要旨
体系は「局所では自明、大域では自明でない」という形に何度も出会ってきた（論文92・70・128・146）。本稿はその障害たちを点呼し、住所と型を書く。新しい数学定理も新しい物理法則も主張しない。
第一に、障害は群であり、その次元は体系の数ではない。円周・球面・トーラス・穴あき三次元空間のいずれでも、最上次のコホモロジーは一次元である。体系の $4\pi$ はその次元ではない。$4\pi$ は対の値（周期）であって、群の大きさではない（第2節）。
第二に、一次元だからこそ、面積形式とオイラー形式は比例している。半径 $R$ の球面で、面積形式の積分は $4\pi R^2$、$K\,dA$ の積分は $4\pi$、比は $R^2$（本稿で記号計算）。同じ一次元の群の中で、片方は計量に依り、片方は依らない。論文128 の分離が、一つの群の内側に $R^2$ という因子として見えている（第3節）。
第三に、$2\pi$ と $4\pi$ は生成元の周期として現れる。円周の $H^1$ の生成元の周期は $2\pi$、単位球面の $H^2$ の生成元の周期は $4\pi$ である（本稿で計算）。ただしこれは共通の言語であって共通の根ではない。論文142 の $2\pi$ は滑らかさ、論文128 の $4\pi$ は $\mathrm{Vol}(S^2)$ であり、来た場所は違う（第4節）。
第四に、これが本稿の芯である。同じ $H^2$ でも、係数が違えば量子化しない。$H^2(S^2;\mathbb{R})=\mathbb{R}$ は連続体であり、どんな流束も許す。$H^2(S^2;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$ は格子であり、整数の類しか現れない。ド・ラーム・コホモロジーは実係数だから、何も量子化しない（第5節）。
第五に、ゆえに電荷はガウスの法則からは量子化されない。量子化されるのは単磁極が在る場合だけで、しかも同じ整数を逆から読んだ結果である。$2eg/\hbar=n$ は積を縛るから、単磁極が一つ在れば、あらゆる電荷が量子化される（第6節）。
射程（何を示さないか）
本稿の射程：新しい数学定理も新しい物理法則も主張しない。ド・ラームの定理、チェック＝ド・ラームの一致、指数列、ディラックの量子化はいずれも標準的である。本稿が加えるのは、四つの障害を住所と型で並べたこと、$4\pi$ が次元でなく周期であると明示したこと、同じ一次元の群の中に計量依存と位相の両方が住むことを $R^2$ として見せたこと、量子化の分離子が係数であると書いたことだけである。単磁極が存在するとは主張しない（論文146 と同じ）。
1. 記法と位置づけ
実係数のド・ラーム・コホモロジーを $H^k(M;\mathbb{R})$、整数係数の特異コホモロジーを $H^k(M;\mathbb{Z})$ と書く。
位置づけ：既存の定理を並べ、住所と型を書く。新しい定理は主張しない。論文146 は最も小さい例で「貼り合わせの失敗」に名前を付けた。本稿はその点呼を体系の他の場所へ広げる。
2. 障害は群であり、その次元は体系の数ではない
観察 2.1
| 空間 | ド・ラーム・コホモロジー | 最上次の次元 | 体系の数 |
|---|---|---|---|
| $S^1$ | $H^0=\mathbb{R},\ H^1=\mathbb{R}$ | 1 | $2\pi$ |
| $S^2$ | $H^0=\mathbb{R},\ H^1=0,\ H^2=\mathbb{R}$ | 1 | $4\pi$ |
| $T^2$ | $H^0=\mathbb{R},\ H^1=\mathbb{R}^2,\ H^2=\mathbb{R}$ | 1 | 面積 |
| $\mathbb{R}^3\setminus\{0\}$ | $H^0=\mathbb{R},\ H^2=\mathbb{R}$ | 1 | $4\pi$ |
観察 2.2 （次元と周期は別の量である） どの場合も次元は $1$ である。体系の $4\pi$ はその次元ではない。$4\pi$ は生成元を積分して得られる値、すなわち周期である。
「障害は一次元である」と「その数は $4\pi$ である」は、同じ $H^2$ についての別の言明である（論文17）。片方は群の大きさ、片方は正規化の値である。
3. 一次元だから、二つの形式は比例している
検算 3.1：半径 $R$ の球面で、本稿の記号計算では
| 形式 | 積分 | 身分 |
|---|---|---|
| 面積形式 $R^2\sin\theta$ | $4\pi R^2$ | 計量に依る |
| $K\,dA=\sin\theta$ | $4\pi$ | 位相的 |
| 比 | $R^2$ |
（証明終）
観察 3.2 （これが要点である） $H^2(S^2)$ は一次元だから、この二つの $2$-形式は同じ群の元であり、互いの定数倍である。同じコホモロジー類の族に属することは、どちらが強制されているかを何も言わない。
論文128 は $\mathrm{Vol}(S^2)$ と $2\pi\chi(S^2)$ を分けた。ここではその分離が、一つの群の内側に $R^2$ という因子として見えている。「同じ群に住んでいる」は「同じものである」ではない。
4. $2\pi$ と $4\pi$ は、生成元の周期である
検算 4.1：本稿の計算では
| 群 | 生成元 | 周期 |
|---|---|---|
| $H^1(S^1)$ | $d\varphi$ | $2\pi$ |
| $H^2(S^2)$（単位球） | $\sin\theta\,d\theta\wedge d\varphi$ | $4\pi$ |
（証明終）
観察 4.2 （共通の言語であって、共通の根ではない） この言語では $2\pi$ と $4\pi$ は一次違いの生成元の周期として並ぶ。だがそれは、二つが同じ根を持つということではない。
論文142 の $2\pi$ は円錐特異点を消す滑らかさの条件であり、論文128 の $4\pi$ は方向の空間の体積である。同じ棚に並べられることと、同じところから来たことは違う（論文100）。棚は言語であり、来歴は根である。
5. 同じ $H^2$ でも、係数が違えば量子化しない
観察 5.1
| 係数 | 何が許されるか | |
|---|---|---|
| $H^2(S^2;\mathbb{R})=\mathbb{R}$ | 実数 | 連続体、どんな流束も |
| $H^2(S^2;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$ | 整数 | 格子、整数の類だけ |
観察 5.2 （これが芯である） ド・ラーム・コホモロジーは実係数だから、何も量子化しない。整数性は整数係数の類から来る。同じことだが、$U(1)$ の遷移関数が一価であることを要求するところから来る（論文146）。
ゆえに「大域的な障害があるから量子化される」は正しくない。障害があることと、その値がとびとびであることは別の言明である。分離子は係数である。
6. 電荷は、ガウスの法則からは量子化されない
観察 6.1 ガウスの法則 $\oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=q/\varepsilon_0$ は、$q$ について何の制限も置かない。流束は実数の連続体を走る。
観察 6.2 （では電荷はなぜ量子化されているのか） この議論からは出てこない。単磁極が一つでも存在すれば、$2eg/\hbar=n$ が積を縛るから、$g$ を固定してあらゆる $e$ が量子化される（ディラック）。だが単磁極は発見されていない。
観察 6.3 （同じ整数を、逆から読む） 論文146 では $g$ の量子化として読んだ整数を、ここでは $e$ の量子化として読んでいる。同じ一つの整数であり、どちらを既知とするかで役割が入れ替わる（論文16 の等号の根の話と同型、一つの関係が、立つ場所で別の言明になる）。
7. 点呼
観察 7.1
| どこか | 障害の住所 | 型 | 振る舞い |
|---|---|---|---|
| ストークス（論文92） | $H^k=0$ | 、 | 障害が無い（閉ならば完全） |
| ガウスの法則 | $H^2_{\rm dR}(\mathbb{R}^3\!\setminus\!\{0\};\mathbb{R})$ | 実数 | 電荷とともに連続に動く |
| ディラック（論文146） | $H^2(S^2;\mathbb{Z})$ | 整数 | とびとびに動く |
| ポアンカレ＝ホップ（論文128） | オイラー類 $\in H^2(M;\mathbb{Z})$ | 整数 | $\chi(M)$ |
観察 7.2 「局所では自明、大域では自明でない」という一語が、四つの別の障害を指している。そして二番目と三番目を分けているのは、空間でも次元でもなく、係数である。
観察 7.3 （層は何をしているか） 層は「局所の資料と重なりでの一致」を記帳する。記帳法が共通だからといって、記帳される中身が同じではない。グロタンディークの見方が与えるのは共通の言語であって、共通の根ではない。そして体系が守ってきたのは、言語の一致を根の一致と読まないことであった。
8. 結論
- 障害は群であり、次元は $1$ である（観察2.1）。体系の $4\pi$ はその次元ではなく、生成元の周期である。
- 一次元だから二つの形式は比例している（検算3.1）。面積形式は $4\pi R^2$、$K\,dA$ は $4\pi$、比は $R^2$。同じ群に住むことは、同じものであることではない（論文128）。
- $2\pi$ と $4\pi$ は生成元の周期として並ぶ（検算4.1）。だがそれは共通の言語であって共通の根ではない（論文100）。
- 同じ $H^2$ でも係数が違えば量子化しない（観察5.1）。実係数は連続体、整数係数は格子。ド・ラームは何も量子化しない。
- 電荷はガウスの法則からは量子化されない（観察6.1）。単磁極が在れば同じ整数を逆から読んで量子化される（論文146）。
- 四つの障害が並ぶ（観察7.1）。二番目と三番目を分けているのは係数である。
結び：同じ棚に並べられることは、同じところから来たことではない。層とコホモロジーは、体系が何度も出会ってきた形に共通の名前を与える。だが名前が同じでも、係数が違えば結論が違う。連続に動くか、とびとびに動くか。住所を書くとは、群だけでなく係数まで書くことである。
参考文献
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- Leray, J. (1946). L’anneau d’homologie d’une représentation. Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, 222.
- Grothendieck, A. (1957). Sur quelques points d’algèbre homologique. Tôhoku Mathematical Journal, 9.
- Dirac, P. A. M. (1931). Quantised singularities in the electromagnetic field. Proceedings of the Royal Society A, 133.
- Bott, R. & Tu, L. W. (1982). Differential Forms in Algebraic Topology. Springer.
- Nakahara, M. (2003). Geometry, Topology and Physics, 2nd ed. Institute of Physics.
- 山岸勇輝 (2026). 等号は六つの別根を持つ [論文16] 第3版. Zenodo. 10.5281/zenodo.21600471
- 山岸勇輝 (2026). 別根と言うのは半分である。住所を書け [論文17] 第3版. Zenodo. 10.5281/zenodo.21600813
- 山岸勇輝 (2026). $4\pi G$ の中の二つの $4\pi$ [論文35] 第3版. Zenodo. 10.5281/zenodo.21430118
- 山岸勇輝 (2026). 指数定理の住所 [論文70]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21650347
- 山岸勇輝 (2026). 共有された字母（カルタン） [論文92]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21758486
- 山岸勇輝 (2026). ゲージ原理（ワイル） [論文96]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21758671
- 山岸勇輝 (2026). 王道の点呼 [論文100]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21758864
- 山岸勇輝 (2026). 二つのネーター [論文107]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21837205
- 山岸勇輝 (2026). $4\pi=2\pi\chi$ が成り立つのは、三次元だけである [論文128]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22079576
- 山岸勇輝 (2026). 渦線が終われないのは、法則ではなく恒等式である [論文130]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22079996
- 山岸勇輝 (2026). どこまでがハミルトニアンかは、規約である [論文138]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22081512
- 山岸勇輝 (2026). 動かすと、$2\pi$ だけが残る [論文142]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22082281
- 山岸勇輝 (2026). ディラックの弦は、一枚の紙で書こうとした跡である [論文146]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22082868
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書誌
山岸勇輝（2026）「同じ H^2 でも、係数が違えば量子化しない」［論文147］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22083144
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引用するとき
山岸勇輝 (2026). 同じ H² でも、係数が違えば量子化しない [論文147]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/147 ・ DOI: 10.5281/zenodo.22083144
Yamagishi, Y. (2026). The Same H², and with Different Coefficients Nothing Is Quantised [Paper 147]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/147; DOI: 10.5281/zenodo.22083144
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