Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文899 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/899 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます（2026年10月10日 7:50 に公開します）。

@misc{yamagishi2026yoi899,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {At Low Resolution a Stroke's Width Jumps by a Pixel with Position, and the Share Drawn Wider Equals Its Width's Fractional Part},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/899},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969440・969456・969461 に記録されました（2026年10月01日 19:28（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

同じ太さで描いた線は、どこに置いても同じ太さに見える、と思いやすい。本稿は、文字の縦の線のような一本の線を画素の格子に置き、中心が線の中にある画素を黒くする模型で、置く位置によって出る太さがどう変わるかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、出る太さは二通りしかない。幅 $2.9$ 画素の線は、置く位置によって $2$ 画素か $3$ 画素で出て、その間の太さは出ない（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。太いほうになる割合は、線の幅の端数に等しい。位置を $10000$ 通りずらすと、切り上げの太さになる割合は幅 $0.7$ で $\mathbf{0.700000}$、$1.3$ で $\mathbf{0.300000}$、$2.5$ で $0.500000$、$2.9$ で $\mathbf{0.900000}$ だった（第2節）。

第三に、位置をならせば、太さは保たれる。四つの幅のどれでも、出た太さの平均は $0.700000$・$1.300000$・$2.500000$・$2.900000$ で、線の幅に等しい（第2節）。

第四に、低い解像度では、細い線は消えることがある。$0.35$ pt の線は $200$ dpi で $\mathbf{0.972222}$ 画素で、位置を $10000$ 通りずらすと $\mathbf{0.027700}$ の位置で $0$ 画素になった（第3節）。

第五に、解像度を上げると、二つの太さの差は線に比べて小さくなる。二つの太さの差は、線の幅の $\mathbf{1.028571}$ 倍（$200$ dpi）、$0.685714$ 倍（$300$ dpi）、$0.342857$ 倍（$600$ dpi）、$\mathbf{0.171429}$ 倍（$1200$ dpi）である（第3節）。

第六に、分離子は、画素の中心で白か黒かを決めるか、覆う面積で灰色にするかである。覆う面積の割合で灰色にすると、幅 $2.9$ 画素の線の灰色の合計は、位置を $1000$ 通りずらしても最小も最大も $2.900000$ だった（第4節）。

キーワード：線の太さ、解像度、画素、端数、覆う面積、書体

Abstract

It is easy to assume that a stroke drawn at one width looks the same width wherever it is placed.This paper counts, in a model that places a single stroke such as the vertical stem of a letter on a pixel grid and blackens the pixels whose centres lie inside it, how the drawn width changes with position.No new theorem or law is claimed.

First, only two widths come out: a stroke $2.9$ pixels wide is drawn $2$ or $3$ pixels wide depending on position, and no width in between appears (Section 2).

Second, and this is the core. The share drawn wider equals the fractional part of the width: shifting through $10000$ positions, the share rounded up was $\mathbf{0.700000}$ for width $0.7$, $\mathbf{0.300000}$ for $1.3$, $0.500000$ for $2.5$ and $\mathbf{0.900000}$ for $2.9$ (Section 2).

Third, averaged over position, width is preserved: for all four widths, the average drawn width was $0.700000$, $1.300000$, $2.500000$ and $2.900000$, equal to the stroke width (Section 2).

Fourth, at low resolution a thin stroke can vanish: a $0.35$ pt stroke is $\mathbf{0.972222}$ pixels at $200$ dpi, and over $10000$ positions it came out $0$ pixels wide at $\mathbf{0.027700}$ of them (Section 3).

Fifth, higher resolution makes the difference between the two widths small relative to the stroke: the difference is $\mathbf{1.028571}$ times the stroke width at $200$ dpi, $0.685714$ at $300$ dpi, $0.342857$ at $600$ dpi and $\mathbf{0.171429}$ at $1200$ dpi (Section 3).

Sixth, the separator is whether each pixel is set black or white by its centre or shaded grey by the area covered: shading grey by the covered share, the total grey of a $2.9$-pixel stroke over $1000$ positions had both minimum and maximum $2.900000$ (Section 4).

Keywords: stroke width, resolution, pixel, fractional part, area coverage, typeface

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/899/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/899 はいつも最新の版を指します）。

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