Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文946 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/946 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます（2026年10月13日 10:50 に公開します）。

@misc{yamagishi2026yoi946,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Largest Cluster of a Random Graph Grows by Three Different Powers Depending on the Mean Number of Neighbours},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/946},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

点をたくさん置き、でたらめに選んだ二点を辺で結んでいくと、つながった塊ができる。本稿は、点一つあたりの平均の隣の数 $c$ を $0.5$・$1$・$2$ に置き、点の数を $1000$ から $64000$ まで $4$ 倍ずつ増やして、いちばん大きな塊の育ち方を測り、二番目の塊と小さな塊の平均の大きさも $c$ ごとに比べる。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、c が 1 より少ないと、いちばん大きな塊は点の数の対数ほどにしか育たない。$c=0.5$ でいちばん大きな塊の平均は $11.025$・$16.450$・$20.500$・$26.200$ で、点の数を $64$ 倍にした通しの冪は $\mathbf{0.208131}$、対数の式の値 $10.749$・$15.559$・$20.736$・$26.181$ との差は標準誤差の $2$ 倍以内だった（第2節）。

第二に、c が 1 を超えると、いちばん大きな塊は点の数に比例する。$c=2$ で通しの冪は $\mathbf{1.000894}$、点 $64000$ の塊の割合は $0.797359$ で、式 $s=1-\exp(-cs)$ の解 $0.796812$ に近かった（第2節）。

第三に、c がちょうど 1 では、その中ほどの冪で育つ。$c=1$ でいちばん大きな塊の平均は $90.290$・$226.305$・$590.260$・$1643.225$ で、通しの冪は $\mathbf{0.697637}$ だった（第2節）。

第四に、二番目の塊と小さな塊の大きさは境の近くで大きい。点 $16000$ で二番目の塊は $c=1.1$ で最大の $277.200$、$c=2$ では $11.200$ だった。境から離れた $c=0.6$・$0.8$・$1.5$・$2$ では、小さな塊の平均の大きさが式と相対 $0.037917$ 以内で合った（第3節）。

第五に、分離子は、塊を点の数に対する割合で見るか、点を増やしたときの冪で見るかである。割合で見ると c が 1 以下の塊はどれも $0$ に近づいて区別がつかないが、冪で見ると対数・中ほど・比例の三つに分かれる（第4節）。

キーワード：ランダムグラフ、巨大な塊、エルデシュ＝レーニイ、連結成分、有限の点の数、冪の測定

Abstract

Scatter many points and join randomly chosen pairs with edges, and connected clusters form.This paper sets the mean number of neighbours per point $c$ to $0.5$, $1$ and $2$, increases the number of points from $1000$ to $64000$ fourfold at a time, measures how the largest cluster grows, and compares the second cluster and the mean size of small clusters for each $c$.No new theorem or law is claimed.

First, with c below 1 the largest cluster grows only like the logarithm of the number of points: at $c=0.5$ the mean largest cluster was $11.025$, $16.450$, $20.500$ and $26.200$; the overall power over a $64$-fold increase was $\mathbf{0.208131}$, and the differences from the logarithmic formula values $10.749$, $15.559$, $20.736$ and $26.181$ were within twice the standard error (Section 2).

Second, with c above 1 the largest cluster is proportional to the number of points: at $c=2$ the overall power was $\mathbf{1.000894}$ and the cluster’s share at $64000$ points was $0.797359$, close to $0.796812$, the solution of $s=1-\exp(-cs)$ (Section 2).

Third, at exactly c equal to 1 it grows with a power in between: at $c=1$ the mean largest cluster was $90.290$, $226.305$, $590.260$ and $1643.225$, with an overall power of $\mathbf{0.697637}$ (Section 2).

Fourth, the second cluster and small clusters are large near the boundary: at $16000$ points the second cluster was largest at $c=1.1$, $277.200$, and $11.200$ at $c=2$. Away from the boundary, at $c=0.6$, $0.8$, $1.5$ and $2$, the mean size of small clusters matched the formula within a relative $0.037917$ (Section 3).

Fifth, the separator is whether a cluster is seen as a share of the points or by the power with which it grows as points are added: as shares, all clusters with c at or below 1 approach $0$ and cannot be told apart, but as powers they split into logarithmic, in-between and proportional (Section 4).

Keywords: random graph, giant cluster, Erdős–Rényi, connected components, finite number of points, measured power

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/946/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/946 はいつも最新の版を指します）。

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