« Qu’est-ce qu’un séparateur ? » parlait des cloisons d’une boîte à outils, et « Le mode d’emploi du gabarit anti-plis » d’un petit casier dans cette boîte. Cette page est le mode d’emploi du casier suivant, sur la même étagère. En comptant depuis les cloisons, c’est le troisième.
Les équations et les théorèmes s’écrivent tous avec le même « = ». Pourtant, ce que dit ce = change d’une formule à l’autre. Certains = ont simplement été décidés, d’autres sont imposés par les mathématiques, d’autres encore ont été confirmés par l’expérience. Dans l’article 16, j’ai fait l’appel des six racines du signe =. Cet outil transforme ce contrôle en une procédure que chacun peut appliquer à une formule célèbre.
Ce texte résume des travaux que j’ai publiés moi-même en prépublication, qui n’ont pas été évalués par des pairs, ainsi que des essais réalisés spécialement pour cette page.
Mode d’emploi
- En un mot
- Demander ce qui devrait arriver pour que ce = se rompe.
- Ce qu’il fait
- Mettre une étiquette sur une formule. L’étiquette a cinq champs : point d’appui, racine, finesse, le contenu en une phrase et les conditions d’échec.
- Ce qu’on y branche
- Une formule écrite avec = et au moins deux mondes dont on peut faire bouger les entrées.
- Quand il échoue
- Quand on ne peut pas sortir une formule seule pour la casser. Pour les théorèmes démontrés, on utilise à la place « retirer une hypothèse ».
- Où il est passé
- Électricité, ressorts, viscosité, absorption de la lumière, réactions chimiques, monnaie, chaleur, mécanique, cosmologie, théorèmes.
L’essentiel
- Si l’on définit la résistance R comme tension ÷ courant, le = de V = IR ne se rompt pas, même pour une diode. Le contenu de la loi est dans la phrase « R ne dépend pas du courant ».
- On étiquette selon deux axes : pourquoi cela tient (racine) et avec quelle finesse cela tient (finesse).
- La même formule reçoit une autre étiquette selon la théorie à l’intérieur de laquelle on se place.
- La vérité d’un théorème démontré n’a pas de faiblesse. Pour les théorèmes, on remplace « casser » par « retirer une hypothèse ».
- Une étiquette est un statut, pas un jugement de valeur. L’étiquette définition ne signifie pas une formule faible.
- Un signe égal qui ne se rompt pas
- Procédure
- Les deux axes
- Regarder la finesse
- Point d’appui
- Journal des passages
- Les théorèmes
- Quand il échoue
- Essayer dans votre domaine
- Le connu et mon travail
- Références
Un signe égal qui ne se rompt pas
Regardons V = IR. Si la résistance R est définie comme le rapport de la tension V au courant I, ce = tient pour n’importe quel composant. Il tient même pour une diode.
Pour une diode idéale à 300 K (courant de saturation 10⁻¹² A), le rapport V/I vaut 76270,4 Ω à 0,40 V et 1,21791 Ω à 0,70 V. Le rapport a bougé d’un facteur 62623,9. Pourtant, en chaque point, V reste égal à I × R, parce qu’on a décidé que R vaut V/I.
Ce qui se rompt n’est pas le =, mais la phrase « R ne dépend pas du courant ». Le contenu de la loi d’Ohm est cette phrase, en dehors du signe égal.
Essayez. Quand la courbure du monde vaut 0, le rapport est partout le même. Courbez-le : le rapport bouge, mais le reste du = demeure à 0.
Choisissez un domaine et courbez le monde. Pouvez-vous faire quitter 0 au reste du = ?
- V
- R
- Reste du =
- Dispersion du rapport
La procédure, en verbes seulement
| Verbe | Ce qu’on fait |
|---|---|
| Se placer | Écrire à l’intérieur de quelle théorie on lit |
| Mesurer séparément | Écrire comment mesurer séparément les membres de gauche et de droite. Si c’est impossible pour l’un, c’est un candidat à l’étiquette définition |
| Casser | Construire un monde où le = échoue. Si c’est impossible, c’est un candidat à l’étiquette identité |
| Bouger | Faire bouger les entrées et chercher où cela échoue |
| Étiqueter | Décider de la racine et de la finesse |
| Extraire | Écrire la phrase « cela ne dépend pas de quoi » |
| Délimiter | Écrire les lieux de l’échec comme conditions d’échec |
Le centre est « mesurer séparément ». On demande si la quantité de droite peut se mesurer sans utiliser celle de gauche. Si non, le = est une définition. Si oui, le = dit quelque chose du monde.
L’autre clé est « extraire ». L’étiquette définition ne clôt pas l’histoire. Écrivez la phrase « ceci ne dépend pas de cela », et le contenu de la loi apparaît. Si le séparateur demande ce qu’il faut bouger pour obtenir autre chose, cette phrase en est le revers : elle écrit ce qui reste en place quoi qu’on bouge. L’article 530 a réparti le statut des constantes de proportionnalité en quatre, en les distinguant par ce qu’il faut bouger pour que la constante bouge. C’est la même question.
On étiquette selon deux axes
Le premier axe est la racine. Il demande pourquoi la formule tient. Ce sont les six de l’article 16.
| Racine | Question | Exemple |
|---|---|---|
| Définition | Un membre est-il défini à partir de l’autre ? | R≡V/I |
| Conséquence d’une substitution | Cela tient-il parce qu’on a choisi une convention ? | E = m en unités où c = 1 |
| Identité | Cela n’échoue-t-il dans aucun monde ? | sin²θ + cos²θ = 1 |
| Équation conditionnelle | Cela ne tient-il que sur les solutions ? | Conservation de l’énergie |
| Loi empirique | Peut-on construire un monde où cela échoue, et l’expérience l’a-t-elle confirmé ? | R ne dépend pas de I (dans un domaine) |
| Nulle | Les dimensions des deux membres diffèrent-elles ? | longueur = temps |
Le second axe est la finesse. Il demande avec quelle finesse la formule tient.
| Finesse | Question | Exemple |
|---|---|---|
| Partout | Cela tient-il point par point, essai par essai ? | ∇G = 0 |
| En moyenne | Cela échoue-t-il à chaque essai et ne tient-il qu’en moyenne ? | L’égalité de Jarzynski |
| À la limite | Cela ne tient-il qu’à la limite, en échouant en chemin ? | PV = nRT |
| En partie | Cela ne relie-t-il qu’une partie d’une quantité ? | G = 8πT |
La finesse n’est pas une septième racine. Une formule qui tient en moyenne a aussi sa propre racine pour la raison pour laquelle elle tient. C’est pourquoi elle se place sur un axe à part.
Regarder la finesse
Un signe égal qui tient en moyenne. Placez une petite particule dans un piège harmonique et tirez. Si W est le travail fourni, l’égalité de Jarzynski dit ⟨e^(−W)⟩ = e^(−ΔF), l’énergie étant mesurée en unités de l’énergie thermique. Dans cet exemple ΔF = 0, le membre de droite vaut donc 1. Cela ne tient pas à chaque essai.
Faites varier la vitesse et le nombre d’essais. W s’étale d’un essai à l’autre, mais où va la moyenne de e^(−W) ?
- Moyenne de W
- Essais à W négatif
- ⟨e^(−W)⟩
- Part du 1 % du haut
J’ai calculé le même modèle sur 200 000 essais, pas à pas dans le temps. La variance ÷ (2 × moyenne) de W vaut 0,998123, ce qui s’accorde bien avec cette distribution. À la vitesse 1, 22,5 % des chemins ont un W négatif, et ⟨e^(−W)⟩ vaut 1,000102±0,006315. À la vitesse 2, le 1 % d’essais du haut détient 73,2 % de la somme, et même avec 200 000 essais on obtient 0,926801±0,051570. Le = est exact, mais pouvoir le confirmer dépend de la queue. C’est le sujet de l’article 136.
Le théorème du viriel a la même finesse. Sur une orbite elliptique d’excentricité 0,6, 2T/|V| va de 0,400000 à 1,600000 d’un instant à l’autre. En moyenne sur un tour, il vaut 1,000000. En moyenne sur le seul quart de l’angle de l’orbite, il vaut 1,381972, ce qui n’est pas l’égalité.
Un signe égal qui tient à la limite. PV = nRT est la formule de la limite où la pression tend vers 0. En calculant Z = PV/(nRT) par l’équation de van der Waals à la température réduite 1,5, pour les volumes réduits 10, 100, 1000 et 10000, on obtient 0,959483, 0,995844, 0,999583 et 0,999958, qui s’approchent de 1. Au point critique, on a 0,375000, exactement 3/8.
Un signe égal qui ne relie qu’une partie. Ce que relie l’équation d’Einstein G = 8πT, c’est seulement la partie de Ricci de la courbure. Même si le membre de droite est nul, l’espace-temps n’est pas forcément plat. Dans l’espace-temps de Schwarzschild, la courbure de Ricci est nulle partout, alors que la taille de la courbure RabcdRabcd vaut 48M²/r⁶. Pour M = 1, r = 3, il reste 0,065844. Ce qui reste est la partie W, les « plis » mêmes que pesait le gabarit anti-plis.
L’étiquette change selon le point d’appui
Une étiquette n’appartient pas à la formule seule, mais à la paire formule et point d’appui. Dans l’article 21, j’ai écrit cela à propos de la formule de la couche de masse.
| Formule | En se plaçant ici | En se plaçant là |
|---|---|---|
| F = ma | Sans loi de force écrite, la définition de F | Associée à F = −kx ou autre, une loi empirique qui peut échouer |
| v = Hd | Pour la distance propre, une identité d’un univers uniforme | Lue avec le décalage vers le rouge et la distance de luminosité, une loi empirique, de finesse « à la limite » |
| e^(iπ) + 1 = 0 | Avec cos + i sin pour définition, une conséquence d’une substitution | Avec la série pour définition, un théorème |
| E² = (pc)² + (mc²)² | À l’intérieur de la relativité restreinte, une identité | À l’extérieur, une hypothèse nulle testable |
Regardons v = Hd. Pour la distance propre d = a(t)χ, ḋ = (ȧ/a)d vaut pour tout a(t), quel que soit le contenu de l’univers. Écrit avec les quantités observées, les choses changent. Si d est la distance de luminosité, au décalage 1 la valeur de H₀d/c est 1,171573 dans un univers de poussière et 1,500000 dans un univers sans matière, au lieu du 1,000000 de cz = H₀d. L’article 1039 a écrit que la loi de Hubble sort exactement dans un univers sans matière. La formule du côté de l’observation change avec le contenu de l’univers ; elle dit donc quelque chose du monde.
Pour F = ma, les deux lectures ont leur tradition. Les manuels de mécanique analytique suivent en général les écoles de Kirchhoff et de Sommerfeld et lisent la deuxième loi comme une définition de la force, tandis que Feynman est présenté comme un représentant de ceux qui y lisent une loi (Stefanini et Reali). Aucune des deux ne se trompe ; elles se placent à des endroits différents.
Journal des passages
J’ai fait tourner la même procédure dans d’autres domaines. Beaucoup de formules définissent une constante par un rapport ; vient donc d’abord la famille des lois de rapport.
| Domaine | Ce qui définit le = | La phrase | Monde qui casse | Dispersion du rapport |
|---|---|---|---|---|
| Électricité | R≡V/I | R ne dépend pas de I | Diode | 10,779452 |
| Ressorts | k≡F/x | k ne dépend pas de x | Ressort qui s’assouplit | 0,462892 |
| Viscosité | μ≡τ/s (s est le taux de cisaillement) | μ ne dépend pas de s | Fluidification par cisaillement | 3,446621 |
| Absorption de la lumière | ε≡A/(cl) | ε ne dépend pas de c | Solution formant des dimères | 1,597254 |
| Réactions | Ea≡RT²dlnk/dT | Ea ne dépend pas de T | k = AT²e^(−E/RT) | 0,086785 |
| Monnaie | V≡PQ/M | V ne dépend pas de M | Monde où V baisse avec M | 0,981862 |
Dans les mondes des lois, la dispersion du rapport valait 0 (seulement pour les réactions, 9,30×10⁻¹¹ par l’erreur de la dérivation numérique). Les restes des cinq = définis par un rapport ont la taille de l’arrondi machine même dans les mondes qui cassent, au plus 1,59×10⁻¹⁶.
La formule de la monnaie était la plus nette. L’économiste Humphrey écrit que MV = PQ devient une identité si l’on définit V comme PQ/M, et cesse de l’être si l’on définit V indépendamment des autres quantités. C’est la même chose que « mesurer séparément » dans la procédure.
Pour les réactions, la définition figure telle quelle au glossaire. L’IUPAC définit l’énergie d’activation par Ea = RT²dlnk/dT et la qualifie de paramètre empirique. Dans le monde k = AT²e^(−E/RT), avec E de 50000 J/mol, Ea est passée de 54988,678 J/mol à 300 K à 59977,355 J/mol à 600 K.
La formule de la chaleur a pris la forme d’un tour. Si W est le travail fourni de l’extérieur et si l’on définit la chaleur Q comme ΔU − W, le = du premier principe ne se rompt pas. Le contenu est « le travail adiabatique ne dépend pas du chemin ». Dans un monde construit pour que cela échoue, il restait 0,200000 après un tour. C’est la même forme que la condition d’échec du gabarit anti-plis, mais je n’ai pas jugé si c’est la même racine.
Même si la même forme a fonctionné dans six domaines, je ne dis pas que c’est la même racine. Définir par un rapport donne naturellement la même forme, et selon la règle du séparateur, cela ne vaut pas verdict. Tout ce que je peux dire, c’est que la même procédure a fonctionné.
Ce qui n’est pas passé. « Mesurer séparément » n’est pas passé aux théorèmes démontrés, car les deux membres sont fixés dans les mêmes axiomes. La forme du rapport ne s’applique pas aux formules de moyenne ni aux identités. Les mondes qui cassent pour les ressorts, l’absorption, la monnaie et la chaleur ont été construits pour montrer l’échec ; aucune donnée réelle n’a été utilisée.
Pour les théorèmes, « retirer une hypothèse »
On ne peut pas appliquer « casser » à un théorème démontré. Puisqu’il y a une démonstration, sa vérité n’a pas de faiblesse. Ce qu’on peut demander, c’est quelles hypothèses sont nécessaires et jusqu’où. Remplacez « casser » par « retirer une hypothèse », et la procédure fonctionne telle quelle.
| Théorème | Hypothèse retirée | Résultat |
|---|---|---|
| Théorème de Pythagore | Une surface plane | Pour le triangle rectangle a = b = 1, c passe de 1,414214 sur le plan à 1,274556 sur la sphère de rayon 1 |
| V − E + F = 2 pour les polyèdres | La forme d’une sphère | De 2 pour le cube à 0 pour une grille sur le tore |
| Théorème intégral de Cauchy | Pas de trou | ∮dz/z passe de 0 à une partie imaginaire de 6,283185 |
Du côté des théorèmes, il existe déjà d’excellents outils. Le domaine des mathématiques à rebours mesure quels axiomes sont réellement nécessaires pour démontrer un théorème, et le lien entre le postulat des parallèles et le théorème de Pythagore en est un exemple d’entrée. Lean, qui sert à vérifier les démonstrations, a une commande qui liste les axiomes dont dépend un théorème.
Quand il échoue
| Condition | Ce qui arrive | Remède |
|---|---|---|
| On ne peut pas sortir une formule seule pour la casser | F = ma seul se lit comme une définition ; avec une loi de force, on peut le tester | Mettre l’étiquette sur le faisceau |
| L’étendue des mondes n’est pas fixée | « Cela n’a pas cassé » ne vaut que dans les mondes essayés | Écrire les mondes essayés |
| Décider l’étiquette d’après une valeur | e^(iπ) + 1 a la même valeur avec toute définition | Écrire où la définition est placée |
| Appliquer « casser » à un théorème démontré | Il y a une démonstration, donc cela ne casse pas | Remplacer par « retirer une hypothèse » |
| Lire une étiquette comme un jugement de valeur | Lire l’étiquette définition comme « faible » est une erreur | Écrire qu’une étiquette est un statut |
Le premier point est celui que Duhem a signalé. Il a écrit qu’une hypothèse physique ne se teste pas seule et que tout l’échafaudage théorique est mis en doute. Dans ce cas, on met l’étiquette sur le faisceau plutôt que sur une formule. La paire F = ma et F = −kx échoue sur un chemin amorti, avec un reste de 0,172851.
Le dernier compte beaucoup. Les définitions créent des façons de mesurer et des outils. L’étiquette définition ne diminue pas la valeur d’une formule.
Essayer dans votre domaine
- Choisissez une formule qui vous intéresse et écrivez à l’intérieur de quelle théorie vous la lisez.
- Parmi ses quantités, cherchez celles qui sont définies à partir des autres.
- S’il y en a, ce = ne se rompt pas. Écrivez la phrase « cette quantité ne dépend pas de ceci ».
- Cherchez un monde où la phrase échoue. Ce que vous trouvez est la condition d’échec.
- Vérifiez si cela tient à chaque essai, en moyenne, à la limite ou seulement en partie.
- Notez l’étiquette. La trace de l’arrêt aide la personne suivante.
Ce qui est connu et ce qui est mon travail
Ce qui est connu. Le débat pour savoir si la deuxième loi est une définition ou une loi, le constat de Duhem que les hypothèses ne se testent pas seules, le fait que MV = PQ est une identité et la définition de Ea sont tous connus. Dirac a écrit « égal seulement sur les contraintes » avec un symbole à part, ≈. Aucun des résultats des formules présentées ici n’est nouveau.
Mon travail. Sur la base des six racines du signe = (article 16), du point d’appui (article 21) et du statut des constantes de proportionnalité (article 530), j’en ai fait une procédure. J’ai séparé racine et finesse en deux axes. J’ai distingué le = de définition du contenu de la loi, fait tourner la même procédure dans six domaines et noté jusqu’aux pièces qui ne sont pas passées. Je n’ai pas vérifié de façon exhaustive si une publication contient un rangement de même forme.
Ce que cette page ne fait pas. Elle ne classe pas les formules. Les mondes construits sont des exemples de forme, pas des affirmations sur la réalité. Je n’ai pas mesuré si V dépend de M. Ce n’est pas un conseil en investissement.
Articles et références
Tous les articles sont publiés sous licence CC BY 4.0.
- Article 16, « The Equals Sign Has Distinct Roots Too » : les six racines du signe =.
- Article 21, « Zero-Tension Does Not Act on an Identity » : le point d’appui.
- Article 530, « One and the Same ‘Proportional To’ Carries Four Different Kinds of Constant » : ce qu’il faut bouger pour qu’une constante bouge.
- Article 136, « The Equality Is Exact, and the Average Is Held by the Tail » : le = d’une moyenne et sa queue.
- Article 1039, « A Matter-Free Expanding Universe Is Flat Spacetime Resliced by Proper Time » : la tranche où la loi de Hubble sort exactement.
- Article 300, « The Three Hundredth Census: Whether Two Things Share a Root Is Decidable » : le test du séparateur.
- Humphrey, T. M. (1984). Algebraic quantity equations before Fisher and Pigou. Federal Reserve Bank of Richmond Economic Review.
- Stefanini, L. & Reali, G. (2015). Newton’s second law: not so elementary (as it may seem). arXiv:1502.04303.
- Ariew, R. Pierre Duhem. Stanford Encyclopedia of Philosophy.
- Reverse Mathematics. Stanford Encyclopedia of Philosophy.
- IUPAC Gold Book. activation energy (Arrhenius activation energy).