Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

半径 c の球の体積は、3 次元で (4/3)πc³、4 次元で (π²/2)c⁴ と書ける。c に 1 を入れると $\mathbf{4.188790205}$ と $\mathbf{4.934802201}$ で、4 次元のほうが大きい。二つが同じ数になる半径は c = 8/(3π) = $\mathbf{0.848826363}$ である。本稿は、この半径が何であり、何でないかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、境の列。隣り合う次元の球の体積が同じ数になる半径（本稿では境と呼ぶ）は、1/2、2/π、3/4、8/(3π)、15/16、16/(5π) と続き、有理数と「有理数 ÷ π」が交互に並ぶ。隣どうしの積は (n+1)/(2π) である。

第二に、これが本稿の芯である。境は、体積の数が最大になる次元が移る所である。半径を決めて次元ごとの体積の数を並べると、最大になるのは「境が半径より小さい最後の次元」で、14 通りの半径で確かめた。3 次元が最大になるのは半径が 3/4 と 8/(3π) のあいだにあるときだけで、幅は $\mathbf{0.098826363}$ である。半径 1 は 15/16 と 16/(5π) のあいだにあり、「単位球の体積は 5 次元で最大になる」という古典的な事実（論文59）は、この階段の一段である。

第三に、境は単位で動く。長さの単位を 100 分の 1 にすると、二つの数が同じになる長さは、もとの単位で測って $\mathbf{0.008488264}$ になり、1000 倍にすると $\mathbf{848.826363157}$ になる。光の速さを m/s で入れると二つの数の比は $\mathbf{3.531847}$×10⁸、km/s で入れると $\mathbf{3.531847}$×10⁵ で、同じ数になるのは速さの単位を $\mathbf{353184668.870}$ m/s に取ったときである。8/(3π) は世界の側の定数ではなく、どの単位を選んだかを述べている。

第四に、動かないのは、外接する円柱との割合である。球を、一つ下の次元の球を底にして直径を高さにした円柱に入れると、球が占める割合は 2 次元から順に π/4、2/3、3π/16、8/15 で、半径にも単位にもよらない。3 次元の 2/3 はアルキメデスの割合で、4 次元ではそれが 3π/16 = $\mathbf{0.589048623}$ になる。表面の広さの割合も、体積の割合と同じである。境は、この割合の 2 倍の逆数である。

第五に、その割合の 2 倍は、ウォリスの積分である。球を一つ下の次元の球の薄切りの重ねと見ると、隣の次元との体積の比は一つの積分になる。その積分は二つ飛びの漸化式を持ち、出発点が π と 2 の二つなので、π は一つおきにしか入らない（論文115 の二本の階段）。ウォリスの積が π/2 に足りないぶんは、隣り合う境の比にちょうど等しい。

第六に、次元が式の中の数として入る連分数がある。バウアー（1872）が証明し、ラマヌジャンがハーディへの最初の手紙で伝えた連分数に x = 2n + 1 を入れると、境の二乗が (x + 1²/(2x + 3²/(2x + …)))/(4π) と書ける。n = 4 ではかっこの中が $\mathbf{9.054147873672}$ で、4π で割ると $\mathbf{0.720506194790}$ になり、8/(3π) の二乗との差は 1.110×10⁻¹⁶ だった。

正直に書くと、検算で一度落ちた。連分数を打ち切る段を、測る前に 3000 段と決めていたため、n = 1 で 10 桁に届かなかった（届くのは 1 万段）。届く段を先に測る形に直した。

キーワード：球の体積、次元、ウォリスの積分、連分数、アルキメデス、単位の選択、ラマヌジャン。

射程（何を示さないか）

新しい定理も法則も主張しない。高い次元の球の体積の式、単位球の体積が 5 次元で最大になること（Smith と Vamanamurthy 1989）、球と外接する円柱の割合 2/3（アルキメデス）、ウォリスの積分と積（Wallis 1656）、ブラウンカーの連分数、ガンマ関数の商の連分数（バウアー 1872、ラマヌジャンの第二ノートの 12 章）は、いずれも既知である。8/(3π) を世界の定数と呼ばない。単位を替えると動く数である。動かないのは円柱との割合のほうである。光の速さの由来には触れない。ここでの c は半径を表す文字で、光の速さを入れた計算は、単位で数が動くことの例として置くだけである。次元の違う体積を「等しい」とは書かない。3 次元の体積と 4 次元の体積は単位が違う。同じになるのは、単位を決めたあとの数だけである。高い次元の球が世界に在るとは言わない。式を次元について並べるだけである。連分数を証明しない。文献から借りて、数で確かめるだけである。連分数の中の数に次元を読むのは、本稿の読み方である。連分数の分母の 4π を、球の表面の 4π と同じ根だとは言わない。片方だけを動かす測り方をしていない。既刊との関係：論文59 は、単位球の体積が最大になる次元 5 が半径を 1 と置いた帰結であること、半径を変えると峰が動くことを連続の式で示し、次元の違う体積の数を比べるときの注意を名指した。ここでは同じことを整数の次元の階段として数え、段の境が「隣り合う次元の体積が同じ数になる半径」の列であることを見る。論文115 は、球面の体積の漸化式が二つ飛びで、偶数と奇数の二本の階段に分かれることを示した。ここでは、その二本が境の列に「有理数」と「有理数 ÷ π」の交互として現れ、出どころがウォリスの積分の二つの出発点であることを見る。論文12 は、球の殻を半径 c まで積んで (4/3)πc³ を、4 次元で (π²/2)c⁴ を得た。ここでは、その二つの式の数を比べる。論文45 は、面積と周の長さがそろう半径 2 が単位の選択であることを示し、論文1055 は、単位を替えると数字が動くかどうかで数を分けた。ここでは、境の半径が動く側に、円柱との割合が動かない側に入る。論文182 は、100 次元の球が外接する立方体の 1.87×10⁻⁷⁰ しか占めないことを示した。ここでは、その数が円柱との割合を次元の数だけ掛けたものであることを見る。論文31 は、ラマヌジャンの級数の π には次元が入らないことを示した。ここで借りる連分数には、次元が x = 2n + 1 として入る。論文232 は、ラマヌジャンが学んだ Carr の本を、等号の身分の側から扱った。ここでは、その本の第 2453 項から第 2456 項にある積分とウォリスの公式が、隣り合う次元の球の体積の比として読めることを見る。論文300 は、同根か別根かは判定できると示した。その基準で測っていないものについては、同根とも別根とも書かない。加えたのは、隣り合う次元の体積が同じ数になる半径の列を並べ、それが最大の次元の移る境であることを数えたこと、その境が単位で動くことを光の速さの数で示したこと、単位で動かない言い方として外接する円柱との割合を置いたこと、その割合をウォリスの積分、Carr の本、バウアーの連分数とつないだこと、測り方の誤りを記録したことである。

1. 問い

半径 $c$ の球の体積は、3 次元で $\frac{4}{3}\pi c^3$、4 次元で $\frac{\pi^2}{2}c^4$ である（論文12 が球の殻を積んで得た二つの式）。$c$ に 1 を入れると、3 次元は $4.188790205$、4 次元は $4.934802201$ で、4 次元のほうが大きく、比は $3\pi/8 = 1.178097245$ である。では、二つが同じ数になる半径はあるのか。ある。

$$\frac{4}{3}\pi c^3 = \frac{\pi^2}{2}c^4 \quad\Longleftrightarrow\quad c = \frac{8}{3\pi} = 0.848826363 .$$

この半径で、二つの体積の数はどちらも $2.561799804$ になる。半径を 1 パーセントずらすと、二つの数は $0.026394$ だけ離れる。

この一致は何を言っているのか。先に断っておくと、3 次元の体積と 4 次元の体積は単位が違う（長さの 3 乗と 4 乗）ので、同じになると言えるのは、単位を決めたあとの数だけである（論文59 が名指した注意）。本稿はこの一致を「等しい」と書かず、「同じ数になる」と書く。そのうえで、この半径が何の境になっているか、単位を替えるとどう動くか、単位を替えても動かない言い方は何かを、順に数える。

2. 体積の式と確かめ

半径 1 の $n$ 次元の球の体積を $V_n$ と書く。半径 $R$ なら、体積は $V_nR^n$ である。

$$V_n = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2+1)},\qquad V_n = \frac{2\pi}{n}V_{n-2},\qquad V_0 = 1,\quad V_1 = 2 .$$

0 次元の球は一点で、その体積は 1 と数える。1 次元の球は長さ 2 の線分である。

式は三通りで確かめた。二つ飛びの漸化式を分数のまま進めた値と、ガンマ関数の式は、0 次元から 8 次元まで差の最大 $8.882\times10^{-16}$ で一致した。式を使わない道として、一辺 2 の立方体に乱数の点をまき、球に入る割合から体積を数えた（20 万点を 20 回）。

2 次元から 6 次元まで、式との隔たりは標準誤差の 0.78 倍以内だった。

3. 同じ数になる半径の列

$n-1$ 次元と $n$ 次元の体積が同じ数になる半径を $R^*_n$ と書き、本稿では境と呼ぶ。

$$V_{n-1}R^{n-1} = V_nR^n \quad\Longleftrightarrow\quad R = R^*_n = \frac{V_{n-1}}{V_n} .$$

問いの $8/(3\pi)$ は $R^*_4$ である。ほかの次元でも同じ計算をすると、次の列になる。

三つのことが見える。一つ目に、$n$ が奇数の境は有理数で、偶数の境は有理数を $\pi$ で割った数である（理由は第7節）。二つ目に、隣どうしの積は

$$R^*_nR^*_{n+1} = \frac{V_{n-1}}{V_{n+1}} = \frac{n+1}{2\pi}$$

で、二つ飛びの漸化式そのものである（$n=1$ から 11 まで分数のまま確かめた）。たとえば $3/4$ と $8/(3\pi)$ の積は $2/\pi$ である。三つ目に、境は次元とともに大きくなり、境と境の幅は狭くなる。

4. 境は、最大の次元が移る所である

半径 $R$ を一つ決めて、体積の数 $V_0, V_1R, V_2R^2, \dots$ を次元の順に並べる。隣どうしの比は

$$\frac{V_nR^n}{V_{n-1}R^{n-1}} = \frac{R}{R^*_n}$$

である。境 $R^*_n$ は次元とともに増えるので（第7節）、並びは $R^*_n < R$ のあいだ増え、$R^*_n > R$ になると減る。つまり、体積の数が最大になる次元は、境が $R$ より小さい最後の次元である。

この 14 通りの半径で、次元を 0 から順に全部計算して探した最大と、境の列からの見立てが一致した。

この表を問いの側から読む。3 次元の体積の数が最大になるのは、半径が $3/4$ と $8/(3\pi)$ のあいだ、$0.750000000 < R < 0.848826363$ のときだけで、幅は $0.098826363$ である。問いの $8/(3\pi)$ は、3 次元が最大でいられる幅の上の端で、そこで最大が 4 次元に移る。半径 1 は $15/16 = 0.937500$ と $16/(5\pi) = 1.018592$ のあいだにあるので、最大は 5 次元（$5.263789$）になる。「単位球の体積は 5 次元で最大になる」という古典的な事実（Smith と Vamanamurthy 1989、論文59）は、この階段の一段である。

論文59 は、半径 $\lambda$ の球で次元を連続な数として扱い、体積の峰が $\psi(n/2+1) = \ln(\pi\lambda^2)$ で決まることを示した（$\psi$ はディガンマ関数）。その式を解き直すと、峰は半径 $0.5$ で $0.4766$、半径 1 で $5.2569$、半径 2 で $24.1261$、半径 3 で $55.5457$ で、論文59 の数を再現した。整数の次元で探した最大は、半径 1、2、3 で 5、24、56 である。境の上での連続の峰も調べた。

境 $R^*_n$ では $n-1$ 次元と $n$ 次元が同じ数で並ぶ。そのとき連続の峰は、$n=1$ から 12 まで、$n-1$ と $n$ のあいだにあった。まんなかの $n-1/2$ との差は $-0.023417$ から $-0.003320$ で、次元とともに小さくなった。論文59 の連続の式と、ここでの整数の階段は、同じことの二つの書き方である。

5. 単位を替えると、境は動く

境は長さである。長さの単位を替えると、二つの体積の数が同じになる長さも変わる。新しい単位で測った半径の数が $8/(3\pi)$ になる長さを、もとの単位で書くと次のとおりである。

同じになる長さは、単位とともに 5 桁動く。動かないのは、4 次元の体積を「3 次元の体積 × 半径」で割った数 $3\pi/8 = 1.178097245$ で、散らばりは $2.220\times10^{-16}$ だった。

問いは、$c$ を光の速さと読んで立てられた。そこで、光の速さ $299792458$ m/s の数を入れてみる。

比は $3\pi/8$ に $c$ の数を掛けたもので、単位を 1000 倍にするたびに 3 桁動く。二つの数が同じになるのは、速さの単位を $(3\pi/8)c = 353184668.870$ m/s に取ったときで、そのとき $c$ の数が $0.848826363$ になる。つまり $8/(3\pi)$ は、世界の側の定数ではなく、どの単位を選んだかを述べている。論文45 は、面積と周の長さがそろう半径 2 が単位の選択であることを示し、論文1055 は、単位を替えると数字が動くかどうかで数を分けた。その分け方で、境の半径は動く側に入る。この一致から、光の速さや $\pi$ の由来は引き出せない。

6. 動かないのは、外接する円柱との割合である

単位で動かない言い方を探す。4 次元の体積を、同じ単位（長さの 4 乗）を持つものと比べればよい。いちばん素直な相手は、同じ半径の 3 次元の球を底にして、直径 $2R$ を高さにした 4 次元の円柱である。球はこの円柱にちょうど収まる。一般の次元で、球が円柱に占める割合は

$$\frac{V_nR^n}{V_{n-1}R^{n-1}\times 2R} = \frac{V_n}{2V_{n-1}} = \frac{1}{2R^*_n}$$

で、半径が消える。

2 次元は、正方形に内接する円の $\pi/4$ である。3 次元の $2/3$ は、アルキメデスが『球と円柱について』で示した割合である。4 次元では、それが $3\pi/16 = 0.589048623$ になる。半径を $0.3$、1、$2.7$ と替えても割合は動かず、散らばりは $2.220\times10^{-16}$ だった。式を使わない道でも確かめた。3 次元の球を底にした円柱の中に乱数の点をまき、4 次元の球に入る割合を数えると $0.589199 \pm 0.000212$ で、$3\pi/16 = 0.589049$ との隔たりは標準誤差の 0.71 倍だった。

アルキメデスは、体積だけでなく表面の広さでも、球は円柱（底を含む）の $2/3$ であることを示した。これも次元によらない。$n$ 次元の球の表面の広さは $nV_nR^{n-1}$ である。円柱の表面は、底の 2 枚 $2V_{n-1}R^{n-1}$ と、側面 $(n-1)V_{n-1}R^{n-2}\times 2R$ を足して $2nV_{n-1}R^{n-1}$ なので、割合はやはり $V_n/(2V_{n-1})$ になる。数でも、2 次元から 8 次元まで、表面の割合と体積の割合の差は最大 $2.220\times10^{-16}$ だった。

境との関係は一行である。境は、この割合の 2 倍の逆数である。$8/(3\pi)$ は $3\pi/16$ の 2 倍の逆数で、問いの一致を単位によらない形に言い直すと、「4 次元の球は、外接する円柱の $3\pi/16$ を占める」になる。アルキメデスの $2/3$ の、4 次元での姿である。

円柱の代わりに、外接する立方体（一辺 $2R$）と比べることもできる。論文182 は、100 次元の球が立方体の $1.87\times10^{-70}$ しか占めないことを示した。この数は、円柱との割合を 1 次元から順に掛けたものである。

$$\frac{V_d}{2^d} = \prod_{k=1}^{d}\frac{V_k}{2V_{k-1}} .$$

100 次元で積は $1.868182\times10^{-70}$ まで落ちるが、最後の一段の割合はまだ $0.125018$ ある。球が立方体に負けるのは、一段ごとの割合が急に小さくなるからではなく、1 より小さい割合を次元の数だけ掛けるからである。

7. 割合の 2 倍は、ウォリスの積分である

$n$ 次元の球を、軸に垂直な $n-1$ 次元の球の薄切りを重ねたものと見る。軸の上の位置 $x$（$-1$ から 1）での薄切りの半径は $\sqrt{1-x^2}$ なので、

$$W_n \equiv \int_{-1}^{1}(1-x^2)^{(n-1)/2}\,dx = \frac{V_n}{V_{n-1}} = \frac{1}{R^*_n}$$

である。$x=\cos\theta$ と置けば $W_n = \int_0^\pi \sin^n\theta d\theta$ で、ウォリス（1656）が円の面積を求めるために調べた積分である。円柱との割合は $W_n/2$、境は $1/W_n$ になる。

この積分をガンマ関数を使わずに数値で求めると、$n=1$ から 12 まで、$V_n/V_{n-1}$ と差の最大 $1.033\times10^{-14}$ で一致した。前の節の立方体の表も、この数値積分を掛けて作り、ガンマ関数の式と一致した。被積分関数は $n$ が大きいほど小さいので、$W_n$ は次元とともに減る。第4節で使った「境は次元とともに増える」は、このことである。

部分積分をすると、二つ飛びの漸化式が出る。

$$W_n = \frac{n-1}{n}W_{n-2},\qquad W_0 = \pi,\quad W_1 = 2,\qquad W_nW_{n-1} = \frac{2\pi}{n} .$$

数値積分の値は、漸化式を $n=2$ から 12 まで差の最大 $1.033\times10^{-14}$ で、隣どうしの積を $n=1$ から 12 まで差の最大 $2.665\times10^{-14}$ で満たした。出発点が $\pi$ と 2 の二つあり、漸化式は二つ飛びなので、偶数の $W_n$ には $\pi$ が一つ入り、奇数の $W_n$ は有理数になる。境の列で、有理数と「有理数 ÷ $\pi$」が交互に並んだ理由である。論文115 は、球面の体積の漸化式が二つ飛びで、偶数と奇数の二本の階段に分かれることを示した。隣り合う次元の比を取ると、その二本は、一つの積分の二つの出発点として現れる。

ウォリスの積は、この積分から出る。漸化式を繰り返すと

$$\frac{\pi}{2} = \left(\prod_{k=1}^{m}\frac{(2k)^2}{(2k-1)(2k+1)}\right)\times\frac{W_{2m}}{W_{2m+1}}$$

で、積の $m$ 項が $\pi/2$ に足りないぶんは、ちょうど $W_{2m}/W_{2m+1}$ である。境で書けば $R^*_{2m+1}/R^*_{2m}$、隣り合う境の比である。

$W_{2m+1} < W_{2m} < W_{2m-1}$ なので、積の $m$ 項は $\pi/2 = 1.570796327$ より小さく、その $(2m+1)/(2m)$ 倍は $\pi/2$ より大きい。$m=4$ では、足りないぶん $1.057008637$ が $R^*_9/R^*_8$ に等しい。ウォリスの積が $\pi/2$ に寄るというのは、隣り合う境の比が 1 に寄るということである。

ラマヌジャンが学んだ Carr の本（論文232）には、この積分が載っている。第 2453 項が $\sin$ の $n$ 乗の積分の二つ飛びの漸化式、第 2454 項がその値、第 2456 項が「ウォリスの公式」で、三つの積分を大きさの順に並べる証明と、$m=4$ の例が付いている。球の言葉に移せば、その三つの積分の大小は「境は次元とともに増える」である。

8. 次元が式の中の数として入る連分数

論文31 は、ラマヌジャンの $1/\pi$ の級数のどこにも次元が現れないことを示した。では、次元が入る式は無いのか。ある。次の連分数は、バウアーが 1872 年に証明し、ラマヌジャンが第二ノートの 12 章に書き、ハーディへの最初の手紙でも伝えたものである（Berndt、Lamphere、Wilson 1985 の Entry 25 の系 1）。

$$\left(\frac{\Gamma\left(\frac{x+1}{4}\right)}{\Gamma\left(\frac{x+3}{4}\right)}\right)^{2} = \cfrac{4}{x+\cfrac{1^2}{2x+\cfrac{3^2}{2x+\cfrac{5^2}{2x+\cdots}}}} .$$

$x = 2n+1$ と置くと、左辺は $\Gamma((n+1)/2)^2/\Gamma(n/2+1)^2 = W_n^2/\pi$ である。$W_n = 1/R^*_n$ だったので、境の二乗が連分数で書ける。

$$(R^*_n)^2 = \frac{1}{4\pi}\left(x+\cfrac{1^2}{2x+\cfrac{3^2}{2x+\cfrac{5^2}{2x+\cdots}}}\right),\qquad x = 2n+1 .$$

次元 $n$ が、連分数の中の数 $x = 2n+1$ として入っている。

連分数を途中で打ち切って下から計算すると、$n=1$ から 8 まで、左辺と 10 桁で一致した。「10 桁に届いた段」は、試した刻み（1、2、3、5、8、12、20、30、50、100、300、1000、1 万、10 万段）のうち、初めて 10 桁に届いた段である。次元が高いほど、少ない段で届く。$n=0$（$x=1$）では左辺が $\pi$ そのものになり、ブラウンカーが 1655 年に得た連分数にあたる。これは寄り方が遅く、10 万段でも $3.141582653790$ で、$\pi$ との差は $1.000\times10^{-5}$ ある。

問いの半径で書くと、$n=4$、$x=9$ で

$$\left(\frac{8}{3\pi}\right)^{2} = \frac{1}{4\pi}\left(9+\cfrac{1^2}{18+\cfrac{3^2}{18+\cfrac{5^2}{18+\cdots}}}\right)$$

である。かっこの中は $9.054147873672$、$4\pi$ で割ると $0.720506194790$ で、$(8/(3\pi))^2$ との差は $1.110\times10^{-16}$ だった。対照として、$x$ に 9 でなく 8 を入れると $0.641437209$ になり、$0.720506195$ とは合わない。

連分数の頭の項だけを残すと、$(R^*_n)^2$ はおよそ $(2n+1)/(4\pi) = (n+1/2)/(2\pi)$ である。これがどれほど合うかを、大きい次元まで見た。

比は 1 より大きく、次元とともに 1 に寄る。頭の項からの残りは、連分数の次の項 $1/(2x)$ との比が 1 に寄る。

二つ断っておく。一つ目に、連分数の中の数 $x$ に次元を読むのは、本稿の読み方である。二つ目に、分母に $4\pi$ があるが、これを球の表面の $4\pi$ と同じ根だとは言わない。論文300 の基準（片方だけを動かせるか）で測っていないからである。

9. 測り方の誤りと、既刊との関係

検算で一度落ちた。連分数を打ち切る段を、測る前に 3000 段と決めていたため、$n=1$（$x=3$）で 10 桁に届かなかった。$x$ が小さいほど寄り方が遅く、$n=1$ で 10 桁に届くのは 1 万段だった。届く段を先に測り、その 100 倍の段で比べる形に直し、$x$ に $2n+1$ でない数を入れる対照も足した。式の誤りではなく、測り方の誤りである。

論文59 は、単位球の体積が最大になる次元 5 が半径を 1 と置いた帰結であること、半径を変えると峰が動くことを連続の式で示した。ここでは、同じことを整数の次元の階段として数えた。段の境は「隣り合う次元の体積が同じ数になる半径」の列で、有理数と「有理数 ÷ $\pi$」が交互に並ぶ。

論文115 は、球面の体積の漸化式が二つ飛びで、二本の階段に分かれることを示した。ここでは、隣り合う次元の比を取ることで、その二本がウォリスの積分の二つの出発点（$\pi$ と 2）として現れた。

論文12 は、球の殻を積んで二つの体積の式を得た。ここでは、その二つの式の数を比べ、同じ数になる半径が単位で動くことを見た。論文45 と論文1055 が示した「単位の選択で決まる数」の例が、一つ増えた。

論文182 は、高い次元で球が立方体に負けることを示した。ここでは、その割合が、円柱との割合を次元の数だけ掛けたものであることを見た。

論文31 は、ラマヌジャンの級数の $\pi$ に次元が入らないことを示し、論文232 は、ラマヌジャンが学んだ本を等号の身分の側から扱った。ここでは、その本に載っているウォリスの公式と、ラマヌジャンが手紙で伝えた連分数が、隣り合う次元の球の体積の比として読めることを見た。後者には、次元が数として入る。

結び

結び：3 次元と 4 次元の球の体積が同じ数になる半径 8/(3π) は、体積の数が最大になる次元が 3 から 4 に移る境である。隣り合う次元の体積が同じ数になる半径は 1/2、2/π、3/4、8/(3π)、15/16、16/(5π) と続き、半径を決めたとき体積の数が最大になるのは、境が半径より小さい最後の次元である。3 次元が最大になる幅は $\mathbf{0.098826363}$ で、半径 1 は 5 次元の幅の中にある。境は単位で動き、光の速さの数を入れたとき二つが同じ数になるのは、速さの単位を $\mathbf{353184668.870}$ m/s に取ったときである。動かないのは外接する円柱との割合で、3 次元の 2/3（アルキメデス）が 4 次元では 3π/16 = $\mathbf{0.589048623}$ になり、表面の広さでも同じ割合になる。その割合の 2 倍はウォリスの積分で、出発点が π と 2 の二つあるので、π は境の列に一つおきにしか入らない。バウアーの連分数では次元が x = 2n + 1 として入り、n = 4 で 8/(3π) の二乗 $\mathbf{0.720506194790}$ を差 1.110×10⁻¹⁶ で再現した。正直に書くと、この一致から光の速さや π の由来は引き出せない。引き出せたのは、アルキメデスの 2/3 の 4 次元での姿と、古い積分の球としての読み方である。分離子は、比べるのが半径そのものか、外接する円柱との割合かである。

参考文献

1. Berndt, B. C., Lamphere, R. L., & Wilson, B. M. (1985). Chapter 12 of Ramanujan’s Second Notebook: Continued Fractions. Rocky Mountain Journal of Mathematics.
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作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「3 次元と 4 次元の球の体積が同じ数になる半径は、最大の次元が移る境である」［論文1080］. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1080

@misc{yamagishi2026yoi1080,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Radius Where the 3-Ball and 4-Ball Volumes Are the Same Number Is Where the Largest Dimension Changes},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1080},
  note = {Preprint, edition 1}
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