Nell’articolo precedente, «Riordinate l’interno di una scatola e la gravità fuori non cambia affatto», la cosa che ho trovato più interessante è che vale non solo per la sfera, ma anche per molte altre forme, come il cubo. Se si avvolge una cosa in una pelle chiusa, qualunque cosa accada dentro, da fuori si leggono solo certi numeri fissati. Penso che le cose siano fatte a moduli.
Allora, in un modulo che non ha la forma di una sfera, fino a che punto si può compattare il contenuto? Per una sfera, la gravità vista da fuori è la stessa che si avrebbe mettendo tutta la massa in un solo punto al centro (il teorema del guscio di Newton). In questa pagina lo verifico restringendo un ellissoide dentro la sua famiglia confocale (la spiego più avanti). Il punto d’arrivo è stato un disco piatto.
I calcoli di questo articolo sono stati fatti per questa pagina o vengono da lavori che ho pubblicato io stesso come preprint; non sono stati sottoposti a revisione paritaria.
In breve
- Vista da fuori, la gravità di un ellissoide dal contenuto uniforme è la stessa di un disco ellittico piatto posto al suo interno. Per un ellissoide di semiassi 3, 2, 1 il nucleo è un disco di semiassi √8 e √3, e la differenza relativa del campo fuori era dell’ordine di 10⁻¹⁴.
- Gli ellissoidi ottenuti sottraendo lo stesso numero dai quadrati dei semiassi (ellissoidi confocali) non si distinguono da fuori, a parità di massa. Anche i numeri per motivo angolare che si leggono da fuori sono gli stessi.
- Il nucleo che si ottiene schiacciando il più possibile restando confocali è un punto per una sfera, un segmento per uno sferoide prolato e un disco piatto per un ellissoide. Le dimensioni del nucleo sono 0, 1 e 2, e il teorema del guscio era il caso più piccolo, in cui il nucleo si restringe a un solo punto.
- Non è solo nella sfera che la forza dentro una pelle diventa 0. Anche in una pelle ellittica, se lo spessore è proporzionale alla distanza dal centro al piano tangente, la forza all’interno è 0. Con lo stesso spessore ovunque non è 0. Su una sfera i due modi di stendere danno la stessa pelle.
- Il nucleo confocale e l’interno piatto dell’omeoide valgono quando il campo obbedisce all’equazione di Laplace senza massa (quando la forza si indebolisce come il quadrato della distanza). Con una forza che si indebolisce come il cubo, o con il campo di Yukawa, che ha massa pur avendo un’equazione del secondo ordine, non valgono più. Solo la sfera, però, anche con il campo di Yukawa dà da fuori un campo della stessa forma di un punto.
- La sfera è un punto
- Ellissoidi confocali
- Il nucleo
- La forza interna
- Perché 0
- Distribuire 4π
- Senza l’inverso del quadrato
- La Terra
- Moduli
- Separatore
- Domande
- Riferimenti
Vista da fuori, una sfera è un solo punto
Fuori da una sfera uniforme di massa 1, la gravità è la stessa che si ha mettendo al centro un punto di massa 1, e si indebolisce come il quadrato della distanza. È il teorema del guscio di Newton. L’articolo 1114 ha contato che quattro cose, un punto, una pelle, una palla 1/r² e una palla uniforme, danno fuori lo stesso campo e si separano all’interno. Per una sfera, anche restringendo il contenuto fino a un solo punto, l’esterno non cambia.
Per le forme che non sono sfere non va così. Come ha mostrato l’articolo 1107, ciò che si legge da fuori è un numero per motivo angolare. Oltre alla massa totale (motivo 0), escono anche i numeri di un allungamento ellittico (motivo 2) e di motivi più fini. Un solo punto non può produrli tutti. Fino a dove si può restringere, allora?
Restringere restando confocali non cambia l’esterno
Si elevano al quadrato i tre semiassi di un ellissoide e si sottrae da ciascuno lo stesso numero λ. L’ellissoide che si ottiene ha gli stessi fuochi dell’ellissoide originale, e per questo si chiama ellissoide confocale. Sottraendo 0,5 dall’ellissoide di semiassi 3, 2, 1, i semiassi diventano (2,9155; 1,8708; 0,7071), e l’ellissoide è molto più piatto. Eppure, mettendoci dentro in modo uniforme la stessa massa, la differenza relativa del campo (grandezza della differenza ÷ grandezza della forza) nei 3 punti esterni andava da 6,81×10⁻¹⁵ a 4,51×10⁻¹⁴, l’ordine dell’errore di calcolo. È il teorema che Maclaurin (1742) mostrò per gli sferoidi e che, per gli ellissoidi in generale, è noto con i nomi di Laplace e Ivory (1809). Per confronto, un ellissoide non confocale (semiassi 2,9155; 1,9644; 0,6734) con la stessa massa differiva da 7,24×10⁻³ a 1,91×10⁻².
Scegliete una forma e restringetela con il cursore. Confrontate «restringere in modo confocale» e «restringere solo il semiasse corto». Si può muovere anche la direzione del punto esterno.
- semiassi attuali
- forza nel punto esterno (G = 1, massa 1)
- differenza dalla forma originale
- nucleo di questa forma
L’ho verificato anche con i numeri che si leggono da fuori. Un ellissoide ha la stessa forma se lo si riflette in uno specchio rispetto a ciascuno dei tre piani coordinati, quindi i numeri dei motivi dispari, e di altri ancora, valgono 0. Per quelli che restano, scrivendo P, Q, R per i quadrati dei semiassi, i due numeri del motivo 2 sono (2R−P−Q)/5 e (P−Q)/5, e anche i tre numeri del motivo 4 sono fissati solo dalle differenze tra P, Q e R (verificato simbolicamente fino al motivo 4). Sottraendo lo stesso λ da tutti e tre, le differenze non cambiano. I numeri che si leggono da fuori sono gli stessi, ed è per questo che da fuori non si distinguono. Il modo di riempire l’interno è diverso: per esempio la media di z² del contenuto, R/5, cambia con lo spostamento confocale.
Schiacciato al massimo, diventa il nucleo
Facendo crescere λ fino al quadrato del semiasse corto, il semiasse corto diventa 0 e l’ellissoide diventa un disco piatto. Per i semiassi 3, 2, 1, il nucleo è un disco ellittico di semiassi √8 e √3 (2,828427 e 1,732051). La densità è maggiore verso il centro, diventa 0 sul bordo ed è proporzionale a √(1−q²) (q è la distanza dal centro, posta uguale a 1 sul bordo del disco). Ha la stessa forma dello spessore che si ottiene schiacciando dall’alto l’ellissoide originale.
Cambiando la forma, cambia anche il nucleo.
| forma (semiassi) | nucleo | dimensione del nucleo |
|---|---|---|
| sfera (1, 1, 1) | il punto al centro | 0 |
| sferoide prolato (1, 1, 2) | il segmento di lunghezza 2√3 tra i due fuochi | 1 |
| sferoide oblato (2, 2, 1) | un disco rotondo di raggio √3 | 2 |
| ellissoide (3, 2, 1) | un disco ellittico di semiassi √8 e √3 | 2 |
In tutti e quattro i casi il nucleo ha dato, nei 3 punti esterni, lo stesso campo della forma originale (differenza relativa dell’ordine di 10⁻¹⁴; i punti sono stati scelti, per ogni forma, fuori dalla forma originale). La grandezza del nucleo è fissata dalle differenze tra i quadrati dei semiassi. Per una sfera le differenze sono tutte 0, quindi il nucleo si restringe a un solo punto. Il teorema del guscio era il caso più piccolo di questo «restringere fino al nucleo».
Uguali fuori, ma diversi dentro. Nel punto (0; 0; 0,5) dentro l’ellissoide, un po’ discosto dal disco, la differenza tra la forza dell’ellissoide solido e quella del disco del nucleo era 1,911392 volte la forza del solido.
La pelle ellittica in cui la forza interna è 0
Dentro una pelle sferica la forza è 0 ovunque ci si trovi. E in una pelle ellittica? Confronto due modi di stendere la pelle. Nel primo lo spessore è proporzionale alla distanza p dal centro al piano tangente; corrisponde al guscio tra l’ellissoide originale e un ellissoide simile appena più grande. Si chiama omeoide. Nel secondo lo spessore è lo stesso ovunque.
Per i semiassi 3, 2, 1, p vale 3 all’estremità dell’asse lungo e 1 all’estremità dell’asse corto. Ponendo a 1 la massa della pelle e sommandone i contributi in 3 punti interni, la forza era dell’ordine di 10⁻¹⁵ per l’omeoide (l’ordine dell’errore di calcolo) e andava da 1,28×10⁻² a 3,79×10⁻² per la pelle con lo stesso spessore ovunque. Su una sfera p è lo stesso ovunque, quindi i due modi di stendere danno la stessa pelle. Per questo, guardando solo le sfere, non ci si accorge di questa differenza.
Scegliete il modo di stendere la pelle e con il cursore cambiate la forma dalla sfera all’ellissoide. Si può muovere anche la posizione del punto interno.
- semiassi
- intervallo della distanza dal piano tangente
- forza nel punto interno (G = 1, massa della pelle 1)
Perché la forza interna diventa 0
Dentro un ellissoide uniforme, l’energia potenziale gravitazionale è un’espressione quadratica nelle coordinate (tre termini in x², y², z² e una costante). Per un ellissoide con tutti i semiassi ingranditi nella stessa proporzione, i termini di secondo grado sono gli stessi dell’originale e cambia solo la costante. Perciò nella cavità racchiusa dal guscio tra i due (dentro l’ellissoide interno) l’energia potenziale è la stessa ovunque, e la forza è 0. La differenza tra l’ellissoide con i semiassi 1,1 volte più grandi e l’ellissoide originale era −4,02684457640873 in tutti e 3 i punti interni. Inoltre, che gli ellissoidi siano gli unici corpi uniformi la cui energia potenziale interna è un’espressione quadratica viene citato come risultato di Dive (1931) e altri (in questa pagina non ho letto l’originale).
L’articolo 156 ha diviso in tre le ragioni per cui l’interno di un guscio sferico è piatto: essere armonico, la simmetria sferica e il fatto che al centro il valore non diventi infinito. L’omeoide non ha simmetria sferica, eppure il suo interno è piatto. Qui a fare le veci della simmetria sferica sono il fatto che l’energia potenziale interna sia un’espressione quadratica e il modo particolare di stendere lo spessore.
Distribuire 4π tra tre direzioni
Sommando i tre valori che si ottengono derivando due volte quell’espressione quadratica si ottiene 4π: il 4π dell’equazione della gravità ∇²Φ = 4πρ. A seconda della forma, 4π viene distribuito tra le tre direzioni. Per una sfera tocca 4π/3 a ciascuna, il numero che l’articolo 1084 ha chiamato «quota longitudinale». L’articolo 1084 ha anche contato che, per gli sferoidi, questa quota si muove con la forma. Per i semiassi 3, 2, 1 riceve di più la direzione dell’asse più corto: la distribuzione è 1,964; 3,357; 7,245 (in somma 4π).
«Sommate i punti di un foglio a quadretti e il risultato dipende dalla forma» (articolo 1097) ha contato che la somma dei campi di dipoli disposti su un reticolo vale 0 per una sfera, 4π/3 per un ago sottile e −8π/3 per una lastra sottile. L’articolo 1098 ha contato, sugli sferoidi, che questi tre valori vengono solo da un termine di forma che si scrive con il fattore di depolarizzazione. Questi tre valori sono 4π/3 meno la parte distribuita in quella direzione. Per una sfera, 4π/3 − 4π/3 = 0. Lungo la direzione lunga di un ago sottile non viene distribuito quasi nulla, quindi resta 4π/3; nella direzione dello spessore di una lastra sottile viene distribuito quasi tutto il 4π, quindi si ha 4π/3 − 4π = −8π/3. È perché il campo dentro un ellissoide polarizzato uniformemente è fissato dalla stessa espressione quadratica. La forza 0 dentro l’omeoide e questi tre valori vengono dalla stessa espressione quadratica.
Senza l’inverso del quadrato, tutto si rompe
Ho rifatto lo stesso calcolo supponendo una forza che si indebolisce come il cubo della distanza. I due ellissoidi confocali differivano nei 3 punti esterni da 2,39×10⁻² a 2,82×10⁻², e anche la forza dentro l’omeoide andava da 1,92×10⁻² a 1,45×10⁻¹, e non è 0. Anche con un’equazione del campo del secondo ordine, il campo di Yukawa, che ha massa, rompe tutto ancora una volta. I due ellissoidi confocali differivano nei 3 punti esterni da 3,57×10⁻² a 5,20×10⁻², la forza dentro l’omeoide andava da 1,35×10⁻² a 4,27×10⁻², e anche dentro una pelle sferica di raggio 1 arriva a 6,80×10⁻². L’articolo 1107 ha separato come radici distinte il fatto che per i numeri leggibili da fuori basti una sola pelle (secondo ordine) e il fatto che sulla pelle resti 4π (la massa del campo è 0). Per il nucleo e per l’interno piatto non basta il secondo ordine: poggiano sul fatto che il campo obbedisca all’equazione di Laplace senza massa.
Una palla uniforme, però, anche con il campo di Yukawa dà da fuori un campo della stessa forma di un punto. Il rapporto tra la forza di una palla uniforme di raggio 1 e quella del punto al suo centro valeva 3/e = 1,103638 in tutti e 3 i punti esterni: cambiava solo la massa. Restringere una sfera a un punto ha un sostegno in più, la simmetria. Per restringere un ellissoide a un disco serve l’equazione di Laplace senza massa.
Se la Terra fosse un ellissoide uniforme
L’ellissoide che rappresenta la forma della Terra (WGS84) ha raggio equatoriale 6378137 m e raggio polare 6356752,314245 m. Se per ipotesi la Terra fosse un ellissoide uniforme, il suo nucleo sarebbe un disco rotondo di raggio 521,854 km. Sono 0,0818192 volte il raggio equatoriale, e questo fattore è proprio l’eccentricità dell’ellissoide. La Terra vera è più densa verso il centro e i suoi strati hanno schiacciamenti diversi, quindi la sua gravità esterna non è quella di questo disco. Questo numero mostra solo quanto è grande il nucleo di un corpo uniforme di questa forma.
Sull’intuizione dei moduli
Torniamo all’idea iniziale. Avvolgendo una cosa in una pelle chiusa, da fuori si legge un numero per motivo angolare. Quanti siano lo fissa l’ordine dell’equazione del campo, qualunque sia la forma (articolo 1107). Questa volta si è visto che fino a che punto, dentro la famiglia confocale, si può rimpicciolire il «nucleo» che produce quei numeri dipende dalla forma. Per una sfera si può restringere fino a un punto, per uno sferoide prolato fino a un segmento, per un ellissoide fino a un disco piatto. Se con disposizioni non confocali si possa scendere ancora più in piccolo non l’ho verificato.
Visti da fuori, un ellissoide solido e un disco piatto non si distinguono. Questo però non vuol dire che il disco piatto generi il contenuto del solido. Vuol dire solo che con la gravità vista da fuori non si possono distinguere. Dentro, le forze del solido e del disco sono nettamente diverse.
Il separatore: il modo di stendere lo spessore della pelle, e l’essere confocali o no
Un separatore dice che cosa bisogna muovere perché una cosa diventi un’altra. Qui i separatori sono due. Il primo è il modo di stendere lo spessore della pelle: se è proporzionale alla distanza dal piano tangente la forza interna è 0, con lo stesso spessore ovunque non è 0. Su una sfera i due danno la stessa pelle, quindi su una sfera questo separatore non agisce. Il secondo è se due ellissoidi siano confocali o no: se sono confocali, a parità di massa non si distinguono da fuori; altrimenti differiscono.
Domande
È il disco piatto a formare il solido?
No. Con la gravità vista da fuori non si possono distinguere, nient’altro. La forza interna è diversa: nel punto (0; 0; 0,5) dentro l’ellissoide la differenza era 1,911392 volte la forza del solido.
Ogni forma ha un nucleo?
In questa pagina ho verificato solo gli ellissoidi. Il nucleo delle forme che non sono ellissoidi non viene trattato. Anche per una forma qualunque si può spostare il contenuto sulla pelle senza cambiare il campo esterno (il balayage; articolo 1107).
È la stessa cosa dell’«ellissoide di Maclaurin» di un fluido in rotazione?
No. L’ellissoide di Maclaurin riguarda la forma di equilibrio di un fluido in rotazione. Il teorema di questa pagina, mostrato dallo stesso Maclaurin, riguarda la gravità esterna degli ellissoidi confocali: è un’altra cosa.
Vale lo stesso per l’elettricità?
Sì. Se la forza è inversamente proporzionale al quadrato della distanza (se il campo obbedisce all’equazione di Laplace senza massa), per l’elettricità vale lo stesso. In elettricità, le quote in cui 4π viene distribuito si chiamano fattori di depolarizzazione (articoli 1084 e 1097).
Articoli e riferimenti
Tutti gli articoli sono pubblicati con licenza CC BY 4.0.
- Articolo 1116 «A Uniform Ellipsoid Pulls from Outside Like a Flat Focal Disc, and a Sphere Pulling Like a Point Is the Case in Which That Disc Shrinks to One Point»: la base dei calcoli di questa pagina.
- Articolo 1107 «When the Field Equation Is of Second Order, the Interior Can Be Read from Outside a Closed Skin Only as One Number per Angular Pattern»: da fuori si legge un numero per motivo angolare.
- Articolo 1114 «m = 4π Is the Mass of a Skin of Radius 1 at Density 1, and the 1/r² Ball Is That Skin Puffed Out Evenly»: per una sfera, punto, pelle e palla sono uguali da fuori.
- Articolo 156 «The Inside of a Shell Is Not Flat Because of the Mean Value Theorem»: le tre ragioni per cui l’interno di un guscio sferico è piatto.
- Articolo 1084 «4π Splits into a Longitudinal 4π/3 and a Transverse 8π/3, and the 21 cm Line of Hydrogen Measures the Transverse Part»: la quota di 4π/3.
- Articolo 1097 «A Lattice Sum of Dipole Fields Is Decided by the Shape of the Summation: 0 for a Sphere, 4π/3 for a Thin Needle, −8π/3 for a Thin Plate»: i tre valori che cambiano con la forma.
- Articolo 1098 «In a Lattice Sum Whose Exponent Equals the Dimension, Shape Enters as the Mean Logarithm of the Distance to the Edge»: i tre valori vengono solo dal termine di forma.
- Articolo 51 «The Yamagishi Gravitational Multipole Aggregation Theory»: l’aggregazione in un punto è ammessa fino al teorema del guscio.
- Articolo 787 «Chimborazo’s Summit, 2585.39 m Lower Than Everest’s, Is 2079.524 m Farther From Earth’s Centre»: i numeri dell’ellissoide terrestre.
- Articolo 300 «The Three Hundredth Census: Whether Two Things Share a Root Is Decidable»: separare numeri uguali secondo ciò che li fa muovere.
- Newton, I. (1687). Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.
- Maclaurin, C. (1742). A Treatise of Fluxions.
- Ivory, J. (1809). On the attractions of homogeneous ellipsoids. Philosophical Transactions of the Royal Society of London.
- Dive, P. (1931). Attraction des ellipsoïdes homogènes et réciproques d'un théorème de Newton. Bulletin de la Société Mathématique de France.
- Osborn, J. A. (1945). Demagnetizing Factors of the General Ellipsoid. Physical Review.
- Chandrasekhar, S. (1969). Ellipsoidal Figures of Equilibrium. Yale University Press.