補題 3.1 の証明

（十分性：$\alpha = 0 \Rightarrow f$ は定数）

$\alpha = 0$ のとき、すべての $r > 0$ に対して $f(r) = r^0 = 1$。よって $f$ は定数関数（値は $1$）。

（必要性：$f$ が定数 $\Rightarrow \alpha = 0$）

対偶を示す。すなわち「$\alpha \neq 0 \Rightarrow f$ は定数でない」を証明する。

$\alpha \neq 0$ と仮定する。$r = 1$ と $r = 2$ における $f$ の値を比較する：

$f$ が定数であると仮定すると $f(1) = f(2)$、すなわち $1 = 2^\alpha$ が成り立つ必要がある。

ここで、指数関数 $g(\alpha) = 2^\alpha = e^{\alpha \ln 2}$ の性質を用いる。$\ln 2 > 0$ であるから：

• $g(0) = 2^0 = 1$
• $g'(\alpha) = 2^\alpha \ln 2 > 0 \quad (\forall\,\alpha \in \R)$

よって $g$ は $\R$ 上で狭義単調増加である。したがって $g(\alpha) = 1 = g(0)$ ならば $\alpha = 0$。

対偶により、$\alpha \neq 0$ ならば $g(\alpha) = 2^\alpha \neq 1$、すなわち $f(2) \neq f(1)$。
よって $f$ は定数ではない。

以上より、十分性と必要性の両方が示され、$f(r) = r^\alpha$ が $(0,\infty)$ 上で定数 $\iff$ $\alpha = 0$。

補題 3.2 の証明

3次元ユークリッド空間 $\R^3$ の体積要素を球座標 $(r, \theta, \varphi)$（$r \geq 0$, $0 \leq \theta \leq \pi$, $0 \leq \varphi < 2\pi$）で表すと
$$dV = r^2 \sin\theta\;\,dr\,d\theta\,d\varphi$$

球対称な被積分関数に対して角度部分を積分すると：

よって球殻の体積要素は $dV = 4\pi\,r^2\,dr$。

定理 2.1 の証明

1. 質量増加率の導出
   密度 $\rho(r) = r^{-n}$ と体積要素 $dV = 4\pi\,r^2\,dr$（補題 3.2）より、球殻質量増加率は：
   $$\frac{dm}{dr}(r) \;=\; 4\pi\,r^2\,\rho(r) \;=\; 4\pi\,r^2 \cdot r^{-n} \;=\; 4\pi\,r^{2-n}$$
2. 一様性条件の同値変換
   $\dmdr(r)$ が定数であるとは、$4\pi\,r^{2-n}$ が $r$ に依存しないことである。
   $4\pi > 0$ は正の定数であるから、これは
   $$r^{2-n} \;\text{が}\; (0,\infty) \;\text{上で定数}$$
   と同値である。
3. 補題 3.1 の適用
   $\alpha := 2 – n$ と置く。べき関数 $f(r) = r^\alpha = r^{2-n}$ に補題 3.1 を適用すると：
   $$r^{2-n} \text{ が定数} \;\iff\; \alpha = 0 \;\iff\; 2 – n = 0 \;\iff\; n = 2$$
4. 結論
   以上の Step 1–3 を合わせると：
   $$\frac{dm}{dr}(r) = 4\pi\,r^{2-n} \;\text{が定数} \;\iff\; n = 2$$
   が示された。

$n = 2$ のとき、$\dmdr = 4\pi\,r^{2-2} = 4\pi\,r^0 = 4\pi$（正の定数）。

定理 2.1 の別証

$\dmdr(r) = 4\pi\,r^{2-n}$ が $(0,\infty)$ 上で定数であるならば、その $r$ に関する微分がゼロでなければならない：

ここで $4\pi > 0$ かつ $r^{1-n} > 0$（$\forall\,r > 0$）であるから：

$$4\pi\,(2-n)\,r^{1-n} = 0 \;\iff\; 2 – n = 0 \;\iff\; n = 2$$

逆に $n = 2$ のとき、$\dmdr = 4\pi\,r^0 = 4\pi = \text{const.}$ であるから、同値性が確認される。