Im vorigen Artikel „Ordnet man das Innere einer Kiste um, ändert sich die Schwerkraft draußen überhaupt nicht“ fand ich am interessantesten, dass es nicht nur für Kugeln gilt, sondern auch für viele andere Formen wie einen Würfel. Hüllt man etwas in eine geschlossene Haut, lassen sich von außen nur bestimmte Zahlen lesen, was auch immer innen geschieht. Ich glaube, die Dinge sind Module.
Wie klein lässt sich dann der Inhalt eines Moduls zusammenfassen, das keine Kugel ist? Bei einer Kugel ist die Schwerkraft von außen gesehen dieselbe, als läge die ganze Masse in einem einzigen Punkt in der Mitte (Newtons Schalensatz). Auf dieser Seite prüfen wir das, indem wir ein Ellipsoid innerhalb seiner konfokalen Familie (sie wird später erklärt) schrumpfen lassen. Am Ende des Weges stand eine flache Scheibe.
Die Rechnungen in diesem Artikel wurden für diese Seite neu gemacht oder stammen aus Arbeiten, die ich selbst als Preprints veröffentlicht habe; sie sind nicht begutachtet.
Das Wichtigste
- Von außen gesehen ist die Schwerkraft eines gleichmäßig gefüllten Ellipsoids dieselbe wie die einer flachen elliptischen Scheibe in seinem Inneren. Beim Ellipsoid mit den Halbachsen 3, 2, 1 ist der Kern eine Scheibe mit den Halbachsen √8 und √3, und der relative Unterschied des Feldes außen lag in der Größenordnung von 10⁻¹⁴.
- Ellipsoide, die entstehen, wenn man von den Quadraten der Halbachsen dieselbe Zahl abzieht (konfokale Ellipsoide), sind bei gleicher Masse von außen nicht zu unterscheiden. Auch die von außen lesbaren Zahlen pro Winkelmuster sind dieselben.
- Der Kern, den man erreicht, wenn man konfokal so weit wie möglich zusammendrückt, ist bei der Kugel ein Punkt, beim gestreckten Ellipsoid eine Strecke und beim Ellipsoid eine flache Scheibe. Die Dimensionen der Kerne sind 0, 1 und 2, und der Schalensatz war der kleinste Fall, in dem der Kern bis auf einen einzigen Punkt schrumpft.
- Dass die Kraft innerhalb einer Haut 0 wird, gilt nicht nur für die Kugel. Auch in der Haut eines Ellipsoids ist die Kraft innen 0, wenn ihre Dicke proportional zum Abstand vom Mittelpunkt zur Tangentialebene ist. Bei überall gleicher Dicke wird sie nicht 0. Auf einer Kugel ergeben beide Arten des Auftragens dieselbe Haut.
- Der konfokale Kern und das flache Innere des Homöoids treten auf, wenn das Feld der masselosen Laplace-Gleichung gehorcht (wenn die Kraft mit dem Quadrat des Abstands schwächer wird). Bei einer Kraft, die mit der dritten Potenz schwächer wird, und beim Yukawa-Feld, dessen Gleichung zwar zweiter Ordnung ist, das aber eine Masse hat, brechen sie zusammen. Nur die Kugel erzeugt jedoch auch im Yukawa-Feld von außen ein Feld derselben Form wie ein Punkt.
- Die Kugel ist ein Punkt
- Konfokal
- Der Kern
- Die Kraft innen
- Warum 0
- 4π verteilen
- Ohne Abstandsquadratgesetz
- Die Erde
- Module
- Separator
- Fragen
- Literatur
Von außen gesehen ist eine Kugel ein einzelner Punkt
Außerhalb einer gleichmäßigen Kugel der Masse 1 ist die Schwerkraft dieselbe wie bei einem Punkt der Masse 1 in der Mitte und wird mit dem Quadrat des Abstands schwächer. Das ist Newtons Schalensatz. Arbeit 1114 hat nachgerechnet, dass vier Dinge (ein Punkt, eine Haut, eine Kugel der Dichte 1/r² und eine gleichmäßige Kugel) außen dasselbe Feld erzeugen und sich innen unterscheiden. Bei einer Kugel ändert sich das Äußere nicht, selbst wenn man den Inhalt bis auf einen Punkt schrumpfen lässt.
Bei Formen, die keine Kugel sind, geht das nicht. Wie Arbeit 1107 gezeigt hat, lässt sich von außen eine Zahl pro Winkelmuster lesen. Neben der Gesamtmasse (Muster 0) gehen auch die Zahlen einer elliptischen Streckung (Muster 2) und noch feinerer Muster nach außen. Ein einzelner Punkt kann sie nicht alle erzeugen. Wie weit lässt sich dann schrumpfen?
Schrumpft man konfokal, ändert sich das Äußere nicht
Man quadriert die drei Halbachsen eines Ellipsoids und zieht von jedem Quadrat dieselbe Zahl λ ab. Das so entstehende Ellipsoid hat dieselben Brennpunkte wie das ursprüngliche und heißt deshalb konfokales Ellipsoid. Zieht man beim Ellipsoid mit den Halbachsen 3, 2, 1 den Wert 0,5 ab, werden die Halbachsen zu 2,9155; 1,8708; 0,7071, und es wird deutlich flacher. Füllt man trotzdem dieselbe Masse gleichmäßig hinein, beträgt der relative Unterschied des Feldes (Größe des Unterschieds ÷ Größe der Kraft) an 3 Punkten außen 6,81×10⁻¹⁵ bis 4,51×10⁻¹⁴, also die Größe des Rechenfehlers. Es ist ein Satz, den Maclaurin (1742) für Rotationsellipsoide gezeigt hat und der für allgemeine Ellipsoide unter den Namen Laplace und Ivory (1809) bekannt ist. Zum Vergleich: Gibt man einem nicht konfokalen Ellipsoid (Halbachsen 2,9155; 1,9644; 0,6734) dieselbe Masse, beträgt der Unterschied 7,24×10⁻³ bis 1,91×10⁻².
Wählen Sie eine Form und schrumpfen Sie sie mit dem Regler. Vergleichen Sie „konfokal schrumpfen“ und „nur die kurze Halbachse schrumpfen“. Auch die Richtung des äußeren Punktes lässt sich ändern.
- aktuelle Halbachsen
- Kraft im äußeren Punkt (G = 1, Masse 1)
- Unterschied zur ursprünglichen Form
- Kern dieser Form
Wir haben es auch mit den von außen lesbaren Zahlen geprüft. Ein Ellipsoid hat an den drei Koordinatenebenen gespiegelt dieselbe Form, daher sind die Zahlen der ungeraden Muster und einige weitere 0. Schreibt man für die Quadrate der Halbachsen P, Q und R, so sind von den übrigen Zahlen die zwei von Muster 2 gleich (2R−P−Q)/5 und (P−Q)/5, und auch die drei von Muster 4 sind allein durch die Unterschiede von P, Q und R bestimmt (symbolisch geprüft wurde bis Muster 4). Zieht man von allen dreien dasselbe λ ab, ändern sich die Unterschiede nicht. Weil die von außen lesbaren Zahlen dieselben sind, lassen sich die Ellipsoide von außen nicht unterscheiden. Die Füllung des Inneren ist verschieden: Der Mittelwert R/5 von z² über den Inhalt zum Beispiel ändert sich, wenn man konfokal verschiebt.
Ganz zusammengedrückt wird es zum Kern
Vergrößert man λ bis zum Quadrat der kurzen Halbachse, wird die kurze Halbachse 0, und das Ellipsoid wird zu einer flachen Scheibe. Bei den Halbachsen 3, 2, 1 ist der Kern eine elliptische Scheibe mit den Halbachsen √8 und √3 (2,828427 und 1,732051). Die Dichte ist in der Mitte hoch, wird am Rand 0 und ist proportional zu √(1−q²) (q ist der Abstand vom Mittelpunkt, mit dem Rand der Scheibe bei 1). Das ist dieselbe Form wie die Dicke, die man erhält, wenn man das ursprüngliche Ellipsoid von oben flach drückt.
Ändert man die Form, ändert sich auch der Kern.
| Form (Halbachsen) | Kern | Dimension des Kerns |
|---|---|---|
| Kugel (1, 1, 1) | Punkt im Mittelpunkt | 0 |
| gestrecktes Rotationsellipsoid (1, 1, 2) | Strecke der Länge 2√3 zwischen den zwei Brennpunkten | 1 |
| abgeplattetes Rotationsellipsoid (2, 2, 1) | runde Scheibe mit Radius √3 | 2 |
| Ellipsoid (3, 2, 1) | elliptische Scheibe mit den Halbachsen √8 und √3 | 2 |
In allen vier Fällen erzeugte der Kern an 3 Punkten außen dasselbe Feld wie die ursprüngliche Form (der relative Unterschied lag in der Größenordnung von 10⁻¹⁴; die Punkte wurden für jede Form außerhalb der ursprünglichen Form gewählt). Die Größe des Kerns ist durch die Unterschiede der Quadrate der Halbachsen bestimmt. Bei einer Kugel sind alle Unterschiede 0, also schrumpft der Kern auf einen Punkt. Der Schalensatz war der kleinste Fall dieses „Schrumpfens bis zum Kern“.
Gleich von außen heißt nicht gleich innen. Im Punkt (0; 0; 0,5) innerhalb des Ellipsoids, etwas abseits der Scheibe, war der Unterschied zwischen der Kraft des vollen Ellipsoids und der Kraft der Kernscheibe das 1,911392-Fache der Kraft des vollen Ellipsoids.
Eine Ellipsoidhaut, in der die Kraft 0 ist
In einer Kugelhaut ist die Kraft überall 0. Wie ist es bei der Haut eines Ellipsoids? Wir vergleichen zwei Arten, die Haut aufzutragen. Bei der einen ist die Dicke proportional zum Abstand p vom Mittelpunkt zur Tangentialebene; das entspricht der Schale zwischen dem ursprünglichen Ellipsoid und einem ähnlichen, nur wenig größeren Ellipsoid. Man nennt sie ein Homöoid. Bei der anderen wird die Haut überall gleich dick aufgetragen.
Bei den Halbachsen 3, 2, 1 ist p an der Spitze der langen Achse 3 und an der Spitze der kurzen Achse 1. Setzt man die Masse der Haut auf 1 und summiert die Kraft an 3 Punkten innen, erhält man beim Homöoid Werte in der Größenordnung von 10⁻¹⁵ (die Größe des Rechenfehlers) und bei der Haut mit überall gleicher Dicke 1,28×10⁻² bis 3,79×10⁻². Auf einer Kugel ist p überall gleich, also ergeben beide Arten des Auftragens dieselbe Haut. Wer nur Kugeln betrachtet, kann diesen Unterschied deshalb nicht bemerken.
Wählen Sie, wie die Haut aufgetragen wird, und ändern Sie mit dem Regler die Form von der Kugel zum Ellipsoid. Auch die Lage des inneren Punktes lässt sich ändern.
- Halbachsen
- Bereich des Abstands zur Tangentialebene
- Kraft im inneren Punkt (G = 1, Masse der Haut 1)
Warum die Kraft innen 0 wird
Innerhalb eines gleichmäßigen Ellipsoids ist die Lageenergie der Schwerkraft ein quadratischer Ausdruck in den Koordinaten (drei Terme mit x², y² und z² und eine Konstante). Bei einem Ellipsoid, dessen Halbachsen alle im selben Verhältnis vergrößert sind, sind die quadratischen Terme dieselben wie beim ursprünglichen, und nur die Konstante ändert sich. Deshalb ist in dem Hohlraum, den die Schale zwischen beiden umschließt (im Inneren des inneren Ellipsoids), die Lageenergie überall gleich, und die Kraft ist 0. Der Unterschied zwischen dem Ellipsoid mit dem 1,1-Fachen der Halbachsen und dem ursprünglichen war an allen 3 Punkten innen −4,02684457640873. Außerdem wird als Ergebnis von Dive (1931) und anderen angeführt, dass Ellipsoide die einzigen gleichmäßigen Körper sind, deren Lageenergie innen ein quadratischer Ausdruck ist (das Original wurde für diese Seite nicht gelesen).
Arbeit 156 hat die Gründe, warum das Innere einer Kugelschale flach ist, in drei zerlegt: harmonisch zu sein, die Kugelsymmetrie und dass der Wert im Mittelpunkt nicht unendlich wird. Das Homöoid ist nicht kugelsymmetrisch, und doch ist sein Inneres flach. Die Rolle der Kugelsymmetrie übernehmen hier zwei Dinge: dass die Lageenergie innen ein quadratischer Ausdruck ist, und die besondere Art, die Dicke aufzutragen.
4π auf drei Richtungen verteilen
Leitet man diesen quadratischen Ausdruck zweimal ab und addiert die drei Werte, erhält man 4π, das 4π der Gleichung der Schwerkraft ∇²Φ = 4πρ. Je nach Form wird 4π auf die drei Richtungen verteilt. Bei einer Kugel sind es je 4π/3, die Zahl, die Arbeit 1084 den „Längsanteil“ genannt hat. Arbeit 1084 hat auch nachgerechnet, dass sich dieser Anteil bei Rotationsellipsoiden mit der Form verschiebt. Bei den Halbachsen 3, 2, 1 bekommt die Richtung einer Achse umso mehr, je kürzer die Achse ist: Verteilt werden 1,964; 3,357; 7,245 (zusammen 4π).
Der Artikel „Summiert man die Punkte auf Millimeterpapier, hängt das Ergebnis von der Form ab“ (Arbeit 1097) hat nachgerechnet, dass die Summe der Felder von Dipolen auf einem Gitter bei einer Kugel 0, bei einer dünnen Nadel 4π/3 und bei einer dünnen Platte −8π/3 ist. Arbeit 1098 hat für Rotationsellipsoide nachgerechnet, dass diese drei nur aus einem Formterm stammen, der sich mit dem Depolarisationsfaktor schreiben lässt. Diese drei Werte sind 4π/3 minus den Anteil, der auf die jeweilige Richtung verteilt wird. Bei der Kugel ist es 4π/3 − 4π/3 = 0. In die lange Richtung einer dünnen Nadel wird fast nichts verteilt, also ergibt sich 4π/3; in die Richtung der Dicke einer dünnen Platte wird fast das ganze 4π verteilt, also ergibt sich 4π/3 − 4π = −8π/3. Das liegt daran, dass das Feld in einem gleichmäßig polarisierten Ellipsoid durch denselben quadratischen Ausdruck bestimmt ist. Die Kraft 0 im Homöoid und diese drei Werte stammen aus demselben quadratischen Ausdruck.
Ohne Abstandsquadratgesetz bricht es zusammen
Wir haben dieselbe Rechnung mit einer Kraft gemacht, die mit der dritten Potenz des Abstands schwächer wird. Die beiden konfokalen Ellipsoide unterscheiden sich dann an den 3 Punkten außen um 2,39×10⁻² bis 2,82×10⁻², und auch die Kraft im Homöoid ist 1,92×10⁻² bis 1,45×10⁻¹ und wird nicht 0. Auch beim Yukawa-Feld, das eine Masse hat, bricht es zusammen, obwohl seine Feldgleichung zweiter Ordnung ist. Die beiden konfokalen Ellipsoide unterscheiden sich an den 3 Punkten außen um 3,57×10⁻² bis 5,20×10⁻², die Kraft im Homöoid ist 1,35×10⁻² bis 4,27×10⁻², und selbst in einer Kugelhaut mit Radius 1 ist sie 6,80×10⁻². Arbeit 1107 hat zwei Dinge als verschiedene Wurzeln getrennt: dass für die von außen lesbaren Zahlen eine einzige Haut genügt (zweite Ordnung) und dass auf der Haut 4π bleibt (das Feld hat die Masse 0). Auch der Kern und das flache Innere brauchen mehr als nur die zweite Ordnung: Sie beruhen darauf, dass das Feld der masselosen Laplace-Gleichung gehorcht.
Eine gleichmäßige Kugel erzeugt jedoch auch im Yukawa-Feld von außen ein Feld derselben Form wie ein Punkt. Das Verhältnis der Kräfte einer gleichmäßigen Kugel mit Radius 1 und des Punktes in ihrem Mittelpunkt war an allen 3 Punkten außen gleich, 3/e = 1,103638; es änderte sich nur die Masse. Für das Schrumpfen einer Kugel auf einen Punkt gibt es also eine weitere Stütze: die Symmetrie. Um ein Ellipsoid auf eine Scheibe zu schrumpfen, braucht man die masselose Laplace-Gleichung.
Wenn die Erde ein gleichmäßiges Ellipsoid wäre
Das Ellipsoid, das die Form der Erde beschreibt (WGS84), hat den Äquatorradius 6378137 m und den Polradius 6356752,314245 m. Nimmt man die Erde einmal als gleichmäßiges Ellipsoid an, ist ihr Kern eine runde Scheibe mit Radius 521,854 km. Das ist das 0,0818192-Fache des Äquatorradius, und dieser Faktor ist genau die Exzentrizität des Ellipsoids. Die echte Erde ist zur Mitte hin dichter, und ihre Schichten sind verschieden stark abgeplattet; ihre Schwerkraft außen ist also nicht dieselbe wie die dieser Scheibe. Die Zahl zeigt nur, wie groß der Kern eines gleichmäßigen Körpers dieser Form ist.
Über die Intuition der Module
Zurück zur ersten Idee. Hüllt man etwas in eine geschlossene Haut, lässt sich von außen eine Zahl pro Winkelmuster lesen. Wie viele es sind, entscheidet die Ordnung der Feldgleichung, unabhängig von der Form (Arbeit 1107). Diesmal hat sich gezeigt, dass die Form entscheidet, wie klein sich innerhalb der konfokalen Familie der „Kern“ machen lässt, der diese Zahlen erzeugt. Bei einer Kugel lässt er sich bis zu einem Punkt schrumpfen, bei einem gestreckten Ellipsoid bis zu einer Strecke und bei einem Ellipsoid bis zu einer flachen Scheibe. Ob es mit einer nicht konfokalen Anordnung noch kleiner geht, wurde nicht geprüft.
Von außen gesehen sind das volle Ellipsoid und die flache Scheibe nicht zu unterscheiden. Damit ist aber nicht gesagt, dass die flache Scheibe den Inhalt des Körpers hervorbringt. Gesagt ist nur, dass sie sich in der von außen gesehenen Schwerkraft nicht unterscheiden lassen. Innen sind die Kräfte des vollen Ellipsoids und der Scheibe deutlich verschieden.
Der Separator: die Art, die Dicke der Haut aufzutragen, und ob konfokal oder nicht
Ein Separator sagt, was man bewegen muss, damit eine Sache zu einer anderen wird. Hier gibt es zwei Separatoren. Der eine ist die Art, die Dicke der Haut aufzutragen: Ist sie proportional zum Abstand zur Tangentialebene, wird die Kraft innen 0, bei überall gleicher Dicke nicht. Auf einer Kugel sind beide dieselbe Haut, deshalb wirkt dieser Separator auf der Kugel nicht. Der andere ist, ob zwei Ellipsoide konfokal sind: Sind sie es, lassen sie sich bei gleicher Masse von außen nicht unterscheiden, sonst unterscheiden sie sich.
Fragen
Erzeugt die flache Scheibe den räumlichen Körper?
Nein. Sie lassen sich nur in der von außen gesehenen Schwerkraft nicht unterscheiden. Die Kraft innen ist verschieden: Im Punkt (0; 0; 0,5) innerhalb des Ellipsoids war der Unterschied das 1,911392-Fache der Kraft des vollen Ellipsoids.
Hat jede Form einen Kern?
Geprüft wurden auf dieser Seite nur Ellipsoide. Kerne von Formen, die keine Ellipsoide sind, werden nicht behandelt. Auch bei einer allgemeinen Form lässt sich der Inhalt auf die Haut verlegen, ohne das Feld außen zu ändern (das Ausfegen; Arbeit 1107).
Ist das dasselbe wie die „Maclaurin-Ellipsoide“ rotierender Flüssigkeiten?
Nein. Bei den Maclaurin-Ellipsoiden geht es um die Gleichgewichtsform einer rotierenden Flüssigkeit. Der Satz auf dieser Seite, den derselbe Maclaurin gezeigt hat, handelt von der Schwerkraft außerhalb konfokaler Ellipsoide; das ist etwas anderes.
Ist es bei der Elektrizität genauso?
Ja. Wenn die Kraft umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands ist (das Feld der masselosen Laplace-Gleichung gehorcht), ist es bei der Elektrizität genauso. In der Elektrizität nennt man die Verteilung von 4π die Depolarisationsfaktoren (Arbeit 1084, Arbeit 1097).
Arbeiten und Literatur
Alle Arbeiten sind unter CC BY 4.0 veröffentlicht.
- Arbeit 1116 „A Uniform Ellipsoid Pulls from Outside Like a Flat Focal Disc, and a Sphere Pulling Like a Point Is the Case in Which That Disc Shrinks to One Point“: die Grundlage der Rechnungen auf dieser Seite.
- Arbeit 1107 „When the Field Equation Is of Second Order, the Interior Can Be Read from Outside a Closed Skin Only as One Number per Angular Pattern“: Von außen lesbar ist eine Zahl pro Winkelmuster.
- Arbeit 1114 „m = 4π Is the Mass of a Skin of Radius 1 at Density 1, and the 1/r² Ball Is That Skin Puffed Out Evenly“: Bei der Kugel sind Punkt, Haut und Kugel von außen gleich.
- Arbeit 156 „The Inside of a Shell Is Not Flat Because of the Mean Value Theorem“: die drei Gründe, warum das Innere einer Kugelschale flach ist.
- Arbeit 1084 „4π Splits into a Longitudinal 4π/3 and a Transverse 8π/3, and the 21 cm Line of Hydrogen Measures the Transverse Part“: der Anteil 4π/3.
- Arbeit 1097 „A Lattice Sum of Dipole Fields Is Decided by the Shape of the Summation: 0 for a Sphere, 4π/3 for a Thin Needle, −8π/3 for a Thin Plate“: die drei Werte, die sich mit der Form ändern.
- Arbeit 1098 „In a Lattice Sum Whose Exponent Equals the Dimension, Shape Enters as the Mean Logarithm of the Distance to the Edge“: die drei Werte kommen nur aus dem Formterm.
- Arbeit 51 „The Yamagishi Gravitational Multipole Aggregation Theory“: Das Zusammenfassen in einen Punkt ist bis zum Schalensatz erlaubt.
- Arbeit 787 „Chimborazo’s Summit, 2585.39 m Lower Than Everest’s, Is 2079.524 m Farther From Earth’s Centre“: die Zahlen des Erdellipsoids.
- Arbeit 300 „The Three Hundredth Census: Whether Two Things Share a Root Is Decidable“: gleiche Zahlen danach trennen, was sie bewegt.
- Newton, I. (1687). Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.
- Maclaurin, C. (1742). A Treatise of Fluxions.
- Ivory, J. (1809). On the attractions of homogeneous ellipsoids. Philosophical Transactions of the Royal Society of London.
- Dive, P. (1931). Attraction des ellipsoïdes homogènes et réciproques d'un théorème de Newton. Bulletin de la Société Mathématique de France.
- Osborn, J. A. (1945). Demagnetizing Factors of the General Ellipsoid. Physical Review.
- Chandrasekhar, S. (1969). Ellipsoidal Figures of Equilibrium. Yale University Press.