Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文920 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/920 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます（2026年10月10日 16:50 に公開します）。

@misc{yamagishi2026yoi920,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {At the Faintest Audible Sound at One Kilohertz, the Air Moves Together by Less Than the Radius of a Hydrogen Atom},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/920},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

音は空気の圧力の揺れであり、同時に空気が前後に揃って動くことでもある。本稿は、音圧の基準 $20$ μPa（実効値）の音で空気が揃って動く幅と速さを、周波数と音圧を動かして数え、原子の大きさと、分子のばらばらの動き（熱）と比べる。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、千ヘルツでは、空気が揃って動く幅は水素原子の半径より小さい。$20$ ℃の空気（特性インピーダンス $413.2128$ Pa·s/m）で、$20$ μPa・$1$ kHz の変位の実効値は $7.7033\times10^{-12}$ m で、水素原子の半径（ボーア半径）の $\mathbf{0.145571}$ 倍だった（第2節）。

第二に、それは分子が一回ぶつかるまでに進む道のりの一万分の一の桁である。代表値から出した平均自由行程は $6.5673\times10^{-8}$ m で、変位はその $1.1730\times10^{-4}$ 倍だった。揃って動く速さは $4.8401\times10^{-8}$ m/s で、分子の平均の速さ $462.8687$ m/s の $1.0457\times10^{-10}$ 倍である（第2節）。

第三に、同じ音圧なら、低い音ほど大きく動く。変位は周波数に反比例し、$20$ Hz では $3.8516\times10^{-10}$ m（ボーア半径の $7.278559$ 倍）、$20$ kHz では $3.8516\times10^{-13}$ m だった。速さを積分して出した変位は、式と比 $1.000000000$ で一致した（第3節）。

第四に、音圧を百万倍にしても、動く幅は原子の大きさの百万倍にとどまる。$120$ dB（$20$ Pa）の $1$ kHz の変位は $7.7033\times10^{-6}$ m で、強さは $10^{12}$ 倍、変位は $10^{6}$ 倍だった（第3節）。

第五に、分離子は、たくさんの分子の揃った動きを見るか、分子一つの動きを見るかである。分子一つは毎秒数百メートルでばらばらに飛び、平均自由行程ごとに向きを変える。聞こえる音はその平均がわずかに揃って偏った動きで、揃った動きの幅は分子一つの道のりよりずっと小さい（第4節）。

キーワード：音圧、粒子速度、空気の変位、平均自由行程、ボーア半径、特性インピーダンス

Abstract

Sound is a fluctuation of air pressure, and it is also the air moving back and forth together.This paper counts how far and how fast the air moves together in a sound at the reference pressure of $20$ μPa (rms), varying frequency and pressure, and compares this with the size of an atom and with the random motion of molecules (heat).No new theorem or law is claimed.

First, at one kilohertz the air moves together by less than the radius of a hydrogen atom: in air at $20$ degrees Celsius (characteristic impedance $413.2128$ Pa s/m), the rms displacement at $20$ μPa and $1$ kHz is $7.7033\times10^{-12}$ m, $\mathbf{0.145571}$ times the radius of a hydrogen atom (the Bohr radius) (Section 2).

Second, that is of the order of a ten-thousandth of the path a molecule travels between collisions: the mean free path from representative values is $6.5673\times10^{-8}$ m, and the displacement is $1.1730\times10^{-4}$ times it. The shared velocity is $4.8401\times10^{-8}$ m/s, $1.0457\times10^{-10}$ times the mean molecular speed of $462.8687$ m/s (Section 2).

Third, at the same pressure, a lower sound moves the air further: displacement is inversely proportional to frequency: $3.8516\times10^{-10}$ m at $20$ Hz ($7.278559$ Bohr radii) and $3.8516\times10^{-13}$ m at $20$ kHz. Displacement found by integrating the velocity matched the formula at a ratio of $1.000000000$ (Section 3).

Fourth, raising the pressure a millionfold moves the air only a million times further: at $120$ dB ($20$ Pa) and $1$ kHz the displacement is $7.7033\times10^{-6}$ m, with intensity $10^{12}$ times and displacement $10^{6}$ times as large (Section 3).

Fifth, the separator is whether the shared motion of many molecules is looked at, or the motion of one: a single molecule flies at random at hundreds of metres per second and changes direction every mean free path. An audible sound is a slight shared bias in their average, and the extent of the shared motion is far smaller than the path of one molecule (Section 4).

Keywords: sound pressure, particle velocity, air displacement, mean free path, Bohr radius, characteristic impedance

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/920/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/920 はいつも最新の版を指します）。

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