La congettura di Poincaré letta dal teorema di unicità: solo in dimensione 3 la curvatura di un guscio si chiude su 4π

Mettete un elastico sulla buccia di una mela. Ovunque lo mettiate, potete farlo scorrere sulla buccia e contrarlo in un punto. Sulla superficie di una ciambella non funziona. Un elastico che gira intorno al buco non si contrae, comunque lo muoviate.

Nel 1904 Henri Poincaré pose questa domanda una dimensione più in alto. Se in uno spazio chiuso di dimensione tre ogni anello si contrae in un punto, quello spazio è la sfera di dimensione tre? La risposta arrivò quasi cento anni dopo. Richard Hamilton avviò il metodo del flusso di Ricci, e Grigori Perelman lo completò nel 2002 e nel 2003. La risposta fu sì.

Il teorema del mio primo articolo sta in tre righe. Dividete una palla in gusci di uguale spessore: l’unica densità che dà a tutti i gusci lo stesso peso è 1/r² (il teorema di unicità n = 2). Questo 1/r² ha un secondo nome. La curvatura di Gauss di una sfera di raggio r, la misura di quanto si piega, è esattamente 1/r².

Leggete la densità come la curvatura del guscio, e il peso 4π del guscio diventa la quantità totale della sua curvatura. E questo 4π lavora davvero, nel profondo della dimostrazione di Perelman e di altri. In questa pagina seguo questa strada mentre muovete le figure con le vostre mani. Non ripercorro la dimostrazione. Leggo, nella lingua dei gusci, dove agisce in essa il numero 3. La pagina prosegue fino alla congettura di Poincaré in dimensione quattro.

Questo articolo riassume lavori che ho pubblicato io stesso come preprint, non sottoposti a revisione paritaria, insieme a materiale calcolato e ordinato appositamente per questa pagina. Le figure interattive calcolano tutto sul posto, nel vostro browser.

• La domanda
• Densità e curvatura
• L’ammanco rispetto a 4π
• Il flusso
• Colli e chirurgia
• Le quantità che non calano mai
• Dove lavora il 4π del guscio
• Gli anelli scelgono la sfera
• Il guscio in dimensione quattro
• Perché quattro resta aperta
• Il totale e la quota di W
• Perelman
• Il noto e il mio lavoro
• Nell’insieme degli articoli
• Domande
• Fonti

La domanda: se ogni anello si contrae, è una sfera?

In dimensione due la risposta è nota da tempo. Se su una superficie chiusa ogni anello si contrae in un punto, la superficie è una sfera. La domanda di Poincaré è se lo stesso si possa dire in dimensione tre.

La sfera di dimensione tre S³ è l’insieme dei punti x² + y² + z² + w² = 1 nello spazio di dimensione quattro. Non si può vedere, ma è facile da costruire. Prendete due palle e incollate tra loro le superfici. Viaggiando in una palla, alla superficie passate nell’altra; ne attraversate il centro e tornate nella prima dal lato opposto. Non c’è un bordo da nessuna parte, eppure la grandezza è finita.

La domanda fu preceduta da un piccolo incidente. Nel 1900 Poincaré affermò che uno spazio con gli stessi numeri di buchi di una sfera (i numeri di Betti) doveva essere una sfera. Quattro anni dopo, nel 1904, costruì lui stesso un controesempio: uno spazio con tutti gli stessi numeri di buchi che non è una sfera. Contiene un anello che non si contrae. Ciò che i numeri non avevano separato, lo separò un anello. Nel mio lessico fu uno dei primi separatori della topologia. Questo spazio tornerà più avanti, in forma di dodecaedro.

Portiamo ora in questo spazio i gusci del teorema. Scegliete un polo nord e raccogliete tutti i punti a distanza r da esso. Formano una sfera di dimensione due, un guscio di S³. Nella S³ di raggio 1, l’area di questo guscio è 4π sin²r. È massima all’equatore r = π/2, dove vale esattamente 4π.

Esperimento 1Spazzare la sfera S³ con i gusci

Muovete il cursore per cambiare la distanza r dal polo nord.

Distanza r

0,30

Area del guscio 4π sin²r

Area del guscio ÷ r²

Ammanco rispetto a 4π

Valore nello spazio piatto

Sommate i gusci dal polo nord al polo sud e ottenete 2π², il volume di S³. Un solo foglio di guscio può spazzare tutto lo spazio da un capo all’altro. Tenetelo a mente: l’atto di spazzare torna nella seconda metà di questa pagina, dentro la dimostrazione.

La densità del teorema era la curvatura del guscio

La dimostrazione è nella pagina del teorema. Qui voglio guardare l’altro volto di 1/r². Una sfera di raggio r ha curvatura misurabile dall’interno della superficie K = 1/r² (la curvatura di Gauss) e area 4πr². Moltiplicatele, e il raggio scompare.

$$K=\frac{1}{r^{2}},\qquad K\times 4\pi r^{2}=4\pi$$

È la formula della densità del teorema, lettera per lettera. Leggete la densità come la curvatura del guscio, e il peso 4π è la quantità totale di curvatura di tutto il guscio, la sua curvatura totale. E per la curvatura totale esiste un teorema noto da tempo.

$$\int_{S^{2}}K\,dA=2\pi\chi=4\pi$$

È il teorema di Gauss-Bonnet. χ è il numero di Eulero, che per una sfera vale 2. Ammaccate il guscio o stiratelo: finché non aprite un buco, la curvatura totale resta 4π. Su un guscio rotondo era «4π a ogni raggio». Qui diventa «4π per ogni forma».

Esperimento 2Deformate il guscio: resta 4π

Trascinate le maniglie rotonde per cambiare la forma del guscio, o scegliete una forma con i pulsanti.

Curvatura totale ∫K dA

12,566

Grandezza

1,00

SferaUovoArachideIrregolareCiambella

Area del guscio

Curvatura media sull’area

Lo stesso vale nella S³ dell’esperimento 1. Il guscio a distanza r è una sfera rotonda di raggio sin r, con curvatura 1/sin²r e area 4π sin²r. Moltiplicate: ogni guscio dà 4π.

Questo accordo dipende però dalla dimensione. Il teorema esiste in ogni dimensione: nello spazio di dimensione d la densità è 1/r^d−1. L’esponente della curvatura del guscio, invece, è 2 in ogni dimensione, perché la curvatura è l’inverso del quadrato di una lunghezza. Il 2 di 1/r² è dunque due 2 diversi: un 2 che si muove e un 2 che non si muove.

Dimensione d dello spazio	Guscio	Densità del teorema	Curvatura del guscio	Curvatura × area del guscio
2	cerchio S¹	1/r	non misurabile dall’interno	nessuna
3	sfera S²	1/r²	1/r²	4π (il raggio scompare)
4	S³	1/r³	1/r²	2π²r
5	S⁴	1/r⁴	1/r²	(8/3)π²r²

I due 2 hanno radici distinte. Muovete la dimensione e si separano. Si sovrappongono solo in dimensione 3. Densità e curvatura diventano la stessa formula, il prodotto perde il raggio, e resta un 4π garantito da Gauss-Bonnet. Questo accade in una sola dimensione. È il senso del titolo di questa pagina: solo in dimensione 3 la curvatura di un guscio si chiude su 4π.

«Chiudersi» si riferisce qui alla prima potenza della curvatura. Il guscio S⁴ dello spazio di dimensione cinque ha un numero che si chiude integrando il quadrato della curvatura (teorema di Gauss-Bonnet-Chern). La prima potenza si chiude solo quando il guscio ha dimensione due.

Ogni spazio parte da 4π

Il passo successivo porta il teorema fuori dallo spazio piatto. In uno spazio curvo di dimensione tre, formiamo il guscio a distanza r da un punto e misuriamo la sua area A(r). In ogni spazio liscio, A(r)/r² tende a 4π quando r diventa piccolo, perché a scala abbastanza piccola ogni spazio sembra piatto. E il primo termine dello scarto da 4π è la curvatura.

$$\frac{A(r)}{r^{2}}=4\pi\left(1-\frac{S}{18}\,r^{2}+\cdots\right)$$

S è la curvatura scalare, il totale della curvatura in quel punto (una lettera diversa dalla S delle sfere S² e S³). Il 4π del teorema è il punto di partenza in ogni punto di ogni spazio. La curvatura è l’ammanco rispetto a esso. Nella S³ di raggio 1, S = 6, e l’ammanco relativo comincia come r²/3.

r	S³	spazio piatto	spazio iperbolico	ammanco relativo in S³	r²/3
0,25	12,306743	12,566371	12,830361	0,020660	0,020833
0,50	11,553463	12,566371	13,649105	0,080605	0,083333
1,00	8,897913	12,566371	17,355387	0,291927	0,333333

Le tre colonne centrali sono area del guscio ÷ r². Con r = 0,01, ammanco ÷ r² vale 0,333329 e si avvicina all’1/3 della formula.

Direzione per direzione diventa più chiaro. Tendiamo dal centro un tubo sottile nella direzione v. Nello spazio piatto con densità 1/r², il contenuto del tubo per unità di lunghezza è costante; è il teorema ridetto per ogni direzione. In uno spazio curvo il tubo si restringe e il suo contenuto cala così.

$$\frac{dm}{dr\,d\Omega}=1-\frac{\mathrm{Ric}(v,v)}{6}\,r^{2}+\cdots$$

Ric(v,v) è la curvatura di Ricci. La formula è nei manuali. Letta dal lato del teorema, però, ha un altro aspetto: la curvatura di Ricci è il numero che misura quanto si restringe nella direzione v il tubo diritto di n = 2.

Per esempio in S²×ℝ, lo spazio di un tubo diritto a sezione sferica, il tubo non si restringe lungo l’asse. Si restringe di più nelle direzioni di S². L’ammanco ÷ r² misurato a r = 0,01 era 0, 0,041667, 0,125000 e 0,166666 ad angoli di 0°, 30°, 60° e 90° dall’asse, in accordo a sei cifre con Ric/6 (la formula dà 0,166667 a 90°).

Il numero delle direzioni e il numero dei piani

Lo spazio di dimensione tre ha tre direzioni perpendicolari. Ha anche tre piani perpendicolari: quelli generati dalle direzioni 1 e 2, 1 e 3, 2 e 3. La curvatura di un piano (la sua curvatura sezionale) si calcola dagli ammanchi delle direzioni.

$$K_{12}=\frac{\mathrm{Ric}_{1}+\mathrm{Ric}_{2}-\mathrm{Ric}_{3}}{2}$$

Misurate i tre ammanchi, e tutti e tre i piani sono determinati. Nella curvatura non resta nulla che gli ammanchi non possano misurare. Muovendo la dimensione si vede quanto sia speciale.

dimensione d	direzioni	piani d(d−1)/2	tutta la curvatura (Riemann)	letta dagli ammanchi (Ricci)	resto (Weyl)
2	2	1	1	3	0
3	3	3	6	6	0
4	4	6	20	10	10
5	5	10	50	15	35

I numeri contano le componenti indipendenti. In dimensione due la curvatura è un solo numero, e le tre componenti della curvatura di Ricci sono tutte fissate da esso.

Direzioni e piani sono in numero uguale solo in dimensione tre. In dimensione due si legge anche tutta la curvatura, ma ci sono 2 direzioni e 1 piano: i numeri differiscono. Da dimensione quattro in poi resta una curvatura di Weyl che gli ammanchi non leggono. L’unica dimensione in cui il «restringersi del tubo del teorema» legge la curvatura senza mancanze né eccessi è 3.

L’esperimento 3 fa toccare con mano questo 3 = 3. Esiste una famiglia di forme in cui la sfera S³ resta S³ e le lunghezze di tre direzioni si possono cambiare separatamente: le metriche invarianti a sinistra, di cui Milnor scrisse la curvatura nel 1976. Cambiate le lunghezze, e gli ammanchi delle direzioni e la curvatura dei piani si muovono insieme.

Esperimento 3Tre ammanchi e tre piani

Cambiate le lunghezze delle tre direzioni e premete Avvia. Il flusso è spiegato nella sezione seguente.

Lunghezza della direzione 1

0,70

Lunghezza della direzione 2

1,00

Lunghezza della direzione 3

1,30

AvviaIndietro

Tempo

Grandezza (radice cubica del volume)

Dispersione degli ammanchi

Il flusso: livellare l’ammanco

Nel 1982 Richard Hamilton scrisse un’equazione che muove nel tempo una forma stessa.

$$\frac{\partial g}{\partial t}=-2\,\mathrm{Ric}$$

g è il modo di misurare le lunghezze. L’equazione contrae le direzioni di curvatura positiva e stira quelle di curvatura negativa. Le direzioni con ammanco maggiore si restringono più in fretta, e così gli ammanchi si livellano. Questo è il flusso di Ricci. La curvatura scalare S obbedisce all’equazione seguente.

$$\frac{\partial S}{\partial t}=\Delta S+2\,|\mathrm{Ric}|^{2}$$

Il termine in Δ ha la stessa forma dell’equazione del calore e leviga le irregolarità. Il termine 2|Ric|² aumenta la curvatura. Livellare e appuntire stanno nella stessa equazione.

Nello stesso articolo Hamilton mostrò che uno spazio chiuso di dimensione tre con curvatura di Ricci positiva si arrotonda sotto questo flusso. La chiave del calcolo è che in dimensione tre tutta la curvatura si scrive con la curvatura di Ricci: il 3 = 3 di prima. Premete Avvia nell’esperimento 3 per vederne una piccola versione. Quali che siano le lunghezze iniziali, gli ammanchi si livellano, anche se alcuni sono negativi. In un calcolo separato più fine, la forma con lunghezze iniziali 0,7, 1 e 1,3 è scomparsa al tempo 0,246659, e, comprese le altre quattro condizioni iniziali, il rapporto finale degli ammanchi è stato 1,0002 o meno in ogni caso.

Nella S³ rotonda il quadrato del raggio cala come 1 − 4t, e la sfera scompare in un punto al tempo 1/4. Attenzione qui all’unità di tempo. Uguagliando le dimensioni dei due membri, il tempo del flusso di Ricci non è in secondi: è il quadrato di una lunghezza (articolo 119). Tra poco conterà.

La difficoltà sta nelle forme la cui curvatura di Ricci non è positiva. Dove c’è una vita stretta, durante il flusso può strozzarsi; la curvatura diverge e l’equazione si ferma.

Il collo: l’area del guscio cala a 8π

Prendiamo il caso più semplice: una forma di dimensione tre con simmetria di rotazione intorno a un asse. Le sue sezioni sono sfere rotonde, cioè i gusci del teorema. Sia s la distanza lungo l’asse e ψ il raggio del guscio in quel punto. Sotto il flusso di Ricci, ψ obbedisce all’equazione seguente (nella forma di Angenent e Knopf).

$$\psi_{t}=\psi_{ss}-\frac{1-\psi_{s}^{2}}{\psi}$$

È un’equazione scomoda, con una divisione. Ma riscrivetela per l’area A = 4πψ² del guscio, e la divisione e il termine ψ_s² scompaiono del tutto.

$$\boxed{\,A_{t}=A_{ss}-8\pi\,}$$

Il calcolo sta in due righe. (ψ²)_t = 2ψψ_t = 2ψψ_ss − 2 + 2ψ_s², e (ψ²)_ss = 2ψψ_ss + 2ψ_s². La differenza lascia solo −2. Moltiplicate per 4π e avete −8π.

L’area del guscio si diffonde verso i vicini come il calore, calando alla velocità costante 8π. Il −8π è una costante. Non dipende né dalla forma, né dal luogo, né dal tempo.

Questa equazione si chiude solo quando il guscio ha dimensione due. Con una sfera di dimensione n come sezione, u = ψ² obbedisce a quanto segue (verificato anche con il calcolo simbolico).

$$u_{t}=u_{ss}-2(n-1)+2(n-2)\,\psi_{s}^{2}$$

Il termine aggiuntivo si annulla solo per n = 2, e solo per n = 2 l’area del guscio è proporzionale a ψ². Per n = 1 il termine −2(n−1) vale 0. La sezione di una forma di dimensione due è un cerchio, che non ha curvatura misurabile dall’interno; nulla stringe quindi il collo. Per questo i colli non si strozzano nel flusso di Ricci di dimensione due.

Guardiamo anche le unità. L’area è il quadrato di una lunghezza, e lo è anche il tempo del flusso di Ricci. Area ÷ tempo è dunque un numero puro, senza unità, e il suo valore è 8π. Cambiare l’unità di lunghezza non lo muove.

Di che cosa è fatto 8π? Prendiamo il guscio come superficie e facciamo agire su di esso il flusso di Ricci di dimensione due. L’area cala allora a questo ritmo.

$$\frac{dA}{dt}=-\int 2K\,dA=-2\times 4\pi=-8\pi$$

Anche qui c’è 4π. Una sfera di qualunque forma perde area alla velocità 8π, perché la curvatura totale del guscio è 4π. Il −8π del collo è il doppio della curvatura totale del guscio.

Esperimento 4Strozzare il collo, poi tagliarlo

Regolate la profondità della vita e premete Avvia. Quando il collo si assottiglia e il flusso si ferma, premete Chirurgia. Il vostro browser sta risolvendo il flusso di Ricci.

Profondità della vita a

0,80

3 dimensioni (guscio: sfera)2 dimensioni (guscio: cerchio)

Avvia / pausaChirurgiaIndietro

Tempo

Raggio del collo

Area

Velocità di perdita d’area

Rapporto con 8π

λ che non cala mai

Per la forma di dimensione tre, una vita poco profonda scompare e il tutto si arrotonda, mentre una profonda si strozza. Per questa forma di vita il confine sta vicino ad a = 0,66. Con griglie di 200 e di 300 punti, a = 0,6563 si è arrotondato e a = 0,6656 si è strozzato. I tempi fino allo strozzamento, o fino alla scomparsa dopo l’arrotondamento, sono i seguenti.

a	raggio iniziale del collo	esito	tempo
0,50	0,5000	si arrotonda e scompare	0,1742
0,65	0,3500	si arrotonda e scompare	0,1396
0,70	0,3000	il collo si strozza	0,1185
0,80	0,2000	il collo si strozza	0,0553
0,90	0,1000	il collo si strozza	0,0092

Il tempo è quello in cui il raggio del collo scende sotto 0,05 o, scomparso il collo, quello in cui il raggio complessivo scende sotto 0,08. «Si strozza» significa che il collo diventa più sottile di 0,3 volte la parte più larga.

Per la forma di dimensione due il collo non si strozza, per quanto profonda sia la vita. La velocità di perdita d’area è stata 25,13222, 25,13227 e 25,13208 per le profondità 0, 0,5 e 0,8, mentre 8π = 25,132741. I tre valori concordano fino alla terza cifra decimale e differiscono da 8π per meno dello 0,01%.

Veniamo al guscio del collo in dimensione tre. Nel flusso con a = 0,8 ho contato la velocità di perdita d’area del guscio del collo.

raggio del collo	area del guscio	velocità di perdita	rapporto con 8π
0,200	0,5022	10,424	0,415
0,150	0,2833	16,372	0,651
0,100	0,1255	19,198	0,764
0,070	0,0617	20,461	0,814
0,051	0,0323	21,218	0,844
0,030	0,0111	21,991	0,875

Dall’equazione segue subito una cosa. Nel punto più sottile del collo A_ss è 0 o più, quindi A_t non può scendere sotto −8π. Il guscio del collo non può calare più in fretta di 8π. Un guscio di area A ha bisogno almeno del tempo A/(8π) per strozzarsi. Per il guscio del collo, 8π è una velocità limite. Per questo il rapporto in tabella non supera 1.

Chirurgia: il taglio è un guscio

Quando un collo si strozza, l’equazione si ferma. Il metodo ideato da Hamilton e completato da Perelman è la chirurgia. Si taglia il collo assottigliato, si mettono calotte rotonde sui tagli e si prosegue il flusso. Il taglio di un collo di dimensione tre è S², il guscio del teorema. Lo spazio viene tagliato lungo i gusci.

Il pulsante di chirurgia dell’esperimento 4 taglia appena il raggio del collo scende sotto 0,05. In un calcolo separato la forma con a = 0,8 è stata tagliata al tempo 0,05534. I due pezzi chiusi non avevano collo, ed entrambi si sono rimpiccioliti restando rotondi fino al raggio 0,08 al tempo 0,10409, con una rotondità (lunghezza totale ÷ π ÷ parte più larga) di 1,0034. Attraverso la chirurgia λ è passato da 29,259 a 29,301: anche qui non è calato.

Questo è, naturalmente, il caso più semplice. La vera dimostrazione deve mostrare che una forma senza simmetria di rotazione si può tagliare ovunque si formi una singolarità, e che il numero dei tagli è finito in tempo finito. A renderlo possibile è la quantità seguente.

Le quantità di Perelman che non calano mai

Per continuare la chirurgia bisogna prevedere la forma delle regioni dove la curvatura cresce. È qui che il programma di Hamilton si era fermato. Nel suo articolo del 2002 Perelman mostrò quantità che lungo il flusso non calano mai.

Una è λ, il più piccolo autovalore dell’operatore −4Δ + S, dove S è la curvatura scalare. Guardate il grafico di λ nell’esperimento 4. Comunque cambi la forma, la linea non scende mai. Misurato a parte con più precisione, λ è salito da 6,1827 a 29,7106 nel flusso con a = 0,8, e in 167 misure è calato 0 volte. Sulla S³ rotonda dà 6,000000, in accordo con il valore esatto 6.

L’altra è W.

$$\mathcal{W}(g,f,\tau)=\int\Bigl[\tau\bigl(S+|\nabla f|^{2}\bigr)+f-3\Bigr]\,(4\pi\tau)^{-3/2}\,e^{-f}\,dV$$

Qui si vede un 4π. Ma non è il 4π del guscio. (4πτ)^−3/2 è il fattore di normalizzazione di una gaussiana di dimensione tre, l’inverso di tre copie dell’integrale unidimensionale ∫e^−x²/(4τ)dx = √(4πτ). È il 4π del calore che si diffonde. Nell’articolo 07 ho scritto che questo 4π e il 4π dell’angolo solido di una sfera sono lo stesso numero a indirizzi diversi. Le loro derivazioni non hanno nulla in comune.

Sulle forme che si limitano a rimpicciolirsi, W è una costante, e il suo valore distingue le forme.

forma	valore di W	numero	eW
ℝ³ piatto	0	0	1
S³ rotonda	log(2√π) − 3/2	−0,234488	0,790976
collo S²×ℝ	log 2 − 1	−0,306853	0,735759

Interessante è il valore del collo. Il 2 del suo log 2 nasce dividendo l’area del guscio 4π × 2τ per il 4πτ del calore. Il 4π del guscio e il 4π del calore stanno sopra e sotto la linea di frazione e si elidono, lasciando solo 2. È qui che si incontrano i due numeri venuti da indirizzi diversi. Si tratta però di un’elisione di numeri. Non significa che i due abbiano la stessa radice.

Con questa quantità Perelman dimostrò il «non collasso locale»: vista alla scala della curvatura, il volume di una piccola palla non svanisce. Ciò restringe le forme che compaiono ingrandendo l’intorno di una singolarità. In dimensione tre le forme che si limitano a rimpicciolirsi sono ℝ³, il collo S²×ℝ e i suoi parenti, la S³ rotonda e i suoi parenti. Una regione di grande curvatura appare come un collo, un collo chiuso da una calotta o un pezzo che si arrotonda e scompare. Per questo il taglio ha sempre la forma di un guscio.

C’è un’altra cosa importante. Che λ e W non calino non è limitato alla dimensione tre. Perelman scrisse nel riassunto del suo articolo che questa espressione monotona vale «in tutte le dimensioni e senza ipotesi di curvatura». La quantità che non cala mai non sa nulla del 3. Anche il 4π dentro W resta 4π quando la dimensione cambia. Dove sono allora i pezzi che sanno del 3?

Scomparire in tempo finito: dove lavora il 4π del guscio

Se dopo chirurgie ripetute il flusso continuasse per sempre, non si concluderebbe nulla. Alla congettura di Poincaré serve che, su uno spazio in cui tutti gli anelli si contraggono, il flusso scompaia del tutto in tempo finito. Una volta scomparso, si sa che lo spazio di partenza è formato dai pezzi scomparsi, uniti insieme.

A questo passo portano due strade. Su entrambe compare il teorema di Gauss-Bonnet.

La prima è l’articolo di Perelman del 2003. Guarda l’area A del più piccolo disco teso su un anello. Il teorema di Gauss-Bonnet applicato al disco dà la disuguaglianza seguente, dove S_min è il minimo della curvatura scalare su tutto lo spazio. Il 2π è lo stesso numero della curvatura totale di un emisfero.

$$\frac{dA}{dt}\le-2\pi-\frac{1}{2}\,S_{\min}\,A$$

La seconda è il metodo di Colding e Minicozzi, che usa i gusci stessi. Si spazza lo spazio con gusci di dimensione due, come nell’esperimento 1. Una spazzata parte da un punto e finisce in un punto. Le spazzate sono innumerevoli. Ognuna ha un guscio massimo; si cerca la spazzata che lo rende il più piccolo possibile. Quel valore è la larghezza w dello spazio. Sotto il flusso di Ricci la larghezza obbedisce alla disuguaglianza seguente.

$$\frac{dw}{dt}\le-4\pi+\frac{3}{4\,(t+C)}\,w$$

A proposito del −4π a destra, i due autori scrivono questo nel loro articolo.

«Il 4π in (1.6) viene dal teorema di Gauss-Bonnet.»

Colding & Minicozzi, Width and finite extinction time of Ricci flow (2008), traduzione mia

È la curvatura totale del guscio. Sul guscio massimo la velocità di perdita d’area è la seguente. Il guscio è una superficie minima, K_Σ è la sua curvatura e |A|² la grandezza della sua seconda forma fondamentale.

$$\frac{d}{dt}\,\mathrm{Area}(\Sigma)=-\int_{\Sigma}K_{\Sigma}\,dA-\frac{1}{2}\int_{\Sigma}\bigl(|A|^{2}+S\bigr)\,dA$$

Il primo termine è −4π, qualunque sia la forma del guscio o dello spazio, come ha mostrato l’esperimento 2. Su esempi rotondi si ripartisce così.

luogo	velocità di perdita d’area	numero
guscio equatoriale della S³ rotonda	−16π = −4π − 12π	−50,265482
guscio del collo rotondo S²×ℝ	−8π = −4π − 4π	−25,132741

Ogni caso contiene −4π. Il secondo termine viene dalla curvatura dello spazio, e anche se la curvatura scalare diventa negativa è tenuto a freno dal termine 3/(4(t+C)) w. La disuguaglianza integrata dice che la larghezza diventerebbe negativa in tempo finito. Una larghezza non può essere negativa. Il flusso deve dunque finire prima.

Dove serve la condizione sugli anelli? I due autori scrivono: solo nel fatto che la larghezza è maggiore di 0.

«Questa positività è l’unico punto in cui si usa l’ipotesi sulla topologia di M.»

Lo stesso articolo, traduzione mia

Su uno spazio in cui tutti gli anelli si contraggono, una spazzata di gusci non si può schiacciare in un punto, e la larghezza non può essere 0. La logica di questo passo è tutta qui. Gli anelli tengono positiva la larghezza, il 4π del guscio la consuma, e poiché le due cose non possono durare insieme, il flusso finisce in tempo finito.

Dividete una palla in gusci: lo stesso 4π sta su ogni guscio. La scena che ho scelto come punto di partenza si ritrova quasi immutata all’ultima spinta di una domanda centenaria. Lo spazio è spazzato da gusci, ogni guscio porta 4π qualunque sia la sua forma, e quel 4π consuma la larghezza.

Fissiamo gli indirizzi dei due 4π.

	il 4π del guscio	il 4π del calore
origine	curvatura totale di una sfera (Gauss-Bonnet), area di una sfera	l’integrale di Gauss (diffusione del calore)
posto nella dimostrazione	il −4π della scomparsa in tempo finito, il −8π del collo	(4πτ)−3/2 in W
quando cambia la dimensione	scompare per il guscio in dimensione quattro	resta 4π, l’esponente 3/2 diventa d/2
dimensioni in cui lavora	spazio di dimensione tre, con gusci di dimensione due	tutte le dimensioni

Ordinando i pezzi della dimostrazione secondo che sappiano o no del 3 si ottiene questa tabella. Applica il metro dell’articolo 114 ai pezzi della dimostrazione.

pezzo	dimensioni in cui lavora
l’equazione del flusso di Ricci	tutte le dimensioni
λ e W non calano	tutte le dimensioni
tutta la curvatura si scrive con la curvatura di Ricci (3 = 3)	3 (leggibile anche in 2)
dove la curvatura è grande vince il positivo (stima di Hamilton e Ivey)	3
la sezione del collo è S², e l’area del guscio obbedisce a un’equazione chiusa	3
la curvatura totale 4π del guscio consuma la larghezza	3

Le quantità di Perelman che non calano mai lavorano in ogni dimensione. Hanno potuto risolvere una domanda di dimensione tre perché i pezzi che sanno del 3 erano già al loro posto. Gli ultimi due di questi pezzi vengono direttamente dal fatto che il guscio ha dimensione due.

Gli anelli: ciò che alla fine sceglie la sfera

Supponiamo che il flusso sia scomparso del tutto. I pezzi che scompaiono sono gli spazi a curvatura costante S³/Γ e S²×S¹, e lo spazio di partenza è la loro unione. S³/Γ è S³ ripiegata da un gruppo finito Γ.

Uno spazio a curvatura costante appare uguale da ogni punto. Misurata da dovunque, l’area del guscio segue la stessa formula 4π sin²r. All’occhio dei gusci del teorema, nessuno si distingue da S³. Che cosa sceglie allora S³? Lasciate crescere il guscio e lo vedrete. In ogni spazio diverso da S³, il guscio incontra se stesso per strada.

Il controesempio di Poincaré del 1904 torna qui. Prendete un dodecaedro e incollate le facce opposte con una torsione di 36°: ecco quello spazio (Weber e Seifert mostrarono questa forma nel 1933). Allo stesso modo si può incollare un cubo con una torsione di 90° e un ottaedro con una torsione di 60°. Tutti hanno curvatura costante e sono S³ riempita di copie di un solido.

Esperimento 5Il raggio in cui un guscio incontra se stesso

Scegliete un solido e allargate il guscio con il cursore. Trascinate per ruotare il solido.

Raggio del guscio r

0,250

CuboOttaedroDodecaedro

Guscio rimasto

Area del guscio

Area del guscio in S³

Volume dello spazio

Anello più corto che non si contrae

Copie che riempiono S³

solido	facce	torsione	copie che riempiono S³	raggio in cui il guscio si incontra	raggio in cui il guscio è finito	volume	anello più corto
cubo	6	90°	8	0,785398	60°	2,467401	1,570796
ottaedro	8	60°	24	0,523599	45°	0,822467	1,047198
dodecaedro	12	36°	120	0,314159	22,24°	0,164493	0,628319

Ho costruito i gruppi finiti di quaternioni (di ordine 8, 24 e 120) e confermato con il calcolo che si chiudono come gruppi, che le loro regioni di punto più vicino sono questi solidi, che i volumi valgono 2π² ÷ ordine e che le torsioni sono gli angoli della tabella. I raggi sono distanze dal centro in radianti. Il «raggio in cui il guscio è finito» è la distanza da un vertice, data in gradi. Gli 8 cubi sono la superficie del tesseratto, i 24 ottaedri quella dell’icositetracoro e i 120 dodecaedri quella dell’ecatonicosacoro.

Confrontate due colonne della tabella. Il raggio in cui il guscio si incontra è esattamente metà della lunghezza dell’anello più corto che non si contrae. Un guscio incontra se stesso dall’altra parte quando due cammini più brevi usciti dal centro si uniscono in un anello chiuso. Che un guscio incontri se stesso e che esista un anello che non si contrae è un solo fatto detto in due modi.

In S³ il guscio non incontra mai se stesso finché non si chiude al polo sud a r = π. Tra gli spazi a curvatura costante, solo S³ lascia crescere il guscio indenne fino in fondo. Il teorema di Killing (1891) e Hopf (1926) ne è il rovescio: uno spazio chiuso a curvatura costante in cui ogni anello si contrae non può essere che la sfera.

Così la strada si chiude. Uno spazio in cui tutti gli anelli si contraggono non può contenere un pezzo con un anello che non si contrae. S²×S¹ ne ha uno, e così ogni S³/Γ diverso da S³. L’unico pezzo rimasto è S³, e unirne copie dà S³.

Mettiamo in fila la strada nell’ordine dei gusci. È l’ordine della lettura, non quello della logica della dimostrazione.

1. Il teorema di unicità n = 2L’unica densità che dà a tutti i gusci lo stesso peso è 1/r², in dimensione tre la stessa formula della curvatura del guscio
2. Il teorema di Gauss-BonnetLa curvatura totale di un guscio è 4π per ogni forma
3. Lo sviluppo dei piccoli gusciOgni spazio parte da 4π, e la curvatura è l’ammanco rispetto a esso
4. HamiltonIl flusso livella l’ammanco. Poiché 3 = 3, nulla resta da livellare
5. Colli e chirurgiaIl guscio del collo non può perdere area più in fretta di 8π, e lo spazio viene tagliato lungo i gusci
6. PerelmanLe quantità che non calano mai restringono la forma delle singolarità
7. Scomparsa in tempo finitoGli anelli tengono positiva la larghezza e il 4π del guscio la consuma. Il flusso finisce
8. Killing e HopfI pezzi rimasti hanno curvatura costante, e gli anelli scelgono S³

Perché la sfera?

Se ogni anello si contrae, perché è la sfera? Nella lingua dei gusci la risposta ha tre passi.

• Il flusso porta la forma verso spazi in cui i gusci crescono con la stessa formula da ogni punto. Gli ammanchi si possono livellare perché in dimensione tre sono tutta la curvatura.
• La curvatura totale 4π del guscio fa scomparire i pezzi in tempo finito. Su uno spazio in cui tutti gli anelli si contraggono, la larghezza non può arrivare a 0: è quindi il flusso a finire.
• Tra i pezzi rimasti, solo S³ lascia crescere un guscio fino in fondo senza che incontri se stesso. In uno spazio a curvatura costante, «ogni anello si contrae» e «il guscio non si incontra» sono la stessa cosa.

Il teorema dice: «lo stesso su ogni guscio». S³ è lo spazio in cui quel guscio cresce dal polo nord al polo sud senza incontrare se stesso una sola volta. Che la risposta alla domanda di Poincaré sia la sfera si legge così nella lingua del teorema.

Dimensione quattro: il guscio diventa una sfera S³

Saliamo di una dimensione. Il guscio dello spazio di dimensione quattro è S³. La risposta della congettura di Poincaré in dimensione tre diventa, in dimensione quattro, un guscio. Il teorema esiste anche in dimensione quattro: la densità che dà a tutti i gusci lo stesso peso è 1/r³, e il peso del guscio è 2π² (articolo 08).

Ma questo guscio non si chiude. Curvatura × area vale 2π²r, e il raggio resta. Il numero di Eulero di S³ è 0, e non esiste alcun numero corrispondente alla curvatura totale; il numero di Eulero di uno spazio chiuso di dimensione dispari è sempre 0. Il 4π del guscio, che portava avanti la dimostrazione in dimensione tre, non esiste sul guscio in dimensione quattro (il numero che si può fissare in dimensione quattro arriva in una sezione più avanti).

In compenso S³ ha un’altra struttura, la fibrazione di Hopf. Tutta la S³ si può riempire di cerchi che non si incontrano. Ogni cerchio corrisponde a un punto di una sfera di raggio 1/2. Nella S³ di raggio R, l’area della base per la lunghezza del cerchio è esattamente il volume (articolo 08).

$$\pi R^{2}\times 2\pi R=2\pi^{2}R^{3}$$

Al raggio 1 è π × 2π = 2π². L’area della base è π, non 4π. Al raggio 2 base e cerchio valgono entrambi 4π, e il volume si divide in 4π × 4π = 16π². Ma questo accordo confronta un’area con una lunghezza, quindi il raggio in cui accade si sposta quando cambia l’unità di lunghezza. Ciò che non si muove è che raddoppiando il raggio il volume si moltiplica per 8.

Esperimento 6Riempire la sfera S³ di cerchi

Trascinate per ruotare. Muovete il raggio e scegliete i cerchi mostrati e il modo di incollare.

Raggio R

1,00

Due cerchiCerchi di una latitudineCerchi di tre latitudini

S³ così com’èIncollare a 1/2Incollare a 1/3Incollare a 1/5

Area della base

Lunghezza del cerchio

Prodotto

Volume dello spazio

Due cerchi qualsiasi si allacciano esattamente una volta. Misurato con l’integrale di Gauss, il numero di allacciamento è stato 1,000001. Questo allacciamento separa la sfera da un semplice prodotto. Quanto al prodotto dei volumi, dividere S³ in un altro modo dà lo stesso 19,739209. Il prodotto non distingue i riempimenti; il numero di allacciamento sì (articolo 1068). Anche qui, ciò che i numeri non hanno separato lo separano gli anelli.

Dividete ogni cerchio in p parti uguali e incollate: ottenete lo spazio lenticolare L(p,1). Il suo volume è 2π²/p, e il guscio si incontra al raggio π/p: 1,570796, 1,047198 e 0,628319 per p = 2, 3 e 5. La lunghezza del cerchio diventa 2π/p, e quel cerchio è un anello che non si contrae. L’incollatura della fibrazione di Hopf e gli spazi dell’esperimento 5 appartengono alla stessa famiglia.

Perché solo la dimensione quattro resta aperta

La «congettura di Poincaré» non è una sola domanda per dimensione. Diventa domande diverse a seconda che si legga «uguale a una sfera» in senso topologico o includendo la liscezza (articolo 1003).

dimensione	domanda topologica	domanda liscia
1, 2	classica	classica
3	Perelman (2002–2003)	Perelman (in dimensione 3 le due domande sono la stessa)
4	Freedman (1982)	aperta
5, 6	Smale e altri (1961–)	risolta (una sfera)
da 7 in su	Smale, Newman e altri	molte dimensioni hanno più sfere (28 in dimensione 7)

Contando la domanda liscia nelle dimensioni da 1 a 139 si trovano 8 dimensioni con una sfera, 1 indecisa e 130 con sfere esotiche. Quella indecisa è la dimensione 4. Ciò che resta irrisolto non è una dimensione alta, ma esattamente la dimensione quattro.

Perché quattro? Una ragione è una somma. Il cuore delle dimostrazioni da dimensione cinque in su è il trucco di Whitney, che elimina due punti di intersezione con un disco di dimensione due. Essendo di dimensione due, il disco non incontra se stesso, in posizione generale, negli spazi di dimensione cinque o più. In dimensione quattro si incontra esattamente in punti, perché 2 + 2 = 4. Due triangoli casuali si incontrano in ℝ⁴ con frequenza 0,055670 e in ℝ⁵ con frequenza 0 (articolo 1004). Freedman superò questa difficoltà nel mondo topologico. Nel mondo liscio, Donaldson mostrò esempi in cui il trucco fallisce.

Dal lato del guscio si scorge un secondo 4. La curvatura ha la dimensione di una lunghezza alla −2. Integrandone la prima potenza su una superficie di dimensione due, la scala scompare: era il 4π di Gauss-Bonnet. Il quadrato della curvatura ha la dimensione di una lunghezza alla −4, e la scala scompare integrandolo su quattro dimensioni. È il ∫|F|² di Yang-Mills, fondamento della teoria di Donaldson. La «prima potenza della curvatura su un guscio di dimensione due», che sosteneva la dimostrazione in dimensione tre, cede il posto, in dimensione quattro, al «quadrato della curvatura su uno spazio di dimensione quattro».

Il 2 + 2 del disco e il 2 × 2 della curvatura formano un 4 con una sola radice? Non l’ho stabilito. Possono essere radici distinte che si sovrappongono in una dimensione. L’articolo 114, che ha ordinato gli oggetti della dimensione quattro, e l’articolo 254, sui nodi, guardano il posto di questa dimensione da altri angoli. ℝⁿ ha più di una struttura liscia solo per n = 4, e allora un’infinità non numerabile.

Anche dal lato del flusso di Ricci, la dimensione quattro è un altro mondo. Le 10 componenti della curvatura di Weyl non si leggono dagli ammanchi. Quando la sezione del collo diventa di dimensione tre, nell’equazione di prima resta il termine 2ψ_s². E non c’è curvatura totale del guscio. W, che non cala mai, lavora anche in dimensione quattro, ma i pezzi che sapevano del 3 non passano.

Esperimento 7Muovere la dimensione

Muovete il cursore per cambiare la dimensione d dello spazio. In ciascuno dei tre pannelli cercate dove le due linee si incrociano.

Dimensione d

4

Esponente del teorema

Direzioni / piani

Area del guscio

Tutta la curvatura / Ricci

Componenti di Weyl

Potenza di r in curvatura × area

Congettura di Poincaré

Tutte e tre le coppie si incrociano a d = 3: l’esponente del teorema d − 1 e l’esponente di curvatura 2, i numeri di direzioni e piani, l’area del guscio e 4π. Nonostante ciò, non riunisco le tre in una sola radice. Ciascuna sta a 3 per una ragione propria. Non parlare di una sola radice solo perché dei numeri si sovrappongono è la mia regola dall’articolo 300. Che ragioni separate indichino tutte il 3 è però, di per sé, un fatto contabile.

Il numero che si può fissare per primo in dimensione quattro: il totale e la quota di W

Fin qui ho scritto che il guscio in dimensione quattro non ha un numero come 4π. Vuol dire che in dimensione quattro non c’è nulla da fissare per primo? No. Il numero non lo porta il guscio, lo porta lo spazio stesso. Su uno spazio chiuso di dimensione quattro, l’integrale del quadrato della curvatura è fissato dal solo numero di Eulero χ (la forma in dimensione quattro del teorema di Chern).

$$\int Q\,dV+\int\|W\|^{2}\,dV=8\pi^{2}\chi$$

Q si costruisce dalla curvatura scalare e dalla curvatura di Ricci a traccia nulla, e W è la curvatura di Weyl. Sulla S⁴ rotonda W vale 0; moltiplicando Q = 6/r⁴ per l’area 8π²r⁴/3 il raggio scompare e resta 16π², al raggio 1 come al raggio 3. Ciò che accadeva con il 4π del guscio in dimensione tre si ripete una dimensione più in alto. Non leggo però questo 16π² come (4π)²: qui nulla fa comparire 4π due volte (articolo 48).

Comunque si muova la metrica, il totale non si muove. Si muove solo la divisione tra Q e W. Chiamo f la frazione del totale portata da W. Non dipende né dalla scala né dai cambiamenti conformi.

Il teorema di Chang, Gursky e Yang (2003) diventa breve con f. Se la costante di Yamabe è positiva e Q vince su W (f < 1/2), lo spazio è S⁴ o RP⁴. A un mezzo c’è un muro. Il suo valore è fissato da CP², che ha esattamente f = 1/2. Rovesciando: se esiste una S⁴ esotica, W vi porta più di metà del totale per ogni metrica con costante di Yamabe positiva.

Attraverso il teorema di Kuiper, la congettura di Poincaré liscia in dimensione quattro è la stessa domanda di questa: ogni spazio omeomorfo a S⁴ porta una metrica con W = 0? Su S⁴ le due chiralità di W portano la stessa quantità, quindi togliere una metà toglie anche l’altra.

Ho calcolato questa quota su spazi fatti di gusci S³ impilati (articolo 1105). Chiamo v il rapporto tra lo spessore del cerchio di Hopf e la dimensione della base. Allora W si scrive con il solo v, e la dimensione del guscio scompare dalla formula. Il totale è deciso da come si chiudono i gusci. Un’estremità in cui il guscio collassa in un punto porta 8π², un’estremità in cui collassano solo i cerchi e resta una superficie porta 16π², e un collo in mezzo porta 0. S⁴ si chiude con due punti, ed è da lì che viene il suo 16π². In questa famiglia solo S⁴ non ha superfici.

La differenza delle due chiralità di W è una derivata esatta. Da qui viene la disuguaglianza seguente per ogni guscio, dove t è il tempo conforme.

$$f\ \geq\ (1-v^{2})^{2}+2\Bigl(\frac{dv}{dt}\Bigr)^{2}$$

Il guscio più schiacciato fissa il pavimento della quota di W. Il guscio in dimensione quattro non ha un numero per il totale, ma ha un numero per la sua forma (l’invariante eta), ed è quello il pavimento. Questo (1−v²)² concorda, con un rapporto di almeno 0,99996, con il valore contato per un’altra via dagli autovalori trovati da Hitchin nel 1974. Lo spazio esattamente sul pavimento in un guscio di ritorno ha la forma di due palle della metrica di Pedersen messe schiena contro schiena.

Esperimento 8Schiacciare un guscio e guardare la quota

Muovete il rapporto v₀ del guscio più schiacciato e la lunghezza L del collo inserito lì.

rapporto del guscio v₀

0,50

lunghezza del collo L

0,0

quota f di W

quota di Q

pavimento del guscio

segno della costante di Yamabe

Oltre il muro tutto resta la vera S⁴. f può superare 1/2 con la curvatura scalare positiva ovunque, e con un collo lungo supera anche 1 (rapporto del guscio 0,5, lunghezza del collo 6, f = 1,125). Il muro dice che al di qua c’è una sfera; non dice che al di là non ci sia. Il muro ha un solo lato. Il valore di f di una sola metrica non dice che cosa sia lo spazio. Se qualcosa può dirlo, è l’estremo inferiore di f su quello spazio.

Abbassando f, le metriche in cui si ferma (metriche con tensore di Bach nullo) sono vincolate, se hanno un’estremità chiusa in un punto: una chiralità di W deve annullarsi. Su S⁴, in questa famiglia, si fermano solo le metriche conformi a quella rotonda. Altre metriche possono fermarsi solo su spazi con estremità chiuse su una superficie, e la metrica di Page su CP²#−CP² (f = 0,68155171) ne è un esempio. Su S²×S², il teorema di Gursky (1998) fa dell’f = 2/3 della metrica prodotto l’estremo inferiore.

Questa non è né una dimostrazione della congettura né una via per risolverla. Ogni spazio di questa famiglia è già noto come S⁴, CP² o simili, e nessuna S⁴ esotica vi entra. Ciò che si è trovato è la contabilità intorno al problema. Il totale è fissato da un numero; se c’è una differenza, sta quindi dalla parte della divisione.

Perelman

Grigori Perelman nacque a Leningrado nel 1966. L’11 novembre 2002, il 10 marzo 2003 e il 17 luglio 2003 depositò gli articoli della dimostrazione come preprint su arXiv. Una nota a piè della prima pagina del primo articolo dice così.

«Sono stato sostenuto in parte da risparmi personali accumulati durante i miei soggiorni al Courant Institute nell’autunno del 1992, alla SUNY di Stony Brook nella primavera del 1993 e alla UC di Berkeley come Miller Fellow nel 1993-95. Vorrei ringraziare tutti coloro che hanno lavorato per rendermi disponibili quelle opportunità.»

Perelman (2002), nota a piè di pagina, traduzione mia

La dimostrazione fu verificata in dettaglio per diversi anni da tre gruppi: Kleiner e Lott, Morgan e Tian, Cao e Zhu. Si trovarono piccole lacune, e tutte si poterono colmare con i suoi stessi metodi.

Perelman lasciò l’Istituto Steklov nel dicembre 2005, rifiutò la medaglia Fields nel 2006 e, nel 2010, il premio del millennio del Clay Mathematics Institute. Tra le sue ragioni, si riferisce che abbia detto in sostanza che il contributo di Hamilton era grande quanto il suo. Hamilton è morto il 29 settembre 2024.

Ho una stima grandissima per Perelman. Trovò quantità che non calano mai dove nessuno aveva guardato, chiuse una domanda centenaria in tre preprint, accennò solo in una nota di una riga di aver vissuto di risparmi, e concluse quella riga con un ringraziamento.

Che cosa è noto, e dove comincia il mio lavoro

Che cosa è noto. La dimostrazione della congettura di Poincaré è opera di Perelman. Il flusso di Ricci è opera di Hamilton. Il teorema di Gauss-Bonnet, lo sviluppo dei piccoli gusci (Gray 1973 e altri), le formule di curvatura di Milnor, le equazioni del flusso a simmetria di rotazione, le disuguaglianze della scomparsa in tempo finito, i valori di W, il teorema di Killing e Hopf, la fibrazione di Hopf e i risultati in dimensione quattro (compresa la forma in dimensione quattro del teorema di Chern e i risultati di Kuiper, Chang–Gursky–Yang, Gursky, Hitchin, Pedersen e Page) sono tutti noti.

Che cosa hanno aggiunto i miei articoli. Il teorema di unicità n = 2 e la sua famiglia in ogni dimensione (articolo 01, articolo 08). La separazione degli indirizzi del 4π di W e del 4π dell’angolo solido (articolo 07). L’osservazione che il raggio di accordo nella scomposizione di Hopf si sposta con l’unità mentre il rapporto di volumi 8 no (articolo 08). Il conteggio della tabella delle categorie e delle autointersezioni dei dischi (articolo 1003, articolo 1004). La scrittura di W con il solo rapporto v sulla famiglia dei gusci S³, e il conteggio che mostra che il guscio più schiacciato fissa il pavimento della quota di W e che il muro ha un solo lato (articolo 1105).

Che cosa riordina questa pagina. Nulla di questo è ancora in un articolo. Leggere la densità del teorema come la curvatura del guscio. Leggere la curvatura come l’ammanco rispetto a 4π e collegarla all’uguaglianza del numero di direzioni e piani. La forma A_t = A_ss − 8π dell’equazione dell’area del guscio, e il fatto che il termine aggiuntivo si annulli solo per n = 2. Il fatto che il 2 nel W del collo venga dalla divisione dei due 4π. La lettura che collega il 4π della scomparsa in tempo finito ai gusci del teorema. La tabella che ordina i pezzi della dimostrazione secondo che sappiano o no del 3. La tabella dei raggi in cui i gusci si incontrano. Sono tutte combinazioni di formule pubblicate, e non ho cercato in modo esaustivo se la stessa disposizione esista in letteratura.

Che cosa questa pagina non fa. Non è né una nuova dimostrazione né una semplificazione. Senza il teorema di unicità la dimostrazione non cambierebbe di una lettera. Il 4π del guscio agisce nella forma del teorema di Gauss-Bonnet e non si deduce dal teorema di unicità. La posizione dell’articolo 07, secondo cui a spingere sono il flusso di Ricci e la semplice connessione, resta invariata. Alla domanda aperta in dimensione quattro non ho aggiunto nulla.

Nell’insieme degli articoli

La congettura di Poincaré è un luogo a cui i miei articoli tornano di continuo. Ecco un ordine di lettura suggerito. Gli articoli sono citati con il titolo inglese.

• Articolo 01, «The Uniqueness Theorem of n = 2 for Spherically Symmetric Density Distributions»: il teorema dei gusci stesso.
• Articolo 02, «The 4π Mass Cancellation Theorem»: lo stesso fatto scritto dal lato dell’integrale.
• Articolo 07, «A Structural Interpretation of the 3D Poincaré Conjecture via the n=2 Uniqueness Theorem and Perelman’s Ricci Flow»: il posto di tre condizioni e i due 4π.
• Articolo 08, «A Structural Interpretation of the 4D Poincaré Conjecture and Exotic Structures via the n=3 Uniqueness Theorem and Hopf Fibration»: 2π² e la scomposizione di Hopf.
• Articolo 103, «Flowing Geometry to Canonical Form»: l’unicità dinamica.
• Articolo 110, «Ricci Flow Is a Renormalization Group Flow»: un ponte verso il teorema di Friedan.
• Articolo 114, «Which Objects Know They Are in Four Dimensions?»: che cosa sceglie una dimensione e che cosa no.
• Articolo 119, «The Fourth Clock»: il tempo del flusso di Ricci è il quadrato di una lunghezza.
• Articolo 174, «Whose Singularity Is It?»: come la risoluzione di Hironaka differisce dalla chirurgia.
• Articolo 254, «That Knots Come Undone in Four Dimensions Is Not One Phenomenon».
• Articolo 300, «The Three Hundredth Census: Whether Two Things Share a Root Is Decidable»: il test del separatore.
• Articolo 1003, «The Poincaré Conjecture Is a Different Question in Each Category, and Only Dimension Four Stays Open in Both PL and Smooth».
• Articolo 1004, «The Disk That Cancels Intersections Avoids Itself from Dimension Five Up and Meets Itself in Points Only in Dimension Four».
• Articolo 1068, «Even When the Volume Product Is the Same, the Linking Number of the Fibres Tells the Bundle Apart».
• Articolo 1092, «The ‘2’ of the Inverse-Square Density Is Two 2s, and the 2 of the Shell Mass Meets the 2 of the Horizon Balance Only in Three Dimensions».
• Articolo 1104, «A Circle of Radius 1000 km Drawn on the Earth Falls 25.77 km Short of 2πr, While a Circle on a Cylinder of Rolled Paper Falls Short Not at All»: la versione di dimensione due dell’ammanco.
• Articolo 1105, «On the Four-Sphere, Q and W Share 16π², and the Most Squashed Shell Sets a Floor under the Share of W»: il numero che si può fissare per primo in dimensione quattro, e la sua divisione.

Un articolo che misura lo stesso ammanco sulla Terra è «Un cerchio di raggio 1000 km sulla Terra è corto di 25,77 km». Il teorema di partenza è in «Il teorema di unicità n = 2», e l’idea delle radici distinte in «Che cos’è un separatore?».

Sullo stesso tema esiste un libro, La congettura di Poincaré, letta guscio per guscio (Google Play Libri). Il libro riduce le formule al minimo e spiega, dimensione per dimensione, i numeri portati da un guscio. La lettura della curvatura come ammanco, l’equazione dell’area del guscio, il 4π della scomparsa in tempo finito e i raggi in cui i gusci si incontrano non sono nel libro. Ho scritto questa pagina perché sia nuova anche per chi ha letto il libro.

Domande

È un’altra dimostrazione della congettura di Poincaré?

No. La dimostrazione è di Perelman. Questa pagina legge dove agiscono in quella dimostrazione il numero 3 e il 4π.

Il 4π del guscio e il 4π del calore sono davvero diversi?

Sì. Il 4π del guscio è la curvatura totale di una sfera e viene dal fatto che il guscio ha dimensione due. Il 4π del calore viene dall’integrale di Gauss ed è lo stesso in ogni dimensione. Sono solo lo stesso numero, e le loro derivazioni non hanno nulla in comune. Che stiano sopra e sotto la linea di frazione nel valore di W del collo è un’elisione di numeri.

Perché serve la condizione sugli anelli?

Nella lingua dei gusci serve in due punti. Primo, impedisce alla larghezza di arrivare a 0, il che costringe il flusso a finire in tempo finito. Secondo, sceglie S³ tra i pezzi a curvatura costante rimasti: il guscio non si incontra perché non c’è un anello che non si contrae.

Che aspetto ha la sfera S³?

Quello di due palle con le superfici incollate (figura 2). Un’altra vista è uno spazio riempito di cerchi (esperimento 6). Sono la stessa S³.

La congettura di Poincaré in dimensione quattro è irrisolta?

La domanda topologica fu risolta da Freedman nel 1982. La domanda liscia è, al 2026, irrisolta. A differenza delle dimensioni da 7 in su, non si sa quante sfere ci siano in dimensione 4. Il totale è fissato dalla topologia; se c’è una differenza, sta quindi nel modo in cui Q e W lo dividono (il totale e la quota di W).

Fin dove ci si può fidare dei calcoli delle figure?

Gli esperimenti sono calcoli grossolani su una griglia di 200 punti, e le ultime cifre si muovono. L’istante della chirurgia sta fuori dall’equazione del flusso, quindi lì il teorema secondo cui λ non cala non garantisce nulla. I numeri del testo e delle tabelle vengono da calcoli separati, il cui procedimento è stato provato sulla soluzione rotonda del flusso a 8 cifre (una differenza di 8,69 × 10⁻⁹ in dimensione tre su una griglia di 200). Il confine a = 0,66 è un valore per questa forma di vita, non una costante universale.

Articoli e fonti

Tutti gli articoli sono pubblicati con licenza CC BY 4.0. La scheda dell’articolo 01 si trova nella sua pagina YOI.

Queste sono le principali opere che ho verificato per questa pagina.

• Poincaré, H. (1904). Cinquième complément à l’analysis situs. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo.
• Killing, W. (1891); Hopf, H. (1926). Zum Clifford-Kleinschen Raumproblem: spazi a curvatura costante.
• Hopf, H. (1931). Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche.
• Weber, C. & Seifert, H. (1933). Die beiden Dodekaederräume.
• Smale, S. (1961); Freedman, M. (1982); Donaldson, S. (1983, 1987): alte dimensioni e dimensione quattro.
• Kuiper, N. H. (1949). On conformally-flat spaces in the large. Annals of Mathematics.
• Chang, S.-Y. A., Gursky, M. J. & Yang, P. C. (2003). A conformally invariant sphere theorem in four dimensions. Publications Mathématiques de l’IHÉS.
• Hitchin, N. J. (1974). Harmonic spinors. Advances in Mathematics; Hitchin, N. J. (1997). Einstein metrics and the eta-invariant.
• Pedersen, H. (1986). Einstein metrics, spinning top motions and monopoles. Mathematische Annalen; Page, D. N. (1978). A compact rotating gravitational instanton. Physics Letters B.
• Gursky, M. J. (1998). The Weyl functional, de Rham cohomology, and Kähler-Einstein metrics. Annals of Mathematics.
• Gray, A. (1973). The volume of a small geodesic ball of a Riemannian manifold. Michigan Mathematical Journal 20.
• Milnor, J. (1976). Curvatures of left invariant metrics on Lie groups.
• Hamilton, R. S. (1982). Three-manifolds with positive Ricci curvature. Journal of Differential Geometry 17.
• Hamilton, R. S. (1995). The formation of singularities in the Ricci flow; Ivey, T. (1993): la stima di Hamilton e Ivey.
• Perelman, G. (2002). The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications. arXiv:math/0211159.
• Perelman, G. (2003). Ricci flow with surgery on three-manifolds. arXiv:math/0303109.
• Perelman, G. (2003). Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds. arXiv:math/0307245.
• Cao, H.-D., Hamilton, R. S. & Ilmanen, T. (2004). Gaussian densities and stability for some Ricci solitons: i valori di W.
• Colding, T. H. & Minicozzi, W. P. (2005). Estimates for the extinction time for the Ricci flow on certain 3-manifolds and a question of Perelman. Journal of the American Mathematical Society 18.
• Colding, T. H. & Minicozzi, W. P. (2008). Width and finite extinction time of Ricci flow. Geometry & Topology 12.
• Angenent, S., Isenberg, J. & Knopf, D. (arXiv:1011.4868, arXiv:1208.4312): le equazioni del flusso a simmetria di rotazione.
• Kleiner, B. & Lott, J. (2008). Notes on Perelman’s papers; Morgan, J. & Tian, G. (2007). Ricci Flow and the Poincaré Conjecture; Cao, H.-D. & Zhu, X.-P. (2006): verifica della dimostrazione.
• Ni, L. & Wallach, N. (2008); Cao, H.-D., Chen, B.-L. & Zhu, X.-P. (2008): classificazione delle forme che si limitano a rimpicciolirsi.