Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文1089 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1089 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

@misc{yamagishi2026yoi1089,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The 32, 64 and 128 That Stand Next to π Are Small Numbers from Integrals Times Powers of Two from Diameter and Wavelength},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1089},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月8日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送りました。ビットコインの記録に入るまで数時間かかるため、いまの .ots は受付済みの状態です。記録に入ったら .ots だけを差し替えます（PDF は 1 バイトも変えません）。

書誌

要旨

工学と物理の有名な式には、π のとなりに 32、64、128 という大きな整数が立つものがある。丸棒の断面二次モーメント πD⁴/64、管の流量 πD⁴Δp/(128ηL)、管の摩擦の係数 64/Re、小さな粒が光を散らす断面積の 128π⁵/3 などである。本稿は、これらを半径と波数で書き直し、整数がどこから来るかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、大きな整数は、直径で書いたために付いた 2 の冪である。丸棒の四つの式（曲げとねじりの二次モーメント、縁の応力）と管の二つの式を半径で書くと、数は 1/4、1/2、4、2、8、8 になる。直径の形の数との比は、六つの式すべてで、2 を「半径の冪」の回数だけ掛けた数だった。π の冪は動かない。

第二に、残る小さな数は積分から来て、断面の次元で動く。断面の二次モーメントの 1/4 は、断面の次元 d に 2 を足した数の逆数である（円は d = 2）。極の二次モーメントはその d 倍である。管の流量の 8 は d × (d + 2) で、二枚の板のすきま（d = 1）では $\mathbf{3.000000000}$、管（d = 2）では $\mathbf{8.000000000}$、その先は 15、24 になる。数値の積分で確かめた。

第三に、これが本稿の芯である。管の 8 は 4 × 2 で、4 は断面の形によらず、2 は円のものである。管を流れる量に粘りを掛けて圧力の勾配で割ると、どんな形の断面でも、その断面のねじりの定数の 4 分の 1 になる。流れの速さと、ねじりの応力を表す関数が、同じ式を満たすからである。円ではねじりの定数が πR⁴/2 なので、8 が出る。ねじりの定数が極の二次モーメントと同じになるのは円だけで、楕円（半軸 1.7 と 0.9）では $\mathbf{0.683973703}$ 倍、正方形では $\mathbf{0.843462090}$ 倍だった。

第四に、摩擦の係数の 64 は 8 × 2 × 4 で、断面の形で動く。8 は流量の分母、2 は動く流れの圧力の 1/2、4 は直径を二度使うことから来る。二枚の板のすきまでは $\mathbf{96.000000000}$、正方形の管では $\mathbf{56.908309}$ になる。壁の応力で係数を作る流儀では 16、レイノルズ数を半径で作れば 32 である。

第五に、レイリー散乱の 128π⁵/3 は、8π/3 に 2π の 4 乗を掛けた数である。8π/3 は、全立体角 4π のうち横の向きの割合 2/3 で（論文1084）、2π の 4 乗は、波数を波長で書いたために出る。気体の式の 8π³/3 は、これをガウス単位の 4π の二乗で割った数で、32π³/3 はその 4 倍（屈折率の近似）である。空気の減衰係数は、三つの書き方で同じ $\mathbf{1.039926}$×10⁻⁵（1 メートルあたり）を返した（論文1023 と同じ入力）。

第六に、直径は 2 を運び、波長と周の長さは 2π を運ぶ。直径で書いても π の冪は変わらない。周の長さ C で書くと、断面二次モーメントは C⁴/(64π³) になり、π が分母の三乗に回る。ばね定数 Gd⁴/(8D³n) の 8 は 32 ÷ 4 で、断面の π と線の長さの π が約分で消えたあとの数である。

正直に書くと、32、64、128 という整数そのものは、物理を運んでいない。運んでいるのは、半径と波数で書いたときに残る小さな数のほうである。ねじりと流れが同じ式を満たすことは既知で、本稿が見つけたものではない。

キーワード：断面二次モーメント、ハーゲン・ポアズイユの式、管摩擦係数、ねじり、レイリー散乱、直径と半径、波数

Abstract

Some famous formulas of engineering and physics carry a large integer, 32, 64 or 128, next to π.Examples are the second moment of area of a round bar πD⁴/64, the flow through a pipe πD⁴Δp/(128ηL), the friction factor of a pipe 64/Re, and the 128π⁵/3 in the cross-section with which a small particle scatters light.This paper rewrites them with radius and wavenumber and counts where the integers come from.No new theorem or law is claimed.

First, the large integers are powers of two that came in by writing with the diameter. Written with the radius, the four formulas of the round bar (the second moments for bending and torsion and the stresses at the rim) and the two formulas of the pipe carry the numbers 1/4, 1/2, 4, 2, 8 and 8. In all six formulas the ratio to the number of the diameter form was two multiplied by itself as many times as the power of the radius. The power of π does not move.

Second, the small numbers that remain come from integrals and move with the dimension of the cross-section. The 1/4 of the second moment of area is the reciprocal of the dimension d of the cross-section plus 2 (a circle has d = 2). The polar second moment is d times that. The 8 of the flow through a pipe is d × (d + 2): it is $\mathbf{3.000000000}$ for the gap between two plates (d = 1), $\mathbf{8.000000000}$ for the pipe (d = 2), and 15 and 24 beyond. This was confirmed by numerical integration.

Third, and this is the core of the paper, the 8 of the pipe is 4 × 2, where the 4 does not depend on the shape of the cross-section and the 2 belongs to the circle. The flow through a duct, multiplied by the viscosity and divided by the pressure gradient, is one quarter of the torsion constant of that cross-section, whatever its shape, because the speed of the flow and the function that gives the stresses in torsion satisfy the same equation. For a circle the torsion constant is πR⁴/2, so 8 appears. The torsion constant equals the polar second moment only for the circle: it was $\mathbf{0.683973703}$ times it for an ellipse (semi-axes 1.7 and 0.9) and $\mathbf{0.843462090}$ times it for a square.

Fourth, the 64 of the friction factor is 8 × 2 × 4 and moves with the shape of the cross-section. The 8 is the denominator of the flow, the 2 is the one half in the dynamic pressure, and the 4 comes from using the diameter twice. It becomes $\mathbf{96.000000000}$ for the gap between two plates and $\mathbf{56.908309}$ for a square duct. In the convention that builds the factor from the wall stress it is 16, and with a Reynolds number built on the radius it is 32.

Fifth, the 128π⁵/3 of Rayleigh scattering is 8π/3 times the fourth power of 2π. The 8π/3 is the transverse share 2/3 of the full solid angle 4π (Paper 1084), and the fourth power of 2π appears because the wavenumber is written with the wavelength. The 8π³/3 of the formula for a gas is this number divided by the square of the 4π of Gaussian units, and 32π³/3 is four times that (an approximation of the refractive index). The attenuation coefficient of air came out as the same $\mathbf{1.039926}$×10⁻⁵ per metre in three ways of writing (with the same input as Paper 1023).

Sixth, the diameter carries 2, and the wavelength and the circumference carry 2π. Writing with the diameter does not change the power of π. Written with the circumference C, the second moment of area becomes C⁴/(64π³), with π moved to the cube in the denominator. The 8 of the spring constant Gd⁴/(8D³n) is 32 ÷ 4, the number left after the π of the cross-section and the π of the length of the wire cancel.

To be honest, the integers 32, 64 and 128 themselves carry no physics. What carries it is the small numbers that remain when the formulas are written with radius and wavenumber. That torsion and flow satisfy the same equation is known and is not a finding of this paper.

Keywords: second moment of area, Hagen-Poiseuille law, friction factor, torsion, Rayleigh scattering, diameter and radius, wavenumber

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1089/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1089 はいつも最新の版を指します）。

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