Die Poincaré-Vermutung vom Eindeutigkeitssatz her gelesen: Nur in Dimension 3 schließt sich die Krümmung einer Schale zu 4π

Legen Sie ein Gummiband um die Schale eines Apfels. Wo auch immer es liegt: Sie können es über die Schale schieben und zu einem Punkt zusammenziehen. Auf der Oberfläche eines Donuts geht das nicht. Ein Band, das um das Loch läuft, lässt sich nicht zusammenziehen, wie auch immer man es bewegt.

Henri Poincaré stellte diese Frage 1904 eine Dimension höher. Wenn sich in einem geschlossenen dreidimensionalen Raum jede Schleife zu einem Punkt zusammenziehen lässt, ist dieser Raum dann die dreidimensionale Sphäre? Die Antwort kam fast hundert Jahre später. Richard Hamilton begann die Methode des Ricci-Flusses, und Grigori Perelman vollendete sie 2002 und 2003. Die Antwort lautete: ja.

Der Satz meiner ersten Arbeit braucht drei Zeilen. Teilt man eine Kugel in gleich dicke Schalen, so ist 1/r² die einzige Dichte, bei der alle Schalen gleich viel wiegen (der Eindeutigkeitssatz für n = 2). Dieses 1/r² hat einen zweiten Namen. Die Gaußsche Krümmung einer Sphäre vom Radius r, das Maß ihrer Biegung, ist genau 1/r².

Liest man die Dichte als Krümmung der Schale, wird aus dem Schalengewicht 4π die Gesamtmenge ihrer Krümmung. Und dieses 4π arbeitet tatsächlich, tief im Beweis von Perelman und anderen. Auf dieser Seite gehe ich diesem Weg nach, während Sie die Abbildungen mit eigenen Händen bewegen. Ich zeichne den Beweis nicht nach. Ich lese in der Sprache der Schalen, wo in ihm die Zahl 3 wirkt. Die Seite führt weiter bis zur Poincaré-Vermutung in vier Dimensionen.

Dieser Artikel fasst Arbeiten zusammen, die ich selbst als Preprints veröffentlicht habe und die nicht begutachtet sind, dazu Material, das eigens für diese Seite neu berechnet und geordnet wurde. Die beweglichen Abbildungen rechnen alles an Ort und Stelle in Ihrem Browser.

• Die Frage
• Dichte und Krümmung
• Der Fehlbetrag gegenüber 4π
• Der Fluss
• Hals und Chirurgie
• Die Größen, die nie fallen
• Wo das 4π der Schale arbeitet
• Schleifen wählen die Sphäre
• Die Schale in vier Dimensionen
• Warum vier offen bleibt
• Gesamtwert und Anteil von W
• Perelman
• Bekanntes und meine Arbeit
• Im Gesamtwerk
• Fragen
• Quellen

Die Frage: Wenn jede Schleife sich zusammenzieht, ist es dann eine Sphäre?

In zwei Dimensionen kennt man die Antwort seit Langem. Zieht sich auf einer geschlossenen Fläche jede Schleife zu einem Punkt zusammen, so ist die Fläche eine Sphäre. Poincarés Frage ist, ob dasselbe in drei Dimensionen gilt.

Die dreidimensionale Sphäre S³ ist die Menge der Punkte x² + y² + z² + w² = 1 im vierdimensionalen Raum. Sehen kann man sie nicht, aber sie ist leicht zu bauen. Nehmen Sie zwei Kugeln und verkleben Sie ihre Oberflächen miteinander. Wer durch die eine Kugel reist, tritt an der Oberfläche in die andere über, durchquert deren Mittelpunkt und kommt von der Gegenseite wieder in die erste. Nirgends gibt es einen Rand, und doch ist die Größe endlich.

Der Frage ging ein kleiner Vorfall voraus. 1900 behauptete Poincaré, ein Raum mit denselben Lochzahlen wie eine Sphäre (den Betti-Zahlen) müsse eine Sphäre sein. Vier Jahre später, 1904, baute er selbst ein Gegenbeispiel: einen Raum mit lauter gleichen Lochzahlen, der keine Sphäre ist. Er enthält eine Schleife, die sich nicht zusammenziehen lässt. Was Zahlen nicht trennen konnten, trennte eine Schleife. In meinem Wortschatz war das einer der ersten Separatoren der Topologie. Dieser Raum kehrt später in Gestalt eines Dodekaeders zurück.

Bringen wir nun die Schalen des Satzes in diesen Raum. Wählen Sie einen Nordpol und sammeln Sie alle Punkte im Abstand r von ihm. Sie bilden eine zweidimensionale Sphäre, eine Schale von S³. In der S³ vom Radius 1 ist die Fläche dieser Schale 4π sin²r. Am Äquator r = π/2 ist sie am größten und beträgt genau 4π.

Experiment 1Die 3-Sphäre mit Schalen überstreichen

Bewegen Sie den Regler, um den Abstand r vom Nordpol zu ändern.

Abstand r

0,30

Schalenfläche 4π sin²r

Schalenfläche ÷ r²

Fehlbetrag gegenüber 4π

Wert im flachen Raum

Zählt man die Schalen vom Nordpol bis zum Südpol zusammen, erhält man 2π², das Volumen von S³. Eine einzige Schalenfläche kann den ganzen Raum von Ende zu Ende überstreichen. Behalten Sie das im Kopf: Das Überstreichen kehrt in der zweiten Hälfte dieser Seite zurück, mitten im Beweis.

Die Dichte des Satzes war die Krümmung der Schale

Der Beweis steht auf der Seite des Satzes. Hier will ich das andere Gesicht von 1/r² ansehen. Eine Sphäre vom Radius r hat die aus der Fläche heraus messbare Krümmung K = 1/r² (die Gaußsche Krümmung) und die Fläche 4πr². Multipliziert man beide, verschwindet der Radius.

$$K=\frac{1}{r^{2}},\qquad K\times 4\pi r^{2}=4\pi$$

Das ist die Formel für die Dichte des Satzes, Buchstabe für Buchstabe. Liest man die Dichte als Krümmung der Schale, ist das Gewicht 4π die Gesamtmenge an Krümmung der ganzen Schale, ihre Gesamtkrümmung. Und für die Gesamtkrümmung gibt es einen altbekannten Satz.

$$\int_{S^{2}}K\,dA=2\pi\chi=4\pi$$

Das ist der Satz von Gauß-Bonnet. χ ist die Euler-Zahl, für eine Sphäre 2. Beulen Sie die Schale ein oder ziehen Sie sie in die Länge: Solange kein Loch entsteht, bleibt die Gesamtkrümmung 4π. Auf der runden Schale hieß es „4π bei jedem Radius“. Hier wird daraus „4π bei jeder Form“.

Experiment 2Verformen Sie die Schale: Es bleibt 4π

Ziehen Sie an den runden Griffen, um die Form der Schale zu ändern, oder wählen Sie eine Form mit den Knöpfen.

Gesamtkrümmung ∫K dA

12,566

Größe

1,00

KugelEiErdnussUnebenDonut

Schalenfläche

Durchschnittliche Krümmung

Dasselbe gilt in der S³ aus Experiment 1. Die Schale im Abstand r ist eine runde Sphäre vom Radius sin r mit der Krümmung 1/sin²r und der Fläche 4π sin²r. Multipliziert ergibt jede Schale 4π.

Diese Übereinstimmung hängt jedoch von der Dimension ab. Den Satz gibt es in jeder Dimension: Im d-dimensionalen Raum ist die Dichte 1/r^d−1. Der Exponent der Schalenkrümmung dagegen ist in jeder Dimension 2, weil Krümmung das Inverse eines Längenquadrats ist. Die 2 in 1/r² sind also zwei verschiedene Zweien: eine, die sich bewegt, und eine, die stehen bleibt.

Dimension d des Raums	Schale	Dichte des Satzes	Krümmung der Schale	Krümmung × Schalenfläche
2	Kreis S¹	1/r	von innen nicht messbar	keine
3	Sphäre S²	1/r²	1/r²	4π (der Radius verschwindet)
4	S³	1/r³	1/r²	2π²r
5	S⁴	1/r⁴	1/r²	(8/3)π²r²

Die beiden Zweien haben verschiedene Wurzeln. Bewegt man die Dimension, trennen sie sich. Sie decken sich nur in Dimension 3. Dichte und Krümmung werden dieselbe Formel, das Produkt verliert seinen Radius, und übrig bleibt ein von Gauß-Bonnet garantiertes 4π. Das geschieht in genau einer Dimension. Das meint der Titel dieser Seite: Nur in Dimension 3 schließt sich die Krümmung einer Schale zu 4π.

„Schließen“ bezieht sich hier auf die erste Potenz der Krümmung. Die Schale S⁴ des fünfdimensionalen Raums hat eine Zahl, die sich ergibt, wenn man das Quadrat der Krümmung integriert (Satz von Gauß-Bonnet-Chern). Die erste Potenz schließt sich nur, wenn die Schale zweidimensional ist.

Jeder Raum beginnt bei 4π

Der nächste Schritt führt den Satz aus dem flachen Raum hinaus. In einem gekrümmten dreidimensionalen Raum bilden wir die Schale im Abstand r von einem Punkt und messen ihre Fläche A(r). In jedem glatten Raum nähert sich A(r)/r² für kleine r dem Wert 4π, denn im Kleinen sieht jeder Raum flach aus. Und der erste Term der Abweichung von 4π ist die Krümmung.

$$\frac{A(r)}{r^{2}}=4\pi\left(1-\frac{S}{18}\,r^{2}+\cdots\right)$$

S ist die Skalarkrümmung, die Summe der Biegung an diesem Punkt (ein anderer Buchstabe als das S der Sphären S² und S³). Das 4π des Satzes ist an jedem Punkt jedes Raums der Ausgangspunkt. Krümmung ist der Fehlbetrag dazu. In der S³ vom Radius 1 ist S = 6, und der relative Fehlbetrag beginnt als r²/3.

r	S³	flacher Raum	hyperbolischer Raum	relativer Fehlbetrag in S³	r²/3
0,25	12,306743	12,566371	12,830361	0,020660	0,020833
0,50	11,553463	12,566371	13,649105	0,080605	0,083333
1,00	8,897913	12,566371	17,355387	0,291927	0,333333

Die drei mittleren Spalten sind Schalenfläche ÷ r². Bei r = 0,01 ist Fehlbetrag ÷ r² gleich 0,333329 und nähert sich dem 1/3 der Formel.

Richtung für Richtung wird es deutlicher. Führen wir vom Mittelpunkt ein dünnes Rohr in Richtung v. Im flachen Raum mit der Dichte 1/r² ist der Inhalt des Rohrs je Längeneinheit konstant; das ist der Satz, für jede Richtung neu gesagt. Im gekrümmten Raum verengt sich das Rohr, und sein Inhalt fällt wie folgt.

$$\frac{dm}{dr\,d\Omega}=1-\frac{\mathrm{Ric}(v,v)}{6}\,r^{2}+\cdots$$

Ric(v,v) ist die Ricci-Krümmung. Die Formel steht in den Lehrbüchern. Von der Seite des Satzes aus gelesen sieht sie jedoch anders aus: Ricci-Krümmung ist die Zahl, die misst, wie stark sich das gerade Rohr von n = 2 in Richtung v verengt.

Im Raum S²×ℝ etwa, einem geraden Rohr mit sphärischem Querschnitt, verengt sich das Rohr längs der Achse nicht. Am stärksten verengt es sich in Richtung von S². Fehlbetrag ÷ r², gemessen bei r = 0,01, war 0, 0,041667, 0,125000 und 0,166666 bei Winkeln von 0°, 30°, 60° und 90° zur Achse, in sechs Stellen übereinstimmend mit Ric/6 (die Formel gibt bei 90° den Wert 0,166667).

Die Zahl der Richtungen und die Zahl der Ebenen

Der dreidimensionale Raum hat drei senkrechte Richtungen. Er hat auch drei senkrechte Ebenen: die von den Richtungen 1 und 2, von 1 und 3 und von 2 und 3 aufgespannten. Die Biegung einer Ebene (ihre Schnittkrümmung) lässt sich aus den Fehlbeträgen der Richtungen berechnen.

$$K_{12}=\frac{\mathrm{Ric}_{1}+\mathrm{Ric}_{2}-\mathrm{Ric}_{3}}{2}$$

Misst man die drei Fehlbeträge, sind alle drei Ebenen bestimmt. In der Krümmung bleibt nichts übrig, was die Fehlbeträge nicht messen können. Bewegt man die Dimension, sieht man, wie besonders das ist.

Dimension d	Richtungen	Ebenen d(d−1)/2	ganze Krümmung (Riemann)	von Fehlbeträgen gelesen (Ricci)	Rest (Weyl)
2	2	1	1	3	0
3	3	3	6	6	0
4	4	6	20	10	10
5	5	10	50	15	35

Die Zahlen zählen unabhängige Komponenten. In zwei Dimensionen ist die Krümmung eine einzige Zahl, und die drei Komponenten der Ricci-Krümmung sind alle durch sie festgelegt.

Richtungen und Ebenen sind nur in drei Dimensionen gleich viele. In zwei Dimensionen lässt sich die ganze Krümmung ebenfalls lesen, aber zwei Richtungen stehen einer Ebene gegenüber, die Zahlen stimmen nicht überein. Ab vier Dimensionen bleibt eine Weyl-Krümmung, die die Fehlbeträge nicht lesen können. Die einzige Dimension, in der die „Verengung des Rohrs aus dem Satz“ die Krümmung ohne Rest und ohne Überschuss liest, ist 3.

Experiment 3 lässt Sie dieses 3 = 3 anfassen. Es gibt eine Familie von Gestalten, in der die 3-Sphäre eine 3-Sphäre bleibt und sich die Längen dreier Richtungen getrennt ändern lassen: die linksinvarianten Metriken, deren Krümmung Milnor 1976 aufgeschrieben hat. Ändert man die Längen, bewegen sich die Fehlbeträge der Richtungen und die Biegung der Ebenen gemeinsam.

Experiment 3Drei Fehlbeträge und drei Ebenen

Ändern Sie die Längen der drei Richtungen und drücken Sie auf Fließen. Den Fluss erklärt der nächste Abschnitt.

Länge von Richtung 1

0,70

Länge von Richtung 2

1,00

Länge von Richtung 3

1,30

FließenZurück

Zeit

Größe (dritte Wurzel des Volumens)

Streuung der Fehlbeträge

Der Fluss: den Fehlbetrag einebnen

1982 schrieb Richard Hamilton eine Gleichung auf, die eine Gestalt selbst in der Zeit bewegt.

$$\frac{\partial g}{\partial t}=-2\,\mathrm{Ric}$$

g ist die Art, Längen zu messen. Die Gleichung staucht Richtungen positiver Krümmung und dehnt Richtungen negativer Krümmung. Richtungen mit größerem Fehlbetrag schrumpfen schneller, also gleichen sich die Fehlbeträge an. Das ist der Ricci-Fluss. Die Skalarkrümmung S gehorcht der folgenden Gleichung.

$$\frac{\partial S}{\partial t}=\Delta S+2\,|\mathrm{Ric}|^{2}$$

Der Δ-Term hat dieselbe Form wie in der Wärmeleitungsgleichung und glättet die Unebenheiten. Der Term 2|Ric|² erhöht die Krümmung. Einebnen und Zuspitzen stehen in derselben Gleichung.

In derselben Arbeit zeigte Hamilton, dass ein geschlossener dreidimensionaler Raum positiver Ricci-Krümmung unter diesem Fluss rund wird. Der Schlüssel der Rechnung ist, dass sich in drei Dimensionen die ganze Krümmung mit der Ricci-Krümmung schreiben lässt: das 3 = 3 von oben. Drücken Sie in Experiment 3 auf Fließen, dann sehen Sie eine kleine Ausgabe davon. Welche Anfangslängen Sie auch wählen, die Fehlbeträge gleichen sich an, selbst wenn einige negativ sind. In einer feineren gesonderten Rechnung verschwand die Gestalt mit den Anfangslängen 0,7, 1 und 1,3 zur Zeit 0,246659, und auch mit den vier anderen Anfangswerten war das Endverhältnis der Fehlbeträge in jedem Fall 1,0002 oder kleiner.

In der runden S³ fällt das Quadrat des Radius wie 1 − 4t, und die Sphäre verschwindet zur Zeit 1/4 in einem Punkt. Achten Sie hier auf die Einheit der Zeit. Gleicht man die Dimensionen beider Seiten ab, ist die Zeit des Ricci-Flusses keine Sekunde, sondern das Quadrat einer Länge (Arbeit 119). Das wird gleich wichtig.

Schwierig sind die Gestalten, deren Ricci-Krümmung nicht positiv ist. Wo es eine Taille gibt, kann sie während des Flusses abgeschnürt werden; die Krümmung divergiert, und die Gleichung bleibt stehen.

Der Hals: Die Schalenfläche fällt mit 8π

Nehmen wir den einfachsten Fall: eine dreidimensionale Gestalt mit Rotationssymmetrie um eine Achse. Ihre Querschnitte sind runde Sphären, also die Schalen des Satzes. Sei s der Abstand längs der Achse und ψ dort der Radius der Schale. Unter dem Ricci-Fluss gehorcht ψ der folgenden Gleichung (in der Form von Angenent und Knopf).

$$\psi_{t}=\psi_{ss}-\frac{1-\psi_{s}^{2}}{\psi}$$

Das ist eine unhandliche Gleichung mit einer Division. Schreibt man sie aber für die Schalenfläche A = 4πψ², verschwinden die Division und der Term ψ_s² ganz.

$$\boxed{\,A_{t}=A_{ss}-8\pi\,}$$

Die Rechnung braucht zwei Zeilen. (ψ²)_t = 2ψψ_t = 2ψψ_ss − 2 + 2ψ_s², und (ψ²)_ss = 2ψψ_ss + 2ψ_s². Die Differenz lässt nur −2 übrig. Mit 4π multipliziert ergibt das −8π.

Die Schalenfläche breitet sich wie Wärme zu den Nachbarn aus und fällt dabei mit der konstanten Rate 8π. Das −8π ist eine Konstante. Es hängt weder von der Form noch vom Ort noch von der Zeit ab.

Diese Gleichung schließt sich nur, wenn die Schale zweidimensional ist. Mit einer n-dimensionalen Sphäre als Querschnitt gehorcht u = ψ² dem Folgenden (auch symbolisch nachgerechnet).

$$u_{t}=u_{ss}-2(n-1)+2(n-2)\,\psi_{s}^{2}$$

Der zusätzliche Term verschwindet nur für n = 2, und nur für n = 2 ist die Fläche der Schale proportional zu ψ². Für n = 1 ist der Term −2(n−1) gleich 0. Der Querschnitt einer zweidimensionalen Gestalt ist ein Kreis, der keine von innen messbare Krümmung hat; nichts schnürt also den Hals ab. Deshalb werden Hälse im zweidimensionalen Ricci-Fluss nicht abgeschnürt.

Sehen wir auch auf die Einheiten. Fläche ist das Quadrat einer Länge, ebenso die Zeit des Ricci-Flusses. Fläche ÷ Zeit ist also eine reine Zahl ohne Einheit, und ihr Wert ist 8π. Eine andere Längeneinheit ändert sie nicht.

Woraus besteht 8π? Nehmen wir die Schale als Fläche heraus und lassen auf ihr den zweidimensionalen Ricci-Fluss laufen. Die Fläche fällt dann mit dieser Rate.

$$\frac{dA}{dt}=-\int 2K\,dA=-2\times 4\pi=-8\pi$$

Auch hier steht 4π. Eine Sphäre jeder Form verliert Fläche mit der Rate 8π, weil die Gesamtkrümmung der Schale 4π ist. Das −8π des Halses ist das Doppelte der Gesamtkrümmung der Schale.

Experiment 4Den Hals abschnüren und schneiden

Stellen Sie die Tiefe der Taille ein und drücken Sie auf Fließen. Wird der Hals dünn und der Fluss hält an, drücken Sie auf Chirurgie. Ihr Browser löst den Ricci-Fluss.

Tiefe der Taille a

0,80

3 Dimensionen (Schale: Sphäre)2 Dimensionen (Schale: Kreis)

Fließen / PauseChirurgieZurück

Zeit

Halsradius

Fläche

Flächenabnahme

Verhältnis zu 8π

Nie fallendes λ

Bei der dreidimensionalen Gestalt verschwindet eine flache Taille, und das Ganze wird rund; eine tiefe wird abgeschnürt. Bei dieser Taillenform liegt die Grenze nahe a = 0,66. Mit Gittern von 200 und 300 Punkten wurde a = 0,6563 jeweils rund und a = 0,6656 jeweils abgeschnürt. Die Zeiten bis zum Abschnüren oder bis zum Verschwinden nach dem Rundwerden sind die folgenden.

a	anfänglicher Halsradius	Ergebnis	Zeit
0,50	0,5000	wird rund und verschwindet	0,1742
0,65	0,3500	wird rund und verschwindet	0,1396
0,70	0,3000	der Hals wird abgeschnürt	0,1185
0,80	0,2000	der Hals wird abgeschnürt	0,0553
0,90	0,1000	der Hals wird abgeschnürt	0,0092

Die Zeit ist der Moment, in dem der Halsradius unter 0,05 fällt, oder, wenn der Hals verschwunden ist, der Gesamtradius unter 0,08. „Abgeschnürt“ heißt: Der Hals wird dünner als das 0,3-Fache der breitesten Stelle.

Bei der zweidimensionalen Gestalt wird der Hals nicht abgeschnürt, so tief die Taille auch ist. Die Flächenabnahme betrug 25,13222, 25,13227 und 25,13208 bei den Tiefen 0, 0,5 und 0,8, während 8π = 25,132741 ist. Die drei Werte stimmen bis zur dritten Dezimalstelle überein und weichen um weniger als 0,01 % von 8π ab.

Nun zur Halsschale in drei Dimensionen. Im Fluss mit a = 0,8 habe ich die Flächenabnahme der Halsschale gezählt.

Halsradius	Schalenfläche	Abnahme	Verhältnis zu 8π
0,200	0,5022	10,424	0,415
0,150	0,2833	16,372	0,651
0,100	0,1255	19,198	0,764
0,070	0,0617	20,461	0,814
0,051	0,0323	21,218	0,844
0,030	0,0111	21,991	0,875

Aus der Gleichung folgt sofort etwas. An der dünnsten Stelle des Halses ist A_ss mindestens 0, also kann A_t nicht unter −8π fallen. Die Halsschale kann nicht schneller als 8π abnehmen. Eine Schale der Fläche A braucht mindestens die Zeit A/(8π), bis sie abgeschnürt ist. Für die Halsschale ist 8π eine Höchstgeschwindigkeit. Deshalb überschreitet das Verhältnis in der Tabelle die 1 nicht.

Chirurgie: Der Schnitt ist eine Schale

Wird ein Hals abgeschnürt, bleibt die Gleichung stehen. Die Methode, die Hamilton erdachte und Perelman vollendete, ist die Chirurgie. Man schneidet den dünn gewordenen Hals durch, setzt runde Kappen auf die Schnitte und führt den Fluss fort. Der Schnitt eines dreidimensionalen Halses ist S², die Schale des Satzes. Der Raum wird entlang von Schalen geschnitten.

Der Chirurgie-Knopf von Experiment 4 schneidet, sobald der Halsradius unter 0,05 fällt. In einer gesonderten Rechnung wurde die Gestalt mit a = 0,8 zur Zeit 0,05534 geschnitten. Die beiden gedeckelten Teile hatten keinen Hals und schrumpften beide bis zur Zeit 0,10409 rund auf den Radius 0,08, mit einer Rundheit (Gesamtlänge ÷ π ÷ breiteste Stelle) von 1,0034. Über die Chirurgie hinweg ging λ von 29,259 auf 29,301, fiel also auch hier nicht.

Das ist natürlich der einfachste Fall. Der wirkliche Beweis muss zeigen, dass auch eine Gestalt ohne Rotationssymmetrie geschnitten werden kann, wo immer eine Singularität entsteht, und dass die Zahl der Schnitte in endlicher Zeit endlich ist. Möglich machte das die nächste Größe.

Perelmans Größen, die nie fallen

Um die Chirurgie fortzusetzen, muss man die Gestalt der Gebiete vorhersehen, in denen die Krümmung wächst. Hier war Hamiltons Programm steckengeblieben. In seiner Arbeit von 2002 zeigte Perelman Größen, die entlang des Flusses nie fallen.

Die eine ist λ, der kleinste Eigenwert des Operators −4Δ + S, wobei S die Skalarkrümmung ist. Sehen Sie sich das Diagramm von λ in Experiment 4 an. Wie sich die Gestalt auch ändert, die Linie fällt nie. Gesondert mit höherer Genauigkeit gemessen stieg λ im Fluss mit a = 0,8 von 6,1827 auf 29,7106, und in 167 Messungen fiel es 0-mal. Auf der runden S³ ergibt es 6,000000, in Übereinstimmung mit dem exakten Wert 6.

Die andere ist W.

$$\mathcal{W}(g,f,\tau)=\int\Bigl[\tau\bigl(S+|\nabla f|^{2}\bigr)+f-3\Bigr]\,(4\pi\tau)^{-3/2}\,e^{-f}\,dV$$

Hier ist ein 4π zu sehen. Aber es ist nicht das 4π der Schale. (4πτ)^−3/2 ist der Normierungsfaktor einer dreidimensionalen Gauß-Verteilung, der Kehrwert dreier Kopien des eindimensionalen Integrals ∫e^−x²/(4τ)dx = √(4πτ). Es ist das 4π der sich ausbreitenden Wärme. In Arbeit 07 schrieb ich, dass dieses 4π und das 4π des Raumwinkels einer Sphäre dieselbe Zahl an verschiedenen Adressen sind. Ihre Herleitungen haben nichts gemeinsam.

Auf Gestalten, die nur schrumpfen, ist W eine Konstante, und ihr Wert unterscheidet die Gestalten.

Gestalt	Wert von W	Zahl	eW
flacher ℝ³	0	0	1
runde S³	log(2√π) − 3/2	−0,234488	0,790976
Hals S²×ℝ	log 2 − 1	−0,306853	0,735759

Interessant ist der Wert des Halses. Die 2 in seinem log 2 entsteht, wenn man die Schalenfläche 4π × 2τ durch das 4πτ der Wärme teilt. Das 4π der Schale und das 4π der Wärme stehen über und unter dem Bruchstrich und heben sich auf, übrig bleibt nur 2. Hier begegnen sich die beiden Zahlen von verschiedenen Adressen. Das ist allerdings ein Aufheben von Zahlen. Es bedeutet nicht, dass die beiden dieselbe Wurzel haben.

Mit dieser Größe bewies Perelman das „lokale Nichtkollabieren“: Im Maßstab der Krümmung betrachtet verschwindet das Volumen einer kleinen Kugel nicht. Das schränkt die Gestalten ein, die man beim Vergrößern der Umgebung einer Singularität sieht. In drei Dimensionen sind die Gestalten, die nur schrumpfen, ℝ³, der Hals S²×ℝ und seine Verwandten sowie die runde S³ und ihre Verwandten. Ein Gebiet großer Krümmung sieht aus wie ein Hals, ein gedeckelter Hals oder ein Teil, das rund wird und verschwindet. Deshalb hat der Schnitt immer die Gestalt einer Schale.

Noch etwas ist hier wichtig. Dass λ und W nicht fallen, ist nicht auf drei Dimensionen beschränkt. Perelman schrieb in der Zusammenfassung seiner Arbeit, dieser monotone Ausdruck gelte „in allen Dimensionen und ohne Krümmungsannahmen“. Die nie fallende Größe weiß nichts von der 3. Auch das 4π in W bleibt 4π, wenn sich die Dimension ändert. Wo also sind die Teile, die von der 3 wissen?

Verschwinden in endlicher Zeit: wo das 4π der Schale arbeitet

Liefe der Fluss nach wiederholter Chirurgie einfach ewig weiter, folgte nichts daraus. Die Poincaré-Vermutung braucht, dass der Fluss auf einem Raum, in dem alle Schleifen sich zusammenziehen, in endlicher Zeit ganz verschwindet. Ist er verschwunden, weiß man, dass der ursprüngliche Raum aus den verschwundenen Teilen zusammengesetzt ist.

Zu diesem Schritt führen zwei Wege. Auf beiden erscheint der Satz von Gauß-Bonnet.

Der eine ist Perelmans Arbeit von 2003. Sie betrachtet die Fläche A der kleinsten Scheibe, die eine Schleife aufspannt. Der Satz von Gauß-Bonnet, auf die Scheibe angewandt, ergibt die folgende Ungleichung, wobei S_min das Minimum der Skalarkrümmung im ganzen Raum ist. Die 2π sind dieselbe Zahl wie die Gesamtkrümmung einer Halbkugel.

$$\frac{dA}{dt}\le-2\pi-\frac{1}{2}\,S_{\min}\,A$$

Der andere ist die Methode von Colding und Minicozzi, die die Schalen selbst benutzt. Man überstreicht den Raum mit zweidimensionalen Schalen wie in Experiment 1. Ein Überstreichen beginnt in einem Punkt und endet in einem Punkt. Es gibt unzählige Arten davon. Jede hat eine größte Schale; man sucht diejenige Art, bei der diese so klein wie möglich wird. Dieser Wert ist die Breite w des Raums. Unter dem Ricci-Fluss gehorcht die Breite der folgenden Ungleichung.

$$\frac{dw}{dt}\le-4\pi+\frac{3}{4\,(t+C)}\,w$$

Über das −4π auf der rechten Seite schreiben die beiden Autoren in ihrer Arbeit Folgendes.

„Das 4π in (1.6) stammt aus dem Satz von Gauß-Bonnet.“

Colding & Minicozzi, Width and finite extinction time of Ricci flow (2008), meine Übersetzung

Das ist die Gesamtkrümmung der Schale. Auf der größten Schale lautet die Flächenabnahme wie folgt. Die Schale ist eine Minimalfläche, K_Σ ihre Krümmung und |A|² die Größe ihrer zweiten Fundamentalform.

$$\frac{d}{dt}\,\mathrm{Area}(\Sigma)=-\int_{\Sigma}K_{\Sigma}\,dA-\frac{1}{2}\int_{\Sigma}\bigl(|A|^{2}+S\bigr)\,dA$$

Der erste Term ist −4π, unabhängig von der Form der Schale und des Raums, wie Experiment 2 gezeigt hat. An runden Beispielen teilt er sich so auf.

Ort	Flächenabnahme	Zahl
Äquatorschale der runden S³	−16π = −4π − 12π	−50,265482
Schale des runden Halses S²×ℝ	−8π = −4π − 4π	−25,132741

In jedem Fall steckt −4π darin. Der zweite Term kommt von der Biegung des Raums, und selbst wenn die Skalarkrümmung negativ wird, hält ihn der Term 3/(4(t+C)) w nieder. Die integrierte Ungleichung sagt, dass die Breite in endlicher Zeit negativ würde. Eine Breite kann nicht negativ sein. Also muss der Fluss vorher enden.

Wo wird die Bedingung an die Schleifen gebraucht? Die beiden Autoren schreiben: nur dabei, dass die Breite größer als 0 ist.

„Diese Positivität ist die einzige Stelle, an der die Annahme über die Topologie von M benutzt wird.“

Dieselbe Arbeit, meine Übersetzung

Auf einem Raum, in dem alle Schleifen sich zusammenziehen, lässt sich ein Überstreichen mit Schalen nicht zu einem Punkt zusammenziehen, und die Breite kann nicht 0 sein. Mehr ist die Logik dieses Schritts nicht. Die Schleifen halten die Breite positiv, das 4π der Schale trägt sie ab, und da beides nicht zugleich andauern kann, endet der Fluss in endlicher Zeit.

Teilt man eine Kugel in Schalen, liegt auf jeder Schale dasselbe 4π. Das Bild, das ich zu meinem Ausgangspunkt gemacht habe, steht fast unverändert beim letzten Anstoß einer hundertjährigen Frage. Der Raum wird von Schalen überstrichen, jede Schale trägt 4π, welche Form sie auch hat, und dieses 4π trägt die Breite ab.

Halten wir die Adressen der beiden 4π fest.

	das 4π der Schale	das 4π der Wärme
Herkunft	Gesamtkrümmung einer Sphäre (Gauß-Bonnet), Fläche einer Sphäre	das Gauß-Integral (Ausbreitung der Wärme)
Ort im Beweis	das −4π des Verschwindens in endlicher Zeit, das −8π des Halses	(4πτ)−3/2 in W
wenn sich die Dimension ändert	verschwindet bei der Schale in vier Dimensionen	bleibt 4π, der Exponent 3/2 wird d/2
Dimensionen, in denen es arbeitet	dreidimensionaler Raum mit zweidimensionalen Schalen	alle Dimensionen

Sortiert man die Teile des Beweises danach, ob sie von der 3 wissen, ergibt sich diese Tabelle. Sie wendet den Maßstab von Arbeit 114 auf die Teile des Beweises an.

Teil	Dimensionen, in denen er arbeitet
die Gleichung des Ricci-Flusses	alle Dimensionen
λ und W fallen nicht	alle Dimensionen
die ganze Krümmung lässt sich mit der Ricci-Krümmung schreiben (3 = 3)	3 (auch in 2 lesbar)
wo die Krümmung groß ist, gewinnt das Positive (Abschätzung von Hamilton und Ivey)	3
der Querschnitt des Halses ist S², und die Schalenfläche gehorcht einer geschlossenen Gleichung	3
die Gesamtkrümmung 4π der Schale trägt die Breite ab	3

Perelmans nie fallende Größen arbeiten in jeder Dimension. Dass sie eine dreidimensionale Frage lösen konnten, lag daran, dass die Teile, die von der 3 wissen, getrennt davon bereitstanden. Die letzten beiden dieser Teile kommen direkt daher, dass die Schale zweidimensional ist.

Schleifen: was am Ende die Sphäre auswählt

Nehmen wir an, der Fluss ist ganz verschwunden. Die verschwindenden Teile sind die Räume konstanter Krümmung S³/Γ und S²×S¹, und der ursprüngliche Raum ist aus ihnen zusammengesetzt. S³/Γ ist S³, durch eine endliche Gruppe Γ zusammengefaltet.

Ein Raum konstanter Krümmung sieht von jedem Punkt aus gleich aus. Von überall gemessen folgt die Schalenfläche derselben Formel 4π sin²r. Für das Auge der Schalen des Satzes ist keiner von S³ zu unterscheiden. Was also wählt S³ aus? Lassen Sie die Schale wachsen, dann sehen Sie es. In jedem Raum außer S³ trifft die Schale unterwegs auf sich selbst.

Hier kehrt Poincarés Gegenbeispiel von 1904 zurück. Nehmen Sie ein Dodekaeder und verkleben Sie gegenüberliegende Seiten mit einer Verdrehung um 36°: Das ist dieser Raum (Weber und Seifert zeigten diese Form 1933). Ebenso kann man einen Würfel mit einer Verdrehung um 90° und ein Oktaeder mit 60° verkleben. Alle haben konstante Krümmung und sind S³, ausgefüllt mit Kopien eines Körpers.

Experiment 5Der Radius, bei dem eine Schale sich selbst trifft

Wählen Sie einen Körper und weiten Sie die Schale mit dem Regler. Durch Ziehen drehen Sie den Körper.

Schalenradius r

0,250

WürfelOktaederDodekaeder

Rest der Schale

Schalenfläche

Schalenfläche in S³

Volumen des Raums

Kürzeste nicht zusammenziehbare Schleife

Kopien, die S³ füllen

Körper	Seiten	Verdrehung	Kopien, die S³ füllen	Radius, bei dem die Schale sich trifft	Radius, bei dem die Schale weg ist	Volumen	kürzeste Schleife
Würfel	6	90°	8	0,785398	60°	2,467401	1,570796
Oktaeder	8	60°	24	0,523599	45°	0,822467	1,047198
Dodekaeder	12	36°	120	0,314159	22,24°	0,164493	0,628319

Ich habe die endlichen Quaternionengruppen (der Ordnungen 8, 24 und 120) gebaut und rechnerisch bestätigt, dass sie sich als Gruppen schließen, dass ihre Gebiete nächster Punkte diese Körper sind, dass die Volumina 2π² ÷ Ordnung sind und dass die Verdrehungen die Winkel der Tabelle sind. Radien sind Abstände vom Mittelpunkt im Bogenmaß. Der „Radius, bei dem die Schale weg ist“ ist der Abstand zu einer Ecke, in Grad angegeben. Die 8 Würfel sind die Oberfläche des Tesserakts, die 24 Oktaeder die des 24-Zells und die 120 Dodekaeder die des 120-Zells.

Vergleichen Sie zwei Spalten der Tabelle. Der Radius, bei dem die Schale sich trifft, ist genau die halbe Länge der kürzesten nicht zusammenziehbaren Schleife. Eine Schale trifft sich auf der Gegenseite, wenn zwei kürzeste Wege vom Mittelpunkt sich zu einer geschlossenen Schleife verbinden. Dass eine Schale sich trifft und dass es eine nicht zusammenziehbare Schleife gibt, ist eine Tatsache, auf zwei Weisen gesagt.

In S³ trifft die Schale sich nie, bis sie sich bei r = π am Südpol schließt. Unter den Räumen konstanter Krümmung lässt allein S³ die Schale unbeschadet bis zum Ende wachsen. Der Satz von Killing (1891) und Hopf (1926) ist die Kehrseite davon: Ein geschlossener Raum konstanter Krümmung, in dem jede Schleife sich zusammenzieht, kann nur die Sphäre sein.

Damit schließt sich der Weg. Ein Raum, in dem alle Schleifen sich zusammenziehen, kann kein Teil mit einer nicht zusammenziehbaren Schleife enthalten. S²×S¹ hat eine solche Schleife, ebenso jedes S³/Γ außer S³. Das einzige verbleibende Teil ist S³, und Kopien davon ergeben zusammengesetzt S³.

Reihen wir den Weg in der Ordnung der Schalen auf. Das ist die Ordnung der Lesart, nicht die der Logik des Beweises.

1. Der Eindeutigkeitssatz für n = 2Die einzige Dichte, bei der alle Schalen gleich viel wiegen, ist 1/r², in drei Dimensionen dieselbe Formel wie die Krümmung der Schale
2. Der Satz von Gauß-BonnetDie Gesamtkrümmung einer Schale ist bei jeder Form 4π
3. Die Entwicklung kleiner SchalenJeder Raum beginnt bei 4π, und Krümmung ist der Fehlbetrag dazu
4. HamiltonDer Fluss ebnet den Fehlbetrag ein. Wegen 3 = 3 bleibt nichts uneingeebnet
5. Hals und ChirurgieDie Halsschale kann nicht schneller als 8π Fläche verlieren, und der Raum wird entlang von Schalen geschnitten
6. PerelmanDie nie fallenden Größen schränken die Gestalt der Singularitäten ein
7. Verschwinden in endlicher ZeitSchleifen halten die Breite positiv, das 4π der Schale trägt sie ab. Der Fluss endet
8. Killing und HopfDie verbleibenden Teile haben konstante Krümmung, und Schleifen wählen S³

Warum die Sphäre?

Wenn jede Schleife sich zusammenzieht, warum ist es dann die Sphäre? In der Sprache der Schalen hat die Antwort drei Stufen.

• Der Fluss trägt die Gestalt zu Räumen, in denen Schalen von jedem Punkt aus nach derselben Formel wachsen. Die Fehlbeträge lassen sich einebnen, weil sie in drei Dimensionen die ganze Krümmung sind.
• Die Gesamtkrümmung 4π der Schale lässt die Teile in endlicher Zeit verschwinden. Auf einem Raum, in dem alle Schleifen sich zusammenziehen, kann die Breite 0 nicht erreichen, also endet der Fluss.
• Unter den verbleibenden Teilen lässt allein S³ eine Schale bis zum Ende wachsen, ohne dass sie sich trifft. In einem Raum konstanter Krümmung sind „jede Schleife zieht sich zusammen“ und „die Schale trifft sich nicht“ dasselbe.

Der Satz sagt: „auf jeder Schale gleich“. S³ ist der Raum, in dem diese Schale vom Nordpol bis zum Südpol wächst, ohne sich ein einziges Mal zu treffen. So liest sich in der Sprache des Satzes, dass die Antwort auf Poincarés Frage die Sphäre ist.

Vier Dimensionen: Die Schale wird zur 3-Sphäre

Gehen wir eine Dimension höher. Die Schale des vierdimensionalen Raums ist S³. Die Antwort der dreidimensionalen Poincaré-Vermutung wird in vier Dimensionen zur Schale. Den Satz gibt es auch in vier Dimensionen: Die Dichte, bei der alle Schalen gleich viel wiegen, ist 1/r³, und das Schalengewicht ist 2π² (Arbeit 08).

Doch diese Schale schließt sich nicht. Krümmung × Fläche ist 2π²r, der Radius bleibt. Die Euler-Zahl von S³ ist 0, und es gibt gar keine Zahl, die der Gesamtkrümmung entspricht; die Euler-Zahl eines geschlossenen Raums ungerader Dimension ist immer 0. Das 4π der Schale, das den Beweis in drei Dimensionen trug, gibt es auf der Schale in vier Dimensionen nicht (die Zahl, die sich in vier Dimensionen festlegen lässt, kommt in einem späteren Abschnitt).

Dafür hat S³ eine andere Struktur, die Hopf-Faserung. Die ganze S³ lässt sich mit Kreisen füllen, die sich nicht treffen. Jeder Kreis entspricht einem Punkt einer Sphäre vom Radius 1/2. In der S³ vom Radius R ist die Fläche der Basis mal der Länge des Kreises genau das Volumen (Arbeit 08).

$$\pi R^{2}\times 2\pi R=2\pi^{2}R^{3}$$

Beim Radius 1 ist das π × 2π = 2π². Die Basisfläche ist π, nicht 4π. Beim Radius 2 sind Basis und Kreis beide 4π, und das Volumen teilt sich in 4π × 4π = 16π². Diese Übereinstimmung vergleicht aber eine Fläche mit einer Länge, also verschiebt sich der Radius, an dem sie eintritt, wenn die Längeneinheit wechselt. Fest bleibt, dass die Verdopplung des Radius das Volumen verachtfacht.

Experiment 6Die 3-Sphäre mit Kreisen füllen

Drehen Sie durch Ziehen. Bewegen Sie den Radius und wählen Sie die gezeigten Kreise und die Art des Verklebens.

Radius R

1,00

Zwei KreiseKreise über einem BreitenkreisKreise über drei Breitenkreisen

S³ wie sie istBei 1/2 verklebenBei 1/3 verklebenBei 1/5 verkleben

Basisfläche

Kreislänge

Produkt

Volumen des Raums

Je zwei Kreise sind genau einmal verschlungen. Mit dem Gauß-Integral gemessen war die Verschlingungszahl 1,000001. Diese Verschlingung trennt die Sphäre von einem bloßen Produkt. Was das Produkt der Volumina betrifft, ergibt eine andere Zerlegung von S³ dasselbe 19,739209. Das Produkt unterscheidet die Füllungen nicht, die Verschlingungszahl schon (Arbeit 1068). Auch hier trennen Schleifen, was Zahlen nicht trennten.

Teilt man jeden Kreis in p gleiche Teile und verklebt, erhält man den Linsenraum L(p,1). Sein Volumen ist 2π²/p, und die Schale trifft sich beim Radius π/p: 1,570796, 1,047198 und 0,628319 für p = 2, 3 und 5. Die Kreislänge wird 2π/p, und dieser Kreis ist eine nicht zusammenziehbare Schleife. Das Verkleben der Hopf-Faserung und die Räume aus Experiment 5 gehören zur selben Familie.

Warum nur Dimension vier offen bleibt

Die „Poincaré-Vermutung“ ist nicht eine Frage je Dimension. Es werden verschiedene Fragen, je nachdem, ob man „dasselbe wie eine Sphäre“ topologisch liest oder die Glattheit einschließt (Arbeit 1003).

Dimension	topologische Frage	glatte Frage
1, 2	klassisch	klassisch
3	Perelman (2002–2003)	Perelman (in Dimension 3 sind beide Fragen gleich)
4	Freedman (1982)	offen
5, 6	Smale und andere (1961–)	gelöst (eine Sphäre)
ab 7	Smale, Newman und andere	viele Dimensionen haben mehrere Sphären (28 in Dimension 7)

Zählt man die glatte Frage in den Dimensionen 1 bis 139, ergeben sich 8 Dimensionen mit einer Sphäre, 1 unentschiedene und 130 mit exotischen Sphären. Die unentschiedene ist Dimension 4. Ungelöst ist nicht eine hohe Dimension, sondern genau Dimension vier.

Warum vier? Ein Grund ist die Addition. Das Herz der Beweise ab fünf Dimensionen ist der Whitney-Trick, der zwei Schnittpunkte mithilfe einer zweidimensionalen Scheibe beseitigt. Da die Scheibe zweidimensional ist, trifft sie sich in Räumen ab fünf Dimensionen in allgemeiner Lage nicht selbst. In vier Dimensionen trifft sie sich genau in Punkten, weil 2 + 2 = 4 ist. Zwei zufällige Dreiecke treffen sich in ℝ⁴ mit der Häufigkeit 0,055670 und in ℝ⁵ mit der Häufigkeit 0 (Arbeit 1004). Freedman überwand diese Schwierigkeit in der topologischen Welt. In der glatten Welt zeigte Donaldson Beispiele, in denen der Trick versagt.

Von der Seite der Schale kommt eine zweite 4 in den Blick. Krümmung hat die Dimension Länge hoch −2. Integriert man also die erste Potenz der Krümmung über eine zweidimensionale Fläche, verschwindet der Maßstab: Das war das 4π von Gauß-Bonnet. Das Quadrat der Krümmung hat die Dimension Länge hoch −4, also verschwindet der Maßstab, wenn man es über vier Dimensionen integriert. Das ist das Yang-Mills-∫|F|², das Fundament von Donaldsons Theorie. Die „erste Potenz der Krümmung auf einer zweidimensionalen Schale“, die den Beweis in drei Dimensionen trug, macht in vier Dimensionen dem „Quadrat der Krümmung auf einem vierdimensionalen Raum“ Platz.

Ob das 2 + 2 der Scheibe und das 2 × 2 der Krümmung eine 4 mit einer Wurzel sind, habe ich nicht festgestellt. Es können verschiedene Wurzeln sein, die sich in einer Dimension decken. Arbeit 114, die die Objekte der vierten Dimension sortiert, und Arbeit 254 über Knoten sehen den Ort dieser Dimension aus anderen Winkeln. ℝⁿ hat nur für n = 4 mehr als eine glatte Struktur, und dann überabzählbar viele.

Auch vom Ricci-Fluss aus gesehen sind vier Dimensionen eine andere Welt. Die 10 Komponenten der Weyl-Krümmung lassen sich von den Fehlbeträgen nicht lesen. Wird der Querschnitt des Halses dreidimensional, bleibt in der obigen Gleichung der Term 2ψ_s² stehen. Und eine Gesamtkrümmung der Schale gibt es nicht. Das nie fallende W arbeitet auch in vier Dimensionen, aber die Teile, die von der 3 wussten, gehen nicht mit hinüber.

Experiment 7Die Dimension bewegen

Bewegen Sie den Regler, um die Dimension d des Raums zu ändern. Suchen Sie in jedem der drei Felder, wo sich die beiden Linien kreuzen.

Dimension d

4

Exponent des Satzes

Richtungen / Ebenen

Schalenfläche

ganze Krümmung / Ricci

Weyl-Komponenten

Potenz von r in Krümmung × Schalenfläche

Poincaré-Vermutung

Alle drei Paare kreuzen sich bei d = 3: der Exponent des Satzes d − 1 und der Krümmungsexponent 2, die Zahlen der Richtungen und Ebenen, die Schalenfläche und 4π. Trotzdem fasse ich die drei nicht zu einer Wurzel zusammen. Jedes steht aus eigenem Grund bei 3. Dinge nicht schon deshalb eine Wurzel zu nennen, weil Zahlen sich decken, ist seit Arbeit 300 meine Regel. Dass getrennte Gründe alle auf die 3 zeigen, ist allerdings selbst eine zählbare Tatsache.

Die Zahl, die sich in vier Dimensionen zuerst festlegen lässt: der Gesamtwert und der Anteil von W

Bis hierher habe ich geschrieben, dass die Schale in vier Dimensionen keine Zahl wie 4π hat. Heißt das, dass es in vier Dimensionen nichts gibt, was sich zuerst festlegen lässt? Doch, es gibt etwas. Nicht die Schale trägt diese Zahl, sondern der Raum selbst. Auf einem geschlossenen vierdimensionalen Raum ist das Integral über das Quadrat der Krümmung allein durch die Euler-Zahl χ bestimmt (die vierdimensionale Form des Satzes von Chern).

$$\int Q\,dV+\int\|W\|^{2}\,dV=8\pi^{2}\chi$$

Q wird aus der Skalarkrümmung und der spurfreien Ricci-Krümmung gebildet, W ist die Weyl-Krümmung. Auf der runden S⁴ ist W gleich 0. Multipliziert man Q = 6/r⁴ mit der Fläche 8π²r⁴/3, verschwindet der Radius, und es bleibt 16π², bei Radius 1 ebenso wie bei Radius 3. Was mit dem 4π der Schale in drei Dimensionen geschah, wiederholt sich eine Dimension höher. Dieses 16π² lese ich allerdings nicht als (4π)²: Nichts lässt hier das 4π zweimal auftreten (Arbeit 48).

Wie man die Metrik auch bewegt, der Gesamtwert bewegt sich nicht. Es bewegt sich nur die Aufteilung zwischen Q und W. Den Anteil, den W am Gesamtwert trägt, nenne ich f. Er hängt weder vom Maßstab noch von konformen Änderungen ab.

Der Satz von Chang, Gursky und Yang (2003) wird mit f kurz. Ist die Yamabe-Konstante positiv und gewinnt Q gegen W (f < 1/2), dann ist der Raum S⁴ oder RP⁴. Bei einhalb steht eine Wand. Ihren Wert bestimmt CP², wo genau f = 1/2 gilt. Umgekehrt gelesen: Gibt es eine exotische S⁴, dann trägt W bei jeder Metrik mit positiver Yamabe-Konstante mehr als die Hälfte des Gesamtwerts.

Über den Satz von Kuiper ist die glatte vierdimensionale Poincaré-Vermutung dieselbe Frage wie diese: Trägt jeder zu S⁴ homöomorphe Raum eine Metrik mit W = 0? Auf S⁴ tragen die beiden Chiralitäten von W gleich viel, also verschwindet mit der einen Hälfte auch die andere.

Ich habe diesen Anteil auf Räumen berechnet, die aus gestapelten S³-Schalen bestehen (Arbeit 1105). Mit v bezeichne ich das Verhältnis der Dicke des Hopf-Kreises zur Größe der Basis. Dann lässt sich W allein durch v schreiben, und die Größe der Schale verschwindet aus der Formel. Der Gesamtwert wird dadurch bestimmt, wie sich die Schalen schließen. Ein Ende, an dem die Schale zu einem Punkt zusammenfällt, trägt 8π², ein Ende, an dem nur die Kreise zusammenfallen und eine Fläche bleibt, trägt 16π², und ein Hals dazwischen trägt 0. S⁴ schließt sich mit zwei Punkten, daher kommt ihr 16π². In dieser Familie hat nur S⁴ keine Fläche.

Die Differenz der beiden Chiralitäten von W ist eine exakte Ableitung. Daraus folgt für jede Schale die folgende Ungleichung, wobei t die konforme Zeit ist.

$$f\ \geq\ (1-v^{2})^{2}+2\Bigl(\frac{dv}{dt}\Bigr)^{2}$$

Die am stärksten gestauchte Schale legt den Boden unter dem Anteil von W fest. Die Schale in vier Dimensionen hat keine Zahl für den Gesamtwert, aber eine Zahl für ihre Form (die Eta-Invariante), und das ist der Boden. Dieses (1−v²)² stimmt mit dem Wert, der auf anderem Weg aus den 1974 von Hitchin gefundenen Eigenwerten gezählt wurde, mit einem Verhältnis von mindestens 0,99996 überein. Der Raum, der an einer Umkehrschale genau auf dem Boden liegt, hat die Gestalt zweier Rücken an Rücken gelegter Kugeln der Pedersen-Metrik.

Experiment 8Eine Schale stauchen und den Anteil ansehen

Bewegen Sie das Verhältnis v₀ der am stärksten gestauchten Schale und die Länge L des dort eingefügten Halses.

Schalenverhältnis v₀

0,50

Halslänge L

0,0

Anteil f von W

Anteil von Q

Boden der Schale

Vorzeichen der Yamabe-Konstante

Auch jenseits der Wand ist alles die echte S⁴. f kann bei überall positiver Skalarkrümmung über 1/2 steigen, und mit einem langen Hals auch über 1 (Schalenverhältnis 0,5, Halslänge 6, f = 1,125). Die Wand sagt, dass diesseits eine Sphäre liegt; sie sagt nicht, dass jenseits keine liegt. Die Wand hat nur eine Seite. Das f einer einzelnen Metrik verrät nicht, was der Raum ist. Wenn überhaupt etwas das verrät, dann das Infimum von f auf diesem Raum.

Senkt man f, sind die Metriken, bei denen es stehen bleibt (Bach-flache Metriken), an eine Bedingung gebunden, sobald sie ein Ende haben, das sich in einem Punkt schließt: Eine Chiralität von W muss verschwinden. Auf S⁴ bleiben in dieser Familie nur die zur runden Metrik konformen Metriken stehen. Andere Metriken können nur auf Räumen stehen bleiben, deren Enden sich in einer Fläche schließen, und die Page-Metrik auf CP²#−CP² (f = 0,68155171) ist ein Beispiel. Auf S²×S² ist nach dem Satz von Gursky (1998) das f = 2/3 der Produktmetrik das Infimum.

Das ist weder ein Beweis der Vermutung noch ein Weg zu ihrer Lösung. Jeder Raum dieser Familie ist schon als S⁴, CP² oder Ähnliches bekannt, keine exotische S⁴ kommt vor. Gefunden wurde die Buchführung rund um das Problem. Der Gesamtwert steht als Zahl fest; gibt es einen Unterschied, liegt er also auf der Seite der Aufteilung.

Perelman

Grigori Perelman wurde 1966 in Leningrad geboren. Am 11. November 2002, am 10. März 2003 und am 17. Juli 2003 stellte er die Arbeiten des Beweises als Preprints auf arXiv. Eine Fußnote auf der ersten Seite der ersten Arbeit lautet so.

„Ich wurde teilweise durch persönliche Ersparnisse unterstützt, die ich während meiner Aufenthalte am Courant Institute im Herbst 1992, an der SUNY in Stony Brook im Frühjahr 1993 und als Miller Fellow an der UC Berkeley 1993–95 angesammelt habe. Ich möchte allen danken, die daran gearbeitet haben, mir diese Gelegenheiten zu ermöglichen.“

Perelman (2002), Fußnote, meine Übersetzung

Der Beweis wurde über mehrere Jahre von drei Gruppen im Einzelnen geprüft: Kleiner und Lott, Morgan und Tian, Cao und Zhu. Kleine Lücken fanden sich, und alle ließen sich mit seinen eigenen Methoden schließen.

Perelman verließ im Dezember 2005 das Steklow-Institut, lehnte 2006 die Fields-Medaille ab und 2010 den Millennium-Preis des Clay Mathematics Institute. Zu seinen Gründen soll sinngemäß gehört haben, dass Hamiltons Beitrag ebenso groß gewesen sei wie sein eigener. Hamilton starb am 29. September 2024.

Ich schätze Perelman sehr hoch. Er fand nie fallende Größen, wo niemand gesucht hatte, schloss eine hundertjährige Frage in drei Preprints, erwähnte nur in einer einzeiligen Fußnote, dass er von Ersparnissen gelebt hatte, und beendete diese Zeile mit einem Dank.

Was bekannt ist und wo meine eigene Arbeit beginnt

Was bekannt ist. Der Beweis der Poincaré-Vermutung ist Perelmans Werk. Der Ricci-Fluss ist Hamiltons Werk. Der Satz von Gauß-Bonnet, die Entwicklung kleiner Schalen (Gray 1973 und andere), Milnors Krümmungsformeln, die Gleichungen des rotationssymmetrischen Flusses, die Ungleichungen des Verschwindens in endlicher Zeit, die Werte von W, der Satz von Killing und Hopf, die Hopf-Faserung und die Ergebnisse in vier Dimensionen (einschließlich der vierdimensionalen Form des Satzes von Chern und der Ergebnisse von Kuiper, Chang–Gursky–Yang, Gursky, Hitchin, Pedersen und Page) sind alle bekannt.

Was meine Arbeiten hinzugefügt haben. Der Eindeutigkeitssatz für n = 2 und seine Familie in jeder Dimension (Arbeit 01, Arbeit 08). Das Trennen der Adressen des 4π von W und des 4π des Raumwinkels (Arbeit 07). Die Beobachtung, dass sich der Radius der Übereinstimmung bei der Hopf-Zerlegung mit der Einheit verschiebt, das Volumenverhältnis 8 aber nicht (Arbeit 08). Das Auszählen der Tabelle der Kategorien und der Selbstschnitte von Scheiben (Arbeit 1003, Arbeit 1004). Das Schreiben von W allein durch das Verhältnis v auf der Familie der S³-Schalen und das Auszählen, dass die am stärksten gestauchte Schale den Boden unter dem Anteil von W festlegt und dass die Wand nur eine Seite hat (Arbeit 1105).

Was diese Seite neu ordnet. Nichts davon steht bisher in einer Arbeit. Die Dichte des Satzes als Krümmung der Schale zu lesen. Krümmung als Fehlbetrag gegenüber 4π zu lesen und mit der gleichen Zahl von Richtungen und Ebenen zu verbinden. Die Form A_t = A_ss − 8π der Gleichung der Schalenfläche und dass der zusätzliche Term nur für n = 2 verschwindet. Dass die 2 im W des Halses aus der Division der beiden 4π stammt. Die Lesart, die das 4π des Verschwindens in endlicher Zeit mit den Schalen des Satzes verbindet. Die Tabelle, die die Teile des Beweises danach sortiert, ob sie von der 3 wissen. Die Tabelle der Radien, bei denen Schalen sich treffen. All das sind Verbindungen veröffentlichter Formeln, und ich habe nicht erschöpfend nach Literatur mit derselben Anordnung gesucht.

Was diese Seite nicht tut. Sie ist weder ein neuer Beweis noch eine Vereinfachung. Ohne den Eindeutigkeitssatz änderte sich der Beweis um keinen Buchstaben. Das 4π der Schale wirkt in der Form des Satzes von Gauß-Bonnet und wird nicht aus dem Eindeutigkeitssatz hergeleitet. Die Position von Arbeit 07, dass Ricci-Fluss und einfacher Zusammenhang die Sache antreiben, bleibt unverändert. Zur offenen Frage in vier Dimensionen habe ich nichts hinzugefügt.

Im Gesamtwerk

Die Poincaré-Vermutung ist ein Ort, zu dem meine Arbeiten immer wieder zurückkehren. Hier ist ein Vorschlag für die Lesefolge. Die Arbeiten sind unter ihren englischen Titeln genannt.

• Arbeit 01, „The Uniqueness Theorem of n = 2 for Spherically Symmetric Density Distributions“: der Schalensatz selbst.
• Arbeit 02, „The 4π Mass Cancellation Theorem“: dieselbe Tatsache von der Seite des Integrals aus geschrieben.
• Arbeit 07, „A Structural Interpretation of the 3D Poincaré Conjecture via the n=2 Uniqueness Theorem and Perelman’s Ricci Flow“: der Ort dreier Bedingungen und die beiden 4π.
• Arbeit 08, „A Structural Interpretation of the 4D Poincaré Conjecture and Exotic Structures via the n=3 Uniqueness Theorem and Hopf Fibration“: 2π² und die Hopf-Zerlegung.
• Arbeit 103, „Flowing Geometry to Canonical Form“: dynamische Eindeutigkeit.
• Arbeit 110, „Ricci Flow Is a Renormalization Group Flow“: eine Brücke zum Satz von Friedan.
• Arbeit 114, „Which Objects Know They Are in Four Dimensions?“: was eine Dimension auswählt und was nicht.
• Arbeit 119, „The Fourth Clock“: Die Zeit des Ricci-Flusses ist das Quadrat einer Länge.
• Arbeit 174, „Whose Singularity Is It?“: wie sich Hironakas Auflösung von der Chirurgie unterscheidet.
• Arbeit 254, „That Knots Come Undone in Four Dimensions Is Not One Phenomenon“.
• Arbeit 300, „The Three Hundredth Census: Whether Two Things Share a Root Is Decidable“: der Test des Separators.
• Arbeit 1003, „The Poincaré Conjecture Is a Different Question in Each Category, and Only Dimension Four Stays Open in Both PL and Smooth“.
• Arbeit 1004, „The Disk That Cancels Intersections Avoids Itself from Dimension Five Up and Meets Itself in Points Only in Dimension Four“.
• Arbeit 1068, „Even When the Volume Product Is the Same, the Linking Number of the Fibres Tells the Bundle Apart“.
• Arbeit 1092, „The ‘2’ of the Inverse-Square Density Is Two 2s, and the 2 of the Shell Mass Meets the 2 of the Horizon Balance Only in Three Dimensions“.
• Arbeit 1104, „A Circle of Radius 1000 km Drawn on the Earth Falls 25.77 km Short of 2πr, While a Circle on a Cylinder of Rolled Paper Falls Short Not at All“: die zweidimensionale Fassung des Fehlbetrags.
• Arbeit 1105, „On the Four-Sphere, Q and W Share 16π², and the Most Squashed Shell Sets a Floor under the Share of W“: die Zahl, die sich in vier Dimensionen zuerst festlegen lässt, und ihre Aufteilung.

Einen Artikel, der denselben Fehlbetrag auf der Erde misst, finden Sie unter „Ein Kreis mit dem Radius 1000 km auf der Erde ist 25,77 km zu kurz“. Der Ausgangssatz steht in „Der Eindeutigkeitssatz für n = 2“, der Gedanke der verschiedenen Wurzeln in „Was ist ein Separator?“.

Zum selben Thema gibt es ein Buch, Die Poincaré-Vermutung, mit Kugelschalen gelesen (Google Play Bücher). Das Buch hält die Formeln knapp und erklärt Dimension für Dimension die Zahlen, die eine Schale trägt. Die Lesart der Krümmung als Fehlbetrag, die Gleichung der Schalenfläche, das 4π des Verschwindens in endlicher Zeit und die Radien, bei denen Schalen sich treffen, stehen nicht im Buch. Ich habe diese Seite so geschrieben, dass sie auch für Leser des Buchs neu ist.

Fragen

Ist das ein weiterer Beweis der Poincaré-Vermutung?

Nein. Der Beweis ist Perelmans. Diese Seite liest, wo in diesem Beweis die Zahl 3 und das 4π wirken.

Sind das 4π der Schale und das 4π der Wärme wirklich verschieden?

Ja. Das 4π der Schale ist die Gesamtkrümmung einer Sphäre und kommt daher, dass die Schale zweidimensional ist. Das 4π der Wärme kommt aus dem Gauß-Integral und ist in jeder Dimension gleich. Sie sind nur dieselbe Zahl, ihre Herleitungen haben nichts gemeinsam. Dass sie im W-Wert des Halses über und unter dem Bruchstrich stehen, ist ein Aufheben von Zahlen.

Warum braucht man die Bedingung an die Schleifen?

In der Sprache der Schalen an zwei Stellen. Erstens hält sie die Breite davon ab, 0 zu erreichen, was den Fluss in endlicher Zeit enden lässt. Zweitens wählt sie S³ aus den verbleibenden Teilen konstanter Krümmung: Die Schale trifft sich nicht, weil es keine nicht zusammenziehbare Schleife gibt.

Wie sieht die 3-Sphäre aus?

Zwei Kugeln mit verklebten Oberflächen (Abbildung 2). Eine andere Ansicht ist ein mit Kreisen gefüllter Raum (Experiment 6). Beides ist dieselbe S³.

Ist die Poincaré-Vermutung in vier Dimensionen ungelöst?

Die topologische Frage löste Freedman 1982. Die glatte Frage ist, Stand 2026, ungelöst. Anders als ab Dimension 7 weiß man nicht, wie viele Sphären es in Dimension 4 gibt. Der Gesamtwert ist durch die Topologie festgelegt; gibt es einen Unterschied, liegt er also darin, wie Q und W ihn aufteilen (Gesamtwert und Anteil von W).

Wie weit kann man den Rechnungen in den Abbildungen trauen?

Die Experimente sind grobe Rechnungen auf einem Gitter von 200 Punkten, die letzten Stellen bewegen sich. Der Augenblick der Chirurgie liegt außerhalb der Gleichung des Flusses, also garantiert der Satz, dass λ nicht fällt, dort nichts. Die Zahlen in Text und Tabellen stammen aus gesonderten Rechnungen, deren Verfahren an der runden Lösung des Flusses auf 8 Stellen geprüft wurde (ein Unterschied von 8,69 × 10⁻⁹ in drei Dimensionen auf einem Gitter von 200). Die Grenze a = 0,66 ist ein Wert für diese Taillenform, keine universelle Konstante.

Arbeiten und Quellen

Alle Arbeiten sind unter CC BY 4.0 veröffentlicht. Der Nachweis von Arbeit 01 steht auf ihrer YOI-Seite.

Dies sind die wichtigsten Werke, die ich für diese Seite geprüft habe.

• Poincaré, H. (1904). Cinquième complément à l’analysis situs. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo.
• Killing, W. (1891); Hopf, H. (1926). Zum Clifford-Kleinschen Raumproblem: Räume konstanter Krümmung.
• Hopf, H. (1931). Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche.
• Weber, C. & Seifert, H. (1933). Die beiden Dodekaederräume.
• Smale, S. (1961); Freedman, M. (1982); Donaldson, S. (1983, 1987): hohe Dimensionen und vier Dimensionen.
• Kuiper, N. H. (1949). On conformally-flat spaces in the large. Annals of Mathematics.
• Chang, S.-Y. A., Gursky, M. J. & Yang, P. C. (2003). A conformally invariant sphere theorem in four dimensions. Publications Mathématiques de l’IHÉS.
• Hitchin, N. J. (1974). Harmonic spinors. Advances in Mathematics; Hitchin, N. J. (1997). Einstein metrics and the eta-invariant.
• Pedersen, H. (1986). Einstein metrics, spinning top motions and monopoles. Mathematische Annalen; Page, D. N. (1978). A compact rotating gravitational instanton. Physics Letters B.
• Gursky, M. J. (1998). The Weyl functional, de Rham cohomology, and Kähler-Einstein metrics. Annals of Mathematics.
• Gray, A. (1973). The volume of a small geodesic ball of a Riemannian manifold. Michigan Mathematical Journal 20.
• Milnor, J. (1976). Curvatures of left invariant metrics on Lie groups.
• Hamilton, R. S. (1982). Three-manifolds with positive Ricci curvature. Journal of Differential Geometry 17.
• Hamilton, R. S. (1995). The formation of singularities in the Ricci flow; Ivey, T. (1993): die Abschätzung von Hamilton und Ivey.
• Perelman, G. (2002). The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications. arXiv:math/0211159.
• Perelman, G. (2003). Ricci flow with surgery on three-manifolds. arXiv:math/0303109.
• Perelman, G. (2003). Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds. arXiv:math/0307245.
• Cao, H.-D., Hamilton, R. S. & Ilmanen, T. (2004). Gaussian densities and stability for some Ricci solitons: die Werte von W.
• Colding, T. H. & Minicozzi, W. P. (2005). Estimates for the extinction time for the Ricci flow on certain 3-manifolds and a question of Perelman. Journal of the American Mathematical Society 18.
• Colding, T. H. & Minicozzi, W. P. (2008). Width and finite extinction time of Ricci flow. Geometry & Topology 12.
• Angenent, S., Isenberg, J. & Knopf, D. (arXiv:1011.4868, arXiv:1208.4312): die Gleichungen des rotationssymmetrischen Flusses.
• Kleiner, B. & Lott, J. (2008). Notes on Perelman’s papers; Morgan, J. & Tian, G. (2007). Ricci Flow and the Poincaré Conjecture; Cao, H.-D. & Zhu, X.-P. (2006): Prüfung des Beweises.
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