Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文1083 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1083 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

@misc{yamagishi2026yoi1083,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Setting m = 4π Turns h/m into ħ/2, and Its 2 Has a Different Root from the 2 of the Uncertainty Bound},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1083},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月8日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送りました。ビットコインの記録に入るまで数時間かかるため、いまの .ots は受付済みの状態です。記録に入ったら .ots だけを差し替えます（PDF は 1 バイトも変えません）。

書誌

要旨

量子力学の式には、プランク定数 h を質量 m で割った h/m がよく出てくる。本体系が使ってきた質量の選び方 m = 4π を入れると、h = 2πħ なので、h/m = ħ/2 になる。本稿は、どの式から π が消えるか、残った 2 が何であるか、そしてこの ħ/2 が不確定性の下限の ħ/2 と同じものかどうかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、h/m は一つの量である。電子について、h を質量で割った値、コンプトン波長に光の速さを掛けた値、定数表の「循環の量子」の 2 倍は、どれも $\mathbf{7.2738950934}$×10⁻⁴ m²/s で、表の値どうしの相対差は 6.566×10⁻¹² 以下だった。波長の式にも、渦の式にも、同じ一つの量が入っている。

第二に、一回りを数える式から、π が消える。m = 4π と h = 2πħ を入れると、ド・ブロイ波長は ħ/(2v)、コンプトン波長は ħ/(2c)、循環の量子は ħ/2、熱的な波長は ħ を 2kT の平方根で割ったものになる。調べた 8 本のどれにも π は残らなかった。一方、ħ が質量と向かい合う式（広がりの係数 ħ/(2m) など 5 本）には 4π が残る。

第三に、「4π と置く」とは、質量の単位をその粒の質量の 4π 分の 1 に取ることである。ルビジウム 87 の気体（数密度 10²⁰ m⁻³）の凝縮温度を、ふつうの式と、π の無い式を取り直した単位で計算した値は、どちらも $\mathbf{398.3307}$ nK だった。式の見え方が変わるだけで、測れる値は変わらない。

第四に、残った 2 は、球の表面積を円周で割った数である。質量を d 次元の単位球の表面積に取ると、h/m は ħ を「二つ下の次元の単位球の体積」で割った形になる。2 次元から順に ħ の 1 倍、1/2 倍、1/π 倍、3/(4π) 倍である。球面の上に一様に置いた点から座標を二つ落とすと、残りは二つ下の次元の球の中に一様に入る。3 次元ではアルキメデスの帯の定理で、乱数で確かめると、3 次元から 6 次元のどれも標準誤差の 1.67 倍以内で一様だった（座標を一つだけ落とす対照は 300 倍以上外れた）。

第五に、これが本稿の芯である。この ħ/2 は、不確定性の下限の ħ/2 と同じ数だが、根が別である。不確定性の下限は一つの軸についての値で、ガウス型の波束で測ると幅によらず $\mathbf{0.500000000000}$ になり、空間の次元を変えても動かない。h/m のほうは、2 次元から 6 次元で $\mathbf{1.000000}$、$\mathbf{0.500000}$、$\mathbf{0.318310}$、$\mathbf{0.238732}$、$\mathbf{0.202642}$ と動く。二つが同じ数になるのは 3 次元だけである。

第六に、数値で確かめた。ħ = 1、m = 4π の波束の広がりから出した係数 ħ/(2m) は $\mathbf{0.039788736}$ で 1/(8π)、その 4π 倍は $\mathbf{0.500000000}$ である。渦のまわりの循環は、巻き数 1、2、3 で $0.500000000$、$1.000000000$、$1.500000000$ だった。本体系の単位の取り方（ħ = 1/(4π)）では、h そのものが $\mathbf{0.500000000}$ になる。

正直に書くと、m = 4π は単位の選び方で、ħ/2 という形に物理の意味を足すものではない。h の中の 2π は位相の一回りで、球の表面積の中の 2π は円周である。論文18 は二つを別の根とした。h/m = ħ/2 は、その二つが数として打ち消し合った形である。

キーワード：プランク定数、ド・ブロイ波長、コンプトン波長、循環の量子、単位の選択、次元、不確定性

Abstract

Formulas of quantum mechanics often contain Planck’s constant h divided by a mass m.Putting in the choice of mass used throughout this corpus, m = 4π, and using h = 2πħ, gives h/m = ħ/2.This paper counts which formulas lose their π, what the remaining 2 is, and whether this ħ/2 is the same thing as the ħ/2 of the uncertainty bound.No new theorem or law is claimed.

First, h/m is a single quantity. For the electron, h divided by the mass, the Compton wavelength times the speed of light, and twice the “quantum of circulation” of the table of constants are all $\mathbf{7.2738950934}$×10⁻⁴ m²/s; the relative differences among the table values were at most 6.566×10⁻¹². The same quantity sits in the formulas for wavelengths and in the formula for vortices.

Second, π drops out of the formulas that count in full turns. With m = 4π and h = 2πħ, the de Broglie wavelength becomes ħ/(2v), the Compton wavelength ħ/(2c), the quantum of circulation ħ/2, and the thermal wavelength ħ divided by the square root of 2kT. None of the eight formulas examined keeps a π. On the other hand, formulas in which ħ faces the mass (five of them, such as the spreading coefficient ħ/(2m)) keep a 4π.

Third, “setting the mass to 4π” means taking one part in 4π of the particle’s mass as the unit of mass. For a gas of rubidium 87 at a number density of 10²⁰ m⁻³, the condensation temperature computed from the usual formula and from the formula without π in the re-chosen unit was $\mathbf{398.3307}$ nK in both cases. Only the appearance of the formula changes; no measurable value does.

Fourth, the remaining 2 is the surface area of the sphere divided by the circumference of the circle. With the mass taken as the surface area of the unit sphere in d dimensions, h/m is ħ divided by “the volume of the unit ball two dimensions lower”: 1, 1/2, 1/π, 3/(4π) times ħ from two dimensions upward. If points are placed uniformly on a sphere and two coordinates are dropped, the rest falls uniformly inside the ball two dimensions lower. In three dimensions this is Archimedes’ theorem on the zones of a sphere; checked with random points, it was uniform within 1.67 standard errors in each of three to six dimensions (the control, dropping only one coordinate, was off by more than 300 standard errors).

Fifth, and this is the core of the paper: this ħ/2 is the same number as the ħ/2 of the uncertainty bound, but it has a different root. The uncertainty bound is a statement about one axis; measured on a Gaussian wave packet it is $\mathbf{0.500000000000}$ whatever the width, and it does not move when the dimension of space is changed. The value from h/m moves: $\mathbf{1.000000}$, $\mathbf{0.500000}$, $\mathbf{0.318310}$, $\mathbf{0.238732}$, $\mathbf{0.202642}$ in two to six dimensions. The two are the same number only in three dimensions.

Sixth, numerical checks. The coefficient ħ/(2m) obtained from the spreading of a wave packet with ħ = 1 and m = 4π is $\mathbf{0.039788736}$, that is 1/(8π), and 4π times it is $\mathbf{0.500000000}$. The circulation around a vortex was $0.500000000$, $1.000000000$ and $1.500000000$ for winding numbers 1, 2 and 3. In the choice of units of this corpus with ħ = 1/(4π), h itself is $\mathbf{0.500000000}$.

To be candid, m = 4π is a choice of unit and adds no physical meaning to the form ħ/2. The 2π inside h is one turn of the phase, and the 2π inside the surface area of the sphere is the circumference of a circle. Paper 18 treated the two as different roots. h/m = ħ/2 is the form in which the two cancel as numbers.

Keywords: Planck constant, de Broglie wavelength, Compton wavelength, quantum of circulation, choice of unit, dimension, uncertainty

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1083/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1083 はいつも最新の版を指します）。

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