«Che cos’è un separatore?» parlava dei divisori di una cassetta degli attrezzi, e «Il manuale della dima togli-pieghe» di una piccola scatola nella cassetta. Questa pagina è il manuale della scatola successiva, sullo stesso scaffale. Contando dai divisori, è la terza.
Equazioni e teoremi si scrivono tutti con lo stesso «=». Eppure ciò che quel = dice cambia da una formula all’altra. Alcuni = sono stati semplicemente decisi, altri sono imposti dalla matematica, altri ancora sono stati confermati dall’esperimento. Nell’articolo 16 ho fatto l’appello delle sei radici del segno =. Questo strumento trasforma quel controllo in una procedura che chiunque può applicare a una formula famosa.
Questo testo riassume un articolo che ho pubblicato io stesso come preprint, non sottoposto a revisione paritaria, insieme a prove fatte appositamente per questa pagina.
Manuale
- In una parola
- Chiedere che cosa dovrebbe accadere perché questo = si rompa.
- Che cosa fa
- Mette un’etichetta a una formula. L’etichetta ha cinque campi: dove si sta, radice, finezza, il contenuto in una frase e le condizioni di fallimento.
- Che cosa si inserisce
- Una formula scritta con = e almeno due mondi di cui si possano muovere gli ingressi.
- Quando non funziona
- Quando non si può estrarre una formula da sola e romperla. Per i teoremi dimostrati si usa invece «togliere un’ipotesi».
- Dove è arrivato
- Elettricità, molle, viscosità, assorbimento della luce, reazioni chimiche, moneta, calore, meccanica, cosmologia, teoremi.
In sintesi
- Se si definisce la resistenza R come tensione ÷ corrente, il = di V = IR non si rompe, nemmeno per un diodo. Il contenuto della legge sta nella frase «R non dipende dalla corrente».
- Si etichetta lungo due assi: perché vale (radice) e con quale finezza vale (finezza).
- La stessa formula riceve un’altra etichetta a seconda della teoria dentro cui si sta.
- La verità di un teorema dimostrato non ha debolezze. Per i teoremi si sostituisce «rompere» con «togliere un’ipotesi».
- Un’etichetta è uno status, non un giudizio di valore. L’etichetta definizione non significa una formula debole.
- Un segno di uguale che non si rompe
- Procedura
- I due assi
- Guardare la finezza
- Dove si sta
- Registro dei passaggi
- I teoremi
- Quando non funziona
- Provare nel proprio campo
- Il noto e il mio lavoro
- Bibliografia
Un segno di uguale che non si rompe
Guardiamo V = IR. Se la resistenza R è definita come il rapporto tra la tensione V e la corrente I, questo = vale per qualsiasi componente. Vale persino per un diodo.
Per un diodo ideale a 300 K (corrente di saturazione 10⁻¹² A), il rapporto V/I vale 76270,4 Ω a 0,40 V e 1,21791 Ω a 0,70 V. Il rapporto si è mosso di un fattore 62623,9. Eppure in ogni punto V resta uguale a I × R, perché si è deciso che R sia V/I.
Ciò che si rompe non è il =, ma la frase «R non dipende dalla corrente». Il contenuto della legge di Ohm è questa frase, fuori dal segno di uguale.
Provate a muoverlo. Quando la curvatura del mondo è 0, il rapporto è ovunque lo stesso. Curvatelo: il rapporto si muove, ma il resto del = rimane a 0.
Scegliete un campo e curvate il mondo. Riuscite a spostare da 0 il resto del =?
- V
- R
- Resto del =
- Dispersione del rapporto
La procedura, solo con i verbi
| Verbo | Che cosa si fa |
|---|---|
| Collocarsi | Scrivere dentro quale teoria si legge |
| Misurare separatamente | Scrivere come misurare separatamente il membro sinistro e il destro. Se per uno non si può, è un candidato all’etichetta definizione |
| Rompere | Costruire un mondo in cui il = fallisce. Se non si può, è un candidato all’etichetta identità |
| Muovere | Muovere gli ingressi e cercare dove fallisce |
| Etichettare | Decidere radice e finezza |
| Estrarre | Scrivere la frase «non dipende da che cosa» |
| Delimitare | Scrivere i punti di fallimento come condizioni di fallimento |
Il centro è «misurare separatamente». Si chiede se la quantità a destra si possa misurare senza usare quella a sinistra. Se non si può, il = è una definizione. Se si può, il = dice qualcosa del mondo.
L’altra chiave è «estrarre». L’etichetta definizione non chiude la storia. Scrivete la frase «questo non dipende da quello» e il contenuto della legge viene fuori. Se il separatore chiede che cosa bisogna muovere per ottenere qualcosa di diverso, questa frase ne è il rovescio: scrive ciò che resta fermo comunque si muova. L’articolo 530 ha diviso lo status delle costanti di proporzionalità in quattro, distinguendole in base a che cosa bisogna muovere perché la costante si muova. È la stessa domanda.
Si etichetta lungo due assi
Il primo asse è la radice. Chiede perché la formula vale. Sono le sei dell’articolo 16.
| Radice | Domanda | Esempio |
|---|---|---|
| Definizione | Un membro è definito a partire dall’altro? | R≡V/I |
| Conseguenza di una sostituzione | Vale perché si è scelta una convenzione? | E = m in unità con c = 1 |
| Identità | Non fallisce in nessun mondo? | sin²θ + cos²θ = 1 |
| Equazione condizionale | Vale solo sulle soluzioni? | Conservazione dell’energia |
| Legge empirica | Si può costruire un mondo in cui fallisce, e l’esperimento l’ha confermata? | R non dipende da I (entro un intervallo) |
| Nulla | Le dimensioni dei due membri non coincidono? | lunghezza = tempo |
Il secondo asse è la finezza. Chiede con quale finezza la formula vale.
| Finezza | Domanda | Esempio |
|---|---|---|
| Ovunque | Vale punto per punto, prova per prova? | ∇G = 0 |
| In media | Fallisce a ogni prova e vale solo in media? | L’uguaglianza di Jarzynski |
| Al limite | Vale solo al limite, fallendo lungo la strada? | PV = nRT |
| In parte | Collega solo una parte di una quantità? | G = 8πT |
La finezza non è una settima radice. Anche una formula che vale in media ha la propria radice del perché vale. Per questo sta su un asse a parte.
Guardare la finezza
Un segno di uguale che vale in media. Mettete una piccola particella in una trappola armonica e tirate. Se W è il lavoro compiuto, l’uguaglianza di Jarzynski dice ⟨e^(−W)⟩ = e^(−ΔF), con l’energia misurata in unità dell’energia termica. In questo esempio ΔF = 0, quindi il membro destro è 1. A ogni singola prova non vale.
Muovete la velocità e il numero di prove. W si sparge da una prova all’altra, ma dove va la media di e^(−W)?
- Media di W
- Prove con W negativo
- ⟨e^(−W)⟩
- Quota dell’1 % più alto
Ho calcolato lo stesso modello su 200.000 prove, a passi di tempo. La varianza ÷ (2 × media) di W è 0,998123, in buon accordo con questa distribuzione. Alla velocità 1, il 22,5 % dei percorsi ha W negativo e ⟨e^(−W)⟩ è 1,000102±0,006315. Alla velocità 2, l’1 % più alto delle prove detiene il 73,2 % della somma, e anche con 200.000 prove si ottiene 0,926801±0,051570. Il = è esatto, ma poterlo confermare dipende dalla coda. È il tema dell’articolo 136.
Il teorema del viriale ha la stessa finezza. Su un’orbita ellittica di eccentricità 0,6, 2T/|V| si muove da 0,400000 a 1,600000 da un istante all’altro. In media su un giro vale 1,000000. In media su un solo quarto dell’angolo dell’orbita vale 1,381972, che non è l’uguaglianza.
Un segno di uguale che vale al limite. PV = nRT è la formula del limite in cui la pressione tende a 0. Calcolando Z = PV/(nRT) con l’equazione di van der Waals alla temperatura ridotta 1,5, per i volumi ridotti 10, 100, 1000 e 10000, si ottiene 0,959483, 0,995844, 0,999583 e 0,999958, che si avvicinano a 1. Al punto critico si ha 0,375000, esattamente 3/8.
Un segno di uguale che collega solo una parte. Ciò che l’equazione di Einstein G = 8πT collega è solo la parte di Ricci della curvatura. Anche se il membro destro è 0, lo spaziotempo non è per forza piatto. Nello spaziotempo di Schwarzschild la curvatura di Ricci è 0 ovunque, mentre la grandezza della curvatura RabcdRabcd vale 48M²/r⁶. Con M = 1, r = 3 resta 0,065844. Ciò che resta è la parte W, proprio le «pieghe» che la dima togli-pieghe pesava.
L’etichetta cambia con il luogo in cui si sta
Un’etichetta non appartiene alla sola formula, ma alla coppia di formula e luogo in cui si sta. Nell’articolo 21 l’ho scritto per la formula del guscio di massa.
| Formula | Stando qui | Stando lì |
|---|---|---|
| F = ma | Senza una legge di forza scritta, la definizione di F | Unita a F = −kx e simili, una legge empirica che può fallire |
| v = Hd | Per la distanza propria, un’identità di un universo uniforme | Letta con spostamento verso il rosso e distanza di luminosità, una legge empirica, con finezza «al limite» |
| e^(iπ) + 1 = 0 | Con cos + i sin come definizione, una conseguenza di una sostituzione | Con la serie come definizione, un teorema |
| E² = (pc)² + (mc²)² | Dentro la relatività ristretta, un’identità | Fuori, un’ipotesi nulla verificabile |
Guardiamo v = Hd. Per la distanza propria d = a(t)χ, ḋ = (ȧ/a)d vale per ogni a(t), qualunque sia il contenuto dell’universo. Scritta con le quantità osservate, le cose cambiano. Se d è la distanza di luminosità, allo spostamento 1 il valore di H₀d/c è 1,171573 in un universo di polvere e 1,500000 in un universo senza materia, diverso dall’1,000000 di cz = H₀d. L’articolo 1039 ha scritto che la legge di Hubble viene esatta in un universo senza materia. La formula dal lato dell’osservazione cambia con il contenuto dell’universo, quindi dice qualcosa del mondo.
Per F = ma, entrambe le letture hanno la loro tradizione. I manuali di meccanica analitica seguono in genere le scuole di Kirchhoff e di Sommerfeld e leggono la seconda legge come definizione di forza, mentre Feynman è indicato come rappresentante di chi la legge come legge (Stefanini e Reali). Nessuna delle due sbaglia; stanno in luoghi diversi.
Registro dei passaggi
Ho fatto girare la stessa procedura in altri campi. Molte formule definiscono una costante con un rapporto, perciò viene prima la famiglia delle leggi di rapporto.
| Campo | Che cosa definisce il = | La frase | Mondo che rompe | Dispersione del rapporto |
|---|---|---|---|---|
| Elettricità | R≡V/I | R non dipende da I | Diodo | 10,779452 |
| Molle | k≡F/x | k non dipende da x | Molla che si ammorbidisce | 0,462892 |
| Viscosità | μ≡τ/s (s è la velocità di taglio) | μ non dipende da s | Fluidificazione per taglio | 3,446621 |
| Assorbimento della luce | ε≡A/(cl) | ε non dipende da c | Soluzione che forma dimeri | 1,597254 |
| Reazioni | Ea≡RT²dlnk/dT | Ea non dipende da T | k = AT²e^(−E/RT) | 0,086785 |
| Moneta | V≡PQ/M | V non dipende da M | Mondo in cui V cala con M | 0,981862 |
Nei mondi delle leggi la dispersione del rapporto era 0 (solo per le reazioni, 9,30×10⁻¹¹ per l’errore della derivazione numerica). I resti dei cinque = definiti da un rapporto hanno la grandezza dell’arrotondamento di macchina anche nei mondi che rompono, al massimo 1,59×10⁻¹⁶.
La formula della moneta è stata la più netta. L’economista Humphrey scrive che MV = PQ diventa un’identità se si definisce V come PQ/M, e smette di esserlo se si definisce V indipendentemente dalle altre quantità. È la stessa cosa di «misurare separatamente» nella procedura.
Per le reazioni, la definizione sta tale e quale nel glossario. La IUPAC definisce l’energia di attivazione con Ea = RT²dlnk/dT e la chiama parametro empirico. Nel mondo k = AT²e^(−E/RT), con E di 50000 J/mol, Ea si è mossa da 54988,678 J/mol a 300 K a 59977,355 J/mol a 600 K.
La formula del calore ha preso la forma di un giro. Se W è il lavoro fatto dall’esterno e si definisce il calore Q come ΔU − W, il = del primo principio non si rompe. Il contenuto è «il lavoro adiabatico non dipende dal percorso». In un mondo costruito perché ciò fallisca, dopo un giro restava 0,200000. È la stessa forma della condizione di fallimento della dima togli-pieghe, ma non ho giudicato se sia la stessa radice.
Anche se la stessa forma ha funzionato in sei campi, non la chiamo la stessa radice. Definire con un rapporto dà naturalmente la stessa forma, e secondo la regola del separatore questo non vale come verdetto. Posso dire soltanto che la stessa procedura ha funzionato.
Che cosa non è passato. «Misurare separatamente» non è passato ai teoremi dimostrati, perché i due membri sono fissati negli stessi assiomi. La forma del rapporto non si applica alle formule di media né alle identità. I mondi che rompono per molle, assorbimento, moneta e calore sono stati costruiti per mostrare il fallimento; non si sono usati dati reali.
Per i teoremi, «togliere un’ipotesi»
A un teorema dimostrato non si può applicare «rompere». Poiché c’è una dimostrazione, la sua verità non ha debolezze. Si può chiedere quali ipotesi servano e fino a che punto. Sostituite «rompere» con «togliere un’ipotesi» e la procedura funziona così com’è.
| Teorema | Ipotesi tolta | Risultato |
|---|---|---|
| Teorema di Pitagora | Una superficie piana | Per il triangolo rettangolo a = b = 1, c passa da 1,414214 sul piano a 1,274556 sulla sfera di raggio 1 |
| V − E + F = 2 per i poliedri | La forma di una sfera | Da 2 per il cubo a 0 per una griglia sul toro |
| Teorema integrale di Cauchy | Nessun buco | ∮dz/z passa da 0 a una parte immaginaria di 6,283185 |
Dal lato dei teoremi esistono già ottimi strumenti. Il campo della matematica inversa misura quali assiomi servano davvero per dimostrare un teorema, e il legame tra il postulato delle parallele e il teorema di Pitagora ne è un esempio introduttivo. Lean, usato per verificare le dimostrazioni, ha un comando che elenca gli assiomi da cui dipende un teorema.
Quando non funziona
| Condizione | Che cosa accade | Rimedio |
|---|---|---|
| Non si può estrarre una formula da sola e romperla | F = ma da sola si legge come definizione; con una legge di forza si può verificare | Mettere l’etichetta sul fascio |
| L’ambito dei mondi non è fissato | «Non si è rotta» vale solo nei mondi provati | Scrivere i mondi provati |
| Decidere l’etichetta da un valore | e^(iπ) + 1 ha lo stesso valore con ogni definizione | Scrivere dove sta la definizione |
| Applicare «rompere» a un teorema dimostrato | C’è una dimostrazione, quindi non si rompe | Sostituire con «togliere un’ipotesi» |
| Leggere un’etichetta come giudizio di valore | Leggere l’etichetta definizione come «debole» è un errore | Scrivere che un’etichetta è uno status |
Il primo è il punto indicato da Duhem. Scrisse che un’ipotesi fisica non si verifica da sola e che viene messa in dubbio tutta l’impalcatura teorica. In questo caso si mette l’etichetta sul fascio anziché su una formula. La coppia F = ma e F = −kx fallisce su un percorso smorzato, con un resto di 0,172851.
L’ultimo è importante. Le definizioni creano modi di misurare e strumenti. L’etichetta definizione non abbassa il valore di una formula.
Provare nel proprio campo
- Scegliete una formula che vi interessa e scrivete dentro quale teoria la leggete.
- Tra le sue quantità, cercate quelle definite a partire dalle altre.
- Se ce ne sono, quel = non si rompe. Scrivete la frase «quella quantità non dipende da questo».
- Cercate un mondo in cui la frase fallisce. Ciò che trovate è la condizione di fallimento.
- Controllate se vale a ogni prova, in media, al limite o solo in parte.
- Annotate l’etichetta. Il registro della fermata aiuta la persona successiva.
Che cosa è noto e che cosa è lavoro mio
Che cosa è noto. Il dibattito se la seconda legge sia definizione o legge, l’osservazione di Duhem che le ipotesi non si verificano da sole, il fatto che MV = PQ sia un’identità e la definizione di Ea sono tutti noti. Dirac scrisse «uguale solo sui vincoli» con un simbolo a parte, ≈. Nessuno dei risultati delle formule qui presentate è nuovo.
Il mio lavoro. Sulla base delle sei radici del segno = (articolo 16), del luogo in cui si sta (articolo 21) e dello status delle costanti di proporzionalità (articolo 530), ne ho fatto una procedura. Ho separato radice e finezza in due assi. Ho distinto il = di definizione dal contenuto della legge, ho fatto girare la stessa procedura in sei campi e ho annotato anche i pezzi che non sono passati. Non ho controllato in modo completo se esista letteratura con un ordinamento della stessa forma.
Che cosa questa pagina non fa. Non classifica le formule. I mondi costruiti sono esempi di forma, non affermazioni sulla realtà. Non ho misurato se V dipenda da M. Non è una consulenza finanziaria.
Articoli e bibliografia
Tutti gli articoli sono pubblicati con licenza CC BY 4.0.
- Articolo 16, «The Equals Sign Has Distinct Roots Too»: le sei radici del segno =.
- Articolo 21, «Zero-Tension Does Not Act on an Identity»: il luogo in cui si sta.
- Articolo 530, «One and the Same ‘Proportional To’ Carries Four Different Kinds of Constant»: che cosa bisogna muovere perché una costante si muova.
- Articolo 136, «The Equality Is Exact, and the Average Is Held by the Tail»: il = di una media e la sua coda.
- Articolo 1039, «A Matter-Free Expanding Universe Is Flat Spacetime Resliced by Proper Time»: la fetta su cui la legge di Hubble viene esatta.
- Articolo 300, «The Three Hundredth Census: Whether Two Things Share a Root Is Decidable»: il test del separatore.
- Humphrey, T. M. (1984). Algebraic quantity equations before Fisher and Pigou. Federal Reserve Bank of Richmond Economic Review.
- Stefanini, L. & Reali, G. (2015). Newton’s second law: not so elementary (as it may seem). arXiv:1502.04303.
- Ariew, R. Pierre Duhem. Stanford Encyclopedia of Philosophy.
- Reverse Mathematics. Stanford Encyclopedia of Philosophy.
- IUPAC Gold Book. activation energy (Arrhenius activation energy).