Dans l’article précédent, « Réarrangez l’intérieur d’une boîte, la gravité à l’extérieur ne change pas du tout », ce que j’ai trouvé le plus intéressant, c’est que cela vaut non seulement pour la sphère, mais aussi pour toutes sortes de formes, comme le cube. Enveloppez une chose d’une peau fermée : quoi qu’il se passe à l’intérieur, on ne lit de l’extérieur qu’un compte fixé de nombres. Je pense que les choses sont faites de modules.
Mais alors, pour un module qui n’est pas une sphère, jusqu’où peut-on resserrer le contenu ? Pour une sphère, la gravité vue de l’extérieur est la même que si toute la masse était placée en un seul point au centre (le théorème des coquilles de Newton). Cette page le vérifie en rétrécissant un ellipsoïde à l’intérieur de sa famille confocale (expliquée plus loin). Au bout du chemin se trouvait un disque plat.
Les calculs de cet article ont été faits pour cette page ou viennent d’articles que j’ai publiés moi-même en prépublication ; ils n’ont pas été évalués par des pairs.
L’essentiel
- Vue de l’extérieur, la gravité d’un ellipsoïde au contenu uniforme est la même que celle d’un disque elliptique plat placé à l’intérieur. Pour l’ellipsoïde de demi-axes 3, 2, 1, le cœur est un disque de demi-axes √8 et √3, et l’écart relatif du champ extérieur est de l’ordre de 10⁻¹⁴.
- Des ellipsoïdes obtenus en retranchant un même nombre des carrés des demi-axes (des ellipsoïdes confocaux) ne se distinguent pas de l’extérieur quand ils ont la même masse. Les nombres par motif angulaire lisibles de l’extérieur sont eux aussi les mêmes.
- Le cœur obtenu en écrasant au maximum tout en restant confocal est un point pour une sphère, un segment pour un ellipsoïde allongé et un disque plat pour un ellipsoïde. La dimension du cœur vaut 0, 1 et 2, et le théorème des coquilles était le plus petit cas, celui où le cœur se réduit à un seul point.
- La sphère n’est pas la seule forme dont la peau annule la force à l’intérieur. Pour une peau elliptique aussi, si l’on rend l’épaisseur proportionnelle à la distance du centre au plan tangent, la force à l’intérieur est 0. Avec une épaisseur partout la même, elle n’est pas 0. Sur une sphère, les deux façons de peindre donnent la même peau.
- Le cœur confocal et l’intérieur plat de l’homéoïde valent quand le champ obéit à l’équation de Laplace sans masse (quand la force s’affaiblit comme le carré de la distance). Ils ne tiennent plus pour une force qui s’affaiblit comme le cube, ni pour le champ de Yukawa, massif bien que son équation soit du second ordre. Seule la sphère, cependant, donne encore de l’extérieur un champ de même forme que celui d’un point, même pour le champ de Yukawa.
- La sphère, un point
- Confocal
- Le cœur
- La force intérieure
- Pourquoi 0
- Partager 4π
- Sans l’inverse du carré
- La Terre
- Modules
- Séparateur
- Questions
- Références
Vue de l’extérieur, une sphère est un seul point
À l’extérieur d’une boule uniforme de masse 1, la gravité est la même que celle d’un point de masse 1 placé au centre, et elle s’affaiblit comme le carré de la distance. C’est le théorème des coquilles de Newton. L’article 1114 a montré par le calcul que quatre objets, un point, une peau, une boule en 1/r² et une boule uniforme, donnent le même champ à l’extérieur et se séparent à l’intérieur. Pour une sphère, on peut resserrer le contenu jusqu’à un seul point sans que l’extérieur change.
Pour une forme qui n’est pas une sphère, ce n’est pas si simple. Comme l’a montré l’article 1107, ce qui se lit de l’extérieur, c’est un nombre par motif angulaire. Outre la masse totale (motif 0), les nombres d’un étirement elliptique (motif 2) et de motifs plus fins sortent aussi vers l’extérieur. Un seul point ne peut pas tous les produire. Jusqu’où peut-on alors rétrécir ?
Rétrécir en restant confocal ne change pas l’extérieur
Élevez au carré les trois demi-axes d’un ellipsoïde et retranchez-en un même nombre λ. L’ellipsoïde ainsi obtenu partage ses foyers avec l’ellipsoïde d’origine ; on l’appelle donc un ellipsoïde confocal. Pour l’ellipsoïde de demi-axes 3, 2, 1, retrancher 0,5 donne les demi-axes (2,9155; 1,8708; 0,7071), et la forme devient bien plus aplatie. Pourtant, si l’on y met uniformément la même masse, l’écart relatif du champ (la taille de l’écart ÷ la taille de la force) aux 3 points extérieurs va de 6,81×10⁻¹⁵ à 4,51×10⁻¹⁴, la taille de l’erreur de calcul. C’est un théorème que Maclaurin (1742) a montré pour les ellipsoïdes de révolution et qui, pour les ellipsoïdes généraux, est connu sous les noms de Laplace et d’Ivory (1809). À titre de comparaison, un ellipsoïde non confocal (demi-axes 2,9155; 1,9644; 0,6734) de même masse différait de 7,24×10⁻³ à 1,91×10⁻².
Choisissez une forme et rétrécissez-la avec le curseur. Comparez « rétrécir en restant confocal » et « rétrécir seulement le petit demi-axe ». Vous pouvez aussi changer la direction du point extérieur.
- demi-axes actuels
- force au point extérieur (G = 1, masse 1)
- écart à la forme d’origine
- cœur de cette forme
La même chose a aussi été vérifiée sur les nombres lisibles de l’extérieur. Un ellipsoïde garde la même forme dans un miroir par rapport à chacun des trois plans de coordonnées, si bien que les nombres des motifs impairs, entre autres, valent 0. Pour ceux qui restent, en notant P, Q et R les carrés des demi-axes, les deux nombres du motif 2 sont (2R−P−Q)/5 et (P−Q)/5, et les trois nombres du motif 4 ne dépendent eux aussi que des différences entre P, Q et R (la vérification symbolique a été faite jusqu’au motif 4). Retrancher un même λ des trois ne change pas ces différences. Comme les nombres lisibles de l’extérieur sont les mêmes, on ne peut pas les distinguer de l’extérieur. La façon de remplir l’intérieur diffère : par exemple, la moyenne de z² sur le contenu, R/5, change quand on se déplace dans la famille confocale.
En l’écrasant au maximum, on obtient le cœur
Augmentez λ jusqu’au carré du petit demi-axe : le petit demi-axe devient 0 et l’ellipsoïde devient un disque plat. Pour les demi-axes 3, 2, 1, le cœur est un disque elliptique de demi-axes √8 et √3 (2,828427 et 1,732051). Sa densité est plus forte vers le milieu, tombe à 0 au bord et est proportionnelle à √(1−q²) (q est la distance au centre, le bord du disque valant 1). C’est la même forme que l’épaisseur obtenue en écrasant l’ellipsoïde d’origine par le dessus.
Changez la forme, et le cœur change aussi.
| forme (demi-axes) | cœur | dimension du cœur |
|---|---|---|
| sphère (1, 1, 1) | le point au centre | 0 |
| ellipsoïde de révolution allongé (1, 1, 2) | le segment de longueur 2√3 entre les deux foyers | 1 |
| ellipsoïde de révolution aplati (2, 2, 1) | un disque rond de rayon √3 | 2 |
| ellipsoïde (3, 2, 1) | un disque elliptique de demi-axes √8 et √3 | 2 |
Dans les quatre cas, le cœur a donné aux 3 points extérieurs le même champ que la forme d’origine (écart relatif de l’ordre de 10⁻¹⁴ ; pour chaque forme, les points ont été choisis hors de la forme d’origine). La taille du cœur est fixée par les différences entre les carrés des demi-axes. Pour une sphère, ces différences sont toutes 0, si bien que le cœur se réduit à un point. Le théorème des coquilles était le plus petit cas de ce « rétrécir jusqu’au cœur ».
Le même extérieur ne veut pas dire le même intérieur. Au point (0; 0; 0,5) dans l’ellipsoïde, un peu à l’écart du disque, la différence entre la force de l’ellipsoïde plein et celle du disque du cœur valait 1,911392 fois la force de l’ellipsoïde plein.
Une peau elliptique où la force intérieure est nulle
À l’intérieur d’une peau sphérique, la force est 0 partout. Qu’en est-il d’une peau elliptique ? Comparons deux façons de peindre la peau. Dans la première, l’épaisseur est proportionnelle à la distance p du centre au plan tangent ; cela correspond à la coquille entre l’ellipsoïde d’origine et un ellipsoïde semblable un tout petit peu plus grand. On l’appelle un homéoïde. Dans la seconde, on peint avec la même épaisseur partout.
Pour les demi-axes 3, 2, 1, p vaut 3 au bout du grand axe et 1 au bout du petit axe. Pour une peau de masse 1, la force sommée en 3 points intérieurs est de l’ordre de 10⁻¹⁵ pour l’homéoïde (la taille de l’erreur de calcul), et va de 1,28×10⁻² à 3,79×10⁻² pour la peau d’épaisseur partout la même. Sur une sphère, p est partout le même, donc les deux façons de peindre donnent la même peau. C’est pourquoi, à ne regarder que la sphère, on ne peut pas remarquer cette différence.
Choisissez la façon de peindre la peau, puis faites passer la forme de la sphère à l’ellipsoïde avec le curseur. Vous pouvez aussi déplacer le point intérieur.
- demi-axes
- étendue de la distance au plan tangent
- force au point intérieur (G = 1, masse de la peau 1)
Pourquoi la force intérieure est nulle
À l’intérieur d’un ellipsoïde uniforme, l’énergie potentielle de gravité est une expression quadratique des coordonnées (trois termes en x², y² et z², et une constante). Pour un ellipsoïde dont tous les demi-axes sont agrandis dans la même proportion, les termes quadratiques sont les mêmes qu’au départ et seule la constante change. C’est pourquoi, dans la cavité qu’entoure la coquille entre les deux (à l’intérieur de l’ellipsoïde intérieur), l’énergie potentielle est partout la même et la force est 0. La différence entre l’ellipsoïde aux demi-axes multipliés par 1,1 et l’ellipsoïde d’origine valait −4,02684457640873 en chacun des 3 points intérieurs. Et le fait que les ellipsoïdes soient les seuls corps uniformes dont l’énergie potentielle intérieure soit quadratique est cité comme un résultat de Dive (1931) et d’autres (l’original n’a pas été lu pour cette page).
L’article 156 a séparé en trois les raisons pour lesquelles l’intérieur d’une coquille sphérique est plat : être harmonique, la symétrie sphérique, et une valeur qui ne devient pas infinie au centre. L’homéoïde n’a pas la symétrie sphérique, et pourtant son intérieur est plat. Ce qui tient ici la place de la symétrie sphérique, c’est que l’énergie potentielle intérieure soit quadratique, ainsi que la façon particulière de peindre l’épaisseur.
Partager 4π entre trois directions
Dérivez deux fois cette expression quadratique et additionnez les trois valeurs : on obtient 4π. C’est le 4π de l’équation de la gravité ∇²Φ = 4πρ. Selon la forme, 4π est partagé entre trois directions. Pour une sphère, chacune reçoit 4π/3, le nombre que l’article 1084 a appelé la « part longitudinale ». L’article 1084 a aussi montré par le calcul que, pour un ellipsoïde de révolution, cette part bouge avec la forme. Pour les demi-axes 3, 2, 1, une direction reçoit d’autant plus que son axe est court : 1,964, 3,357 et 7,245 (leur somme fait 4π).
La page « Additionnez les points d’un papier quadrillé, et la réponse dépend de la forme » (article 1097) a montré par le calcul que la somme des champs de dipôles rangés sur un réseau vaut 0 pour une sphère, 4π/3 pour une aiguille fine et −8π/3 pour une plaque mince. L’article 1098 a montré par le calcul, pour les ellipsoïdes de révolution, que ces trois valeurs ne viennent que d’un terme de forme qui s’écrit avec le facteur de dépolarisation. Ces trois valeurs sont 4π/3 moins la part attribuée à cette direction. Pour une sphère, 4π/3 − 4π/3 = 0. Le long d’une aiguille fine, presque rien n’est attribué, d’où 4π/3 ; dans l’épaisseur d’une plaque mince, presque tout le 4π est attribué, d’où 4π/3 − 4π = −8π/3. C’est parce que le champ à l’intérieur d’un ellipsoïde uniformément polarisé est fixé par la même expression quadratique. La force nulle dans l’homéoïde et ces trois valeurs viennent de la même expression quadratique.
Sans l’inverse du carré, cela ne tient plus
Le même calcul a été refait avec une force qui s’affaiblit comme le cube de la distance. Les deux ellipsoïdes confocaux diffèrent alors aux 3 points extérieurs de 2,39×10⁻² à 2,82×10⁻², et la force à l’intérieur de l’homéoïde, elle aussi, va de 1,92×10⁻² à 1,45×10⁻¹ et n’est pas 0. Même avec une équation du champ du second ordre, cela ne tient pas davantage pour le champ de Yukawa, qui est massif. Les deux ellipsoïdes confocaux diffèrent aux 3 points extérieurs de 3,57×10⁻² à 5,20×10⁻², la force à l’intérieur de l’homéoïde va de 1,35×10⁻² à 4,27×10⁻², et même à l’intérieur d’une peau sphérique de rayon 1, elle vaut 6,80×10⁻². L’article 1107 a séparé en racines distinctes le fait qu’une seule peau suffise pour les nombres lisibles de l’extérieur (le second ordre) et le fait que 4π reste sur la peau (un champ sans masse). Le cœur comme l’intérieur plat ne se contentent pas du second ordre : ils reposent sur le fait que le champ obéit à l’équation de Laplace sans masse.
Une boule uniforme, pourtant, donne de l’extérieur un champ de même forme que celui d’un point, même pour le champ de Yukawa. Le rapport entre la force d’une boule uniforme de rayon 1 et celle du point placé en son centre vaut 3/e = 1,103638 en chacun des 3 points extérieurs ; seule la masse change. Rétrécir une sphère jusqu’à un point repose ainsi sur un appui de plus, la symétrie. Pour rétrécir un ellipsoïde jusqu’à un disque, il faut l’équation de Laplace sans masse.
Si la Terre était un ellipsoïde uniforme
L’ellipsoïde qui représente la forme de la Terre (WGS84) a un rayon équatorial de 6378137 m et un rayon polaire de 6356752,314245 m. Si l’on suppose que la Terre est un ellipsoïde uniforme, son cœur est un disque rond de rayon 521,854 km. C’est 0,0818192 fois le rayon équatorial, et ce facteur est l’excentricité même de l’ellipsoïde. La vraie Terre est plus dense vers son milieu et ses couches n’ont pas le même aplatissement, si bien que sa gravité extérieure n’est pas celle de ce disque. Ce nombre montre seulement la taille du cœur d’un corps uniforme de cette forme.
Sur l’intuition des modules
Revenons à l’idée de départ. Quand on enveloppait une chose d’une peau fermée, ce qui se lisait de l’extérieur était un nombre par motif angulaire. Leur compte est fixé par l’ordre de l’équation du champ, quelle que soit la forme (article 1107). Ce qui est apparu cette fois, c’est que, dans la famille confocale, jusqu’où l’on peut rendre petit le « cœur » qui produit ces nombres dépend de la forme. Une sphère se rétrécit jusqu’à un point, un ellipsoïde allongé jusqu’à un segment, un ellipsoïde jusqu’à un disque plat. Qu’une disposition non confocale permette d’aller plus petit encore n’a pas été vérifié.
Vus de l’extérieur, l’ellipsoïde plein et le disque plat ne se distinguent pas. Cela ne veut pas dire pour autant que le disque plat engendre le contenu du solide ; cela veut seulement dire qu’on ne peut pas les distinguer par la gravité vue de l’extérieur. À l’intérieur, les forces du solide et du disque diffèrent nettement.
Le séparateur : la façon de peindre l’épaisseur de la peau, et le fait d’être confocal ou non
Un séparateur dit ce qu’il faut faire bouger pour qu’une chose en devienne une autre. Ici, il y a deux séparateurs. Le premier est la façon de peindre l’épaisseur de la peau : proportionnelle à la distance au plan tangent, la force à l’intérieur est 0 ; avec une épaisseur partout la même, elle n’est pas 0. Sur une sphère, les deux donnent la même peau, si bien que ce séparateur ne joue pas sur la sphère. Le second est le fait que deux ellipsoïdes soient confocaux ou non : confocaux, à masse égale, ils ne se distinguent pas de l’extérieur ; sinon, ils diffèrent.
Questions
Est-ce le disque plat qui fait le solide ?
Non. Ils sont seulement indiscernables par la gravité vue de l’extérieur. La force à l’intérieur diffère : au point (0; 0; 0,5) dans l’ellipsoïde, la différence valait 1,911392 fois la force du solide.
Toute forme a-t-elle un cœur ?
Cette page n’a vérifié que les ellipsoïdes. Le cœur des formes qui ne sont pas des ellipsoïdes n’est pas traité. Pour une forme quelconque aussi, on peut porter le contenu sur la peau sans changer le champ extérieur (le balayage ; article 1107).
Est-ce la même chose que les « ellipsoïdes de Maclaurin » des liquides en rotation ?
Non. Les ellipsoïdes de Maclaurin concernent la forme d’équilibre d’un liquide en rotation. Le théorème de cette page, montré par le même Maclaurin, concerne la gravité extérieure des ellipsoïdes confocaux ; c’est autre chose.
Est-ce pareil pour l’électricité ?
Oui. Si la force est inversement proportionnelle au carré de la distance (si le champ obéit à l’équation de Laplace sans masse), c’est pareil pour l’électricité. En électricité, on appelle facteurs de dépolarisation la façon dont 4π est partagé (articles 1084 et 1097).
Articles et références
Tous les articles sont publiés sous licence CC BY 4.0.
- Article 1116 « A Uniform Ellipsoid Pulls from Outside Like a Flat Focal Disc, and a Sphere Pulling Like a Point Is the Case in Which That Disc Shrinks to One Point » : la base des calculs de cette page.
- Article 1107 « When the Field Equation Is of Second Order, the Interior Can Be Read from Outside a Closed Skin Only as One Number per Angular Pattern » : de l’extérieur, on lit un nombre par motif angulaire.
- Article 1114 « m = 4π Is the Mass of a Skin of Radius 1 at Density 1, and the 1/r² Ball Is That Skin Puffed Out Evenly » : pour une sphère, le point, la peau et la boule sont identiques vus de l’extérieur.
- Article 156 « The Inside of a Shell Is Not Flat Because of the Mean Value Theorem » : les trois raisons pour lesquelles l’intérieur d’une coquille sphérique est plat.
- Article 1084 « 4π Splits into a Longitudinal 4π/3 and a Transverse 8π/3, and the 21 cm Line of Hydrogen Measures the Transverse Part » : la part de 4π/3.
- Article 1097 « A Lattice Sum of Dipole Fields Is Decided by the Shape of the Summation: 0 for a Sphere, 4π/3 for a Thin Needle, −8π/3 for a Thin Plate » : trois valeurs qui changent avec la forme.
- Article 1098 « In a Lattice Sum Whose Exponent Equals the Dimension, Shape Enters as the Mean Logarithm of the Distance to the Edge » : les trois valeurs viennent seulement du terme de forme.
- Article 51 « The Yamagishi Gravitational Multipole Aggregation Theory » : l’autorisation de regrouper en un point ne va pas au-delà du théorème des coquilles.
- Article 787 « Chimborazo’s Summit, 2585.39 m Lower Than Everest’s, Is 2079.524 m Farther From Earth’s Centre » : les nombres de l’ellipsoïde terrestre.
- Article 300 « The Three Hundredth Census: Whether Two Things Share a Root Is Decidable » : séparer des nombres égaux selon ce qui les fait bouger.
- Newton, I. (1687). Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.
- Maclaurin, C. (1742). A Treatise of Fluxions.
- Ivory, J. (1809). On the attractions of homogeneous ellipsoids. Philosophical Transactions of the Royal Society of London.
- Dive, P. (1931). Attraction des ellipsoïdes homogènes et réciproques d'un théorème de Newton. Bulletin de la Société Mathématique de France.
- Osborn, J. A. (1945). Demagnetizing Factors of the General Ellipsoid. Physical Review.
- Chandrasekhar, S. (1969). Ellipsoidal Figures of Equilibrium. Yale University Press.