Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文924 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/924 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます（2026年10月11日 7:50 に公開します）。

@misc{yamagishi2026yoi924,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Fifty-Fifty in Minesweeper Is Not Set by the Visible Numbers Alone, and Tilts with the Density of Mines Left on the Board},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/924},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

マインスイーパで、見えている数字の制約を満たす解が二つあり、どちらも同じように見えることがある。本稿は、二つの 1 が「端の一ますと真ん中」「真ん中ともう一方の端」にそれぞれ地雷一個を課す場面で、真ん中が地雷である確率を、盤に残る未知のますと地雷の数を入れて数え、小さい盤の総当たりと突き合わせる。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、見えている数字だけなら五分五分だが、盤の残りを入れると式が決まる。解は真ん中だけが地雷（一個）と両端が地雷（二個）の二つで、残りのますを $U$、残りの地雷を $M$ とすると、真ん中の確率は一個の解と二個の解の置き方の数の比で決まり、小さい盤の総当たり五組と分数として一致した（第2節）。

第二に、薄い盤では、地雷の少ない解が重い。$U=78$・$M=10$（密度 $0.123457$）で真ん中が地雷の確率は $\mathbf{0.886076}$、$U=60$・$M=9$ で $0.868852$、$U=100$・$M=20$ で $0.811881$ だった（第3節）。

第三に、濃い盤では、地雷の多い解が重い。$U=20$・$M=12$ で $0.476190$、$U=12$・$M=11$（密度 $0.733333$）で $\mathbf{0.230769}$ になり、ちょうど $1/2$ になるのは $U=2M-3$ のときだった（第3節）。

第四に、端のますの確率は、盤の残りの一ますと同じになる。七つの組すべてで、端が地雷である確率と盤の残りの一ますが地雷である確率は同じ値（例 $0.113924$）だった（第3節）。

第五に、分離子は、残りのますと残りの地雷の数を数えに入れるか入れないかである。入れなければ二つの解は同じ重さで五分五分、入れると解ごとの置き方の数が重みになり、密度で傾く（第4節）。

キーワード：マインスイーパ、条件付き確率、二項係数、地雷の密度、配置の数え上げ、制約充足

Abstract

In Minesweeper, the constraints of the visible numbers sometimes allow two solutions that look equally likely.This paper takes a case where two 1s each require one mine, among an end cell and the middle and among the middle and the other end, counts the probability that the middle is a mine with the unknown cells and mines left on the board included, and checks it against exhaustive counts on small boards.No new theorem or law is claimed.

First, by the visible numbers alone it is fifty-fifty, but including the rest of the board fixes a formula: the solutions are “only the middle is a mine” (one mine) and “both ends are mines” (two); with $U$ remaining cells and $M$ remaining mines, the probability for the middle is set by the ratio of the number of ways to place the rest in each solution, and it matched exhaustive counts on five small boards exactly as fractions (Section 2).

Second, on a sparse board, the solution with fewer mines weighs more: with $U=78$ and $M=10$ (density $0.123457$) the probability that the middle is a mine is $\mathbf{0.886076}$; with $U=60$, $M=9$ it is $0.868852$; with $U=100$, $M=20$, $0.811881$ (Section 3).

Third, on a dense board, the solution with more mines weighs more: with $U=20$, $M=12$ it is $0.476190$, and with $U=12$, $M=11$ (density $0.733333$) $\mathbf{0.230769}$; it is exactly $1/2$ when $U=2M-3$ (Section 3).

Fourth, the probability for an end cell equals that for any remaining cell on the board: in all seven cases, the probability that an end is a mine and the probability that a remaining cell is a mine had the same value (for example $0.113924$) (Section 3).

Fifth, the separator is whether the remaining cells and remaining mines are counted in: if not, the two solutions weigh the same and it is fifty-fifty; if so, the number of ways to place the rest becomes each solution’s weight, and the balance tilts with density (Section 4).

Keywords: Minesweeper, conditional probability, binomial coefficient, mine density, counting configurations, constraint satisfaction

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/924/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/924 はいつも最新の版を指します）。

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