Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

体系は「同じ」という語を何度も使ってきた。同根（論文142）、同じ $H^2$（論文147）、同じ被覆（論文151）。本稿はその語に四つの強さがあることを示し、いずれにも属さない例を一つ置く。新しい数学定理は主張しない。

第一に、指標表が完全に一致しながら同型でない二つの群がある。$D_4$ と $Q_8$ はどちらも位数 $8$、共役類は五つで大きさは $1,1,2,2,2$、既約指標は一次元四つと二次元一つ、二次元指標の値は $2,-2,0,0,0$ で完全に一致する。それでも$D_4$ の位数 $2$ の元は五個、$Q_8$ は一個であり、同型ではない（本稿ですべて計算）（第3節）。

第二に、分離子はフロベニウス＝シュア指標である。$\nu_2(\chi)=\frac{1}{|G|}\sum_g\chi(g^2)$ は$D_4$ で $+1$、$Q_8$ で $-1$ を返す。指標表が見られない差を、この一つの数が見る（第4節）。

第三に、その帰結として $Q_8$ の二次元表現に実形は無い。実の $2\times2$ で $A^2=B^2=-I$ を満たす対を40万組取ると $|\mathrm{tr}(AB)|$ の最小は 2.000003（理論下界 $2$）であり、$AB=-BA$ に必要な $0$ には決して届かない。複素では $\mathrm{tr}(ij)=0$ で届く（第5節）。

第四に、同値は同型ではない。$\mathbb{Z}$ と $M_2(\mathbb{Z})$ は同型でない（一方は可換、他方は非零冪零元をもつ）が加群圏は同値である。中心は保たれ、可換性は保たれない。だから可換環では森田同値は同型に潰れる（第6節）。

射程（何を示さないか）

本稿の射程：新しい数学定理は主張しない。$D_4$ と $Q_8$ の指標表が一致すること、フロベニウス＝シュア指標、森田同値、圏同値と圏同型の区別はいずれも標準的である。本稿が加えるのは、体系が使ってきた「同じ」を四つの強さに並べたこと、どの強さにも属さない例（不変量が一致するのに同型でない）を最下段に置いたこと、分離子を一つの数として計算したことだけである。

1. 記法と位置づけ

$D_4$ を正方形の対称群、$Q_8$ を四元数群とし、どちらも $2\times2$ 行列で明示的に生成する。既約指標を $\chi$、フロベニウス＝シュア指標を $\nu_2$ と書く。

位置づけ：論文149 は向き、論文150 は重み、論文151 は被覆の良さを分離子とした。本稿の分離子はフロベニウス＝シュア指標である。そして「同じ」という語そのものを点呼する。

2. 二つの群

検算 2.1：$D_4$ を $r=[\,0\ \ -1\,;\ 1\ \ 0\,]$ と $s=[\,1\ \ 0\,;\ 0\ \ -1\,]$ で、$Q_8$ を $i=[\,\mathrm{i}\ \ 0\,;\ 0\ \ -\mathrm{i}\,]$ と $j=[\,0\ \ 1\,;\ -1\ \ 0\,]$ で生成すると

（証明終）

観察 2.2　共役類の個数も大きさも一致する。だが $D_4$ の位数 $2$ の元は五個、$Q_8$ は一個である。同型写像は位数を保つから、二つは同型でない。

3. 指標表は完全に一致する

検算 3.1：どちらも交換子部分群の位数が $2$、したがってアーベル化は位数 $4$ のクラインの四元群であり、一次元既約指標は四つである。$4\cdot1+d^2=8$ より残る既約指標の次数は $d=2$ で、それは定義表現である。その指標値は本稿の計算で

（証明終）

観察 3.2　一次元指標はどちらもクラインの四元群の四つの指標であり、二次元指標も一致する。すなわち指標表は完全に同じである。

観察 3.3 （これが要点である）　指標から作られるあらゆる量（次数、共役類の個数、群環の分解、表現の重複度）が一致する。それでも群は同型でない。「すべての不変量が一致する」は「同じ」の一番弱い読みですらない（論文17 のいう住所の問題）。

4. 分離子はフロベニウス＝シュア指標である

検算 4.1：$\nu_2(\chi)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\chi(g^2)$ を二次元指標について計算すると

（証明終）

観察 4.2　$\nu_2$ は指標の値そのものからは作れない。$g\mapsto g^2$ という群の演算を使うからである。指標表は類の上の関数であって、平方写像が類をどう動かすかを覚えていない。だから見えなかった差を、この一つの数が見る。

5. $Q_8$ の二次元表現に実形は無い

検算 5.1：実の $2\times2$ 行列で $A^2=-I$ となるものは、$A=[\,a\ \ b\,;\ c\ \ -a\,]$ かつ $a^2+bc=-1$ に尽きる（本稿で確認）。この解集合から40万組を無作為に取り $|\mathrm{tr}(AB)|$ の最小を測ると

（証明終）

観察 5.2 （理由）　跡が零の実 $2\times2$ 行列に $\langle M,M\rangle=\mathrm{tr}(M^2)/2=a^2+bc$ を入れると符号数は $(2,1)$ である。$A^2=-I$ は $\langle A,A\rangle=-1$ を、$AB=-BA$ は $\langle A,B\rangle=0$ を意味するから、負ノルムの直交する二本が要る。符号数 $(2,1)$ には負の方向が一本しかないから、それは不可能である。ローレンツ型の逆コーシー＝シュワルツが $|\mathrm{tr}(AB)|\ge2$ を与え、数値の $2.000003$ はその下界に触れている。

観察 5.3　$Q_8$ の二次元表現は四元数を要し、$D_4$ のそれは実行列で足りる（第2節の生成元がすでに実である）。$\nu_2$ の符号は、この「どの体で書けるか」を数にしたものである。

6. 同型でないのに、加群圏は同値である

検算 6.1：$M_2(\mathbb{Z})$ の中心を直接解くとスカラー行列に限られ、$\mathbb{Z}$ と同型である。一方 $P=[\,0\ \ 1\,;\ 0\ \ 0\,]$ は非零で $P^2=0$ であり、$\mathbb{Z}$ にそのような元は無い。また $M_2(\mathbb{Z})$ は非可換である（本稿で確認）。（証明終）

観察 6.2　$\mathbb{Z}$ と $M_2(\mathbb{Z})$ は同型でない。しかし加群圏は同値である（森田）。保たれるもの：中心、両側イデアルの束、$K$ 理論。保たれないもの：可換性、環そのもの。

観察 6.3　中心が保たれるから、可換環どうしでは森田同値は同型に潰れる。「どこまで潰れるか」は、対象が何であるかで変わる。

7. 同値は同型ではない

観察 7.1　有限次元ベクトル空間の圏は対象が真の類をなす。その骨格は次元ごとに一つ、可算個である。両者は同値だが同型ではない。圏同型は対象の間の全単射を要求するからである。

観察 7.2　同値は「対象の個数」を保たない。だから「同じ圏」と言うときは、同型か同値かを書かねばならない。

8. 「同じ」の点呼

観察 8.1　

観察 8.2　最下段が本稿の置いた例である。指標表という強い不変量が完全に一致しても、同型ではない。「不変量で区別できない」は四つのどれよりも弱い。

観察 8.3 （体系への適用）　論文142 は「同根と同一は違う」と書いた。本稿はその下にもう一段あることを示す。同根ですらなく、ただ不変量が一致しているだけ、という段である。論文110 が $\beta^g=\alpha’\mathrm{Ric}$ を金、外科手術とくりこみの類似を韻と分けたのは、この階段を降りる作業であった。

9. 結論

1. $D_4$ と $Q_8$ は指標表が完全に一致し、同型でない（検算2.1・3.1）。位数 $2$ の元が五個と一個。
2. 分離子はフロベニウス＝シュア指標である（検算4.1）：$+1$ と $-1$。指標表は平方写像を覚えていない。
3. $Q_8$ の二次元表現に実形は無い（検算5.1）：40万組で $|\mathrm{tr}(AB)|$ の最小は 2.000003、必要な値は $0$。
4. 同型でないのに加群圏は同値である（検算6.1）。中心は保たれ、可換性は保たれない。
5. 同値は同型ではない（観察7.1）。対象の個数は保たれない。
6. 「同じ」には四つの強さがあり、その下にもう一段ある（観察8.1）。

結び：二つの群は、指標という最も強い道具で見て、まったく区別がつかなかった。区別したのは、平方写像を覚えている一つの数である。「同じに見える」は、どの道具で見たかを書かないかぎり何も言っていない。そして道具を一つ増やすと、同じものが二つに割れる。

参考文献

1. Frobenius, G. & Schur, I. (1906). Über die reellen Darstellungen der endlichen Gruppen. Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin.
2. Morita, K. (1958). Duality for modules and its applications to the theory of rings with minimum condition. Science Reports of the Tokyo Kyoiku Daigaku, 6.
3. Grothendieck, A. (1957). Sur quelques points d’algèbre homologique. Tôhoku Mathematical Journal, 9.
4. Mac Lane, S. (1971). Categories for the Working Mathematician. Springer.
5. Serre, J.-P. (1977). Linear Representations of Finite Groups. Springer.
6. Curtis, C. W. & Reiner, I. (1962). Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras. Interscience.
7. 山岸勇輝 (2026). 等号は六つの別根を持つ [論文16] 第3版. Zenodo. 10.5281/zenodo.21600471
8. 山岸勇輝 (2026). 王道の点呼 [論文100]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21758864
9. 山岸勇輝 (2026). リッチ・フローはくりこみ群フローである [論文110]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21837476
10. 山岸勇輝 (2026). 不確定性は一つの定理ではない [論文129]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22079681
11. 山岸勇輝 (2026). 動かすと、$2\pi$ だけが残る [論文142]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22082281
12. 山岸勇輝 (2026). 同じ $H^2$ でも、係数が違えば量子化しない [論文147]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22083144
13. 山岸勇輝 (2026). 分母を決めるのは行列式ではなく、最大不変因子である [論文149]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22083590
14. 山岸勇輝 (2026). 光が測れないのは、密度である [論文150]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22083989
15. 山岸勇輝 (2026). 二枚の被覆は、円周について間違った答を返す [論文151]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22084096

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「同じ指標表を持ちながら、同型でない」［論文152］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22084202

@misc{yamagishi2026yoi152,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Same Character Table, and Still Not Isomorphic},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/152},
  doi = {10.5281/zenodo.22084202},
  note = {Preprint, edition 1}
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