Passez un élastique autour de la peau d’une pomme. Où qu’il soit, vous pouvez le faire glisser sur la peau et le contracter en un point. Sur la surface d’un beignet, cela échoue. Un élastique qui fait le tour du trou ne se contracte pas, quoi que vous fassiez.
En 1904, Henri Poincaré a posé cette question une dimension plus haut. Si, dans un espace fermé de dimension trois, toute boucle se contracte en un point, cet espace est-il la sphère de dimension trois ? La réponse est venue près de cent ans plus tard. Richard Hamilton a lancé la méthode du flot de Ricci, et Grigori Perelman l’a achevée en 2002 et 2003. La réponse était oui.
Le théorème de mon premier article tient en trois lignes. Découpez une boule en couches de même épaisseur : la seule densité qui donne le même poids à toutes les couches est 1/r² (le théorème d’unicité n = 2). Ce 1/r² porte un second nom. La courbure de Gauss d’une sphère de rayon r, la mesure de sa courbure, vaut exactement 1/r².
Lisez la densité comme la courbure de la couche, et le poids 4π de la couche devient la quantité totale de sa courbure. Or ce 4π travaille réellement, au cœur de la démonstration de Perelman et d’autres. Sur cette page, je suis ce chemin pendant que vous manipulez les figures de vos propres mains. Je ne refais pas la démonstration. Je lis, dans la langue des couches, où le nombre 3 agit en elle. La page continue jusqu’à la conjecture de Poincaré en dimension quatre.
Cet article résume des travaux que j’ai publiés moi-même en prépublication, qui n’ont pas été évalués par des pairs, ainsi que des éléments calculés et organisés spécialement pour cette page. Les figures interactives calculent tout sur place, dans votre navigateur.
L’essentiel
- La densité 1/r² du théorème est la même formule que la courbure d’une sphère de rayon r. Le poids 4π de la couche est sa courbure totale, et il reste 4π quelle que soit la déformation (théorème de Gauss-Bonnet).
- Dans tout espace lisse de dimension trois, l’aire d’une petite couche divisée par r² part de 4π. La courbure se lit comme le déficit par rapport à cette valeur.
- Le nombre de directions et le nombre de plans ne coïncident qu’en dimension trois. C’est pourquoi, en dimension trois, les déficits par direction lisent exactement toute la courbure.
- Dans le flot de Ricci à symétrie de révolution en dimension trois, l’aire d’une couche de section obéit à At = Ass − 8π. Le terme supplémentaire ne s’annule que si la couche est de dimension deux.
- Le 4π de la quantité W de Perelman, qui ne diminue jamais, est le 4π de la chaleur. Le 4π de la couche habite ailleurs. C’est le −4π qui use la largeur, à l’étape qui montre que le flot s’achève en temps fini sur un espace où toutes les boucles se contractent.
- Le flot porte une forme vers des espaces identiques vus de chaque point. Parmi eux, c’est la boucle qui choisit la sphère. La sphère S³ est l’espace où une couche grandit jusqu’au bout sans jamais se rencontrer.
- La couche de l’espace de dimension quatre est la sphère S³, qui n’a aucun nombre correspondant à la courbure totale. Elle a en revanche un faisceau de cercles, la fibration de Hopf. La conjecture de Poincaré lisse en dimension quatre reste ouverte.
- En dimension quatre, ce qu’on peut fixer d’abord est le total de l’espace, 16π² sur la S⁴ ronde. Seul bouge le partage entre Q et W, et la couche la plus écrasée fixe le plancher de la part de W (article 1105).
- La question
- Densité et courbure
- Le déficit par rapport à 4π
- Le flot
- Cous et chirurgie
- Les quantités qui ne diminuent jamais
- Où travaille le 4π de la couche
- Les boucles choisissent la sphère
- La couche en dimension quatre
- Pourquoi quatre reste ouvert
- Le total et la part de W
- Perelman
- Le connu et mon travail
- Dans l’ensemble des articles
- Questions
- Sources
La question : si toute boucle se contracte, est-ce une sphère ?
En dimension deux, la réponse est connue depuis longtemps. Si, sur une surface fermée, toute boucle se contracte en un point, la surface est une sphère. La question de Poincaré est de savoir si l’on peut dire la même chose en dimension trois.
La sphère de dimension trois S³ est l’ensemble des points x² + y² + z² + w² = 1 de l’espace de dimension quatre. On ne peut pas la voir, mais elle est facile à construire. Prenez deux boules et recollez leurs surfaces. En traversant une boule, vous passez à la surface dans l’autre ; vous franchissez son centre et revenez dans la première par le côté opposé. Il n’y a de bord nulle part, et pourtant la taille est finie.
Un petit incident a précédé la question. En 1900, Poincaré affirma qu’un espace ayant les mêmes nombres de trous qu’une sphère (les nombres de Betti) devait être une sphère. Quatre ans plus tard, en 1904, il construisit lui-même un contre-exemple : un espace avec tous les mêmes nombres de trous qui n’est pas une sphère. Il contient une boucle qui ne se contracte pas. Ce que les nombres n’avaient pas séparé, une boucle l’a séparé. Dans mon vocabulaire, ce fut l’un des premiers séparateurs de la topologie. Cet espace reviendra plus loin, sous la forme d’un dodécaèdre.
Amenons maintenant les couches du théorème dans cet espace. Choisissez un pôle nord et rassemblez tous les points à la distance r de lui. Ils forment une sphère de dimension deux, une couche de S³. Dans la S³ de rayon 1, l’aire de cette couche vaut 4π sin²r. Elle est maximale à l’équateur r = π/2, où elle vaut exactement 4π.
Déplacez le curseur pour changer la distance r au pôle nord.
- Aire de la couche 4π sin²r
- Aire de la couche ÷ r²
- Déficit par rapport à 4π
- Valeur en espace plat
Additionnez les couches du pôle nord au pôle sud, et vous obtenez 2π², le volume de S³. Une seule nappe peut balayer tout l’espace d’un bout à l’autre. Gardez cela en tête : l’acte de balayer revient dans la seconde moitié de cette page, à l’intérieur de la démonstration.
La densité du théorème était la courbure de la couche
Dans l’espace de dimension trois, la seule densité qui donne le même poids à toutes les couches est ρ(r) = 1/r². Le poids des couches croît alors au taux dm/dr = 4π.
La démonstration se trouve sur la page du théorème. Je veux regarder ici l’autre visage de 1/r². Une sphère de rayon r a pour courbure mesurable depuis la surface K = 1/r² (la courbure de Gauss), et pour aire 4πr². Multipliez-les, et le rayon disparaît.
$$K=\frac{1}{r^{2}},\qquad K\times 4\pi r^{2}=4\pi$$C’est la formule de la densité du théorème, lettre pour lettre. Lisez la densité comme la courbure de la couche, et le poids 4π est la quantité totale de courbure de toute la couche, sa courbure totale. Or, pour la courbure totale, il existe un théorème connu de longue date.
$$\int_{S^{2}}K\,dA=2\pi\chi=4\pi$$C’est le théorème de Gauss-Bonnet. χ est le nombre d’Euler, qui vaut 2 pour une sphère. Cabossez la couche ou étirez-la : tant que vous n’ouvrez pas de trou, la courbure totale reste 4π. Sur une couche ronde, c’était « 4π à tout rayon ». Ici, cela devient « 4π pour toute forme ».
Faites glisser les poignées rondes pour changer la forme de la couche, ou choisissez une forme avec les boutons.
- Aire de la couche
- Courbure moyenne sur l’aire
Il en va de même dans la S³ de l’expérience 1. La couche à la distance r est une sphère ronde de rayon sin r, de courbure 1/sin²r et d’aire 4π sin²r. Multipliez : chaque couche donne 4π.
Cet accord dépend toutefois de la dimension. Le théorème existe en toute dimension : dans l’espace de dimension d, la densité est 1/rd−1. L’exposant de la courbure de la couche, lui, vaut 2 en toute dimension, car la courbure est l’inverse du carré d’une longueur. Le 2 de 1/r² est donc deux 2 différents : un 2 qui bouge et un 2 qui ne bouge pas.
| Dimension d de l’espace | Couche | Densité du théorème | Courbure de la couche | Courbure × aire de la couche |
|---|---|---|---|---|
| 2 | cercle S¹ | 1/r | non mesurable de l’intérieur | aucune |
| 3 | sphère S² | 1/r² | 1/r² | 4π (le rayon disparaît) |
| 4 | S³ | 1/r³ | 1/r² | 2π²r |
| 5 | S⁴ | 1/r⁴ | 1/r² | (8/3)π²r² |
Les deux 2 ont des racines distinctes. Faites bouger la dimension, et ils se séparent. Ils ne se recouvrent qu’en dimension 3. Densité et courbure deviennent la même formule, le produit perd son rayon, et il reste un 4π garanti par Gauss-Bonnet. Cela n’arrive que dans une seule dimension. Tel est le sens du titre de cette page : c’est seulement en dimension 3 que la courbure d’une couche se referme sur 4π.
« Se refermer » concerne ici la première puissance de la courbure. La couche S⁴ de l’espace de dimension cinq possède un nombre qui se referme lorsqu’on intègre le carré de la courbure (théorème de Gauss-Bonnet-Chern). La première puissance ne se referme que si la couche est de dimension deux.
Tout espace part de 4π
L’étape suivante fait sortir le théorème de l’espace plat. Dans un espace courbe de dimension trois, formons la couche à la distance r d’un point et mesurons son aire A(r). Dans tout espace lisse, A(r)/r² tend vers 4π quand r devient petit, car à assez petite échelle tout espace paraît plat. Et le premier terme de l’écart à 4π est la courbure.
$$\frac{A(r)}{r^{2}}=4\pi\left(1-\frac{S}{18}\,r^{2}+\cdots\right)$$S est la courbure scalaire, le total de la courbure en ce point (une autre lettre que le S des sphères S² et S³). Le 4π du théorème est le point de départ en chaque point de chaque espace. La courbure est le déficit par rapport à lui. Dans la S³ de rayon 1, S = 6, et le déficit relatif commence comme r²/3.
| r | S³ | espace plat | espace hyperbolique | déficit relatif dans S³ | r²/3 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0,25 | 12,306743 | 12,566371 | 12,830361 | 0,020660 | 0,020833 |
| 0,50 | 11,553463 | 12,566371 | 13,649105 | 0,080605 | 0,083333 |
| 1,00 | 8,897913 | 12,566371 | 17,355387 | 0,291927 | 0,333333 |
Les trois colonnes du milieu sont l’aire de la couche ÷ r². Avec r = 0,01, déficit ÷ r² vaut 0,333329 et s’approche du 1/3 de la formule.
Direction par direction, c’est plus clair. Tendons depuis le centre un tube fin dans la direction v. En espace plat avec la densité 1/r², le contenu du tube par unité de longueur est constant ; c’est le théorème redit pour chaque direction. Dans un espace courbe, le tube se rétrécit et son contenu baisse comme suit.
$$\frac{dm}{dr\,d\Omega}=1-\frac{\mathrm{Ric}(v,v)}{6}\,r^{2}+\cdots$$Ric(v,v) est la courbure de Ricci. La formule est dans les manuels. Lue du côté du théorème, elle prend cependant un autre aspect : la courbure de Ricci est le nombre qui mesure de combien le tube droit de n = 2 se rétrécit dans la direction v.
Par exemple, dans S²×ℝ, l’espace d’un tube droit à section sphérique, le tube ne se rétrécit pas le long de l’axe. Il se rétrécit le plus dans les directions de S². Le déficit ÷ r² mesuré à r = 0,01 valait 0, 0,041667, 0,125000 et 0,166666 pour des angles de 0°, 30°, 60° et 90° avec l’axe, en accord à six chiffres avec Ric/6 (la formule donne 0,166667 à 90°).
Le nombre de directions et le nombre de plans
L’espace de dimension trois a trois directions perpendiculaires. Il a aussi trois plans perpendiculaires : ceux qu’engendrent les directions 1 et 2, 1 et 3, 2 et 3. La courbure d’un plan (sa courbure sectionnelle) se calcule à partir des déficits des directions.
$$K_{12}=\frac{\mathrm{Ric}_{1}+\mathrm{Ric}_{2}-\mathrm{Ric}_{3}}{2}$$Mesurez les trois déficits, et les trois plans sont déterminés. Il ne reste rien de la courbure que les déficits ne puissent mesurer. Faire bouger la dimension montre à quel point c’est singulier.
| dimension d | directions | plans d(d−1)/2 | toute la courbure (Riemann) | lu par les déficits (Ricci) | reste (Weyl) |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 1 | 1 | 3 | 0 |
| 3 | 3 | 3 | 6 | 6 | 0 |
| 4 | 4 | 6 | 20 | 10 | 10 |
| 5 | 5 | 10 | 50 | 15 | 35 |
Les nombres comptent les composantes indépendantes. En dimension deux, la courbure est un seul nombre, et les trois composantes de la courbure de Ricci sont toutes fixées par lui.
Directions et plans ne sont en nombre égal qu’en dimension trois. En dimension deux, toute la courbure se lit aussi, mais il y a 2 directions pour 1 plan : les nombres diffèrent. À partir de la dimension quatre, il reste une courbure de Weyl que les déficits ne lisent pas. La seule dimension où le « rétrécissement du tube du théorème » lit la courbure sans manque ni excès est 3.
L’expérience 3 permet de toucher ce 3 = 3. Il existe une famille de formes où la sphère S³ reste S³ et où l’on peut changer séparément les longueurs de trois directions : les métriques invariantes à gauche, dont Milnor a écrit la courbure en 1976. Changez les longueurs, et les déficits des directions et la courbure des plans bougent ensemble.
Changez les longueurs des trois directions et appuyez sur Lancer. Le flot est expliqué à la section suivante.
- Temps
- Taille (racine cubique du volume)
- Dispersion des déficits
Le flot : égaliser le déficit
En 1982, Richard Hamilton a écrit une équation qui fait évoluer une forme elle-même dans le temps.
$$\frac{\partial g}{\partial t}=-2\,\mathrm{Ric}$$g est la façon de mesurer les longueurs. L’équation contracte les directions de courbure positive et étire celles de courbure négative. Les directions au déficit plus grand rétrécissent plus vite, si bien que les déficits s’égalisent. C’est le flot de Ricci. La courbure scalaire S obéit à l’équation suivante.
$$\frac{\partial S}{\partial t}=\Delta S+2\,|\mathrm{Ric}|^{2}$$Le terme en Δ a la même forme que dans l’équation de la chaleur et lisse les bosses. Le terme 2|Ric|² augmente la courbure. Égaliser et aiguiser se trouvent dans la même équation.
Dans le même article, Hamilton a montré qu’un espace fermé de dimension trois à courbure de Ricci positive s’arrondit sous ce flot. La clé du calcul est qu’en dimension trois toute la courbure s’écrit avec la courbure de Ricci : le 3 = 3 ci-dessus. Appuyez sur Lancer dans l’expérience 3 pour en voir une version réduite. Quelles que soient les longueurs initiales, les déficits s’égalisent, même si certains sont négatifs. Dans un calcul séparé plus fin, la forme partant des longueurs 0,7, 1 et 1,3 a disparu au temps 0,246659, et, en incluant les quatre autres valeurs initiales, le rapport final des déficits valait 1,0002 ou moins dans tous les cas.
Dans la S³ ronde, le carré du rayon baisse comme 1 − 4t, et la sphère disparaît en un point au temps 1/4. Attention ici à l’unité de temps. En égalant les dimensions des deux membres, le temps du flot de Ricci n’est pas en secondes : c’est le carré d’une longueur (article 119). Cela comptera bientôt.
La difficulté vient des formes dont la courbure de Ricci n’est pas positive. Là où il y a une taille, elle peut se pincer pendant le flot ; la courbure diverge et l’équation s’arrête.
Le cou : l’aire de la couche baisse à 8π
Prenons le cas le plus simple : une forme de dimension trois à symétrie de révolution autour d’un axe. Ses sections sont des sphères rondes, c’est-à-dire les couches du théorème. Soit s la distance le long de l’axe et ψ le rayon de la couche à cet endroit. Sous le flot de Ricci, ψ obéit à l’équation suivante (sous la forme d’Angenent et Knopf).
$$\psi_{t}=\psi_{ss}-\frac{1-\psi_{s}^{2}}{\psi}$$C’est une équation malcommode, avec une division. Mais récrivez-la pour l’aire A = 4πψ² de la couche, et la division comme le terme ψs² disparaissent.
$$\boxed{\,A_{t}=A_{ss}-8\pi\,}$$Le calcul tient en deux lignes. (ψ²)t = 2ψψt = 2ψψss − 2 + 2ψs², et (ψ²)ss = 2ψψss + 2ψs². La différence ne laisse que −2. Multipliez par 4π : vous avez −8π.
L’aire de la couche se diffuse vers ses voisines comme la chaleur tout en baissant à la vitesse constante 8π. Le −8π est une constante. Il ne dépend ni de la forme, ni du lieu, ni du temps.
Cette équation ne se referme que si la couche est de dimension deux. Avec une sphère de dimension n pour section, u = ψ² obéit à ceci (vérifié aussi par calcul symbolique).
$$u_{t}=u_{ss}-2(n-1)+2(n-2)\,\psi_{s}^{2}$$Le terme supplémentaire ne s’annule que pour n = 2, et ce n’est que pour n = 2 que l’aire de la couche est proportionnelle à ψ². Pour n = 1, le terme −2(n−1) vaut 0. La section d’une forme de dimension deux est un cercle, qui n’a pas de courbure mesurable de l’intérieur ; rien ne serre donc le cou. C’est pourquoi les cous ne se pincent pas dans le flot de Ricci de dimension deux.
Regardons aussi les unités. L’aire est le carré d’une longueur, et le temps du flot de Ricci aussi. L’aire ÷ temps est donc un nombre pur, sans unité, et sa valeur est 8π. Changer l’unité de longueur ne le modifie pas.
De quoi 8π est-il fait ? Prenons la couche comme surface et faisons agir sur elle le flot de Ricci de dimension deux. L’aire baisse alors à ce rythme.
$$\frac{dA}{dt}=-\int 2K\,dA=-2\times 4\pi=-8\pi$$Ici encore, voici 4π. Une sphère de forme quelconque perd de l’aire à la vitesse 8π, parce que la courbure totale de la couche vaut 4π. Le −8π du cou est le double de la courbure totale de la couche.
Réglez la profondeur de la taille et appuyez sur Lancer. Quand le cou s’amincit et que le flot s’arrête, appuyez sur Chirurgie. Votre navigateur résout le flot de Ricci.
- Temps
- Rayon du cou
- Aire
- Vitesse de perte d’aire
- Rapport à 8π
- λ qui ne diminue jamais
Pour la forme de dimension trois, une taille peu profonde disparaît et l’ensemble s’arrondit, tandis qu’une taille profonde se pince. Pour cette forme de taille, la frontière se situe près de a = 0,66. Avec des grilles de 200 et de 300 points, a = 0,6563 s’est arrondi et a = 0,6656 s’est pincé. Voici les temps jusqu’au pincement, ou jusqu’à la disparition après arrondi.
| a | rayon initial du cou | issue | temps |
|---|---|---|---|
| 0,50 | 0,5000 | s’arrondit et disparaît | 0,1742 |
| 0,65 | 0,3500 | s’arrondit et disparaît | 0,1396 |
| 0,70 | 0,3000 | le cou se pince | 0,1185 |
| 0,80 | 0,2000 | le cou se pince | 0,0553 |
| 0,90 | 0,1000 | le cou se pince | 0,0092 |
Le temps est celui où le rayon du cou passe sous 0,05, ou, une fois le cou disparu, celui où le rayon global passe sous 0,08. « Se pince » signifie que le cou devient plus fin que 0,3 fois la partie la plus large.
Pour la forme de dimension deux, le cou ne se pince pas, si profonde que soit la taille. La vitesse de perte d’aire valait 25,13222, 25,13227 et 25,13208 pour les profondeurs 0, 0,5 et 0,8, alors que 8π = 25,132741. Les trois valeurs concordent jusqu’à la troisième décimale et s’écartent de 8π de moins de 0,01 %.
Passons à la couche du cou en dimension trois. Dans le flot avec a = 0,8, j’ai compté la vitesse de perte d’aire de la couche du cou.
| rayon du cou | aire de la couche | vitesse de perte | rapport à 8π |
|---|---|---|---|
| 0,200 | 0,5022 | 10,424 | 0,415 |
| 0,150 | 0,2833 | 16,372 | 0,651 |
| 0,100 | 0,1255 | 19,198 | 0,764 |
| 0,070 | 0,0617 | 20,461 | 0,814 |
| 0,051 | 0,0323 | 21,218 | 0,844 |
| 0,030 | 0,0111 | 21,991 | 0,875 |
Une chose découle aussitôt de l’équation. Au point le plus fin du cou, Ass vaut 0 ou plus, donc At ne peut pas descendre sous −8π. La couche du cou ne peut pas baisser plus vite que 8π. Une couche d’aire A a besoin d’au moins le temps A/(8π) pour se pincer. Pour la couche du cou, 8π est une vitesse limite. C’est pourquoi le rapport du tableau ne dépasse pas 1.
Chirurgie : la coupure est une couche
Quand un cou se pince, l’équation s’arrête. La méthode conçue par Hamilton et achevée par Perelman est la chirurgie. On coupe le cou aminci, on pose des calottes rondes sur les coupures, et le flot continue. La coupure d’un cou de dimension trois est S², la couche du théorème. L’espace est coupé le long de couches.
Le bouton de chirurgie de l’expérience 4 coupe dès que le rayon du cou passe sous 0,05. Dans un calcul séparé, la forme avec a = 0,8 a été coupée au temps 0,05534. Les deux morceaux coiffés n’avaient pas de cou, et tous deux ont rétréci en restant ronds jusqu’au rayon 0,08 au temps 0,10409, avec une rondeur (longueur totale ÷ π ÷ partie la plus large) de 1,0034. À travers la chirurgie, λ est passé de 29,259 à 29,301 : ici non plus, il n’a pas baissé.
C’est bien sûr le cas le plus simple. La vraie démonstration doit montrer qu’une forme sans symétrie de révolution peut être coupée partout où se forme une singularité, et que le nombre de coupures est fini en temps fini. Ce qui l’a rendu possible est la quantité suivante.
Les quantités de Perelman qui ne diminuent jamais
Pour poursuivre la chirurgie, il faut prévoir la forme des régions où la courbure grandit. C’est là que le programme de Hamilton s’était arrêté. Dans son article de 2002, Perelman a montré des quantités qui ne diminuent jamais le long du flot.
L’une est λ, la plus petite valeur propre de l’opérateur −4Δ + S, où S est la courbure scalaire. Regardez le graphique de λ dans l’expérience 4. Quelle que soit l’évolution de la forme, la ligne ne descend jamais. Mesuré séparément avec plus de précision, λ est monté de 6,1827 à 29,7106 dans le flot avec a = 0,8, et, sur 167 mesures, il a baissé 0 fois. Sur la S³ ronde, il donne 6,000000, en accord avec la valeur exacte 6.
L’autre est W.
$$\mathcal{W}(g,f,\tau)=\int\Bigl[\tau\bigl(S+|\nabla f|^{2}\bigr)+f-3\Bigr]\,(4\pi\tau)^{-3/2}\,e^{-f}\,dV$$On voit ici un 4π. Mais ce n’est pas le 4π de la couche. (4πτ)−3/2 est le facteur de normalisation d’une gaussienne de dimension trois, l’inverse de trois copies de l’intégrale à une dimension ∫e−x²/(4τ)dx = √(4πτ). C’est le 4π de la chaleur qui se diffuse. Dans l’article 07, j’ai écrit que ce 4π et le 4π de l’angle solide d’une sphère sont le même nombre à des adresses différentes. Leurs dérivations n’ont aucune partie commune.
Sur les formes qui ne font que rétrécir, W est une constante, et sa valeur distingue les formes.
| forme | valeur de W | nombre | eW |
|---|---|---|---|
| ℝ³ plat | 0 | 0 | 1 |
| S³ ronde | log(2√π) − 3/2 | −0,234488 | 0,790976 |
| cou S²×ℝ | log 2 − 1 | −0,306853 | 0,735759 |
C’est la valeur du cou qui est intéressante. Le 2 de son log 2 vient de la division de l’aire de la couche 4π × 2τ par le 4πτ de la chaleur. Le 4π de la couche et le 4π de la chaleur se placent au-dessus et au-dessous de la barre de fraction et se simplifient, ne laissant que 2. C’est là que se rencontrent les deux nombres venus d’adresses différentes. Il s’agit toutefois d’une simplification de nombres. Cela ne signifie pas que les deux ont la même racine.
Avec cette quantité, Perelman a prouvé le « non-effondrement local » : vu à l’échelle de la courbure, le volume d’une petite boule ne s’annule pas. Cela restreint les formes qui apparaissent quand on grossit le voisinage d’une singularité. En dimension trois, les formes qui ne font que rétrécir sont ℝ³, le cou S²×ℝ et ses parents, la S³ ronde et ses parents. Une région de grande courbure ressemble à un cou, à un cou coiffé ou à un morceau qui s’arrondit et disparaît. C’est pourquoi la coupure a toujours la forme d’une couche.
Une chose compte encore ici. Que λ et W ne diminuent pas n’est pas limité à la dimension trois. Perelman a écrit dans le résumé de son article que cette expression monotone vaut « en toutes dimensions et sans hypothèse de courbure ». La quantité qui ne diminue jamais ne sait rien du 3. Le 4π de W, lui aussi, reste 4π quand la dimension change. Où sont donc les pièces qui savent le 3 ?
Disparaître en temps fini : où travaille le 4π de la couche
Si le flot se prolongeait indéfiniment après des chirurgies répétées, on ne conclurait rien. Ce dont la conjecture de Poincaré a besoin, c’est que, sur un espace où toutes les boucles se contractent, le flot disparaisse entièrement en temps fini. Une fois disparu, on sait que l’espace de départ est formé des morceaux disparus, réunis.
Deux chemins mènent à cette étape. Le théorème de Gauss-Bonnet apparaît sur les deux.
Le premier est l’article de Perelman de 2003. Il regarde l’aire A du plus petit disque tendu sur une boucle. Le théorème de Gauss-Bonnet appliqué au disque donne l’inégalité suivante, où Smin est le minimum de la courbure scalaire sur tout l’espace. Le 2π est le même nombre que la courbure totale d’un hémisphère.
$$\frac{dA}{dt}\le-2\pi-\frac{1}{2}\,S_{\min}\,A$$Le second est la méthode de Colding et Minicozzi, qui utilise les couches elles-mêmes. On balaie l’espace avec des couches de dimension deux, comme dans l’expérience 1. Un balayage part d’un point et finit en un point. Il y a d’innombrables balayages. Chacun a une plus grande couche ; on cherche le balayage qui la rend aussi petite que possible. Cette valeur est la largeur w de l’espace. Sous le flot de Ricci, la largeur obéit à l’inégalité suivante.
$$\frac{dw}{dt}\le-4\pi+\frac{3}{4\,(t+C)}\,w$$À propos du −4π du membre de droite, les deux auteurs écrivent ceci dans leur article.
« Le 4π de (1.6) vient du théorème de Gauss-Bonnet. »
Colding & Minicozzi, Width and finite extinction time of Ricci flow (2008), ma traduction
C’est la courbure totale de la couche. Sur la plus grande couche, la vitesse de perte d’aire est la suivante. La couche est une surface minimale, KΣ est sa courbure et |A|² la taille de sa seconde forme fondamentale.
$$\frac{d}{dt}\,\mathrm{Area}(\Sigma)=-\int_{\Sigma}K_{\Sigma}\,dA-\frac{1}{2}\int_{\Sigma}\bigl(|A|^{2}+S\bigr)\,dA$$Le premier terme vaut −4π, quelle que soit la forme de la couche ou de l’espace, comme l’a montré l’expérience 2. Sur des exemples ronds, il se répartit ainsi.
| lieu | vitesse de perte d’aire | nombre |
|---|---|---|
| couche équatoriale de la S³ ronde | −16π = −4π − 12π | −50,265482 |
| couche du cou rond S²×ℝ | −8π = −4π − 4π | −25,132741 |
Chaque cas contient −4π. Le second terme vient de la courbure de l’espace, et même si la courbure scalaire devient négative, il est contenu par le terme 3/(4(t+C)) w. L’inégalité intégrée dit que la largeur deviendrait négative en temps fini. Une largeur ne peut pas être négative. Le flot doit donc s’achever avant.
Où la condition sur les boucles sert-elle ? Les deux auteurs écrivent : uniquement dans le fait que la largeur est plus grande que 0.
« Cette positivité est le seul endroit où l’hypothèse sur la topologie de M est utilisée. »
Le même article, ma traduction
Sur un espace où toutes les boucles se contractent, un balayage par des couches ne peut pas être écrasé en un point, et la largeur ne peut pas valoir 0. La logique de cette étape n’est rien de plus. Les boucles maintiennent la largeur positive, le 4π de la couche l’use, et comme les deux ne peuvent pas durer ensemble, le flot s’achève en temps fini.
Découpez une boule en couches : le même 4π repose sur chaque couche. La scène que j’ai prise pour point de départ se tient presque inchangée au dernier effort d’une question centenaire. L’espace est balayé par des couches, chaque couche porte 4π quelle que soit sa forme, et ce 4π use la largeur.
Notons les adresses des deux 4π.
| le 4π de la couche | le 4π de la chaleur | |
|---|---|---|
| origine | courbure totale d’une sphère (Gauss-Bonnet), aire d’une sphère | l’intégrale de Gauss (diffusion de la chaleur) |
| place dans la démonstration | le −4π de la disparition en temps fini, le −8π du cou | (4πτ)−3/2 dans W |
| quand la dimension change | disparaît pour la couche en dimension quatre | reste 4π, l’exposant 3/2 devient d/2 |
| dimensions où il travaille | espace de dimension trois, à couches de dimension deux | toutes les dimensions |
Trier les pièces de la démonstration selon qu’elles savent ou non le 3 donne ce tableau. Il applique l’étalon de l’article 114 aux pièces de la démonstration.
| pièce | dimensions où elle travaille |
|---|---|
| l’équation du flot de Ricci | toutes les dimensions |
| λ et W ne diminuent pas | toutes les dimensions |
| toute la courbure s’écrit avec la courbure de Ricci (3 = 3) | 3 (lisible aussi en 2) |
| le positif l’emporte là où la courbure est grande (estimation de Hamilton et Ivey) | 3 |
| la section du cou est S², et l’aire de la couche obéit à une équation fermée | 3 |
| la courbure totale 4π de la couche use la largeur | 3 |
Les quantités de Perelman qui ne diminuent jamais travaillent en toute dimension. Elles ont pu résoudre une question de dimension trois parce que les pièces qui savent le 3 étaient en place par ailleurs. Les deux dernières de ces pièces viennent directement du fait que la couche est de dimension deux.
Les boucles : ce qui choisit finalement la sphère
Supposons que le flot ait entièrement disparu. Les morceaux qui disparaissent sont les espaces à courbure constante S³/Γ et S²×S¹, et l’espace de départ est formé de leur réunion. S³/Γ est S³ repliée par un groupe fini Γ.
Un espace à courbure constante paraît identique vu de chaque point. Mesurée de n’importe où, l’aire de la couche suit la même formule 4π sin²r. Pour l’œil des couches du théorème, aucun ne se distingue de S³. Qu’est-ce qui choisit donc S³ ? Laissez grandir la couche et vous le verrez. Dans tout espace autre que S³, la couche se rencontre elle-même en chemin.
Le contre-exemple de Poincaré de 1904 revient ici. Prenez un dodécaèdre et recollez les faces opposées avec une torsion de 36° : voilà cet espace (Weber et Seifert ont montré cette forme en 1933). De la même façon, on peut recoller un cube avec une torsion de 90° et un octaèdre avec une torsion de 60°. Tous sont à courbure constante, et sont S³ remplie de copies d’un même solide.
Choisissez un solide et élargissez la couche avec le curseur. Faites glisser pour tourner le solide.
- Reste de la couche
- Aire de la couche
- Aire de la couche dans S³
- Volume de l’espace
- Plus courte boucle non contractile
- Copies remplissant S³
| solide | faces | torsion | copies remplissant S³ | rayon où la couche se rencontre | rayon où la couche a disparu | volume | plus courte boucle |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| cube | 6 | 90° | 8 | 0,785398 | 60° | 2,467401 | 1,570796 |
| octaèdre | 8 | 60° | 24 | 0,523599 | 45° | 0,822467 | 1,047198 |
| dodécaèdre | 12 | 36° | 120 | 0,314159 | 22,24° | 0,164493 | 0,628319 |
J’ai construit les groupes finis de quaternions (d’ordres 8, 24 et 120) et confirmé par le calcul qu’ils se ferment en groupes, que leurs régions de plus proche point sont ces solides, que les volumes valent 2π² ÷ ordre et que les torsions sont les angles du tableau. Les rayons sont des distances au centre en radians. Le « rayon où la couche a disparu » est la distance à un sommet, donnée en degrés. Les 8 cubes sont la surface du tesseract, les 24 octaèdres celle de l’icositétrachore, et les 120 dodécaèdres celle de l’hécatonicosachore.
Comparez deux colonnes du tableau. Le rayon où la couche se rencontre est exactement la moitié de la longueur de la plus courte boucle non contractile. Une couche se rencontre de l’autre côté lorsque deux plus courts chemins issus du centre se rejoignent en une boucle fermée. Qu’une couche se rencontre et qu’il existe une boucle non contractile, c’est un seul fait dit de deux façons.
Dans S³, la couche ne se rencontre jamais avant de se refermer au pôle sud à r = π. Parmi les espaces à courbure constante, S³ seule laisse la couche grandir sans encombre jusqu’au bout. Le théorème de Killing (1891) et Hopf (1926) en est le revers : un espace fermé à courbure constante où toute boucle se contracte ne peut être que la sphère.
Le chemin se referme ainsi. Un espace où toutes les boucles se contractent ne peut pas contenir de morceau ayant une boucle non contractile. S²×S¹ en a une, et tout S³/Γ autre que S³ aussi. Le seul morceau restant est S³, et en réunir des copies donne S³.
Alignons le chemin dans l’ordre des couches. C’est l’ordre de la lecture, non celui de la logique de la démonstration.
- Le théorème d’unicité n = 2La seule densité qui donne le même poids à toutes les couches est 1/r², même formule, en dimension trois, que la courbure de la couche
- Le théorème de Gauss-BonnetLa courbure totale d’une couche vaut 4π pour toute forme
- Le développement des petites couchesTout espace part de 4π, et la courbure est le déficit par rapport à lui
- HamiltonLe flot égalise le déficit. Comme 3 = 3, rien ne reste à égaliser
- Cous et chirurgieLa couche du cou ne peut pas perdre d’aire plus vite que 8π, et l’espace est coupé le long de couches
- PerelmanLes quantités qui ne diminuent jamais restreignent la forme des singularités
- Disparition en temps finiLes boucles maintiennent la largeur positive et le 4π de la couche l’use. Le flot s’achève
- Killing et HopfLes morceaux restants sont à courbure constante, et les boucles choisissent S³
Pourquoi la sphère ?
Si toute boucle se contracte, pourquoi est-ce la sphère ? Dans la langue des couches, la réponse a trois étapes.
- Le flot porte la forme vers des espaces où les couches grandissent selon la même formule à partir de chaque point. Les déficits peuvent s’égaliser parce qu’en dimension trois ils sont toute la courbure.
- La courbure totale 4π de la couche fait disparaître les morceaux en temps fini. Sur un espace où toutes les boucles se contractent, la largeur ne peut pas atteindre 0 : c’est donc le flot qui s’achève.
- Parmi les morceaux restants, S³ seule laisse une couche grandir jusqu’au bout sans se rencontrer. Dans un espace à courbure constante, « toute boucle se contracte » et « la couche ne se rencontre pas » sont la même chose.
Le théorème dit : « la même chose sur chaque couche ». S³ est l’espace où cette couche grandit du pôle nord au pôle sud sans se rencontrer une seule fois. Que la réponse à la question de Poincaré soit la sphère se lit ainsi dans la langue du théorème.
Dimension quatre : la couche devient une sphère S³
Montons d’une dimension. La couche de l’espace de dimension quatre est S³. La réponse de la conjecture de Poincaré en dimension trois devient, en dimension quatre, une couche. Le théorème existe aussi en dimension quatre : la densité qui donne le même poids à toutes les couches est 1/r³, et le poids de la couche vaut 2π² (article 08).
Mais cette couche ne se referme pas. Courbure × aire vaut 2π²r, et le rayon reste. Le nombre d’Euler de S³ vaut 0, et il n’existe aucun nombre correspondant à la courbure totale ; le nombre d’Euler d’un espace fermé de dimension impaire est toujours 0. Le 4π de la couche, qui portait la démonstration en dimension trois, n’existe pas sur la couche en dimension quatre (le nombre qu’on peut fixer en dimension quatre vient dans une section plus loin).
En revanche, S³ a une autre structure, la fibration de Hopf. Toute la S³ peut être remplie de cercles qui ne se rencontrent pas. Chaque cercle correspond à un point d’une sphère de rayon 1/2. Dans la S³ de rayon R, l’aire de la base fois la longueur du cercle vaut exactement le volume (article 08).
$$\pi R^{2}\times 2\pi R=2\pi^{2}R^{3}$$Au rayon 1, c’est π × 2π = 2π². L’aire de la base est π, non 4π. Au rayon 2, la base et le cercle valent tous deux 4π, et le volume se partage en 4π × 4π = 16π². Mais cet accord compare une aire à une longueur : le rayon où il se produit bouge donc quand l’unité de longueur change. Ce qui ne bouge pas, c’est que doubler le rayon multiplie le volume par 8.
Faites glisser pour tourner. Bougez le rayon, et choisissez les cercles montrés et la façon de recoller.
- Aire de la base
- Longueur du cercle
- Produit
- Volume de l’espace
Deux cercles quelconques s’enlacent exactement une fois. Mesuré par l’intégrale de Gauss, le nombre d’enlacement valait 1,000001. Cet enlacement sépare la sphère d’un simple produit. S’agissant du produit des volumes, partager S³ autrement donne le même 19,739209. Le produit ne distingue pas les remplissages ; le nombre d’enlacement, si (article 1068). Là encore, ce que les nombres n’ont pas séparé, les boucles le séparent.
Coupez chaque cercle en p parts égales et recollez : vous obtenez l’espace lenticulaire L(p,1). Son volume vaut 2π²/p, et la couche se rencontre au rayon π/p : 1,570796, 1,047198 et 0,628319 pour p = 2, 3 et 5. La longueur du cercle devient 2π/p, et ce cercle est une boucle non contractile. Le recollement de la fibration de Hopf et les espaces de l’expérience 5 appartiennent à la même famille.
Pourquoi seule la dimension quatre reste ouverte
La « conjecture de Poincaré » n’est pas une seule question par dimension. Elle devient des questions différentes selon qu’on lit « identique à une sphère » au sens topologique ou en incluant le lissé (article 1003).
| dimension | question topologique | question lisse |
|---|---|---|
| 1, 2 | classique | classique |
| 3 | Perelman (2002–2003) | Perelman (en dimension 3, les deux questions sont la même) |
| 4 | Freedman (1982) | ouverte |
| 5, 6 | Smale et d’autres (1961–) | résolue (une sphère) |
| 7 et plus | Smale, Newman et d’autres | beaucoup de dimensions ont plusieurs sphères (28 en dimension 7) |
En comptant la question lisse dans les dimensions 1 à 139, on trouve 8 dimensions à une sphère, 1 indécise et 130 à sphères exotiques. L’indécise est la dimension 4. Ce qui reste non résolu n’est pas une dimension élevée, mais exactement la dimension quatre.
Pourquoi quatre ? Une raison est une addition. Le cœur des démonstrations à partir de la dimension cinq est l’astuce de Whitney, qui supprime deux points d’intersection à l’aide d’un disque de dimension deux. Le disque étant de dimension deux, il ne se rencontre pas, en position générale, dans les espaces de dimension cinq ou plus. En dimension quatre, il se rencontre exactement en des points, parce que 2 + 2 = 4. Deux triangles aléatoires se rencontrent dans ℝ⁴ avec la fréquence 0,055670 et dans ℝ⁵ avec la fréquence 0 (article 1004). Freedman a surmonté cette difficulté dans le monde topologique. Dans le monde lisse, Donaldson a montré des exemples où l’astuce échoue.
Du côté de la couche, un second 4 apparaît. La courbure a la dimension d’une longueur à la puissance −2. Quand on intègre sa première puissance sur une surface de dimension deux, l’échelle disparaît donc : c’était le 4π de Gauss-Bonnet. Le carré de la courbure a la dimension d’une longueur à la puissance −4 : l’échelle disparaît quand on l’intègre sur la dimension quatre. C’est le ∫|F|² de Yang-Mills, fondement de la théorie de Donaldson. La « première puissance de la courbure sur une couche de dimension deux », qui soutenait la démonstration en dimension trois, cède la place, en dimension quatre, au « carré de la courbure sur un espace de dimension quatre ».
Le 2 + 2 du disque et le 2 × 2 de la courbure forment-ils un 4 à une seule racine ? Je ne l’ai pas établi. Ce sont peut-être des racines distinctes qui se recouvrent dans une dimension. L’article 114, qui a trié les objets de la dimension quatre, et l’article 254, sur les nœuds, regardent la place de cette dimension sous d’autres angles. ℝⁿ n’a plus d’une structure lisse que pour n = 4, et alors une infinité non dénombrable.
Du côté du flot de Ricci aussi, la dimension quatre est un autre monde. Les 10 composantes de la courbure de Weyl ne se lisent pas par les déficits. Quand la section du cou devient de dimension trois, le terme 2ψs² reste dans l’équation ci-dessus. Et il n’y a pas de courbure totale de la couche. W, qui ne diminue jamais, travaille en dimension quatre, mais les pièces qui savaient le 3 ne passent pas.
Déplacez le curseur pour changer la dimension d de l’espace. Dans chacun des trois panneaux, cherchez où les deux lignes se croisent.
- Exposant du théorème
- Directions / plans
- Aire de la couche
- Toute la courbure / Ricci
- Composantes de Weyl
- Puissance de r dans courbure × aire
- Conjecture de Poincaré
Les trois paires se croisent toutes en d = 3 : l’exposant du théorème d − 1 et l’exposant de courbure 2, les nombres de directions et de plans, l’aire de la couche et 4π. Malgré cela, je ne réunis pas les trois en une seule racine. Chacune se tient à 3 pour sa propre raison. Ne pas parler d’une racine unique du seul fait que des nombres se recouvrent est ma règle depuis l’article 300. Que des raisons séparées désignent toutes le 3 est cependant, en soi, un fait dénombrable.
Le nombre qu’on peut fixer d’abord en dimension quatre : le total et la part de W
Jusqu’ici, j’ai écrit que la couche de dimension quatre n’a pas de nombre comparable à 4π. Faut-il en conclure que la dimension quatre n’a rien à fixer d’abord ? Non. Ce n’est pas la couche qui porte ce nombre, c’est l’espace lui-même. Sur un espace fermé de dimension quatre, l’intégrale du carré de la courbure est fixée par le seul nombre d’Euler χ (la forme en dimension quatre du théorème de Chern).
$$\int Q\,dV+\int\|W\|^{2}\,dV=8\pi^{2}\chi$$Q se construit à partir de la courbure scalaire et de la courbure de Ricci sans trace, et W est la courbure de Weyl. Sur la S⁴ ronde, W vaut 0 ; en multipliant Q = 6/r⁴ par l’aire 8π²r⁴/3, le rayon disparaît et il reste 16π², au rayon 1 comme au rayon 3. Ce qui se passait avec le 4π de la couche en dimension trois recommence une dimension plus haut. Je ne lis pourtant pas ce 16π² comme (4π)² : rien ici ne fait apparaître 4π deux fois (article 48).
Quelle que soit la façon dont la métrique bouge, le total ne bouge pas. Seul bouge le partage entre Q et W. J’appelle f la fraction du total portée par W. Elle ne dépend ni de l’échelle ni des changements conformes.
Le théorème de Chang, Gursky et Yang (2003) devient court avec f. Si la constante de Yamabe est positive et si Q l’emporte sur W (f < 1/2), l’espace est S⁴ ou RP⁴. Il y a un mur à un demi. Sa valeur est fixée par CP², qui a exactement f = 1/2. Autrement dit : s’il existe une S⁴ exotique, W y porte plus de la moitié du total pour toute métrique à constante de Yamabe positive.
Par le théorème de Kuiper, la conjecture de Poincaré lisse en dimension quatre est la même question que celle-ci : tout espace homéomorphe à S⁴ porte-t-il une métrique avec W = 0 ? Sur S⁴, les deux chiralités de W portent la même quantité : supprimer une moitié supprime l’autre.
J’ai calculé cette part sur des espaces faits de couches S³ empilées (article 1105). J’appelle v le rapport de l’épaisseur du cercle de Hopf à la taille de la base. Alors W s’écrit avec v seul, et la taille de la couche disparaît de la formule. Le total est décidé par la façon dont les couches se ferment. Un bout où la couche s’écrase en un point porte 8π², un bout où seuls les cercles s’écrasent et où reste une surface porte 16π², et un cou entre les deux porte 0. S⁴ se ferme par deux points, et c’est de là que vient son 16π². Dans cette famille, seule S⁴ n’a pas de surface.
La différence des deux chiralités de W est une dérivée exacte. Il en découle l’inégalité suivante pour chaque couche, où t est le temps conforme.
$$f\ \geq\ (1-v^{2})^{2}+2\Bigl(\frac{dv}{dt}\Bigr)^{2}$$La couche la plus écrasée fixe le plancher de la part de W. La couche de dimension quatre n’a pas de nombre pour le total, mais elle a un nombre pour sa forme (l’invariant êta), et c’est lui le plancher. Ce (1−v²)² s’accorde, avec un rapport d’au moins 0,99996, avec la valeur comptée par une autre voie à partir des valeurs propres trouvées par Hitchin en 1974. L’espace exactement sur le plancher en une couche de retournement a la forme de deux boules de la métrique de Pedersen placées dos à dos.
Déplacez le rapport v₀ de la couche la plus écrasée et la longueur L du cou inséré à cet endroit.
- part f de W
- part de Q
- plancher de la couche
- signe de la constante de Yamabe
Au-delà du mur, tout reste la vraie S⁴. f peut dépasser 1/2 avec une courbure scalaire positive partout, et avec un long cou il dépasse aussi 1 (rapport de la couche 0,5, longueur du cou 6, f = 1,125). Le mur dit qu’en deçà il y a une sphère ; il ne dit pas qu’au-delà il n’y en a pas. Le mur n’a qu’un seul côté. Le f d’une seule métrique ne dit pas ce qu’est l’espace. Si quelque chose peut le dire, c’est la borne inférieure de f sur cet espace.
En abaissant f, les métriques où il s’arrête (métriques à tenseur de Bach nul) sont contraintes, dès qu’elles ont un bout fermé en un point : une chiralité de W doit s’annuler. Sur S⁴, dans cette famille, seules les métriques conformes à la métrique ronde s’arrêtent. D’autres métriques ne peuvent s’arrêter que sur des espaces dont les bouts se ferment sur une surface, et la métrique de Page sur CP²#−CP² (f = 0,68155171) en est un exemple. Sur S²×S², le théorème de Gursky (1998) fait du f = 2/3 de la métrique produit la borne inférieure.
Ce n’est ni une démonstration de la conjecture ni un chemin pour la résoudre. Chaque espace de cette famille est déjà connu comme S⁴, CP² ou autre, et aucune S⁴ exotique n’y entre. Ce qui a été trouvé, c’est la comptabilité autour du problème. Le total est fixé par un nombre ; s’il y a une différence, elle se trouve donc du côté du partage.
Perelman
Grigori Perelman est né à Leningrad en 1966. Le 11 novembre 2002, le 10 mars 2003 et le 17 juillet 2003, il a déposé les articles de la démonstration en prépublication sur arXiv. Une note de la première page du premier article dit ceci.
« J’ai été en partie soutenu par des économies personnelles accumulées lors de mes séjours au Courant Institute à l’automne 1992, à SUNY Stony Brook au printemps 1993 et à l’UC Berkeley comme Miller Fellow en 1993-95. Je remercie tous ceux qui ont œuvré pour que ces occasions me soient offertes. »
Perelman (2002), note de bas de page, ma traduction
La démonstration a été vérifiée en détail pendant plusieurs années par trois groupes : Kleiner et Lott, Morgan et Tian, Cao et Zhu. De petites lacunes ont été trouvées, et toutes ont pu être comblées par ses propres méthodes.
Perelman a quitté l’institut Steklov en décembre 2005, a refusé la médaille Fields en 2006 et, en 2010, le prix du millénaire du Clay Mathematics Institute. Parmi ses raisons, il aurait dit en substance que la contribution de Hamilton était aussi grande que la sienne. Hamilton est mort le 29 septembre 2024.
J’ai une très grande estime pour Perelman. Il a trouvé des quantités qui ne diminuent jamais là où personne n’avait regardé, a refermé une question centenaire en trois prépublications, n’a mentionné que dans une note d’une ligne qu’il avait vécu sur ses économies, et a terminé cette ligne par un remerciement.
Ce qui est connu, et où commence mon travail
Ce qui est connu. La démonstration de la conjecture de Poincaré est l’œuvre de Perelman. Le flot de Ricci est l’œuvre de Hamilton. Le théorème de Gauss-Bonnet, le développement des petites couches (Gray 1973 et d’autres), les formules de courbure de Milnor, les équations du flot à symétrie de révolution, les inégalités de la disparition en temps fini, les valeurs de W, le théorème de Killing et Hopf, la fibration de Hopf et les résultats en dimension quatre (y compris la forme en dimension quatre du théorème de Chern et les résultats de Kuiper, Chang–Gursky–Yang, Gursky, Hitchin, Pedersen et Page) sont tous connus.
Ce que mes articles ont ajouté. Le théorème d’unicité n = 2 et sa famille en chaque dimension (article 01, article 08). La séparation des adresses du 4π de W et du 4π de l’angle solide (article 07). La remarque que le rayon d’accord de la décomposition de Hopf bouge avec l’unité, alors que le rapport de volumes 8 ne bouge pas (article 08). Le décompte du tableau des catégories et des auto-intersections de disques (article 1003, article 1004). L’écriture de W avec le seul rapport v sur la famille des couches S³, et le décompte montrant que la couche la plus écrasée fixe le plancher de la part de W et que le mur n’a qu’un seul côté (article 1105).
Ce que cette page organise à neuf. Rien de cela n’est encore dans un article. Lire la densité du théorème comme la courbure de la couche. Lire la courbure comme le déficit par rapport à 4π et la relier à l’égalité des nombres de directions et de plans. La forme At = Ass − 8π de l’équation de l’aire de la couche, et le fait que le terme supplémentaire ne s’annule que pour n = 2. Le fait que le 2 du W du cou vient de la division des deux 4π. La lecture qui relie le 4π de la disparition en temps fini aux couches du théorème. Le tableau qui trie les pièces de la démonstration selon qu’elles savent ou non le 3. Le tableau des rayons où les couches se rencontrent. Ce sont toutes des combinaisons de formules publiées, et je n’ai pas cherché de façon exhaustive si la même organisation existe dans la littérature.
Ce que cette page ne fait pas. Elle n’est ni une nouvelle démonstration ni une simplification. Sans le théorème d’unicité, la démonstration ne changerait pas d’une lettre. Le 4π de la couche agit sous la forme du théorème de Gauss-Bonnet et ne se déduit pas du théorème d’unicité. La position de l’article 07, selon laquelle ce qui entraîne le tout est le flot de Ricci et la simple connexité, reste inchangée. À la question ouverte en dimension quatre, je n’ai rien ajouté.
Dans l’ensemble des articles
La conjecture de Poincaré est un lieu où mes articles reviennent sans cesse. Voici un ordre de lecture suggéré. Les articles sont cités sous leur titre anglais.
- Article 01, « The Uniqueness Theorem of n = 2 for Spherically Symmetric Density Distributions » : le théorème des couches lui-même.
- Article 02, « The 4π Mass Cancellation Theorem » : le même fait écrit du côté de l’intégrale.
- Article 07, « A Structural Interpretation of the 3D Poincaré Conjecture via the n=2 Uniqueness Theorem and Perelman’s Ricci Flow » : la place de trois conditions et les deux 4π.
- Article 08, « A Structural Interpretation of the 4D Poincaré Conjecture and Exotic Structures via the n=3 Uniqueness Theorem and Hopf Fibration » : 2π² et la décomposition de Hopf.
- Article 103, « Flowing Geometry to Canonical Form » : l’unicité dynamique.
- Article 110, « Ricci Flow Is a Renormalization Group Flow » : un pont vers le théorème de Friedan.
- Article 114, « Which Objects Know They Are in Four Dimensions? » : ce qui choisit une dimension et ce qui ne la choisit pas.
- Article 119, « The Fourth Clock » : le temps du flot de Ricci est le carré d’une longueur.
- Article 174, « Whose Singularity Is It? » : ce qui distingue la résolution de Hironaka de la chirurgie.
- Article 254, « That Knots Come Undone in Four Dimensions Is Not One Phenomenon ».
- Article 300, « The Three Hundredth Census: Whether Two Things Share a Root Is Decidable » : le test du séparateur.
- Article 1003, « The Poincaré Conjecture Is a Different Question in Each Category, and Only Dimension Four Stays Open in Both PL and Smooth ».
- Article 1004, « The Disk That Cancels Intersections Avoids Itself from Dimension Five Up and Meets Itself in Points Only in Dimension Four ».
- Article 1068, « Even When the Volume Product Is the Same, the Linking Number of the Fibres Tells the Bundle Apart ».
- Article 1092, « The ‘2’ of the Inverse-Square Density Is Two 2s, and the 2 of the Shell Mass Meets the 2 of the Horizon Balance Only in Three Dimensions ».
- Article 1104, « A Circle of Radius 1000 km Drawn on the Earth Falls 25.77 km Short of 2πr, While a Circle on a Cylinder of Rolled Paper Falls Short Not at All » : la version de dimension deux du déficit.
- Article 1105, « On the Four-Sphere, Q and W Share 16π², and the Most Squashed Shell Sets a Floor under the Share of W » : le nombre qu’on peut fixer d’abord en dimension quatre, et son partage.
Un article qui mesure le même déficit sur la Terre est « Un cercle de 1000 km de rayon sur la Terre est trop court de 25,77 km ». Le théorème de départ est dans « Le théorème d’unicité n = 2 », et l’idée de racines distinctes dans « Qu’est-ce qu’un séparateur ? ».
Il existe un livre sur le même sujet, La conjecture de Poincaré, lue couche par couche (Google Play Livres). Le livre réduit les formules au minimum et explique, dimension par dimension, les nombres que porte une couche. La lecture de la courbure comme déficit, l’équation de l’aire de la couche, le 4π de la disparition en temps fini et les rayons où les couches se rencontrent ne sont pas dans le livre. J’ai écrit cette page pour qu’elle soit nouvelle aussi pour les lecteurs du livre.
Questions
Est-ce une autre démonstration de la conjecture de Poincaré ?
Non. La démonstration est celle de Perelman. Cette page lit où le nombre 3 et le 4π agissent dans cette démonstration.
Le 4π de la couche et le 4π de la chaleur sont-ils vraiment différents ?
Oui. Le 4π de la couche est la courbure totale d’une sphère et vient du fait que la couche est de dimension deux. Le 4π de la chaleur vient de l’intégrale de Gauss et est le même en toute dimension. Ils ne sont que le même nombre, et leurs dérivations n’ont aucune partie commune. Qu’ils se placent au-dessus et au-dessous de la barre de fraction dans la valeur de W du cou est une simplification de nombres.
Pourquoi la condition sur les boucles est-elle nécessaire ?
Dans la langue des couches, elle sert à deux endroits. D’abord, elle empêche la largeur d’atteindre 0, ce qui force le flot à s’achever en temps fini. Ensuite, elle choisit S³ parmi les morceaux à courbure constante qui restent : la couche ne se rencontre pas parce qu’il n’y a pas de boucle non contractile.
À quoi ressemble la sphère S³ ?
À deux boules aux surfaces recollées (figure 2). Une autre vue est un espace rempli de cercles (expérience 6). Les deux sont la même S³.
La conjecture de Poincaré en dimension quatre n’est-elle pas résolue ?
La question topologique a été résolue par Freedman en 1982. La question lisse reste, en 2026, non résolue. Contrairement aux dimensions 7 et plus, on ne sait pas combien de sphères il y a en dimension 4. Le total est fixé par la topologie ; s’il y a une différence, elle se trouve donc dans la façon dont Q et W le partagent (le total et la part de W).
Jusqu’où peut-on se fier aux calculs des figures ?
Les expériences sont des calculs grossiers sur une grille de 200 points, et les derniers chiffres bougent. L’instant de la chirurgie est hors de l’équation du flot : le théorème selon lequel λ ne diminue pas n’y garantit donc rien. Les nombres du texte et des tableaux viennent de calculs séparés, dont la procédure a été éprouvée sur la solution ronde du flot à 8 chiffres (un écart de 8,69 × 10⁻⁹ en dimension trois sur une grille de 200). La frontière a = 0,66 est une valeur pour cette forme de taille, non une constante universelle.
Articles et sources
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Voici les principaux travaux que j’ai vérifiés pour cette page.
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