Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

予測が外れたら、理論が間違っていたのだと思われている。本稿が示すのは、反証は連言の全体に落ち、どの仮定が外れたかは論理では決まらないことである。仮定 $5$ つで $\mathbf{31}$ 通りあり、分離子を $\mathbf{4}$ つ書いて初めて一意になる。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、仮定 $k$ 個の連言が反証されたとき、責を負いうる部分集合は $\mathbf{2^{k}-1}$ 個である（第2節）。

第二に、$k=5$ で $\mathbf{31}$ 通り、$k=6$ で $\mathbf{63}$ 通りになる（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。分離子が $j$ 個の仮定を確定させると $2^{k-j}-1$ に減り、$j=k-1$ で初めて $\mathbf{1}$ になる（第3節）。

第四に、$j=0$ では何も減らず、$31$ 通りのままである（第3節）。

第五に、体系が十三の分野で見つけた「一つが二つだった」は、その分離子を書く作業である（第4節）。

第六に、分離子は「反証が連言に落ちるか、一つの仮定に落ちるか」である（第4節）。

キーワード：デュエム＝クワイン・テーゼ、反証可能性、補助仮説、科学哲学、ラカトシュ。

射程（何を示さないか）

新しい定理も法則も主張しない。反証が連言全体に落ちることは、科学哲学で長く論じられてきた。科学哲学の一般論を書かない。立場の当否、学説史、論争の経緯は主題ではない。数え上げと、体系の実例だけを扱う。体系を擁護しない。射程注記が「防御帯」か「硬い核」かの判定は著者に返す。本稿は数を出すところまでである。仮定を独立とみなす。$2^{k}-1$ という数え上げは、仮定が互いに独立で、どの部分集合も同じ資格で疑えるという理想化に立つ。実際には仮定に重みも順序もある。確率を扱わない。どの仮定が疑わしいかの事前確率は主題ではない。組合せの個数だけを数える。既刊との関係：論文241 は、足し算にできるかを問う前に二項演算があるかを問えと示した。分離子を書く作業は、まさにその形である。論文300 は同根か別根かが判定できることを示した。「一つだと思っていたものが二つだった」は、別根の発見である。論文480 は五基準が互いに食い違うことを示した。そこでも、判定が一意に決まらない場面があった。論文479 は $1/e$ の七つを三つに分けた。一つの数の下に三つの根があった。加えたのは、責を負いうる組合せを $2^{k}-1$ と数えたこと、$k=1$ から $6$ まで並べたこと、分離子の効きを $31\to15\to7\to3\to1$ と出したこと、一意にするのに $k-1$ 個が要ることを示したこと、分離子を「連言に落ちるか一つに落ちるか」に置いたことである。

1. 記法と問い

設定：理論から予測を導くとき、使う仮定を $A_{1},\dots,A_{k}$ とする。予測 $P$ は連言から出る。

$$A_{1}\wedge A_{2}\wedge\cdots\wedge A_{k}\ \Rightarrow\ P$$

観測が $\lnot P$ を返したとき、対偶から言えるのは

$$\lnot(A_{1}\wedge\cdots\wedge A_{k})$$

だけである。すなわち「少なくとも一つが偽」であって、どれが偽かは決まらない。責を負いうる部分集合の個数を数える。

観察 1.1　予測が外れたら、理論が間違っていたのだと思われている。反証は理論に落ちる。一本の矢が一つの的に当たる像である。

観察 1.2　だが予測は、理論だけからは出ない。装置が正しく働くこと、補助の法則、近似、初期条件、どれか一つでも外れれば、予測は外れる。

問い：責を負いうる組合せは、いくつあるのか。

2. 仮定が五つなら、三十一通りある

計算 2.1：仮定 $k$ 個の連言が反証されたとき、責を負いうる部分集合を数える。

観察 2.2　閉じた式は $2^{k}-1$ である。空でない部分集合の数、$k=5$ で $31$、$k=6$ で $63$ になる。

観察 2.3　数え上げと閉じた式が一致する。$k=5$ の部分集合を大きさ $1$ から $5$ まで全部並べると $31$ 個、独立な確認である。

観察 2.4　仮定が一つだけなら、曖昧さが無い。$2^{1}-1=1$、境目である。連言でなければ、反証は行き先を持つ。

観察 2.5　だが仮定が一つの実験は、ほとんど無い。測定装置の較正、統計の仮定、系統誤差の見積もり、数え始めれば $5$ はすぐ超える。

観察 2.6　そして $k$ が一つ増えるごとに、曖昧さはほぼ倍になる。$31$ から $63$ へ、仮定を足すことは、責の行き先を倍にすることである。

3. 分離子を四つ書いて、初めて一意になる

計算 3.1：仮定 $5$ 個のうち $j$ 個について、分離子が「破れていない」と確定させたときに残る組合せを数える。

観察 3.2　一つ確定させるごとに、ほぼ半分になる。$31\to15\to7\to3\to1$、閉じた式は $2^{k-j}-1$ である。

観察 3.3　一意に決まるのは $j=4$、すなわち $k-1$ のときである。五つのうち四つを潰して、残る一つに落ちる。「どの仮定が外れたか」を言うには、他の全部を守らなければならない。

観察 3.4　$j=0$ では何も減らない。$31$ 通りのまま、分離子を一つも書かなければ、反証は情報を持たない。

観察 3.5　だから「理論が反証された」という言い方は、$j=0$ の状態で $j=4$ の結論を述べている。四つ足りない。飛ばした四つを書けば、その言い方が支えられる。

観察 3.6　減り方は指数である。$j$ を $2$ 増やすと $31$ から $7$ へ、$4.43$ 分の $1$、分離子は一つ書くごとに、同じだけ効く。

4. 分離子

分離子：反証が連言に落ちるか、一つの仮定に落ちるか。

観察 4.1　連言に落ちるなら、行き先が $2^{k}-1$ 通りある。論理からは選べない。どれを疑うかは、論理の外の判断になる。

観察 4.2　一つに落ちるなら、そこを直せばよい。行き先が一意、そのためには他の $k-1$ 個を確定させる必要がある。

観察 4.3　これは論文300 の基準で別根である。どちらも「反証された」と呼ばれる。一方は連言の否定、一方は特定の仮定の否定である。

観察 4.4　体系がしてきたのは、この $k-1$ 個を書く作業である。「一つだと思っていたものが二つだった」という形が、十三の分野で独立に出た。ムーアとデナード、融点とガラス転移点、位相速度と群速度、当てはまりと予測力。どれも、一つの語が二つの量を指していたと分かった。

観察 4.5　そのとき反証は、行き先を得る。「法則が破れた」ではなく「二つを一つと呼んでいた」。$31$ 通りのうちの一つが名指しされる。

観察 4.6　論文241 が言ったのは、これと同じ形である。足し算にできるかを問う前に、二項演算があるかを問え、演算があると決めてかかると二つの量が一つに畳まれ、反証の行き先が消える。

観察 4.7　論文479 と 480 は、その作業を体系の内側でやった。479 は一つの数の下に三つの根を見つけ、480 は五つの基準が食い違うことを数えた。どちらも「一つに見えていたものを分ける」形である。

観察 4.8　正直に言えば、$2^{k}-1$ という数え上げは理想化である。仮定が互いに独立で、どの部分集合も同じ資格で疑えると置いた。実際には仮定に重みも順序もあり、「装置の較正」と「理論の中核」は同じ資格ではない。数えているのは論理的な可能性であって、実際の疑わしさではない。

5. 点呼と結び

1. 責を負いうるのは $2^{k}-1$ 通り（観察 2.2）：空でない部分集合。
2. $k=5$ で $31$ 通り（計算 2.1）：数え上げと一致。
3. $k=1$ なら曖昧さゼロ（観察 2.4）：境目。
4. $k$ が増えるとほぼ倍（観察 2.6）：$31$ から $63$。
5. 分離子 $j$ 個で $2^{k-j}-1$（計算 3.1）：本稿の芯。
6. $j=4$ で初めて $1$（観察 3.3）：他の全部を守る。
7. $j=0$ では何も減らない（観察 3.4）：$31$ のまま。
8. 「反証された」は四つ足りない（観察 3.5）：飛ばした分を書く。
9. 分離子は連言か一つか（観察 4.3）：論文300 の基準で別根。
10. 数えたのは論理的な可能性（観察 4.8）：実際の疑わしさではない。

結び：予測が外れたら理論が間違っていたのだと思われている。反証は理論に落ちる、という一本の矢が一つの的に当たる像である。だが予測は理論だけからは出ない。装置が正しく働くこと、補助の法則、近似、初期条件、どれか一つでも外れれば、予測は外れる。行き先は、驚くほど多い。仮定 $k$ 個の連言が反証されたとき、責を負いうる部分集合は $\mathbf{2^{k}-1}$ 個。$k=5$ で $\mathbf{31}$ 通り、$k=6$ で $\mathbf{63}$ 通りになる。$k=5$ の部分集合を大きさ $1$ から $5$ まで全部並べても $31$ 個で、数え上げと閉じた式が一致する。仮定が一つだけなら曖昧さは無く $1$ 通りになる。境目である。連言でなければ、反証は行き先を持つ。だが仮定が一つの実験はほとんど無い。測定装置の較正、統計の仮定、系統誤差の見積もりと数え始めれば $5$ はすぐ超え、$k$ が一つ増えるごとに曖昧さはほぼ倍になる。仮定を足すことは、責の行き先を倍にすることである。分離子を四つ書いて、初めて一意になる。仮定 $5$ 個のうち $j$ 個を「破れていない」と確定させると、残る組合せは $\mathbf{31\to15\to7\to3\to1}$ と、一つごとにほぼ半分になる。閉じた式は $2^{k-j}-1$ である。一意に決まるのは $j=4$、すなわち $k-1$ のとき。五つのうち四つを潰して、残る一つに落ちる。「どの仮定が外れたか」を言うには、他の全部を守らなければならない。$j=0$ では何も減らず $31$ 通りのままで、分離子を一つも書かなければ反証は情報を持たない。だから「理論が反証された」という言い方は、$j=0$ の状態で $j=4$ の結論を述べている。四つ足りない。飛ばした四つを書けば、その言い方が支えられる。分けているものは一つ、反証が連言に落ちるか、一つの仮定に落ちるか。連言に落ちるなら行き先が $2^{k}-1$ 通りあり、論理からは選べない。どれを疑うかは、論理の外の判断になる。一つに落ちるなら行き先が一意で、そのためには他の $k-1$ 個を確定させる必要がある。論文300 の基準で別根であり、一方は連言の否定、一方は特定の仮定の否定である。そして体系がしてきたのは、この $k-1$ 個を書く作業である。「一つだと思っていたものが二つだった」という形が十三の分野で独立に出た。ムーアとデナード、融点とガラス転移点、位相速度と群速度、当てはまりと予測力。どれも、一つの語が二つの量を指していたと分かった。そのとき反証は行き先を得る。「法則が破れた」ではなく「二つを一つと呼んでいた」となり、$31$ 通りのうちの一つが名指しされる。論文241 が言ったのは同じ形で、足し算にできるかを問う前に二項演算があるかを問え、演算があると決めてかかると二つの量が一つに畳まれ、反証の行き先が消える。論文479 と 480 は、その作業を体系の内側でやった。479 は一つの数の下に三つの根を見つけ、480 は五つの基準が食い違うことを数えた。正直に言えば、$2^{k}-1$ という数え上げは理想化である。仮定が互いに独立で、どの部分集合も同じ資格で疑えると置いた。実際には仮定に重みも順序もあり、「装置の較正」と「理論の中核」は同じ資格ではない。数えているのは論理的な可能性であって、実際の疑わしさではない。

参考文献

1. Duhem, P. (1906). La Théorie Physique: Son Objet et sa Structure. Chevalier & Rivière.
2. Quine, W. V. O. (1951). Two Dogmas of Empiricism. The Philosophical Review.
3. Lakatos, I. (1970). Falsification and the Methodology of Scientific Research Programmes. In Criticism and the Growth of Knowledge, Cambridge University Press.
4. 山岸勇輝 (2026). 『足し算にできるかを問う前に、二項演算があるかを問わねばならない』[論文241]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22130189
5. 山岸勇輝 (2026). 『三百本目の点呼、同根か別根かは、判定できる』[論文300]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22171914
6. 山岸勇輝 (2026). 『体系に七つある同じ数は、二組と一つに分かれる』[論文479]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22733844
7. 山岸勇輝 (2026). 『判定の基準そのものを、判定にかける』[論文480]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22733871

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「「法則が破れた」は、どの仮定へも落とせる」［論文481］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22733927

@misc{yamagishi2026yoi481,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Broken Law Can Be Blamed on Any of the Assumptions},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/481},
  doi = {10.5281/zenodo.22733927},
  note = {Preprint, edition 1}
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