention gewählt wurde? | E = m in Einheiten mit c = 1 |
| Identität | Versagt es in keiner Welt? | sin²θ + cos²θ = 1 |
| Bedingte Gleichung | Gilt es nur auf Lösungen? | Energieerhaltung |
| Empirisches Gesetz | Lässt sich eine versagende Welt bauen, und hat das Experiment es bestätigt? | R hängt nicht von I ab (in einem Bereich) |
| Ungültig | Passen die Dimensionen beider Seiten nicht zusammen? | Länge = Zeit |
Die zweite Achse ist die Feinheit. Sie fragt, wie fein die Formel gilt.
| Feinheit | Frage | Beispiel |
|---|---|---|
| Überall | Gilt es Punkt für Punkt, Lauf für Lauf? | ∇G = 0 |
| Im Mittel | Versagt es im einzelnen Lauf und gilt nur im Mittel? | Die Jarzynski-Gleichung |
| Im Grenzwert | Gilt es nur im Grenzwert und versagt unterwegs? | PV = nRT |
| Nur teilweise | Verbindet es nur einen Teil einer Größe? | G = 8πT |
Die Feinheit ist keine siebte Wurzel. Auch eine Formel, die im Mittel gilt, hat ihre eigene Wurzel dafür, warum sie gilt. Deshalb steht sie auf einer eigenen Achse.
Die Feinheit ansehen
Ein Gleichheitszeichen, das im Mittel gilt. Setzen Sie ein kleines Teilchen in eine harmonische Falle und ziehen Sie. Ist W die verrichtete Arbeit, sagt die Jarzynski-Gleichung ⟨e^(−W)⟩ = e^(−ΔF), wobei Energie in Einheiten der thermischen Energie gemessen wird. In diesem Beispiel ist ΔF = 0, die rechte Seite also 1. Im einzelnen Lauf gilt das nicht.
Bewegen Sie Tempo und Zahl der Läufe. W streut von Lauf zu Lauf, aber wohin läuft der Mittelwert von e^(−W)?
- Mittelwert von W
- Läufe mit negativem W
- ⟨e^(−W)⟩
- Anteil des obersten 1 %
Dasselbe Modell habe ich für 200.000 Läufe in Zeitschritten gerechnet. Varianz ÷ (2 × Mittelwert) von W beträgt 0,998123, was gut zu dieser Verteilung passt. Bei Tempo 1 haben 22,5 % der Wege negatives W, und ⟨e^(−W)⟩ ist 1,000102±0,006315. Bei Tempo 2 hält das oberste 1 % der Läufe 73,2 % der Summe, und selbst mit 200.000 Läufen ergibt sich 0,926801±0,051570. Das = ist exakt, aber ob man es bestätigen kann, hängt am Rand der Verteilung. Das ist das Thema von Arbeit 136.
Der Virialsatz hat dieselbe Feinheit. Auf einer Ellipsenbahn der Exzentrizität 0,6 bewegt sich 2T/|V| von Augenblick zu Augenblick zwischen 0,400000 und 1,600000. Über einen Umlauf gemittelt ist es 1,000000. Nur über ein Viertel des Bahnwinkels gemittelt ist es 1,381972, also keine Gleichheit.
Ein Gleichheitszeichen, das im Grenzwert gilt. PV = nRT ist die Formel des Grenzwerts, in dem der Druck gegen 0 geht. Berechnet man Z = PV/(nRT) aus der Van-der-Waals-Gleichung bei der reduzierten Temperatur 1,5 für die reduzierten Volumina 10, 100, 1000 und 10000, ergibt sich 0,959483, 0,995844, 0,999583 und 0,999958, also eine Annäherung an 1. Am kritischen Punkt ist es 0,375000, genau 3/8.
Ein Gleichheitszeichen, das nur einen Teil verbindet. Was die einsteinsche Gleichung G = 8πT verbindet, ist nur der Ricci-Teil der Krümmung. Auch wenn die rechte Seite 0 ist, muss die Raumzeit nicht flach sein. In der Schwarzschild-Raumzeit ist die Ricci-Krümmung überall 0, während die Größe der Krümmung RabcdRabcd den Wert 48M²/r⁶ hat. Bei M = 1, r = 3 bleibt 0,065844. Was bleibt, ist der W-Teil, genau die „Falten“, die der Faltenglättungs-Jig gewogen hat.
Das Etikett ändert sich mit dem Standort
Ein Etikett gehört nicht zur Formel allein, sondern zum Paar aus Formel und Standort. In Arbeit 21 habe ich das für die Formel der Massenschale geschrieben.
| Formel | Steht man hier | Steht man dort |
|---|---|---|
| F = ma | Ohne geschriebenes Kraftgesetz die Definition von F | Verbunden mit F = −kx und Ähnlichem ein empirisches Gesetz, das versagen kann |
| v = Hd | Für den Eigenabstand eine Identität eines gleichförmigen Universums | Mit Rotverschiebung und Leuchtkraftentfernung gelesen ein empirisches Gesetz, Feinheit „im Grenzwert“ |
| e^(iπ) + 1 = 0 | Mit cos + i sin als Definition eine Folge der Einsetzung | Mit der Reihe als Definition ein Satz |
| E² = (pc)² + (mc²)² | Innerhalb der speziellen Relativität eine Identität | Außerhalb eine prüfbare Nullhypothese |
Sehen wir uns v = Hd an. Für den Eigenabstand d = a(t)χ gilt ḋ = (ȧ/a)d für jedes a(t), was auch immer das Universum enthält. In beobachteten Größen geschrieben, ändert sich die Lage. Ist d die Leuchtkraftentfernung, so ist H₀d/c bei Rotverschiebung 1 im Staubuniversum 1,171573 und im Universum ohne Materie 1,500000, anders als die 1,000000 von cz = H₀d. Arbeit 1039 hat geschrieben, dass das Hubble-Gesetz im Universum ohne Materie exakt herauskommt. Die Formel auf der Beobachtungsseite ändert sich mit dem Inhalt des Universums, also sagt sie etwas über die Welt.
Für F = ma gibt es beide Lesarten. Die Lehrbücher der analytischen Mechanik folgen meist den Schulen von Kirchhoff und Sommerfeld und lesen das zweite Gesetz als Definition der Kraft, während Feynman als Vertreter derer gilt, die es als Gesetz lesen (Stefanini und Reali). Keine von beiden irrt; sie stehen an verschiedenen Orten.
Übergangsprotokoll
Ich habe dasselbe Verfahren in anderen Gebieten laufen lassen. Viele Formeln definieren eine Konstante durch ein Verhältnis, deshalb steht zuerst die Familie der Verhältnisgesetze.
| Gebiet | Was das = festlegt | Der eine Satz | Brechende Welt | Streuung des Verhältnisses |
|---|---|---|---|---|
| Elektrizität | R≡V/I | R hängt nicht von I ab | Diode | 10,779452 |
| Federn | k≡F/x | k hängt nicht von x ab | Weicher werdende Feder | 0,462892 |
| Zähigkeit | μ≡τ/s (s ist die Schergeschwindigkeit) | μ hängt nicht von s ab | Scherverdünnung | 3,446621 |
| Lichtabsorption | ε≡A/(cl) | ε hängt nicht von c ab | Lösung mit Dimerbildung | 1,597254 |
| Reaktionen | Ea≡RT²dlnk/dT | Ea hängt nicht von T ab | k = AT²e^(−E/RT) | 0,086785 |
| Geld | V≡PQ/M | V hängt nicht von M ab | Welt, in der V mit M fällt | 0,981862 |
In den Welten der Gesetze war die Streuung des Verhältnisses 0 (nur bei Reaktionen 9,30×10⁻¹¹ durch den Fehler der numerischen Ableitung). Die Reste der fünf durch ein Verhältnis definierten = haben auch in den brechenden Welten die Größe der Maschinenrundung, höchstens 1,59×10⁻¹⁶.
Die Geldformel war am deutlichsten. Der Ökonom Humphrey schreibt, dass MV = PQ eine Identität wird, wenn man V als PQ/M definiert, und aufhört, eine zu sein, wenn man V unabhängig von den anderen Größen definiert. Das ist dasselbe wie „getrennt messen“ im Verfahren.
Bei Reaktionen steht die Definition wörtlich im Glossar. Die IUPAC definiert die Aktivierungsenergie durch Ea = RT²dlnk/dT und nennt sie einen empirischen Parameter. In der Welt k = AT²e^(−E/RT) mit E von 50000 J/mol bewegte sich Ea von 54988,678 J/mol bei 300 K bis 59977,355 J/mol bei 600 K.
Die Wärmeformel nahm die Gestalt einer Runde an. Ist W die von außen verrichtete Arbeit und definiert man die Wärme Q als ΔU − W, bricht das = des ersten Hauptsatzes nicht. Der Inhalt ist „die adiabatische Arbeit hängt nicht vom Weg ab“. In einer Welt, in der das versagt, blieb nach einer Runde 0,200000 übrig. Das ist dieselbe Form wie die Bedingung des Versagens beim Faltenglättungs-Jig, aber ob es dieselbe Wurzel ist, habe ich nicht beurteilt.
Auch wenn dieselbe Form in sechs Gebieten lief, nenne ich sie nicht dieselbe Wurzel. Definiert man durch ein Verhältnis, ergibt sich natürlich dieselbe Form, und nach der Regel des Separators ist das kein Urteil. Sagen kann ich nur, dass dasselbe Verfahren lief.
Was nicht hinübergelangt ist. „Getrennt messen“ gelangte nicht zu bewiesenen Sätzen, denn beide Seiten stehen in denselben Axiomen fest. Die Form des Verhältnisses trifft auf Mittelwert- und Identitätsformeln nicht zu. Die brechenden Welten für Federn, Absorption, Geld und Wärme wurden konstruiert, um das Versagen zu zeigen; echte Daten wurden nicht verwendet.
Bei Sätzen: „eine Annahme entfernen“
Auf einen bewiesenen Satz lässt sich „brechen“ nicht anwenden. Da es einen Beweis gibt, hat seine Wahrheit keine Schwäche. Fragen lässt sich, welche Annahmen wie weit nötig sind. Ersetzt man „brechen“ durch „eine Annahme entfernen“, läuft das Verfahren unverändert.
| Satz | Entfernte Annahme | Ergebnis |
|---|---|---|
| Satz des Pythagoras | Eine ebene Fläche | Für das rechtwinklige Dreieck mit a = b = 1 geht c von 1,414214 auf der Ebene zu 1,274556 auf der Kugel mit Radius 1 |
| V − E + F = 2 für Polyeder | Die Gestalt einer Kugel | Von 2 beim Würfel zu 0 beim Gitter auf dem Torus |
| Cauchyscher Integralsatz | Kein Loch | ∮dz/z geht von 0 zu einem Imaginärteil von 6,283185 |
Auf der Seite der Sätze gibt es bereits ausgezeichnete Werkzeuge. Das Gebiet der umgekehrten Mathematik misst, welche Axiome man für einen Satz wirklich braucht, und das Verhältnis von Parallelenaxiom und Satz des Pythagoras ist ein Einstiegsbeispiel. Lean, das zum Prüfen von Beweisen dient, hat einen Befehl, der die Axiome auflistet, von denen ein Satz abhängt.
Wann es versagt
| Bedingung | Was geschieht | Abhilfe |
|---|---|---|
| Eine Formel lässt sich nicht allein herausnehmen und brechen | F = ma liest sich allein als Definition; mit einem Kraftgesetz lässt es sich prüfen | Das Etikett an das Bündel heften |
| Der Bereich der Welten ist nicht festgelegt | „Es brach nicht“ gilt nur innerhalb der erprobten Welten | Die erprobten Welten aufschreiben |
| Das Etikett aus einem Wert bestimmen | e^(iπ) + 1 hat unter jeder Definition denselben Wert | Aufschreiben, wo die Definition steht |
| „Brechen“ auf einen bewiesenen Satz anwenden | Es gibt einen Beweis, also bricht er nicht | Durch „eine Annahme entfernen“ ersetzen |
| Ein Etikett als Werturteil lesen | Das Etikett Definition als „schwach“ zu lesen ist ein Irrtum | Aufschreiben, dass ein Etikett ein Status ist |
Das Erste ist die Stelle, auf die Duhem hingewiesen hat. Er schrieb, dass sich eine physikalische Hypothese nicht allein prüfen lässt und das ganze theoretische Gerüst in Zweifel gerät. In diesem Fall heftet man das Etikett an das Bündel statt an eine Formel. Das Paar F = ma und F = −kx versagt auf einem gedämpften Weg mit einem Rest von 0,172851.
Das Letzte ist wichtig. Definitionen schaffen Messverfahren und Werkzeuge. Das Etikett Definition mindert den Wert einer Formel nicht.
Im eigenen Gebiet versuchen
- Wählen Sie eine Formel, die Sie interessiert, und schreiben Sie auf, in welcher Theorie Sie sie lesen.
- Suchen Sie unter ihren Größen die, die aus anderen definiert sind.
- Gibt es welche, bricht dieses = nicht. Schreiben Sie den Satz „diese Größe hängt nicht von … ab“.
- Suchen Sie eine Welt, in der der Satz versagt. Was Sie finden, ist die Bedingung des Versagens.
- Prüfen Sie, ob es im einzelnen Lauf gilt, im Mittel, im Grenzwert oder nur teilweise.
- Schreiben Sie das Etikett auf. Die Aufzeichnung des Stehenbleibens hilft der nächsten Person.
Was bekannt ist und was meine Arbeit ist
Bekannt. Die Debatte, ob das zweite Gesetz Definition oder Gesetz ist, Duhems Hinweis, dass Hypothesen nicht allein prüfbar sind, die Tatsache, dass MV = PQ eine Identität ist, und die Definition von Ea sind alle bekannt. Dirac schrieb „nur auf den Zwangsbedingungen gleich“ mit einem eigenen Zeichen, ≈. Keines der Ergebnisse der Formeln hier ist neu.
Meine Arbeit. Auf der Grundlage der sechs Wurzeln des = (Arbeit 16), des Standorts (Arbeit 21) und des Status von Proportionalitätskonstanten (Arbeit 530) habe ich daraus ein Verfahren zusammengesetzt. Ich habe Wurzel und Feinheit auf zwei Achsen getrennt. Ich habe das = der Definition vom Inhalt des Gesetzes geschieden, dasselbe Verfahren in sechs Gebieten laufen lassen und auch die Teile aufgeschrieben, die nicht hinübergelangt sind. Ob es Literatur mit einer Ordnung derselben Form gibt, habe ich nicht vollständig geprüft.
Was diese Seite nicht tut. Sie bewertet keine Formeln. Die konstruierten Welten sind Beispiele der Form, keine Aussagen über die Wirklichkeit. Ob V von M abhängt, habe ich nicht gemessen. Sie ist keine Anlageberatung.
Arbeiten und Literatur
Alle Arbeiten sind unter CC BY 4.0 veröffentlicht.
- Arbeit 16, „The Equals Sign Has Distinct Roots Too“: die sechs Wurzeln des =.
- Arbeit 21, „Zero-Tension Does Not Act on an Identity“: der Standort.
- Arbeit 530, „One and the Same ‘Proportional To’ Carries Four Different Kinds of Constant“: was man bewegen muss, damit sich eine Konstante bewegt.
- Arbeit 136, „The Equality Is Exact, and the Average Is Held by the Tail“: das = eines Mittelwerts und sein Rand.
- Arbeit 1039, „A Matter-Free Expanding Universe Is Flat Spacetime Resliced by Proper Time“: der Schnitt, auf dem das Hubble-Gesetz exakt herauskommt.
- Arbeit 300, „The Three Hundredth Census: Whether Two Things Share a Root Is Decidable“: der Test des Separators.
- Humphrey, T. M. (1984). Algebraic quantity equations before Fisher and Pigou. Federal Reserve Bank of Richmond Economic Review.
- Stefanini, L. & Reali, G. (2015). Newton’s second law: not so elementary (as it may seem). arXiv:1502.04303.
- Ariew, R. Pierre Duhem. Stanford Encyclopedia of Philosophy.
- Reverse Mathematics. Stanford Encyclopedia of Philosophy.
- IUPAC Gold Book. activation energy (Arrhenius activation energy).